Assim, como foi possível construir um gráfico
que representasse a função afim, através de uma reta, também será possível
construir um gráfico que representa a função quadrática e estudar suas
características e propriedades.
Através de uma tabela de valores para x, construamos um gráfico para a função f(x) = x2 – 6x + 5:
|
x
|
f(x) = x2 – 6x + 5
|
|
0
|
f(0) = 02 – 6∙0 + 5= 0 – 0 + 5 = 5
|
|
1
|
f(1) = 12 – 6∙1 + 5= 1 – 6 + 5 = 0
|
|
2
|
f(2) = 22 – 6∙2 + 5= 4 – 12 + 5 = –3
|
|
3
|
f(3) = 32 – 6∙3 + 5= 9 – 18 + 5 = –4
|
|
4
|
f(4) = 42 – 6∙4 + 5= 16 – 24 + 5 = –3
|
|
5
|
f(5) = 52 – 6∙5 + 5= 25 – 30 + 5 = 0
|
|
6
|
f(6) = 62 – 6∙6 + 5= 36 – 36 + 5 = 5
|
Marcando os pontos no plano cartesiano, e
sabendo que y = f(x), temos:
(0, 5)
(1, 0)
(2, –3)
(3, –4)
(4, –3)
(5, 0)
(6, 5)
Unindo esses pontos, considerando,
esse domínio real no intervalo [0, 6], observe como fica o gráfico que
representa a função dada.
Essa figura gerada é denominada parábola.
Vejamos outro exemplo para assim
construirmos alguma ideia sobre essa representatividade, agora construamos o
gráfico da função g(x) = –x2 +
6x. No gráfico y = g(x).
|
x
|
g(x) = –x2 + 6x
|
(x, y)
|
|
0
|
f(0) = –02 + 6∙0 = 0 + 0 = 0
|
(0, 0)
|
|
1
|
f(1) = –12 + 6∙1 = –1 + 6 = 5
|
(1, 5)
|
|
2
|
f(2) = –22 + 6∙2 = –4 + 12 = 8
|
(2, 8)
|
|
3
|
f(3) = –32 + 6∙3 = –9 + 18 = 9
|
(3, 9)
|
|
4
|
f(4) = –42 + 6∙4 = –16 + 24 = 8
|
(4, 8)
|
|
5
|
f(5) = –52 + 6∙5 = –25 + 30 = 5
|
(5, 5)
|
|
6
|
f(6) = –62 + 6∙6 = –36 + 36 = 0
|
(6, 0)
|
Marcando e unindo os pontos, temos o
gráfico, no domínio real de intervalo [0, 6]:
Novamente, o gráfico essa função
quadrática foi uma parábola. De fato, toda função quadrática é representada
graficamente por uma parábola.
É bom lembrar que esses desenhos são
partes do gráfico dessas funções. Para valores maiores ou menores que os
extremos dos intervalos indicados, os valores de y podem ser calculados e representados no gráfico. Portanto o
gráfico continuará infinitamente para cima ou para baixo, desde que o domínio
indicado seja
.
Porém, nem sempre que quisermos
representar graficamente uma função quadrática será preciso recorrer a valores
de tabelas e construir. O que nos interessa mesmo são os pontos notáveis que
possibilitam essa representação, sem ter que necessariamente recorrer à
construção de tabelas. Vejamos esses pontos notáveis e suas características.
Mas, antes de conhecermos esses
pontos, vejamos um fato, a partir dos dois gráficos construídos nos exemplos
anteriores. Observe que uma das parábolas segue infinitamente para baixo e a
outra infinitamente para cima, essa abertura aparente na parábola que se abre
infinitamente é chamada de concavidade.
A parábola possui concavidade voltada
para cima ou para baixo, dependendo da lei da função que ela representa:
f(x) = x2
– 6x + 5 possui
concavidade voltada para cima e
g(x) = –x2 + 6x possui concavidade para baixo.
Os exemplos resolvidos sugerem a sua
generalização, numa função da forma f(x)
= ax2 + bx + c, com a ≠
0, possui concavidade voltada:
a)
Para
cima, se a > 0;
b)
Para
baixo, se a < 0.
Observe que parábolas cortam o eixo x exatamente quando a y = f(x)
= 0, portanto esses valores de x serão
os zeros da função quadrática, que
serão as raízes da equação de segundo
grau formada, por exemplo:
Os zeros da função f(x) são as raízes da equação:
x2 – 6x + 5 = 0.
Os zeros da função g(x) são as raízes da equação:
–x2 + 6x = 0
Resolvam as equações e confiram no
gráfico.
Depois do exposto vejamos o ponto mais
importante da parábola que é o vértice.
O vértice de um parábola é o ponto da
parábola onde ela muda o seu caminho de crescimento para decrescimento, ou vice-versa,
observe que a função f(x) é decrescente até um certo ponto e passa a ser
crescente a partir desse ponto, bem como a g(x) passa de crescente até
decrescente a partir de um certo ponto, esse é o ponto de inflexão de um
parábola, exatamente no vértice.
Como o vértice é um ponto ele possui
uma coordenada, possui um valor abscissa denotado xv e um valor de ordenada denotado yv; assim é vértice é denotado V (xv, yv).
Observe as funções f(x) e a g(x), os seus vértices estão exatamente numa região simétrica ás
suas raízes, formando um eixo de
simetria entre essas raízes. Daí, conhecidas as raízes de uma função
quadrática, podemos calcular o valor de xv,
fazendo a média dos valores das raízes:
a) As raízes da função f(x) são x1 = 1 e x2
= 5, então teremos:
xv =
=
= 3.
b) As raízes da função g(x) são x1 = 0 e x2
= 6, então teremos:
xv =
=
= 3.
Desse modo, descobrimos o valor das
abscissas das duas funções do nosso exemplo, confirmamos isso nos gráficos
apresentados. Para descobrirmos a ordenada dos pontos basta substituirmos os
valores de xv na função:
a) yv
= f(xv) = 32 – 6∙3 + 5 = 9 – 18
+ 5 = –4.
b) yv = g(xv)
= –32 + 6∙3 =
–9 + 18 = 9.
Portanto,
os vértices serão:
a)
da função f(x): V (3, –4).
b)
da função g(x): V(3, 9).
Por
fim, podemos notar que a parábola cruza o eixo y num ponto onde a abscissa é 0, x = 0 e esse ponto é sempre (0, c).
Assim,
o gráfico da função:
a) f(x) = x2 – 6x + 5 cruza o eixo y em (0, 5).
b) g(x)
= –x2 + 6x cruza o eixo x
em (0, 0).
Como
exemplo, vamos esboçar o gráfico da função:
h(x) = x2 – 2x – 3,
sem
fazer a tabela:
1º) A parábola terá concavidade voltada para
cima, pois a = 1 > 0.
2º) Os zeros da função, onde a parábola cruzará o
eixo x serão as raízes da equação:
x2
– 2x – 3 = 0
x1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 3 = 3
x2 = (2 – 4) / 2 = –2
/ 2 = –1.
3º) O vértice da parábola será, calculando xv e yv:
xv =
=
= 1.
yv =
h(xv) = 12 – 2∙1 – 3 =
1 – 2
– 3=
–4.
V (1, –4).
4º) A cruzará o eixo y
no ponto (0, –3).
5º)
Marcando os pontos notáveis e unindo-os, esbocemos o gráfico:
Como
outro exemplo, esbocemos o gráfico da função
k(x) = –x2 + 2x + 3.
1º) A parábola terá concavidade voltada para baixo, pois a = –1 < 0.
2º) Os zeros da função, onde a parábola cruzará o
eixo x serão as raízes da equação:
–x2
+ 2x + 3 = 0
x2
– 2x – 3 = 0
x1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 3 = 3
x2 = (2 – 4) / 2 = –2
/ 2 = –1.
3º) O vértice da parábola será, calculando xv e yv:
xv =
=
= 1.
yv =
k(xv) = –12 + 2∙1 + 3 =
–1
+ 2
+ 3=
4.
V (1, 4).
4º) A cruzará o eixo y
no ponto (0, –3).
5º)
Marcando os pontos notáveis e unindo-os, esbocemos o gráfico:
Atividades:
1) Esboce o gráfico das funções:
a) f(x)
= x2 – 6x + 8
b) g(x)
= x2 – 4x + 3
c) h(x)
=
+ 8x – 32
d) k(x) = x² + 8x
e)
y = –x2 + 9
2) A concavidade da parábola dada por
y = (–m + 1)x2 + nx + p está voltada para cima se, e somente se:
(A)
m
> – 1
(B)
m
< 1
(C)
n
> 0
(D)
p
> 0
3) Determine as coordenadas (xv, yv) do vértice da função y = –2x2
+ 8x – 6:
(A) (–2, –6).
(B) (6, –6).
(C) (1, –4).
(D) (2, 2).
(E) (4, –6).
4) O vértice da função
quadrática do g(x) = 2x2 – 4x
+ 6, é:
(A) (1, 4).
(B) (–1, 4).
(C) (1, –4).
(D) (–1, –4).
(E) (0, 0).
5) Uma função quadrática do
tipo f(x) = x2 – 2x + 2,
intercepta o eixo y em qual ponto?
(A) (0, 2).
(B) (0, –2).
(C) (–2, 0).
(D) (2, 0).
6) Sobre a função f(x) = –x2 – 4x + 6, é
correto afirmar:
(A) Possui
concavidade voltada para cima.
(B)
Intercepta o eixo x em um único ponto.
(C) Não
intercepta o eixo x.
(D) é uma
reta.
(E)
Intercepta o eixo x em dois pontos.
7) Dada a função real f dada por f(x) = –x2 + 4x + 5, o gráfico da mesma está
representado abaixo:
As coordenadas corretas dos
pontos do gráfico são:
(A) C (0,
5); A (–1, 0); B (5, 0); V (3, 9).
(B) C (0, 4);
A (0, –1); B (0, 5); V (2,9).
(C) C (0, 5);
A (0, –1) ; B (0,5); V (9,2).
(D) C (0, 5);
A (–1, 0); B (4, 0); V (3,4).
(E) C (0, 5);
A (–1,0); B (5, 0); V (2,9).
8) Observe o gráfico da função
f(x) = 2x2 – 4x + 1.
Indique a única afirmativa FALSA:
9) A função abaixo que é sempre
positiva é:
a) y =
x2 – 3
b) y = – x2
+ 1
c) y = x2
+ 3x
d) y = x2
+
10) Ao analisar o gráfico abaixo da função quadrática f, a afirmativa falsa é:
(A) A coordenada do vértice da
parábola é (2, –4).
(B) As raízes da função são 0 e 2.
(C) A função representada é dada pela
lei f(x) = x2 – 4x.
(D) f(–2) = –5.
11) Sabendo que o vértice da parábola dada por
y = x2 – 4x +
3 é o ponto (2, -1),
o conjunto imagem dessa função é:
a) R
b) {y ϵ R/y ≥ -1}
c) {x ϵ R/x ≥ -1}
d) ]-
, -1[
12) Um carro percorre uma trajetória
retilínea descrevendo um movimento cuja lei da posição s (em metros) em função do tempo t (em segundo) é s(t) = 4t –
2t2. O carro para e altera o sentido do movimento no instante:
a) 5
segundos
b) 30
minutos
c) 1
hora
d) 1
segundo
13) Considerando a função dada por y = x2 – x + 8, classifique
cada sentença em verdadeira ou falsa.
a) A função
é negativa para todo x real.
b) A função
tem dois zeros reais distintos.
c) A função
é positiva para todo x real.
d) A função
tem zero real duplo.
e) A função
não tem zeros reais.
Aplicação da Função Quadrática: Máximos e
Mínimos
Toda função quadrática apresenta uma
particularidade importante: possui sempre um valor máximo ou um valor mínimo
(valores extremos da função). Geralmente, nas aplicações das funções
quadráticas, a descoberta desse valor extremo é fundamental.
Podemos afirmar que, em uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, de
domínio
e
coeficientes reais, ocorre o seguinte:
a) se a > 0, então
a parábola tem concavidade para cima;
o valor mínimo é dado pela ordenada do vértice, yv e o vértice V(xv,
yv) é denominado ponto
mínimo da parábola;
a imagem da função é Im(f) = [yv, +∞[
ou Im(f) = {y
/
y
yv}.
b) se a < 0, então
a parábola tem concavidade para baixo;
o valor máximo é dado pela ordenada do vértice, yv e o vértice V(xv,
yv) é denominado ponto
máximo da parábola;
a imagem da função é Im(f) = ]–∞, yv] ou Im(f) = {y
/
y
yv}.
É possível, generalizar
uma fórmula de cálculo das coordenadas do vértice, sem necessariamente saber os
zeros da função, assim facilitando o uso dos pontos extremos, vejamos:
Se na equação ax2 + bx + c = 0 existem raízes
x1 e x2, a abscissa do vértice da parábola é o valor
xv =
De fato, representando por Δ (“delta”)
o número b² – 4ac temos:
=
∙
=
∙
=
∙
= =
∙
=
.
Portanto,
de modo geral:
xv =
.
Do mesmo modo, a
ordenada possui uma fórmula de generalização, dada pela substituição do valor
de xv =
encontrado na função:
f(x) = ax2 + bx + c
yv = f(xv) = f
= a ∙
+ b ∙
+ c
yv = a ∙
+
+ c
yv =
+
+ c
yv =
+
+
yv =
=
yv =
.
Portanto,
de modo geral:
yv =
.
Considere a função g(x) = x2 – 6x + 7. Determinar o ponto extremo dessa
função e o valor extremo.
Sabemos que ela tem concavidade voltada para cima, pois a = 1. Portanto
ela admite ponto mínimo, e a abscissa desse ponto é dada:
xv =
=
=
= 3.
E sua ordenada é:
yv = 32 – 6∙3 + 7 = 9 –
18 + 7 = –2.
Logo, o ponto mínimo é
V(3, –2) e o valor mínimo da função é –2.
E podemos esboçar o
gráfico da função com esse ponto mínimo:
Problemas de máximos estão
presentes em quase todas as atividades do mundo moderno. Por exemplo, você pode
imaginar como um carteiro distribui a correspondência? Qual seria seu itinerário
para que o tempo de distribuição fosse o menor possível?
Uma variação desse problema é
o trajeto do ônibus escolar. Ele deve passar na casa de cada criança para levá-las
à escola. Conhecendo os endereços, é preciso planejar o percurso para fazer o
serviço no menor tempo possível.
Em qualquer empresa, grande ou
pequena, ouvimos falar em encontrar a receita máxima, reduzir o desperdício ao
mínimo entre outras coisas.
Na prática, os problemas de máximos
e máximos são, frequentemente, complexos porque envolvem muitas variáveis.
Entretanto, existem também aqueles que se resolvem por uma simples função quadrática.
Vejamos alguns exemplos de problemas:
Exemplo 1:
Os técnicos de uma fábrica de
automóveis fizeram diversos testes com um de seus carros populares para
examinar o consumo de gasolina. O carro percorria 100 km em uma estrada plana,
com velocidade constante. O percurso foi feito muitas vezes e, a cada vez,
usou-se uma velocidade diferente. No final de cada viagem, os técnicos verificaram
a quantidade de combustível gasta e observaram que o consumo não se mantinha o
mesmo, pois era função da velocidade.
A conclusão foi a seguinte:
para velocidade entre 40 e 120 km/h, o consumo desse carro é dado por:
y = 0,005 x² – 0,6 x + 26
onde x é a velocidade em quilômetros por hora e y é o número de litros de gasolina gastos para percorrer 100 km.
Em que velocidade devemos
andar com esse carro, para gastar o mínimo de combustível?
Solução:
A
função que os técnicos encontraram é do tipo y = ax²+ bx + c.
Como
o coeficiente a é positivo, sabemos
que existe um valor mínimo dessa função. Seu gráfico È uma parábola com a
concavidade voltada para cima:
O
ponto mais baixo do gráfico é o vértice (V) da parábola e o número xv é a velocidade que faz com que o consumo seja
o menor possível. Calculando a abscissa do vértice da parábola, temos:
xv =
=
=
= 60.
Logo,
a velocidade que do mínimo consumo é de 60 km/h para gastar a menor quantidade
possível de gasolina.
Se,
entretanto, desejarmos saber qual o gasto mínimo de combustível para percorrer
os 100 km, basta substituir o x da função por 60. Teremos então:
y = 0,005∙60² – 0,6 ∙ 60 + 26
y = 18 – 36 + 26
y = 8
Portanto,
andando a 60 km/h, gastaremos apenas 8 litros de gasolina para percorrer os 100
km.
Este é um problema
interessante. Muita gente acha que andar bem devagar economiza combustível. Não
é verdade! É certo que andar muito rápido faz com que o consumo seja alto, mas
cada carro possui uma velocidade em que o consumo é o menor possível.
Exemplo 2:
Com
80 metros um fazendeiro deseja circundar uma área retangular junto a um rio
para confinar alguns animais.
Quais
devem ser as medidas do retângulo, para que a área cercada seja a maior
possível?
Solução:
Construindo uma expressão que possibilite o cálculo das medidas possíveis
do retângulo que representa a cerca, e utilizando x e y como dimensões
possíveis para esse retângulo, temos:
Cerca: 2x + y = 80
Área: A = x ∙ y
Isolando y, temos:
y = 80 – 2x.
Substituindo em A, temos:
A = x ∙ (80 – 2x).
Desenvolvendo a expressão:
A = 80x – 2x2.
Estamos
diante de uma função quadrática, que relaciona o lado x do retângulo com área A.
Pelo valor de a = –2, já sabemos que
essa função admite ponto máximo e o ponto mais alto do gráfico é o vértice V da parábola; sua abscissa xv é o valor do lado do
retângulo que faz com que sua área seja máxima. Calculamos, então, essa
abscissa da mesma forma que no problema anterior:
xv =
=
=
= 20.
Portanto,
se fizermos a largura do retângulo igual a 20 m, teremos a certeza de que área
cercada será maior possível. Veja como ele ficou:
A = 80∙20 – 2∙202
A = 1.600 – 2∙400
A = 1.600 – 800
A = 800.
A área,
neste caso, será de 20 x 40 = 800 m².
Atividades:
1) Determine o ponto extremo e o valor
extremo das seguintes funções:
a) f(x) = 2x2 – 8x.
b) y = x2 – 6x + 13.
c) g(x) = –2x2 + 3x – 8.
d) h(x) = –x2 + 3x + 5.
e) y =
–3x2 + 12x + 5.
2) Usando a função do Exemplo
1 do consumo de combustível e calcule o que se pede abaixo:
y = 0,005 x² – 0,6 x + 26
a) O consumo de combustível a
50 km/h;
b) O consumo de combustível a
90 km/h;
c) Em que velocidade, maior
que 60 km/h, o carro andou se gastou 10 litros para percorrer os 100 km?
3) A diferença de dois números é igual a 12. Determine
esses números sabendo que o produto deles é o menor possível.
4) O perímetro de um retângulo é igual a 36. Calcule as
medidas dos lados desse retângulo para que a sua área seja máxima.
5) Um carpinteiro vai construir
um galinheiro retangular. Ele vai usar 12 m de tela, para um dos lados,
pretende aproveitar uma parede já existente, conforme o desenho. Expresse a
área desse galinheiro em função da medida de um dos lados (x, na figura). A seguir, descubra quais são as medidas dos lados
desse retângulo para que a área seja máxima.
6) Um fazendeiro comprou tijolos
suficientes para fazer uma parede de 400 m de comprimento. No entanto, ele
mudou de ideia. Utilizando esses tijolos, pretende, agora, construir um galpão
retangular.
a) Ache a área A desse galpão em função do comprimento x de uma das suas paredes (em metros).
b) Determine o valor de x para que a área seja máxima.
7) Um arquiteto iniciou a planta de uma casa
desenhando um retângulo que representa o terreno. O perímetro do retângulo é
100 cm. Como cada centímetro do desenho equivale a 1 metro, então a área máxima
do terreno é:
(A) 625
m2
(B) 100
m2
(C) 50 m2
(D) 25 m2
8) Uma galeria vai organizar uma
exposição de pintura e fez as seguintes exigências:
1º) A área de cada quadro deve
ser, no mínimo, de 3.200 cm2.
2º) Os quadros precisam ser
retangulares e a altura de cada um deve ter 40 cm a mais que a largura.
Dentro dessas condições, em que
intervalo de números reais devem estar as larguras dos quadros?
9) A soma dos catetos de um triângulo retângulo é igual a
16 e a área desse triângulo é máxima. Determine desse triângulo:
a) os catetos;
b) a área; c) a hipotenusa.
10)
Considerem um triângulo retângulo qualquer com catetos de medidas b e h.
Quais são as dimensões do retângulo de maior área inscrito nesse triângulo?
6) Um triângulo tem (x – 3) m de base e (2x + 6) m de altura. Determine os valores reais de x (em metros) para os quais a área desse
triângulo é seja mínima.
7) Desejamos construir um
edifício de base retangular no interior de um terreno triangular, como mostra a
figura:
Determine as medidas do
retângulo de maior área possível que caiba dentro de um triângulo retângulo de
catetos 30 m e 40 m.
8) Num terreno,
na forma de um triângulo retângulo com catetos de medidas 20 e 30 metros,
deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como na figura.
a) Exprima
y em função de x.
b) Para
que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?
9) Em um
triângulo qualquer, há um retângulo inscrito. Determinem as medidas dos lados
do retângulo inscrito de maior área.
10) Se o
triângulo for retângulo isósceles, com catetos de medida l, quais são as medidas dos lados do retângulo inscrito de maior
área?
11) Um corpo é lançado
obliquamente, a partir da superfície da Terra, com velocidade inicial. Desse
modo, descreve uma trajetória parabólica, que representa a função
y = x – 0,1x2
(x e y em metros).
a) Calcule a altura máxima
atingida por esse corpo.
b) Obtenha o alcance desse corpo,
ou seja, a distância horizontal que o corpo percorre até encontrar novamente o
solo.
12) Em uma partida de futebol, a
cobrança de uma falta lança a bola em uma trajetória tal, que a altura h, em metros, varia com o tempo t, em segundos, de acordo com a fórmula
h(t) = –t2 + 10t.
Em que instante a bola atinge a
altura máxima? De quantos metros é essa altura?
13) Um objeto, lançado
obliquamente a partir do solo, alcança uma altura h (em metros) que varia em função do tempo t (em segundos) de acordo com a fórmula
h(t) = –t2 + 20t.
a) Em que instante o objeto
atinge a altura máxima? De quantos metros é essa altura?
b) Em que instante ele atinge o
solo novamente?
14) (UERJ−2005) Numa operação
de salvamento marítimo, foi lançado um foguete sinalizador que permaneceu aceso
durante toda sua trajetória. Considere
que a altura h, em metros, alcançada por este foguete, em relação ao nível do
mar, é descrita por
h = 10 + 5t − t2,
em que t é o tempo, em
segundos, após seu lançamento. A luz emitida pelo foguete é útil apenas a
partir de 14 m acima do nível do mar. O intervalo de tempo, em segundos, no
qual o foguete emite luz útil é igual a:
(A) 3.
(B) 4.
(C) 5.
(D) 6.
15) Em uma apresentação aérea de acrobacias, um
avião a jato descreve um arco no formato de uma parábola de acordo com a
seguinte função y = –x² + 60x.
Determine a altura máxima atingida pelo avião.
16) Um
jogador de vôlei fez um saque em que a bola foi lançada numa trajetória
parabólica, e atingiu altura máxima bem acima da rede, como mostra a figura:
Considerando
um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal, de tal modo que o eixo das
abscissas está no plano do chão e o eixo das ordenadas está no plano da rede, e
os dois eixos estão no mesmo plano que a trajetória da bola, a equação da
parábola descrita na figura é
y = –
x2 + 10,
com x e
y em metros.
Ao
aproximar-se 5 m da rede, esse mesmo jogador fez outro saque em que a
trajetória parabólica da bola também atingiu altura máxima bem acima da rede.
Se, no segundo saque, a altura máxima da bola foi 50% maior que no primeiro,
então a equação dessa nova parábola, no mesmo sistema cartesiano, é:
a) y = –
x2 + 15 b) y
= –
x2 – 15 c) y
= –
x2 + 10
a)
y = x2
+ 15 f) y = – x2 + 15
17) A temperatura T de um forno (em graus
centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento
(t = 0) e varia de acordo com a
expressão
T(t) = –
+ 400,
com t em minutos. Por motivos de segurança,
a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a
temperatura de 39°C.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para
que a porta possa ser aberta?
a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0
e) 39,0
18) Os fisiologistas afirmam que,
para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura
ambiente T (em graus Celsius),
segundo a função
N(T) = 0,1T2 – 4T + 90.
Nessas condições, em qual
temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo? Qual é esse
número?
19) Num experimento, a temperatura T de uma substância, em graus Celsius, é
dada por T= 0,1t² –
0,7t + 1, sendo t o tempo transcorrido, em segundos,
após o início do experimento. Determinar o intervalo de tempo em que a
temperatura é decrescente.
20) O lucro de uma empresa é dado pela lei
L(x) = – x2 + 8x – 7,
em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em milhares de reais).
a) Determine os valores de x para os quais o lucro é positivo.
b) Calcule a quantidade que se deve
vender para obter lucro máximo.
c) Determine o lucro máximo.
21) O lucro de uma empresa é dado por
L(x) = 100 ∙ (10 – x)(x – 2),
onde x é quantidade vendida e L é
o lucro, em reais. Qual o número de unidades que essa empresa deve vender para
obter lucro máximo?
22) (IFMG 2013). O gerente de
um estabelecimento comercial observou que o lucro (L) de sua loja dependia da quantidade de clientes (c) que frequentavam o mesmo diariamente.
Um matemático analisando a situação estabeleceu a seguinte função:
L(c) = – c² + 60c – 500.
Qual seria o número de
clientes necessário para que o gerente obtivesse o lucro máximo em seu
estabelecimento?
23) (EsPCex 2013). Uma
indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante
da venda deste produto é V(x) = 3x² – 12x
e o custo mensal da produção é dado por C(x)
= 5x² – 40x – 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais
que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a:
(A) 4 lotes.
(B) 5 lotes.
(C) 6 lotes.
(D) 7 lotes.
(E) 8 lotes.
24) O custo de fabricação de
um determinado produto é dado por C(x) =
3x2 – 19x + 21. Se a receita obtida com a venda de x unidades é
dada por R(x) = 2x2 + x,
para que o lucro L(x) = R(x) – C(x) seja
máximo, devem ser vendidas:
(A) 20
unidades.
(B) 16
unidades.
(C) 10
unidades.
(D) 8
unidades.
(E) 4
unidades.
25) Uma fábrica produz blusas a um custo de R$
2,00 por unidade, além de uma parte fixa de R$ 500,00. Se cada unidade
produzida é comercializada a R$ 2,50, a partir de quantas unidades produzidas a
fábrica obtém lucro?
26)
De todos os retângulos de perímetro igual a 40 cm, determine o de área maior.
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