Operações com Matrizes

 

A matriz é comumente utilizada para a organização de dados tabulares a fim de facilitar a resolução de problemas. As informações das matrizes, sejam estas numéricas ou não, são dispostas organizadamente em linhas e colunas.

O conjunto das matrizes munido das operações de adição, subtração e multiplicação e de características, como elemento neutro e inverso, forma uma estrutura matemática que possibilita sua aplicação em diversos campos dessa grande área do conhecimento.

1.   Igualdade de matrizes: Duas matrizes de mesma ordem A = (a_ij)_{m x n} e B = (b_ij)_{m x n} são iguais quando a_ij = b_ij para todo i = 1, 2, ..., m e para todo j = 1,2, ..., n.

                                          

Adição de matrizes: Sejam A = (a_ij)_{m x n} e B = (b_ij)_{m x n} matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma C = A + B tal que C = (c_ij)_{m x n} e c_ij= a_ij  + b_ij para todo i = 1, 2, ..., m e para todo j = 1,2, ..., n.

Exemplos: 

a)      Sejam 

b)     Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes.

A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias

A, B e C é dada por:

 

 

 

Propriedades da Operação de Adição

A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem (A + B) + C = A + (B + C), .

A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, A + B = B + A.

A3. Elemento Neutro: para toda matriz A, A + 0_{m x n} = 0_{m x n} = A .

A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem m x n existe uma matriz S de mesma ordem

tal que A + S = S + A = 0_{m x n}.

Sendo A = (a_ij)_{m x n} tem-se S = (s_ij)_{m x n} = -(a_ij)_{m x n}.

Notação: S = -A

 

Multiplicação de matriz por Escalar: Sejam A = (a_ij)_{m x n}  uma matriz e  k ϵ R um escalar, define-se a matriz produto por escalar B = k.B tal que B = (b_ij)_{m x n}  e b_ij  = k. a_ij para todo i = 1, 2, ..., m e para todo j = 1,2, ..., n.

Exemplos:

 

b) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano. 

Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é:

 

Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar

E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k₁, k₂ ϵ R ,  (k₁ + k₂).A = k₁. A + k₂.A.

E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k₁, k₂ ϵ R ,  (k_{1 .} k₂).A = k₁( k₂ . A).

E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k ϵ R, k.(A + B) = k. A + k.B.

E4. Para toda matriz A de ordem m x n, 0.A = 0_{m x n} .

E5. Para toda matriz A de ordem m x n, 1.A = A.

 

Multiplicação entre matrizes:  Sejam as matrizes  A = (a_ij)_{m x p} e B = (b_ij)_{p x n} e , define-se a matriz produto  C = A . B tal que C = (c_ij)_{m x n} e c_ij= a_ik  . b_kj , isto é, c_ij  = a_i1  . b_1j + a_i2  . b_2j + ... + a_ip  . b_pj para todo i = 1, 2, ..., m e para todo j = 1,2, ..., n.

Exemplos:

a)  

 

Observe que A = (a_ij)_{3 x 2} ; B = (b_ij)_{2 x 3} ; C = (c_ij)_{3 x 3}.

 

b) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. 

Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por:

 

Serão consumidas ___ unidades de vitamina A, ___ unidades de vitamina B e ___ unidades de vitamina C.

Propriedades da Operação de Multiplicação

M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens m x p, p x l e l x n, respectivamente,

(A . B) . C = A . (B . C)

M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem m x p, para toda matriz C de ordem p x n e para toda matriz D de ordem l x m, (A + B) . C = A.C + B.C e D . (A + B) = D.A + D.A.

 M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, A . I_n = I_n . A = A.

M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo k ϵ R, k . (A.B) = (k.A) . B = A . (k.B).

M5. Para toda matriz quadrada A de ordem n, A.0_{m x n} = 0_{m x n}. A = 0_{m x n}.

 

Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação.

Assim, A . B ≠ B . A.

Quando A . B = B . A, diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes que comutam entre si.

Por M5, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem.

 

Exemplos:

a)     a) Sejam as matrizes A = (a_ij)_{2 x 3} e B = (b_ij)_{3 x 2}.

A . B = C = (c_ij)_{2 x 2} ≠ (d_ij)_{3 x 3} = D = B . A.

 

b)      b) Sejam as matrizes A = (a_ij)_{2 x 3} e B = (b_ij)_{3 x 1}.

A . B = C = (c_ij)_{2 x  1} e a matriz produto B . A não é definida.

 

c)   Verifiquem que as matrizes A e B comutam entre si.

 

Atividades:

1) Segunda-feira, depois da Páscoa, dois camelôs decidem queimar seu estoque de ovos e trabalharem juntos com o estoque restante.

Na barraca A, do Antônio, a quantidade disponível de ovos é dada pela tabela:

	Lacta	Garoto	Nestlè
30 g	5	0	12
70 g	1	13	8
100 g	5	2	3
240 g	6	5	2

Na barraca B, do Beto, a quantidade disponível de ovos é:

	Lacta	Garoto	Nestlè
30 g	2	5	0
70 g	10	0	9
100 g	1	3	2
240 g	7	4	5

A matriz que representa o total de ovos disponíveis para venda é:

 

2) Num projeto de construção da embalagem de um produto, uma empresa resolveu construir as embalagens na forma de prisma, sabendo que a área da base será 10cm², em qualquer que seja a forma da base, procura-se saber o volume da embalagem, em cm³, conforme as alturas de cada embalagem informadas na tabela abaixo, com dois modelos diferentes (Prisma I e Prisma II):

 

Base	Prisma I	Prisma II
Triangular	3 cm	6 cm
Quadrangular	4 cm	8 cm
Hexagonal	5 cm	10 cm

Determine a matriz que representa os volumes calculados:

  

3) Considere as matrizes A =     e B =  , calcule: 

a) A + B       b) A – B       c) 3A – 2B      

 

4) Considere as matrizes A =    e B = .

Calcule:  a) A + B        b) A – B       c) 3A – 2B     

 

5) Para que valores de x e y as matrizes M =e Q =  são iguais?

 

6) Abaixo temos tabela de preços de materiais escolares:

PRODUTOS	PREÇO UNITÁRIO (R$)
Caneta	3,00
Lapiseira	5,00
Caderno	4,00
Corretor	2,00

Mariana comprou 4 canetas, 2 lapiseiras, 5 cadernos e 2 corretores. Qual o custo total de suas compras?

7) As nutricionistas da escola prepararam dois tipos de alimentos contendo vitaminas A, B e C. Imagine que as quantidades de vitamina em cada 100 g de alimento

possam ser dadas pela matriz:

Ao serem ingeridas 4 unidades do alimento 1 (400g) e 2 unidades do alimento 2 (200g) a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por:

             (A) [100   20   30]

             (B)  [20   4   4]

             (C)  [2   1   1]

             (D) [100   40   40]

 

8) Durante um torneio de futebol, uma das chaves era formada pelos seguintes países: Brasil, Escócia, Marrocos e Noruega. Observe os resultados dos jogos registrados em uma tabela:

	Vitória	Empate	Derrota
Brasil	2	0	1
Escócia	0	1	2
Marrocos	1	2	1
Noruega	1	1	0

Pelo regulamento do torneio cada resultado tem a seguinte pontuação:

Número de Pontos
Vitória	3
Empate	1
Derrota	0

Nestas condições, obter a tabela que dá a pontuação total de cada equipe.

	Pontuação Total
Brasil
Escócia
Marrocos
Noruega

 

9) Na produção de três modelos de automóveis A, B e C; o número de duas principais peças utilizadas na produção de cada modelo é dado pela tabela:

	Modelo A	Modelo B	Modelo C
Peça I	3	1	3
Peça II	4	2	2

O número de automóveis fabricados, de cada modelo, nos meses de julho e agosto, é dado pela tabela:

	Julho	Agosto
Modelo A	100	50
Modelo B	50	100
Modelo C	50	50

Nestas condições, obter a tabela que dá o total de peças usadas em julho e agosto.

	Julho	Agosto
Peça I
Peça II

 

10) Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação:

Componente/ Modelo	A	B	C
Eixos	2	3	4
Rodas	4	6	8

Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fabrica deverá seguir a tabela abaixo:

Modelo / Meses	Janeiro	Fevereiro
A	30	20
B	25	18
C	20	15

Nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada?

 

11) (UERJ) Para combater a subnutrição infantil, foi desenvolvida uma mistura alimentícia composta por três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. Esses suplementos, por sua vez, contêm diferentes concentrações de três nutrientes: A, B e C. Observe as tabelas a seguir, que indicam a concentração de nutrientes nos suplementos e a porcentagem de suplementos na mistura, respectivamente.

	Concentração dos nutrientes alimentares (g/kg)
Nutrientes	I	II	III
A	0,2	0,5	0,4
B	0,3	0,4	0,1
C	0,1	0,4	0,5

 

Suplemento Alimentar	Quantidade da Mistura (%)
I	45
II	25
III	30

A quantidade do nutriente C, em g/kg, encontrada na mistura alimentícia é igual a:

    (A)   0,235           (B) 0,265           (C) 0,275          (D) 0,295

 

12) O gerente de vendas de uma loja tem à sua disposição as tabelas de vendas mensais, em reais, dos seus três vendedores, por produto vendido.

	Vendas em Janeiro (R$)
Vendedor	Geladeiras	Fogões
Paulo	23.000,00	12.000,00
Germano	27.000,00	10.000,00
Rodolfo	19.000,00	15.000,00

 

	Vendas em Fevereiro (R$)
Vendedor	Geladeiras	Fogões
Paulo	21.000,00	10.000,00
Germano	16.000,00	6.000,00
Rodolfo	20.000,00	9.000,00

Dos dados acima, podemos dizer: 

        (A) O melhor vendedor de geladeiras do bimestre foi Paulo e de Fogões foi Rodolfo, pois faturaram mais nesses produtos, respectivamente. 

        (B) Germano teve a menor queda de venda de geladeiras dos três. 

        (C) Germano e Rodolfo geraram maior faturamento de geladeiras, cada um, que Paulo. 

        (D) De janeiro para fevereiro Paulo decresceu o seu faturamento na venda de geladeiras.

13) No quadro, abaixo, estão listados os preços unitários cobrados por cópia em uma papelaria. 

Nessa papelaria, João tirou 25 cópias coloridas de um documento, em baixa resolução, e 40 cópias em preto e branco de outro documento, em alta resolução.

No total, quanto João pagou por essas cópias?

        (A) R$ 3,25. 

        (B) R$ 7,40. 

        (C) R$ 7,50. 

        (D) R$ 7,90.

 

14) Observe, abaixo, o quadro de preços de um bufê, que promove festas.

Uma empresa contratou esse bufê para organizar sua festa de final de ano. O contrato foi para uma festa com 200 convidados e envolveu aluguel do salão, decoração básica, música ao vivo e 10 garçons.

O valor desse contrato foi de

        (A) R$ 3.780,00. 

        (B) R$ 5.130,00. 

        (C) R$ 9.750,00.

        (D) R$ 11.100,00.

 

15) Um veterinário estabeleceu uma dieta para um cão com base nas rações I e II para atender às necessidades semanais de, exatamente, 13 gramas do nutriente A e 5 gramas do nutriente B, que são encontrados nessas rações, nas quantidades informadas no quadro abaixo.

De acordo com essas informações, o custo semanal da dieta para esse cão é

        (A) R$ 6,00.  

        (B) R$ 15,50.  

        (C) R$ 21,50.  

        (D) R$ 50,00.

 

16) O quadro, abaixo, mostra a quantidade de arroz de dois tipos diferentes vendida em dois supermercados.

De acordo com essas informações, qual é a quantidade de arroz do tipo 2 vendida por esses supermercados?

        (A) 150 kg.    

        (B) 200 kg.    

        (C) 300 kg.     

        (D) 350 kg. 

 

17) Uma churrascaria tem preços diferenciados de rodízio para homens, mulheres e crianças. Veja a tabela de preços abaixo.

Um grupo de 8 pessoas, com 2 homens, 3 mulheres e 3 crianças, almoçou nessa churrascaria.

Qual foi o valor total do rodízio pago por esse grupo?

        (A) R$ 60,00.

        (B) R$ 155,00.

        (C) R$ 160,00.

        (D) R$ 200,00.

 

18) Para dividir o custo fixo de R$ 1 200,00 do aluguel de um ônibus para uma excursão num fim de semana, Pedro elaborou o quadro abaixo, que relaciona o número de participantes da excursão com o preço por participante.

Infelizmente, a adesão foi pequena e apenas 24 pessoas participaram da excursão. Assim, o preço pago

por cada participante foi de

        (A) R$ 14,00.

        (B) R$ 24,00. 

        (C) R$ 34,00. 

        (D) R$ 50,00.

 

19) Em uma livraria, os preços de alguns gêneros de livros sofreram desconto em uma promoção, como representado na tabela abaixo.

Qual é o valor total da compra de 15 livros de aventura nessa promoção?

        (A) R$ 450,00  

        (B) R$ 270,00  

        (C) R$ 45,00  

        (D) R$ 33,00 

20) O preço que uma agência de turismo cobra por uma excursão depende da faixa etária do turista. O quadro, abaixo, apresenta esses preços.

Essa agência fechou um pacote de excursão com um grupo formado por 40 adultos, 12 crianças e 7 adolescentes. O valor total pago por esse grupo foi

        (A) R$ 12.460,00. 

        (B) R$ 13.660,00. 

        (C) R$ 14.060,00.

        (D) R$ 16.520,00.

Aprofunde-se:

Modelagem e Otimização

 

1)Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quantidades adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles são mostrados na tabela.

Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Dessa forma, das igualdades envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a única que relaciona corretamente esses preços unitários com os dados da tabela é:

2) Um negociante trabalha com as mercadorias A;B e C. Se vender cada unidade de A por R$2,00; cada unidade de B por R$3,00 e cada uma de C por R$4,00, obtém uma receita de R$50,00. Mas, se vender cada unidade respectivamente por R$2,00, R$6,00 e R$3,00 a receita será de R$60,00. Determine o sistema gerado por esse problema.

 

3) As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem, seus limites são considerados em conjunto. Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z), pede-se resolver o seguinte sistema linear:  

 

 

4) Um grupo de 12 amigos reuniu-se durante um almoço de confraternização de fim de ano. Todos foram unânimes em pedir o prato sugerido pelo garçom e 10 deles pediram sobremesa, perfazendo uma despesa total de R$ 230,00 com esses dois itens. Sabendo-se que o valor da despesa de quem pediu sobremesa foi de R$ 20,00, calcule o preço unitário de cada um desses itens.

 

 

 

 

 

5) Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 litros, de 10 litros e de 2 litros. Ao todo, foram comprados 94 litros de água, com o custo total de R$ 65,00. Veja na tabela os preços da água por embalagem:

Valor da Embalagem (l)

Preço (R$)

20

10,00

10

6,00

2

3,00

Nessa compra, o número de embalagens de 10 litros corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 litros. Podemos informar desta situação que:

 

        (A) A soma do número das embalagens de 10 e 20 litros é 4 embalagens. 

        (B) A família comprou 7 embalagens de 2 litros. 

        (C) O número total de embalagens compradas foi de 15 embalagens. 

        (D) Não é possível determinar o número de embalagens compradas, pois faltam dados.

6) Uma fábrica produz óleo de soja sob encomenda, de modo que toda produção  é comercializada.

O custo de produção é composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, independentemente do volume produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutenção de equipamentos, salários, etc.; a outra parcela é variável, depende da quantidade de óleo fabricado.

No gráfico que segue, a reta c representa o custo de produção e a reta f descreve o faturamento da empresa, ambos em função do número de litros comercializados. A escala é tal que uma unidade representa 1.000 reais no eixo das ordenadas e 1.000 litros no eixo das abscissas.

a) Determine, em reais, o custo correspondente à parcela fixa.

b) Determine o volume mínimo de óleo a ser produzido para que a empresa não tenha prejuízo.

 

7) Dois produtos P e Q contêm as vitaminas A, B e C nas quantidades indicadas no quadro ao lado. A última coluna indica a quantidade mínima necessária de cada vitamina para uma alimentação sadia, e a última linha o preço de cada produto por unidade.

Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione uma alimentação sadia com o mínimo de custo?                   

 

Responda:

a) Qual o custo de consumir 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q ?

 

b) Quanto de vitamina A seria consumido com 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto?

 

c) Quanto de vitamina B e C seria consumido nas mesmas condições da pergunta anterior?

 

d) Essa dieta (4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q) está de acordo com o texto?