3º Ano - Matemática - 1º Bimestre

Aula 1 – Os números Naturais

                Quantos países existem no mundo? 

                Quantos países participarão das Olimpíadas de 2020 em Tóquio? 

                Quantas serão as modalidades esportivas? 

              

         Para chegar a esses números efetuamos uma contagem.

      Ligados principalmente à contagem de situações ocorridas na natureza esses números foram chamados de naturais e podem ser reunidos em um conjunto indicado pela letra N. 

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}

         Nem sempre a contagem dos elementos de um conjunto é feito de forma direta. Vejamos:

1) Uma lanchonete oferece dois tipos de refrescos (laranja e maracujá) e três tipos de sanduíches (frango, carne e presunto). Quantos lanches diferentes podem ser oferecidos, se cada um deve conter um refresco e um sanduíche?

2)  Monica tem cinco blusas, quatro calças e três tênis. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?

3) Num smartphone protegido por senha de quatro algarismos, de 0 a 9, quantas são as possibilidades de senhas diferentes?

4) No Brasil, as placas de automóveis são codificadas com três letras e quatro algarismos. Quantas placas são possíveis serem formadas?

À essa forma de contagem indireta, damos o nome de Princípio Multiplicativo.

Aula 2 – Princípio Multiplicativo

1)      Quantos números naturais de dois algarismos é  possível formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

2)      Quantos números naturais de três algarismos podemos formar usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

3)      Quantos números naturais pares de três algarismos podemos formar usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

4)      Quantos números naturais de três algarismos diferentes podemos fromar usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Princípio Multiplicativo: Se uma decisão pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja esta escolha, uma segunda pode ser tomada de q modos, então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as duas decisões é igual a pq.

Atividade:  Com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 9:

a)      Quantos números naturais pares de quatro algarismos podem ser representados
b) Quantos números naturais pares de quatro algarismos diferentes podem ser representados?

Aula 3 – Exercícios de Aplicação

1) Rick possui 4 pares de tênis e 10 pares de meias. De quantas maneiras ele poderá se calçar utilizando um par de meias e um de sapatos?

2) Uma montadora de automóveis apresenta um carro em quatro modelos diferentes e em cinco cores diferentes. Um consumidor que quiser adquirir esse veículo terá quantas opções de escolha?

3) Deise vai a uma festa e possui 3 calças (bege, azul e floral); 3 blusas (rosa, branca e azul) e 5 pares de sapatos com modelos diferentes.

a) Com essa quantidade de roupa, de quantas maneiras diferentes Deise poderia se vestir?

b) Deise gostaria muito de usar a camisa de cor rosa. Após essa decisão, de quantas maneiras diferentes Deise poderia se vestir?

4) Numa lanchonete, é possível montar o próprio sanduíche combinando 5 tipos de pão, 6 tipos de recheio e 3 tipos de molho. Quantos sanduíches diferentes podem ser montados?

5) Oito equipes de voleibol disputam um campeonato. De quantas maneiras diferentes pode ocorrer a classificação das três primeiras colocadas, se não pode haver empate em nenhuma das colocações?

Revisão: 

1) Cinco jogadores de futebol, concorrem a um dos títulos de 1º, 2º e 3º melhor jogador do Campeonato Brasileiro. De quantas maneiras diferentes esses títulos podem ser distribuídos?

2) Sabendo que número de telefone não começa com 0 nem com 1, calcule quantos números diferentes de telefone podem ser formados com 9 algarismos.

Aula 4 – Permutação

De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colocadas em fila?

Permutação Simples:  O número de modos de ordenar n objetos distintos é igual a 

n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ...  ∙ (n – 1) ∙ n.

1) De quantas maneiras é possível formar um número de 4 dígitos usando 1, 2, 3 e 4 sem repeti-los?

2) Cinco atletas que disputam as 5 primeiras posições de uma corrida. Quantas são as possibilidades de colocação?

3) Três amigas resolveram tirar fotos em uma escadaria com 3 degraus, e cada uma delas deverá ficar em um degrau.  Quantas fotos diferentes podem ser tiradas?

4) Considerando 3 rapazes e 4 moças.

a) De quantos modos podem ser colocados numa fila em qualquer ordem?

b) Agora, de quantos modos podem ser colocados numa fila de modo que as moças fiquem sempre juntas?

5) Uma bibliotecária recebeu uma doação de 3 livros diferentes de Matemática, 4 livros diferentes de Química e 3 livros diferentes de Física. De quantas formas ela poderá arrumá-los em uma prateleira de livros novos, em qualquer ordem? E se livros de mesma matéria devem ficar juntos?

Aula 5 - Anagramas

Outro tipo de problema de permutação envolve o agrupamento de letras para formar palavras, o que se denomina anagrama.

Anagrama é a troca das letras de uma palavra para formar uma nova palavra, por exemplo:

• AMOR é um anagrama da palavra ROMA.

• RAMO é um anagrama da palavra AMOR.

Porém esta palavra nova, pode não fazer sentido. Calculemos quantos anagramas são possíveis com a palavra AMOR. E com a palavra ESCOLA?

Atividade: 1) Quantos são os anagramas da palavra CORAGEM:

a) que começam por consoante e terminam por vogal?

b) que têm letras C, O, R juntas nessa ordem?

c) que têm as letras C, O, R juntas em qualquer ordem?

d) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?

e) que têm a letra C no primeiro lugar e a letra O no segundo lugar?

2) Quantos anagramas da palavra ESCOLA começam com a letra S? E quantos anagramas da palavra ESCOLA começam por vogal?

3) Quantos anagramas da palavra LIVRO têm a sílaba LI?

4) a) Quantos números de 6 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6?

b) Quantos desses números são pares?

c) Quantos têm os algarismos 1 e 2 juntos?

d) Quantos são múltiplos de 5?

Gerador de Anagramas: https://www.palavras.net/anagramas.php



Aula 6 – Revisão de Contagem

1) Quantos anagramas são possíveis com as letras que formam o seu nome?

2) Quantos são os anagramas  das palavras ESPORTE, OLIMPÍADA, MATEMÁTICA?

3) João, André, William, Pedro, Roberto, Fabiano e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os possíveis resultados para os três primeiros colocados?

4) Em uma urna de sorteio de prêmios, existem dez bolas, enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

5) Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem dirigir. De quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a viagem?

6) Num encontro entre presidentes de vários países, apenas 7 confirmaram presença. Os organizadores dos eventos que ocorrerão durante a visita gostariam de permutar os presidentes, possibilitando vários contatos diferentes.

a) De quantas maneiras podemos permutar os presidentes em 7 cadeiras lado a lado?

b) Se 2 dos presidentes devem se sentar lado a lado, quantas são as possibilidades de organizá-los?

c) Se tivéssemos 2 presidentes que não devessem ficar juntos, quantas seriam as possibilidades de organizá-los?

 7) Uma corrida é disputada por cinco atletas. Todos chegam à reta final.

a) Quantas possibilidades diferentes existem para os três primeiros lugares?

b) Quantas possibilidades diferentes existem para as cinco classificações?

Aula 7 – Combinação

Exemplo 1: Cinco alunas: Ana, Barbara, Carina, Daniela e Estela desejam formar uma comissão de três delas para irem à direção pedirem um passeio a um museu histórico-científico para a turma. De quantas maneiras diferentes pode ser formada essa comissão entre elas?

A princípio, como as possibilidades são pequenas, podemos enumerá-las e fazer uma contagem direta, da seguinte forma:

1. Ana, Barbara, Carina

2. Ana, Barbara, Daniela

3. Ana, Barbara, Estela

4. Ana, Carina, Daniela

5. Ana, Carina, Estela

6. Ana, Daniela, Estela

7. Barbara, Carina, Daniela

8. Barbara, Carina, Estela

9. Barbara, Daniela, Estela
10. Carina, Daniela, Estela

Notando, assim, que a há 10 maneiras diferentes de escolher 3 representantes para essa comissão entre as 5.

Disso, define-se o conceito de Combinação, no estudo de Contagem: são os modos que pode-se selecionar um número p objetos (coisas ou pessoas) distintos entre n objetos distintos dados. No exemplo 1, escolher 3 alunas entre as 5 alunas disponíveis.

Como, no estudo de Contagem (Análise Combinatória) o objetivo é fazer as contagens de forma indireta através de técnicas desenvolvidas, vejamos como resolver um problema de Combinação utilizando essas técnicas de forma indireta:

1º - Utilizando o esquema de posição, como no princípio multiplicativo, podemos dispor cada uma em três posições (ou casas) onde cada uma das 5 alunas disponíveis irão ocupar na contagem e assim temos: 

__  __  __

 5 x 4 x 3   =  60 

Porém daqui, vê-se que não chegou ao resultado esperado, como na contagem direta. Isso se dá porque, como foi feito, considerou todas as ordens possíveis que elas podem ocupar da seguinte forma, mas na combinação não importa a ordem que elas ocupem a posição, pois em qualquer ordem será a mesma posição, na contagem abaixo revela as 60 possibilidades calculadas, mas que NÃO revelam o número de combinações como desejado:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	A, B, D	A, B, D	A, B, E	A, C, D	A, C, D	A, D, E	B, C, D	B, C, E	B, D, E	C, D, E
2	A, D, B	A, D, B	A, E, B	A, D, C	A, D, C	A, E, D	B, D, C	B, E, C	B, E, D	C, E, D
3	B, A, D	B, A, D	B, A, E	C, A, D	C, A, D	D, A, E	C, B, D	C, B, E	D, B, E	D, C, E
4	B, D, A	B, D, A	B, E, A	C, D, A	C, D, A	D, E, A	C, D, B	C, E, B	D, E, B	D, E, C
5	D, A, B	D, A, B	E, A, B	D, A, C	D, A, C	E, A, D	D, B, C	E, B, C	E, B, D	E, C, D
6	B, D, A	D, B, A	E, B, A	D, C, A	D, C, A	E, D, A	D, C, B	E, C, B	E, D, B	E, D, E

Para chegarmos definitivamente, ao número de combinações possível, devemos excluir as permutações que refletem a ordem que cada escolha pode ser disposta. 

2º - Como estamos trabalhando no Princípio Multiplicativo, para excluir as permutações em cada uma das escolhas feitas, dividimos o que foi encontrado na disposição das posições pelo número de permutações possíveis No nosso exemplo 1, como são 3 escolhidas elas podem formar 3! permutações, lemos: o fatorial de 3. Então, de 60 divide-se 3! para encontrar as combinações possíveis, daí temos:

Logo, chegamos ao resultado esperado que são 10 maneiras de se escolher 3 alunas para reunião dentre as 5 disponíveis.

Exemplo 2: Considere uma turma de 20 alunos.

a) Quantas são as maneiras de escolher um representante, um secretário e um tesoureiro?

Como neste caso, temos que considerar uma ordem dos cargos, então o número de maneiras deverá ser de fato:

__    __    __
20 x 19 x 18 = 6.840

Logo, tem-se 6.840 maneiras de organizar em cada cargo.

b) Considere agora que desejamos escolher três dos alunos para formar uma comissão. A resposta é a mesma da anterior?

Como neste caso, a ordem não importa, pois quaisquer três dos alunos que forem escolhidos será a mesma comissão, devemos proceder como combinação, excluindo as possíveis ordenações, no qual a permutação reflete:

Logo, tem-se 1.140 maneiras de escolher 3 alunos dentre os 20 da turma.

Formalizando Combinação:

Agora, vamos formalizar o conceito de Combinação, e utilizar para fazermos cálculos com possibilidades muito grandes, que é algo mais coerente com a realidade, como no uso destas técnicas de contagem na Criptografia e códigos digitais de identificação e segurança.

Como foi visto anteriormente, sabemos que Combinação é uma técnica de contagem que trata de contar as possibilidades de se escolher, dentre um dado número de objetos (coisas ou pessoas), um número menor de objetos entre eles.

Utilizamos o exemplo de escolher dentre 5 alunas, 3 delas para representarem em uma reunião.

Este fato chamamos de combinação de 5 para 3 e representamos da seguinte maneira: C_{5, 3}.

E vimos que para calcular as possibilidades de se escolher 3 entre 5 alunas é feito da seguinte forma:

 

Utilizando o mecanismo das casas ou posições com o princípio multiplicativo e excluindo as possíveis permutações, haja visto que as permutações formadas, formam a mesma comissão, representatividade ou combinação.

Nota-se daí que, de forma sistemática, é possível, daquele resultado, formular uma combinação como:

De fato, se fizermos:  

 

.Como queríamos demonstrar.

O que nos leva a formalizar:

Combinação Simples: O número de modos de escolher p dentre n objetos distintos é:  

Em muitas questões de combinação, não é necessário fazer todos os cálculos dos fatoriais, pois demanda muito tempo e é passível de erros de cálculos, bastam, para sua viabilidade, deixar indicada a ideia de que é uma combinação, sabendo que a combinação tem essa ideia da exclusão das permutações possíveis e do que não é utilizado na contagem do fatorial do numerador. Bem como nos problemas de permutação onde temos possibilidades muito grandes, basta deixar indicado como fatorial.

No exemplo, quantas possibilidades há dentre 20 alunos, escolher 5 para representarem em um evento cultural, a resposta será: C_{20, 5}, ou seja uma combinação de 20 para 5.

Caso haja necessidade de cálculo, será da seguinte forma:

Sendo assim, 15.504 maneiras diferentes de escolher 5 entre 20 alunos.

Vemos uma possibilidade enorme de maneiras de se escolher, daí a inviabilidade de se fazer todo esse cálculo, podendo apenas deixar indicada a ideia de uma combinação, como já dito.

Seguem alguns links úteis de calculadoras de combinação:

http://ecalc.blogspot.com/p/variaveis-var-contvar-repetvar-ordemvar.html

http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraArranjoCombinacaoSimples.aspx

https://pt.numberempire.com/combinatorialcalculator.php?n=20&m=5&ordered=false&repeated=false



Observem os exemplos abaixo:

1) Em uma turma há 12 rapazes e 10 moças. Quantos são os modos de escolher uma comissão de 4 pessoas:

a) sem restrições de sexo?

Como temos num total de 12+10 = 22 alunos, para escolher 4 dentro destes 22, temos uma combinação de 22 para 4, verificada da seguinte forma:  C_{22, 4.}

Caso queiramos calcular, temos:

Logo, temos 7.315 modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos. 

b) que incluam Caio (que é um dos alunos)?

Como José já faz parte da contagem da comissão, basta agora escolher apenas 3 dos 21 alunos restantes, tendo agora uma combinação de 21 para 3, verificado da seguinte forma: C_{21, 3.}

Podendo ser calculado: C_{21, 3 = 1.330}


Logo, temos 1.330 modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos, com Caio já fazendo parte do da comissão. 

c) que não incluam Antonela (que é uma das alunas)?

Como Antonela não poderá ser incluída na contagem da comissão, temos que agora escolher 4 para a comissão dentro de um número de 21 alunos excluindo a Antonela, tendo agora uma combinação de 21 para 4, verificado da seguinte forma: C_{21, 4.}

Podendo ser calculado: C_{21, 4 = 5.985}

Logo, temos 5.985 modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos, excluindo a Antonela.




d) com 2 rapazes e 2 moças?

Dentre 12 rapazes escolhem dois, temos: C_{12, 2}  e dentre 10 moças escolhem-se duas, temos: C_{10, 2}. 

Como para cada possibilidade de escolha de dois rapazes, temos todas as possibilidades de escolha de duas moças, utilizamos o princípio multiplicativo e temos:


 C_{12, 2}  ∙  C_{10, 2}  modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos, sendo 2 rapazes e 2 moças.

Podendo na resposta das possibilidade ser indicado da forma anterior, como linguagem de combinação ou calculando-se o produto das duas combinações:

 Se C_{12, 2} = 66  e C_{10, 2} = 45 então  C_{12, 2} ∙  C_{10, 2} = 66 x 45 = 2.970.

Logo, temos 2.970 modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos, sendo 2 rapazes e 2 moças.



2) Uma pequena empresa quer formas um time de futebol e 15 funcionários de inscreveram, dizendo que aceitam jogar em qualquer posição. De quantas formas é possível escolher os 11 jogadores do time?

Obviamente, uma combinação de 15 para 11 e temos C_{15, 11}  formas possíveis de escolher 11 jogadores dentre 15 funcionários.


Caso, queiramos calcular temos  C_{15, 11} = 1.365 formas possíveis de escolher 11 jogadores dentre 15 funcionários.

Aula 8 – Revendo Combinação

Vejamos alguns exemplos, revisando as técnicas de Contagem:

Exemplo 1: Num campeonato de xadrez há 10 competidores. 

a) De quantas maneiras diferentes há de ocuparem as três primeiras colocações?

Se tem-se 3 posições ordenadas então teremos: 
__    __    __
10 x  9  x  8 = 720

Logo, há 720 maneiras diferentes de ocuparem as três primeiras colocadas.

b) De quantos modos diferentes há de se escolher 5 deles, num sorteio, para fiscalizarem as  ações da equipe organizadora?

Se tem-se que escolher 5 deles, sem preocupação com a ordem a que colocar, temos uma combinação de 10 para 5: C(10, 5).

Logo, há 252 maneiras diferentes de escolher 5 dentre 10 competidores. 

c) Se cada jogador deve, na primeira fase, jogar um contra o outro, quantas partidas serão necessárias para essa fase?

Como deve-se ter dentre os dez uma combinação a cada 2 deles, teremos uma combinação C(10, 2):

Logo, nessa primeira fase, serão necessárias 45 partidas para ser possível os 10 jogarem um contra o outro.

Exemplo 2: Antonielson possui 9 camisetas, 4 bermudas e 3 tênis novos.

a) De quantas maneiras diferentes ele pode vestir-se com essas novas roupas?

Como são coisas distintas entre elas e podem combinar mas em ordens diferentes entre os itens, então teremos: 
__    __    __
 9 x   4  x  3 = 108

Logo, ele tem 108 maneiras diferentes de vestir-se.

b) Se ele vai viajar e precisa levar somente 4 camisetas, 2 bermudas e 1 tênis entre esses  novos que ele possui, de quantas maneiras diferentes pode ser a sua escolha?

Dessa forma, ele precisa escolher 4 dentre 9 camisetas; 2 dentre 4 bermudas, e 1 dentre 3 tênis, então combinação em cada um dos itens, formando um total de 

C(9, 4) ∙ C(4, 2) ∙ C(3, 1) = 126 x 6 x 3 =  2.268

Logo, ele tem 2.268 maneiras diferentes de fazer a escolha proposta.

Exemplo 3: Um time brasileiro de futebol disputará obrigatoriamente 6 jogos numa excursão pela Europa. De quantos modos diferentes poderá ocorrer a campanha desse time durante essa excursão?Para cada jogo há três possibilidades: vitória, derrota ou empate.

 Se são seis jogos, e três possibilidades distintas cada, que podem se repetir, então:

Logo, poderá haver 726 possibilidades de resultados diferentes na campanha desse time nos 6 jogos.

Observação, aproveitem e utilizem a calculadora de Combinação no link:

http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraArranjoCombinacaoSimples.aspx



Atividades:

1) Caio vai realizar uma viagem neste fim de semana e quer escolher 4 entre 9 camisetas de malha que possui. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?

2) Em uma sala com 20 alunos, quantas comissões de 2 alunos podemos formar?

3) Uma comissão de 2 diretores e 3 secretários deve ser  membros deve ser escolhida dentre sete pessoas. De quantos modos diferentes pode-se escolher a comissão?

4) Numa fábrica, 8 engenheiros e 5 administradores pretendem formar uma comissão de 4 elementos. Com essas pessoas, quantas comissões é possível formar, de modo que entre os integrantes, 3 sejam engenheiros e um seja administrador?

5) Uma comitiva esportiva de 8 pessoas hospedaram em um hotel. De quantas maneiras eles podem se arrumar, sendo 3 no quarto A1, 3 no quarto B2 e 2 no quarto 3C?

Aula 9 - Início de Probabilidade:

1) Em uma classe com 22 moças e 13 rapazes, foi realizado um sorteio. Quem tem maior chance de ser sorteado. Um rapaz ou uma moça? Quais são as probabilidades?

2) Em um saco, foram colocados 4 bolas amarelas e 6 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de sair uma bola vermelha?

Se em um determinado fenômeno aleatório pode ocorrer de n modos possíveis, todos equiprováveis, e se em p deles ocorre um determinado evento A, a probabilidade de A é:

Quando sorteamos uma dos meses do ano. Qual a probabilidade de sair um mês:

a) cujo nome começa com consoante?

b) do 2º bimestre?

c) cujo nome começa com J?

d) de 31 dias?

e) cujo nome começa e termina com uma vogal?

f) que, no mesmo ano, vem antes de junho?

g) do 1º trimestre do ano?

h) com mais do que 27 dias?

i) cujo nome começa com vogal e termina com consoante?

j) cujo nome começa com a letra A?

k) de 30 dias?

l) que, no mesmo ano, vem depois de fevereiro?

m) fica entre março e agosto?

n) que fica entre março e agosto?

o) que não é de 30 dias?

Atividades Probabilidade

1) Em uma urna foram colocados cartões numerados de 1 a 30. Qual a probabilidade de ser sorteado um número múltiplo de 5?

2) Considere  uma empresa com 20 homens e 10 mulheres. Para se formar uma comissão com 5 pessoas, qual a probabilidade de 4 serem mulheres?

3) Considere um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas por questão.

a) Quantos são os gabaritos possíveis?

b) Se um aluno responde a prova ao acaso, qual é a probabilidade de ele tirar 10?

c) Qual é a probabilidade dele tirar zero?

4) Dentre os números de algarismos distintos formados com os algarismos 4, 5 e 6. Qual a probabilidade de ser múltiplo de 5?

5) Na Mega-Sena, o apostador escolhe de 6 a 15 (entre 01 e 60). São sorteadas 6 dezenas. Se o apostador, em seu cartão, indicou estas 6 dezenas, ele recebe o prêmio máximo.

a) Quantos são os possíveis resultados da Mega-Sena?

b) Suponhamos que um apostador preenche um cartão com 6 dezenas. Qual a probabilidade de ele receber o prêmio máximo?

Aula 10 - Revendo Probabilidade

1) Observe o conjunto {3, 4, 5, 7, 8}:

a) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser escritos com esses elementos?

b) Quantos desses números são pares?

c) Escolhendo ao acaso um número desses, qual a probabilidade do número escolhido ser par?

2) Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra RÉGUA. Qual a probabilidade de a palavra começar por G?

3) Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual a probabilidade de a bola ser um número:

a) múltiplo de 3;

b) primo.

4) Numa caixa de 5 peças boas e 2 defeituosas, pegando uma ao acaso, qual a probabilidade dela ser defeituosa.

5) Num ônibus tem 8 lugares vagos e um desses lugares o banco está solto. Entraram 3 pessoas, qual a probabilidade de uma dessas três sentar nesse banco.

6) Dentre os números de algarismos distintos formados com os algarismos 4, 5 e 6. Qual a probabilidade de ser múltiplo de 5?