Equação da Parábola

Parábola é o conjunto dos pontos de um plano, tais que da distância a um ponto fixo desse plano (foco) é sempre à distância a uma reta fixa (diretriz). 

Já vimo a utilidade da parábola como representação de uma função quadrática, porém, há muitas aplicações para essa curva. Por exemplo, o cirurgião dentista estadunidense Edward Hartley Angle (1855-1930), conhecido internacionalmente mentor da Ortodontia moderna, descreveu como forma ideal do arco dentário a forma de uma parábola. Posteriormente, outros grandes nomes da ortodontia, como Emil Herbst, adotam também essa forma como a ideal. 

Também sabemos que o lançamento oblíquo de uma bola, de um projétil ou de uma pedra pode descrever uma parábola.

 

Definição: Seja, em um plano α, uma reta d e um ponto F  não pertencente a d. O conjunto de pontos de α equidistantes de d e de F é denominado de parábola.

Na figura podemos notar as distâncias: 

      d(P, d) = d(P, F)

      d(Q, d) = d(Q, F)

      d(V, d) = d(V, F)

      d(R, d) = d(R, F)

       d(S, d) = d(S, F)

  

Elementos de uma parábola:

      Foco: F (ponto fixo da definição);

      Reta diretriz: d (reta fixa da definição);

      Vértice: V (ponto médio de FB, FB perpendicular a d e B  pertencente a  d);

      Eixo de simetria: a reta que passa por V e F (reta VF);

      Parâmetro: p > 0, distância de F a B, d(F, B) = d(F, d) = p;

      Sendo p o parâmetro da parábola, BF = p, BV = p/2 e VF = p/2.

 

Aplicando a definição dada, podemos obter a equação de uma parábola com vértice na origem do referencial e foco em um dos eixos coordenados.

 

Exemplo: Qual é a equação da parábola que tem diretriz de equação x = –2 e foco F(2, 0)?

Por definição: d(P, F) = d(P, d). Assim, temos:

 Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade, chegamos a:

x² – 4x + 4 + y² = x² + 4x + 4.

Portanto, a equação dessa parábola é:

y² = 8x.

 

Podemos desenhar de quatro maneiras uma parábola com vértice na origem e foco dos eixos coordenados. Observe nas figuras abaixo cada parábola resulta numa equação diferente:

 a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

 

Como a reta d tem equação   e na parábola temos:

;

P(x, y);

d(P, F) = d(P, d) ( definição);

obtemos, então, a equação da parábola:

y2 = 2px

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é: 

y2 = –2px

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

 

x2 = 2py

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical 

x2= –2py

Exemplo: Achar a equação da parábola de vértice na origem e foco F(0, 4) usando uma das fórmulas acima.

Esboçando o gráfico da parábola, observamos que sua equação será x² = 2py:

Mas p/2 = 4. Assim, p = 8. Portanto, x² = 2 ∙ 8y, isto é, x² = 16y.

 

Como podemos observar a equação da parábola que tem vértice na origem e foco num dos eixos coordenados é bem simples. Basta aplicar a definição de parábola para encontrá-la.

Outro tipo de problema pede o estudo da parábola a partir da equação, dada em uma das quatro apresentações: y² = 2px; y²= –2px; x² = 2py; x² = –2py; que revelam uma parábola com vértice na origem e foco num dos eixos. Neste caso, descobrimos o valor de p por identificação.

 

Agora, caso o vértice não esteja na origem, as coordenadas do foco são:

 

Daí, análogo aos casos anteriores, teremos quatro casos:

1º caso: Diretriz paralela ao eixo y e F à direita da diretriz:

(y – y₀)² = 2p∙(x – x₀)

2º caso: Diretriz paralela ao eixo y e F à esquerda da diretriz:

(y – y₀)² = –2p∙(x – x₀)

3º caso: Diretriz paralela ao eixo x e F acima da diretriz:

(x – x₀)² = 2p∙(y – y₀)

4º caso: Diretriz paralela ao eixo x e F abaixo da diretriz:

(x – x₀)² = –2p∙(y – y₀)

 Somente os 3º e 4º casos podem definir uma função quadrática.

 

Atividades:

1) Uma ponte suspensa tem 30 m de largura. As colunas que a suspendem têm 10 m de altura, como na figura abaixo: 

O cabo de sustentação tem a forma parabólica, sendo que o seu ponto mais baixo está a 6 m da pista. Qual é o comprimento do suporte que está a 5 m do centro da ponte?

 

2) O cabo de uma ponte suspensa tem a forma de uma parábola. As torres que suportam os cabos estão a 120 m uma da outra, como se vê na figura abaixo: 

O cabo passa por dois apoios que estão a 20 m do piso e seu ponto mais baixo está no nível do chão. Ache o comprimento dos tirantes verticais que vão do cabo à ponte a intervalos de 20 m, do centro até os apoios.

 

3) Um arco parabólico tem 3 m de altura e 4 m de largura da base. O vértice da parábola está no topo do arco. 

A que altura, sobre a base, a parábola tem 2 m de largura?

 

4) Um arquiteto precisa fazer em uma construção um arco parabólico que tenham 3 m de altura e 4 m de largura na base. O vértice da parábola está no topo do arco.

a) A que altura, sobre a base, o arco terá 2 m de largura?

b) Faça o desenho desse arco.

 

5) Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y = x², por exemplo, tem a forma de uma parábola.

A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo y), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto (a,a²), serão refletidos na direção da reta

4ay + (1 – 4a²)x = a.

Sendo assim, calcule o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (2,4) se encontrarão.

 

6) Ao dirigir o jato de água de uma mangueira obliquamente para cima, Pedro observou que a trajetória percorrida pela água é parabólica. O bico B da mangueira está a 1 m de altura em relação ao solo plano e horizontal, e a água atinge a altura máxima de 2 m, em relação ao solo, em um ponto V sobre uma reta vertical que dista 1,6 m de B.

a) A que altura, em relação ao solo, passa a diretriz dessa parábola?

b) A que altura, em relação ao solo, está o foco dessa parábola?

 

7) A órbita de um cometa é uma parábola cujo foco F é o Sol. Para o estudo do movimento desse cometa, um astrônomo fixou um sistema cartesiano ortogonal xOy no plano dessa órbita, adotando nos eixos uma unidade de comprimento u, conveniente para grandes distâncias.

Em relação a esse sistema, a trajetória parabólica descrita pelo cometa tinha o eixo Oy como eixo de simetria e a concavidade voltada para o sentido positivo desse eixo, com o Sol no ponto F (0, 7). Com isso, o cientista calculou que, quando o cometa passou pelo ponto P(6, 7), sua distância ao Sol era 6 u.

a) Qual é a menor distância possível entre o cometa e Sol? 

b) Qual é a equação reduzida da parábola descrita nessa órbita? 

 

(Nota: A órbita de um cometa pode ser elíptica, parabólica ou hiperbólica. Quando a órbita é elíptica, o cometa é periódico; ou seja, ele entra periodicamente no Sistema Solar. Quando a órbita é parabólica ou hiperbólica, o cometa não é periódico, passando uma única vez pelo Sistema Solar.)

 

Forma canônica da função quadrática

Suponha que conheçamos as coordenadas (m, k) do vértice de uma parábola, bem como o coeficiente a, que fornece sua concavidade e abertura.

Nesse caso, é fácil determinar a expressão da função quadrática f(x) correspondente, bem como traçar o seu gráfico, bastando para isso que apliquemos sobre a função q(x) = x² algumas das transformações apresentadas abaixo:

Em linhas gerais, essa estratégia de obtenção de uma função quadrática pode ser dividida nos seguintes passos:

1. Escolha ou estique a função q(x) = x² de forma a obter h(x) = ax². Supondo que a > 0, o gráfico de h será similar à curva tracejada mostrada na Figura acima. Por outro lado, se a < 0, o gráfico de h incluirá uma reflexão da parábola em relação ao eixo-x.

2. Desloque o gráfico da função h por m unidades na horizontal para obter g(x) = a∙(x – m)². Supondo que m seja um valor positivo, o deslocamento será para a direita e o gráfico de g equivalerá à curva verde da Figura abaixo, na qual a coordenada-x do vértice é m. Já para m < 0, haverá um deslocamento para a esquerda.

3. Desloque o gráfico de g por k unidades na vertical para obter f(x) = a(x − m)² + k.

No caso em que k > 0, haverá um deslocamento para cima e o gráfico de f será equivalente à curva azul apresentada na acima.

Já se k < 0, a parábola será deslocada para baixo.

(a) Deslocamento de m unidades na horizontal

(b) Deslocamento de k unidades na vertical

 

Esse procedimento para a obtenção de uma parábola com abertura a e vértice (m, k) sugere que toda função quadrática pode ser apresentada na forma canônica

f(x) = a(x − m)² + k.

 

(Forma canônica) Para mostrar que é sempre possível converter uma função quadrática

  f(x) = ax² + bx + c 

para a forma canônica, e vice-versa, basta estabelecer uma relação única entre os coeficientes de uma e outra forma.

Essa relação pode ser obtida expandindo a forma canônica: f(x) = a(x − m)² + k 

f(x) = a(x² − 2mx + m²) + k

f(x) = ax²− 2amx + am2 + k

 

Comparando essa expressão de f(x) com a forma usual

f(x) = ax²+bx+c, concluímos que o coeficiente a que aparece nas duas formas é o mesmo.

Além disso, b = −2am e c = am² + + k.

Assim, percebemos que é fácil determinar os coeficientes b e c a partir de a e das coordenadas do vértice da parábola.

 

Vejamos, agora, como obter m e k a partir de a, b e c.

Como b = −2am, temos m = −b/2a.

Da mesma forma, como c = am2 + k, podemos escrever

 

O quadro a seguir resume as fórmulas de conversão entre os dois principais formatos de uma função quadrática.

 

Embora não seja muito empregada, a forma canônica é útil quando se quer escrever uma função quadrática (ou traçar seu gráfico) a partir das coordenadas do vértice, como mostra o problema abaixo.

 

Exemplo: Encontre a função quadrática cujo gráfico tem vértice em (−2, 4) e que passa pelo ponto (−5, −14). Em seguida, trace o gráfico da função.

 Solução. Como o vértice tem coordenadas m = −3 e k = 4, a função tem a forma

f(x) = a(x − (−3)) 2 + 4 ⇒ f(x) = a(x + 3) 2 + 4.

Usando, agora, o fato de que a parábola passa pelo ponto (−5, − 4), escrevemos f(−5) = −4, de modo que

−4 = a(−5 + 3) 2 + 4

−4 = a(−2) 2 + 4

−8 = 4a

−2 = a.

Logo, a função quadrática é f(x) = −2(x + 3) 2 + 4.

 

Para traçar o gráfico de f(x), cujo vértice é (−3, 4), deslocamos a parábola y = −2x² três unidades para a esquerda e quatro unidades para cima, como mostra o gráfico abaixo:

Atividade:

1) Determine a função quadrática que satisfaz cada uma das condições abaixo.

a) Tem vértice em (1, −2) e passa pelo ponto (2, 3).

b) Tem vértice em (3,4) e cruza o eixo-y na ordenada −5.

 

Ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadrática 

Em muitas situações práticos, usamos uma função quadrática para descrever um problema que envolve a otimização de recursos (dinheiro, matérias-primas etc.).

Nesses casos, é imprescindível conhecer o ponto no qual a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Como vimos acima, a função quadrática possui apenas um ponto de máximo ou de mínimo local, que corresponde ao vértice da parábola. Agora que sabemos como obter as coordenadas m e k do vértice a partir dos coeficientes a, b e c, fica fácil determinar os pontos extremos da função. 

Observe que há um só valor para x_v e para f(x_v) = y_v, que são as coordenadas do vértice V(x_v, y_v) da parábola. 

O coeficiente a é responsável por definir se esse vértice estará associado ao mínimo ou ao máximo da função.

 

Exemplo: Altura máxima da bola de golfe

No Problema do golfista que dá uma tacada que faz sua bola descrever uma trajetória na qual a altura, em metros, é dada pela função f(x) = −0,008x² + x, em que x é a distância horizontal da bola, em metros, medida a partir de sua posição antes da tacada.  

ü  x é a distância horizontal da bola (em metros), medida a partir de sua posição antes da tacada;

ü  y é a altura da bola (em metros),

ü  dada pela função  f(x) = −0,008x² + x.

 

Nesse caso, como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo, e o vértice é o ponto mais alto da curva. Assim, a bola atinge a altura máxima em

 

E a altura nesse ponto é igual a:

f(62,5) = −0,008 ⋅ 62,5² + 62,5 = 31,25 m.

 Logo a altura máxima que a bola atingiu foi de 31,25 metros.

 

Maximização do lucro de um restaurante

 

Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, cobrando R$ 15,00 pelo quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.

a) Exprima o preço do quilo de comida, em função de x.

b) Exprima a quantidade de comida vendida, em função de x.

c) Sabendo que a receita do restaurante é o produto do preço pela quantidade de comida vendida, escreva a função R(x) que fornece a receita em relação a x.

d) Determine o preço por quilo que maximiza a receita do restaurante.

 

Solução:

a) Se o quilograma de comida custa, atualmente, R$ 15,00, e o restaurante estuda aumentá-lo em x reais, então o novo preço pode ser descrito pela funçã:

P(x) = 15 + x.

 

b) Sabemos que o restaurante vende, diariamente, 100 kg de comida, mas que essa quantidade será reduzida em 5 kg a cada R$ 1,00 acrescido ao preço. Assim, se o restaurante promover um aumento de x reais, a quantidade vendida será:

Q(x) = 100 − 5x.

 

c) A receita do restaurante é o produto do preço pela quantidade vendida, ou seja:

R(x) = P(x)∙Q(x)

R(x) = (15 + x)(100 − 5x)

R(x) = −5x² + 25x + 1500.

 

d) Como a < 0, a função R(x) tem um ponto de máximo em:.

 

Logo, o aumento de preço que maximiza a receita é igual a R$ 2,50, de modo que o restaurante deve passar a cobrar, por quilograma,

P(2,50) = 15 + 2,50 = R$ 17,50.

 

Caso haja esse aumento de preço, a quantidade vendida diariamente será igual a:

Q(2,50) = 100 − 5 ⋅ 2,50 = 87,5 kg,

 

e a receita atingirá

R(2,50) = P(2,50)Q(2,50) = R$ 1531,25.

 

Note que, hoje, o restaurante tem uma receita diária de R$ 1500,00.

 

Maximização da área cercada

Um fazendeiro pretende usar 500 m de cerca para proteger um bosque retangular às margens de um riacho, como mostra a Figura abaixo:

a) Usando o comprimento da cerca, escreva o valor de y em função de x.

b) Com base na expressão que você encontrou no item (a), escreva a função A(x) que fornece a área cercada, com relação a x.

c) Determine o valor de x que maximiza a área cercada. Determine também o valor de y e a área máxima.

d) Trace o gráfico de A(x).

 

Solução:

a) Observando notamos que apenas três dos lados da região do bosque precisam ser protegidos. Dessa forma, a cerca medirá apenas:

2y + x.

Igualando essa expressão ao comprimento de cerca de que o fazendeiro dispõe, obtemos:

2y + x = 500.

 

Isolando y nessa equação, chegamos a:

 

b) A área de um retângulo de dimensões x e y é igual a xy. Assim, temos A(x) = xy.

 

Substituindo a expressão de y, temos:

 

 

Aplicando a propriedade distributiva:

 

c) A área cercada é máxima quando

 

Nesse caso, a área do bosque é igual a:

 

d) O gráfico de A(x) é mostrado abaixo:

 

 Inequações quadráticas

Vimos como resolver uma inequação quadrática fatorando-a e analisando o sinal dos fatores. Agora que definimos a função quadrática f(x) = ax²+bx+c, discutiremos como resolver o mesmo tipo de inequação escrevendo-a na forma

f(x) ≤ 0 ou f(x) ≥ 0.

 

Em nossa análise, levaremos em conta:

• o número de raízes da equação ax² + bx + c = 0;

• o sinal de a, que indica para que lado está voltada a concavidade da parábola.

 

Como sabemos que a equação f(x) = 0 pode ter duas, uma ou nenhuma raiz real, vamos investigar quando f(x) ≤ 0 e quando f(x) ≥ 0 em cada um desses casos separadamente.

 

1. Se a equação f(x) = 0 tem duas raízes reais, x₁ e x₂, com x₁ < x₂, é fácil determinar os intervalos em que f é positiva ou negativa observando abaixo:

Note que o sinal de f depende do sinal de a, como descrito na Tabela abaixo:

 

2. Se a equação f(x) = 0 tem uma única raiz real, x₁, os possíveis gráficos de f são aqueles mostrados na Figura abaixo:

Nesse caso, a solução de cada tipo de desigualdade é indicada na Tabela abaixo:

 

3. Se a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, então f não muda de sinal e tampouco toca o eixo-x, como mostram a Figura e a Tabela abaixos:

 

Exemplos: Resolva cada inequação abaixo observando o sinal da função quadrática associada.

a) −2x² + 3x + 9 ≥ 10

b) x² − 8x + 16 ≤ 0

c) x² − 2x + 6 ≥ 0

 

Solução:

a) Passando todos os termos não nulos para o lado esquerdo da inequação −2x² +3x+ 9 ≥ 10,

obtemos −2x² + 3x − 1 ≥ 0.

A função quadrática associada a essa inequação é

 f(x) = −2x² + 3x − 1.

Para resolver a equação f(x) = 0, calculamos o discriminante ∆ = 3² − 4 ⋅ (−2) ⋅ (−1) = 9 − 8 = 1,

e aplicamos a fórmula de Bhaskara, obtendo:

Logo, as raízes de f(x) = 0 são:

 

 Como a < 0, o gráfico de f tem concavidade para baixo, cruzando o eixo-x em x₁ e x₂.

Assim, como mostra a Figura acima:

S = 

 

b) À inequação x² − 8x + 16 ≤ 0,

associamos a função quadrática

f(x) = x² − 8x + 16,

cujo discriminante vale ∆ = (−8) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 64 − 64 = 0.

 

Sendo assim, segundo a fórmula de Bhaskara,

Observamos, portanto, que a > 0 e que a equação f(x) = 0 tem apenas uma raiz real, de modo que o diagrama que fornece o comportamento da função é aquele mostrado na Figura abaixo:

 

 Segundo a figura, f(x) ≤ 0 apenas se x = 4.

 

c) A inequação x² − 2x + 6 ≥ 0

pode ser escrita como f(x) ≥ 0, em que

 f(x) = x² − 2x + 6.

Nesse caso, o discriminante é

 ∆ = (−2)² − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 4 − 24 = −20.

Como ∆ < 0, a equação f(x) = 0 não tem raízes reais.

Combinando esse resultado com o fato de que a > 0, concluímos que o gráfico de f está sempre acima do eixo-x.

Logo, a solução de f(x) ≥ 0 é qualquer valor real para x.

 

Atividades: 

1)  Após a administração de um comprimido de Formosex, a concentração do medicamento no plasma sanguíneo do paciente (em mg/ml) é dada pela função

em que t é o tempo (em horas) transcorrido desde a ingestão do comprimido. Determine o instante em que a concentração é máxima e o valor dessa concentração.

 

2) A quantidade de CO₂ (em g/km) que um determinado carro emite a cada quilômetro percorrido é dada aproximadamente pela função

em que v é a velocidade do carro, em km/h. Determine a velocidade em que a emissão é mínima.

 

3) Durante um torneio paralímpico de arremesso de peso, a altura (em metros) do peso lançado por um atleta seguiu a função

y(x) = −0,1x² + x + 1,1,

em que x é a distância horizontal (em metros) percorrida pelo peso.

a) Determine de que altura o peso foi lançado.

b) Determine a altura máxima do peso e a que distância isso ocorreu.

c) Calcule a distância horizontal percorrida pelo peso.

 

4) Arremessada por uma jogadora, uma bola de basquete descreveu uma trajetória cuja altura era dada por

h(x) = −0,04x² + x + 6,

em que x era a distância horizontal percorrida pela bola, em pés.

a) De que altura (em pés) a bola foi lançada?

b) Qual foi a altura máxima alcançada pela bola e a que distância do ponto de lançamento ela foi atingida?

c) Sabendo que a bola caiu dentro da cesta, que estava a uma altura de 10 pés do chão, calcule a que distância da cesta a bola foi lançada.

d) Trace o gráfico de h(x) para x ∈ [0,30].

 

5) O lucro (em milhões de reais) que uma fábrica obtém com a venda de um produto é dado pela função

em que x é o valor gasto (também em milhões de reais) com propaganda na televisão.

a) Calcule o valor que a empresa deve gastar com propaganda para obter o lucro máximo. Determine o lucro nesse caso.

b) Determine quanto a empresa deve gastar com propaganda para que seu lucro seja maior ou igual a 10 milhões de reais.

 

6) Para produzir calhas, um fabricante dobra uma folha de metal com 50 cm de largura, como mostra a figura.

a) Determine a função A(x) que fornece a área da seção transversal da calha em relação a x, lembrando que a área de um retângulo de lados b e h é bh.

b) Determine o valor de x que maximiza a área da seção transversal.

 

7) Uma pesquisa entre os clientes de um açougue mostrou que, cobrando p reais pelo quilo de filé, a receita semanal com a venda desse corte de carne é dada pela função

R(p) = −3p² + 192p.

a) Determine o preço p que maximiza a receita com a venda do filé. Calcule a receita semanal máxima com a venda desse corte de carne.

b) Determine para que valores de p a receita do açougue é maior ou igual a R$ 2.100,00.

c) Esboce o gráfico de R(p) para 0 ≤ p ≤ 70.

 

8) O empresário de jogos eletrônicos descobriu que o número N de acessos (em milhares) que consegue vender está relacionado ao preço p que cobra pelo acesso de usuários, e relacionou essa ideia pela função N(p) = 60 − 2p.

a) Escreva uma função R(p) que forneça a receita bruta obtida com a venda de acessos, em relação ao preço p.

b) Determine qual deve ser o preço cobrado pelo acesso para que a receita seja de exatamente 250 mil reais.

c) Determine o valor de p que maximiza a receita bruta com a venda de acessos. Qual é a receita nesse caso?

 

9) Uma pizzaria vende a pizza napolitana por R$ 28,00. Entretanto, o dono descobriu que, dando x reais de desconto no preço da pizza, a receita diária bruta com a venda é fornecida pela função

R(x) = −4x² + 36x + 2.328.

a) Determine o desconto x (em reais) que proporciona a receita máxima.

b) Determine para que intervalo de desconto a receita bruta é maior ou igual a R$ 2.400,00. 2

 

10) Um promotor de eventos consegue vender 5.000 ingressos para a apresentação de um grupo musical se cada ingresso custar R$ 20,00. A cada R$ 1,00 de aumento no preço do ingresso, há uma redução de 100 pagantes. Responda às perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, a ser acrescida ao valor do ingresso.

a) Exprima o preço do ingresso em função de x.

b) Exprima a quantidade de ingressos vendidos em função de x.

c) Determine a função R(x) que fornece a receita da apresentação, em relação a x. 

(Lembre-se de que a receita é o produto do preço pela quantidade de ingressos vendidos).

d) Determine o valor do ingresso que maximiza a receita do show. Calcule a receita nesse caso.

e) Determine para quais valores de x a receita é maior ou igual a R$ 100.000,00.

 

11) Uma pista de atletismo tem 400m de comprimento, e é formada por duas semicircunferências de raio y/2, ligadas por dois trechos retos de comprimento x. Como se observa na figura, no interior da pista há um campo retangular de dimensões x e y.

Responda aos itens abaixo, lembrando que o comprimento da semicircunferência de raio r é dado por πr e que a área de um retângulo de lados x e y é xy.

a) Usando o comprimento da pista, escreva uma equação que relacione x e y.

b) Usando a equação do item (a), escreva x em função de y. c) Determine a função A(y) que fornece a área do campo retangular, em relação a y.

d) Determine analiticamente o valor de y que faz com que a área do campo seja a maior possível. Determine, também, a área para esse valor de y.

e) Esboce o gráfico de A(y), exibindo os pontos em que A(y) cruza o eixo-x e o ponto de máximo.

 

12) Uma piscina, cuja capacidade é de 120m³ , leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de água na piscina, t horas após o início do processo de esvaziamento, é dado pela função

 V (t) = a∙(b – t²), para 0 ≤ t ≤ 20.

a) Usando os valores de V (0) e V (20), calcule as constantes a e b.

b) Escreva a expressão de V (t).

c) Trace o gráfico de V (t).

 

13) Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original, como mostrado na figura.

Suponha que a altura da bola seja dada pela função

 f(x) = ax² + bx + c,

em que x é a distância horizontal, em metros, medida a partir do ponto em que a bola foi chutada.

a) Usando f(0), determine o valor da constante c.

b) Sabendo que, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, e usando o ponto de queda da bola, escreva um sistema com duas equações que permita determinar os valores de a e b. Descubra essas constantes resolvendo o sistema.

c) Escreva a expressão de f(x).

d) Determine o ponto em que a altura da bola é máxima, bem como a altura nesse ponto.

 

14) Um artesão tem um arame com 8 cm de comprimento, e pretende cortá-lo em duas partes, para formar dois quadrados (não necessariamente iguais). Suponha que um dos pedaços tenha comprimento x. Lembre-se que o perímetro de um quadrado de lado y é 4y e que sua área é y².

a) Determine o comprimento do outro pedaço de arame, em relação a x.

b) Escreva uma função A(x) que forneça a soma das áreas dos quadrados formados pelos dois pedaços de arame, em relação ao comprimento x.

c) Determine o menor e o maior valor possível para x.

d) Trace um gráfico da função A(x) para x entre os valores que você encontrou no item (c) e determine em que intervalos ela é crescente e em quais é decrescente.

e) Determine quanto devem medir os dois pedaços de arame para que a soma das áreas por eles cercadas seja a mínima possível.

 

15) Um pequeno agricultor dispõe de 200 m de tela, com a qual pretende cercar uma horta retangular. Lembre-se de que o perímetro de um retângulo de dimensões x e y é 2x + 2y, e de que a área do mesmo retângulo é xy.

a) Usando o comprimento da tela, exprima y como uma função de x.

b) Determine a função A(x) que fornece a área cercada em relação a x.

c) Determine o valor de x que maximiza a área cercada.

d) Encontre a área máxima da horta.

e) Esboce o gráfico de A(x).

 

16) Uma empresa fabricante de smartphones pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão relacionados pela expressão

n = 115−0,25p,

em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais).

a) Escreva uma função R(p) que forneça a renda bruta obtida com a venda dos aparelhos, em relação ao preço p. b) Determine qual deve ser o preço do aparelho para que sejam vendidas, no mínimo, 80 mil unidades desse modelo. c) Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa.

 

17) Jogando em seu estádio, um clube de futebol consegue vender 10.000 ingressos por partida, se cobra R$ 10,00 por ingresso. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de redução do preço do ingresso, o clube ganha 2.000 novos espectadores em uma partida.

Responda às perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, a ser reduzida do valor atualmente cobrado pelo ingresso.

a) Determine a função R(x) que fornece a receita de uma partida, em relação a x. Lembre-se de que a receita é o produto do preço pela quantidade de ingressos vendidos.

b) Determine o valor de x que maximiza a receita do clube em um jogo. Determine também o valor ótimo para o ingresso.

 

18) Bárbara estampa camisetas e as vende em uma feira. Cobrando R$ 15,00 por unidade, ela consegue vender 100 camisetas por mês. Entretanto, Bárbara descobriu que a cada real de redução do preço da camiseta, é possível vender 10 unidades a mais. Responda às questões abaixo supondo que x seja o valor, em reais, a ser reduzido do preço cobrado atualmente por camiseta.

a) Defina a função C(x) que fornece a receita total de Bárbara, em relação a x. Lembre-se de que a receita é o produto do preço cobrado pelo número de camisetas vendidas.

b) Determine o valor de x que maximiza a receita de Bárbara. Calcule, nesse caso, o valor a ser cobrado por camiseta e a receita mensal de Bárbara.

c) Esboce o gráfico de C(x).

 

19) Em uma fábrica de bicicletas, o número mensal N de unidades vendidas do modelo “Titã” é dado pela equação 10N + p – 1.000 = 0, em que p é o preço de venda da bicicleta, em reais.

a) Escreva a expressão de N em função de p.

b)  A receita com a venda das bicicletas é definida por

R(p) = p⋅ N(p),

e a despesa mensal é fornecida por

D(p) = 7000 + 200∙N(p).

Finalmente, o lucro mensal da empresa é igual a

L(p) = R(p) − D(p).

Escreva o lucro na forma L(p) = ap² + bp + c.

b) Determine o preço que o modelo “Titã” deve ter para que o lucro com sua venda seja máximo. Calcule o lucro nesse caso.

c) Trace o gráfico de L(p) para p ∈ [0, 1000] e indique para que valores de p a fábrica obtém algum lucro com a venda do modelo.

 

20) O Índice de Massa Corporal (IMC) é um indicador (um tanto discutível) da magreza ou obesidade de uma pessoa. O IMC é definido pela fórmula

 IMC = p/h²

em que p é o peso (em kg) e h é a altura (em metros) da pessoa.

A tabela abaixo fornece os intervalos de cada categoria do IMC. Observe que, seguindo a tradição, usamos “peso" em lugar do termo correto, que é “massa".

 

a) Determine as funções p₁(h) e p₂(h) que definem o peso em relação à altura, a, para um IMC de 18,5 e um IMC de 25, respectivamente. Observe que esses são os limites para uma pessoa ser considerada saudável.

b) Trace em um gráfico as funções que você obteve no item (a), para a ∈ [0; 2,2].

c) Determine, analítica e graficamente, o intervalo de peso para que uma pessoa de 1,80 m de altura seja considerada saudável.

 

21) Resolva as inequações quadráticas:

a) x² + 3x ≥ 10

b) −3x² − 11x + 4 > 0

c) −4x² + 4x − 1 < 0

d) x² + x + 2 ≤ 0

 

22) Em um terreno , na forma de um triângulo retângulo , será construído um jardim retangular, conforme a figura abaixo.

Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que tenha a maior área possível é:

      (A) 2,0 m e 4,5 m

      (B)3,0 m e 4,0 m

      (C) 3,5 m e 5,0 m

      (D) 2,5 m e 7,0 m

 

23) Deseja-se construir uma casa térrea de formato retangular. O terreno onde a casa será construída tem 90 m de perímetro. Calcule as dimensões desse terreno sabendo que a área da casa deve ser menor que 350 m².

  

24) Um estudo das condições ambientais de um município do brasileiro indica que a taxa média de monóxido de carbono (CO) no ar será de C(p) = 0,2p – 1 partes por milhão (ppm) quando a população for milhares de habitantes. Sabe-se que em t anos, a população desse município será dada pela relação p(t) = 50 + 0,05t². O nível de monóxido de carbono, em função do tempo t, é dado por:

      (A) C(t) = 9 + 0,01t²

      (B) C(t) = 0,2∙(49 + 0,05t²)

      (C) C(t) = 9 + 0,05t²

      (D) C(t) = 0,1∙(1 + 0,05t²) – 1

       (E) C(t) = 10 + 0,95t²

 

25) Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade indicou que a taxa média diária C de monóxido de carbono presente no ar e de

C(p)=0,5p+1 partes por milhão para uma quantidade (p) milhares de habitantes. Estima-se que daqui a t anos a população nessa região será de p(t) = 2t² – t + 110 milhares de habitantes. Nesse contexto para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o valor de 61 pares por milhão e necessário que tenham sido transcorrido no mínimo:

     (A) 2 anos

     (B) 2 anos e 6 meses

     (C) 3 anos

     (D) 3 anos e 6 meses

     (E) 4 anos

 

26) Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$200,00 por pessoa quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de 4,00 por cada lugar não ocupado (por exemplo, se existirem 10 lugares não ocupados o preço de cada passagem será de R$ 240,00). Quantos devem ser os lugares não ocupados para que a companhia obtenha o faturamento máximo?

27) (ENEM-2018) Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância de 150 metros do ponto de partida.

Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que atinge em relação ao solo é de 25 metros.

Admita um sistema de coordenadas xOy em que no eixo vertical y está representada a altura e no eixo horizontal x está representada a distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto (150; 0) e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xOy. 

A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é

      (A) y = 150x − x²

      (B) y = 3 750x − 25x²

      (C) 75y = 300x − 2x²

      (D) 125y = 450x − 3x²

      (E) 225y = 150x − x²

28) (ENEM-2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:

ü  A nota zero permanece zero.

ü  A nota 10 permanece 10.

ü  A nota 5 passa a ser 6.

A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é:

1. (A)
2. (B)
3. (C)
4. (D)
5. (E)

29) (ENEM-2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

      (A) 16/3 = 5,33

      (B) 31/5 = 6,20

      (C) 25/4 = 6,25

      (D) 25/3 = 8,33

      (E) 75/2 = 37,50

 

30) (ENEM-2017) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais. 

Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

      (A) 1 e 49

      (B) 1 e 99

      (C) 10 e 10

      (D) 25 e 25

      (E) 50 e 50

31) (ENEM-2016) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura.

A área para o público será cercada com dois tipos de materiais: 

ü  nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00;

ü  nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00. 

A empresa dispõe de R$ 5.000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público. 

A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é:

       (A) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B.

       (B) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B.

       (C) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B.

       (D) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B.

       (E) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B.

32) (ENEM-2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = – h² + 22h – 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 

Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como:

      (A) muito baixa.

      (B) baixa.

      (C) média.

      (D) alta.

      (E) muito alta.

33) (ENEM-2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei:

onde C é a medida da altura do líquido contido na taça,  em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.

Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é:

      (A) 1.

      (B) 2.

      (C) 4.

      (D) 5.

      (E) 6.