Fabiano Gomes Caetano - Matemática: 2014

A Razão Áurea

O número Phi (‘fi’) é denotado pela letra grega φ em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618.

Este número é conhecido como:

PROPORCÃO ÁUREA

NÚMERO DE OURO

NÚMERO ÁUREO

PROPORÇÃO DE OURO

Euclides (360 a.C. – 295 a.C.) definiu o número phi como razão de segmentos denominando-o como : RAZÃO ÁUREA, RAZÃO DE OURO, EXTREMA RAZÃO.

Façamos a operação com os segmentos medindo 49,3 cm e 30,7 cm, respectivamente.

Euclides um dos mais famosos geômetras da Antiguidade, nasceu no ano 360 a. C. e morreu em 275 a. C. Estudou em Atenas com os sucessores de Platão. Escreveu uma obra, intitulada Os elementos, que se tornou notável. Construiu as suas teorias geométricas baseado em várias proporções (postulados e definições aceitas sem de monstração).

O Parthenon, agora em ruínas, é um dos templos que foi construído em Athenas por volta dos anos 430-440 a.C. e nele podemos observar a proporção Áurea. A planta do Parthenon mostra que o templo foi construído tendo por base um retângulo denomidado RETÂNGULO ÁUREO.

VEJAMOS A CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO ÁUREO

Construa um quadrado de lado unitário;

Divida um dos lados do quadrado ao meio;

Trace uma diagonal do vértice A do último retângulo ao vértice oposto B e estenda a base do quadrado;

Usando a diagonal como raio, trace um arco do vértice direito superior do retângulo à base que foi estendida;

Pelo ponto de interseção do arco com o segmento da base trace um segmento perpendicular à base. Estenda o lado superior do quadrado até encontrar este último segmento para formar o retângulo;

Este último é o RETÂNGULO ÁUREO!

Empresas usam a razão áurea de uma forma intuitiva, até mesmo porque as dimensões associadas representam algo bonito e econômico, mas é provável que muitos usuários desta razão e das relações áureas nem saibam que fazem uso da mesma.

Um cartão de crédito parece ter a forma das medidas áureas, sempre relacionadas com o número Phi. Você já experimentou medir as dimensões aproximadas de um cartão de crédito?

Por que esse número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos?

Porque a proporção áurea, como o nome sugere, está presente na natureza, no corpo humano e no universo.

Este número, assim como outros, por exemplo o Pi, estão presentes no mundo por uma razão matemática existente na natureza.

A proporção áurea aparece na natureza, no DNA, no comportamento da refração da luz, dos átomos, nas vibrações sonoras, no crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc.

- A proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colmeia é de 1,618;

- A proporção que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1,618;
- A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é de 1,618;
- A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore a medida que subimos de altura é de 1,618;

- E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral, obedecendo a proporção de 1,618. Também por isso, o número Phi ficou conhecido como A DIVINA PROPORÇÃO.

Figuras Geométricas

Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em proporção áurea com o raio da circunferência.

Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.

Pentagrama

Chamando os vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.

Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou esse símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Esse era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja, que a natureza segue padrões matemáticos.

Figuras Geométricas

Arte

A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza. Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si.

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e também entre os elementos do rosto.

Seção Áurea no Corpo Humano

A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.

A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.

A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.

A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.

O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.

A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.

Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo "Homem Vitruviano“ (1490), obra de Leonardo Da Vinci (1452 – 1519).

Proporções da obra Homem Vitruviano

• o comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura;

• a distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem;

• a distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem;

• a distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem;

• o comprimento máximo nos ombros é um quarto da altura de um homem;

• a distância entre a o meio do peito e o topo da cabeça é um quarto da altura de um homem;

• a distância entre o cotovelo e a ponta da mão é um quarto da altura de um homem;

• a distância entre o cotovelo e a axila é um oitavo da altura de um homem;

• o comprimento da mão é um décimo da altura de um homem;

• a distância entre o fundo do queixo e o nariz é um terço do comprimento do rosto;

• a distância entre a linha de cabelo na testa e as sobrancelhas é um terço do comprimento do rosto;

• o comprimento da orelha é um terço do da face;

• o comprimento do pé é um sexto da altura.

O desenho também é considerado frequentemente como um

símbolo da simetria básica do corpo humano e, por extensão,

para o universo como um todo.

O homem sempre tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, seja nos projetos arquitetônicos, seja até mesmo na música.

O número de ouro está presente nas famosas sinfonias Sinfonia n.º 5 e a Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven, e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach, é que, em seus solos curtos, aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa. O compositor húngaro Béla Bartók utiliza esta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra.

Quinta Sinfonia de Beethoven

Nona Sinfonia de Beethoven

Max Roch - Álbum Completo

Béla Bartók - Music for piano, percussão e celesta

Atualmente, essa proporção ainda é muito usada. Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram "respeitar" a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura de um cartão de crédito, alguns livros, jornais, uma foto revelada, entre outros.