Conjuntos Numéricos

 

Os números são ideias. Só existem em nossa mente. Representamos essas ideias através de símbolos chamados numerais, algarismos ou dígitos.

O surgimento dessa ideia deveu-se à necessidade do homem de contar objetos. Porém, outras necessidades, sendo práticas ou teóricas, levaram ao desenvolvimento de outros tipos de formas de expressar ou representar essas ideias.

 

Em Matemática, é usual classificar os números em categorias, e como cada categoria de número possui a sua característica própria, foram agrupados em conjuntos diferentes.

Denominamos conjuntos numéricos os conjuntos cujos elementos são números. Estudaremos nessa aula os conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e por último o conjunto dos números reais.

 

1) Conjuntos Numéricos:

a) Conjunto dos Números Naturais.

Os números naturais foram os primeiros a serem empregados pelos mais diversos povos antigos. Seu uso principal era relacionado a enumeração de objetos: dias até a colheita, membros em uma comunidade, animais utilizados na pecuária etc.

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

 

Na sequência de números naturais, a cada número segue imediatamente outro, chamado sucessor. Assim, o sucessor de 5 é 6, de 37 é 38, de 415 é 416 e assim por diante, indefinidamente. Portanto, não existe um maior número natural.

Os matemáticos expressam essa ideia dizendo que a sucessão dos números naturais é infinita.

 

 b) Conjunto dos Números Inteiros. 

 

O conjunto dos números inteiros contém todos os números naturais, o número 0 e os números inteiros negativos (que são os inteiros que estão à esquerda do zero, na representação na reta numérica).

Ele é representado pelo símbolo  e descrito sob a forma:

 

Z = {... , –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

 

(A notação  para os inteiros foi introduzida por matemáticos alemães e deve-se ao fato de que, em alemão, Zahl é o mesmo que número.)

 

Que horas são em Brasília, quando em Londres é 0 hora? E em Tóquio?

Observando as indicações de fusos horários no mapa de abaixo, verificamos que em Brasília são 21 horas, isto é, 3 horas a menos que em Londres. Por outro lado, em Tóquio, são 9 horas da manhã do dia seguinte.

O uso dos números inteiros negativos é frequente em nossos dias. Mas, durante séculos, o homem não encontrou significado para uma subtração do tipo (50 – 70). A primeira interpretação dada a uma operação como essa admitia o resultado como sendo uma dívida e possibilitou o aparecimento dos números negativos.

O sinal de menos (–) colocado antes do número pasosu a indicar quantidades menores que zero: –1, –2, –3, –4.

Para quantidades maiores que zero o sinal de mais precedendo os números é opcional: +1 = 1, +2 = 2, +3 = 3, +4 = 4.

 

Números precedidos de sinais de menos – números negativos – aparecem pela primeira vez por volta do século VII, numa obra do matemático hindu Brahmagupta.

 

Como todos os números naturais também são inteiros dizemos que  está contido em ,  ⊂ . Por esse fato, dizemos que  é subconjunto de .

 

(Diagrama de Venn)

 

c) Conjunto dos Números Racionais.

Qual a distância que podemos obter, a partir do mapa abaixo entre Rio de Janeiro e Washington DC?

 

Essa medida pode ser medida com auxílio de uma régua. O resultado obtido é de, aproximadamente 3,4 centímetros. Como a escala indicada no mapa é 1:247.300.000, efetuamos:

3,4 x 247.300.000 = 8.408.200 metros = 8.408,2 quilômetros.

 

Assim, a distância aproximada entre Rio de Janeiro e Washington DC é de 8.408 quilômetros.

 

A necessidade de efetuar medidas levou o homem a criar as frações. E, a partir delas, surgiram os números racionais. A notação decimal foi criada por volta do ano de 1500.

Os números que podem ser escritos como o quociente de dois números inteiros formam o conjunto dos números racionais, indicado pela letra :

 

Todo número racional a/b possui uma representação decimal, com a vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.

Nos números racionais escritos em notação decimal, a parte decimal pode apresentar uma quantidade finita ou infinita de algarismos. Quando a quantidade for infinita, os algarismos repetem-se periodicamente.

 

Podemos escrever qualquer número racional na forma decimal basta dividir o numerador pelo denominador, podendo resultar em:

a) Decimal exato: o número de casas decimais após a vírgula é finito.

5 / 2 (lê-se cinco meios)

= 2,5

b) Dizima periódica: número decimal obtido possui uma infinidade de algarismos após a vírgula. São os chamados decimais periódicos ou dízimas periódicas.

1/3 (lê-se um terço)

= 0,333...

 

Entre dois números racionais há sempre infinitos números racionais.

Observe que todo número inteiro é racional. Por exemplo: 5 = 5/1.

Assim,  ⊂ . E lembrando que todo natural é inteiro, temos:

 ⊂  ⊂ .

 

(Diagrama de Venn)

 

d) Conjunto dos Números Irracionais.

São números que não podem ser obtidos por meio de uma fração, são eles:

i) as raízes não exatas como:

ii) as dízimas não periódicas:

0, 1011011101111011111...

 

iii) os números especiais que aparecem em fenômenos da natureza:

“pi”: π  = 3,14159265358979...

“fi”: ϕ = 1,61803398874989… 

neperiano: e = 2,718281828459...

 

Todo número que é irracional, não é racional e todo número racional, não é irracional. Assim,  ⊄  e  ⊄ . Dizemos que eles são conjuntos disjuntos, pois não possuem nenhum elemento comum.

 

(Diagrama de Venn)

 

e) Conjunto dos Números Reais.

O conjunto que reúne todos os números racionais e irracionais é chamado de conjunto dos números reais e é indicado pela letra . Assim:

IR = Q U II .

 

De modo geral, o conjunto dos números irracionais é representado como  – .

 

2) Relação de Inclusão nos conjuntos numéricos:

     

                   

   

 

__  __  __     __  __  –

__  __  __    __  __  –

­–3  __ ­–3  __ –3  __   –3  __ –3  __  –

2 __ 2 __ 2 __   2 __ 2 __  –

3) Relação de pertinência nos números:

 

 

 

 

 

 

4) Calcule as operações nos números inteiros:

a)      37 + 43 =

b)      55 – 18 =

c)      18 – 55 =

d)      12 + (– 7) =

e)      12 – (– 7) =

f)       – 9 – 6 =

g)      – 9 + (– 6) =

h)      – 9 – (– 6) =

i)        13 x  7 =

j)       (– 8) x 9 =

k)      (7 – 3) x 4 =

l)       (3 – 8) x (– 4) =

m)    2³ =

n)      (– 3)² =

o)      =

p)       =

5) Relação de Ordem nos conjuntos numéricos:

a) Complete as sentenças abaixo, com <, = ou >:

      13___8; 16____26; (6+9) ___ (10+8); (17–9)___(23–15)

b) Qual é o sucessor de – 23 ?

c) Qual é o antecessor de – 32 ?

d) Representar os seguintes conjuntos por extensão

   A = {x    / x  3}

   B = {x    / 0 x  4}

   C = {x    / –3  x   1}

 

 

6) Operação Inversa: Qual é o número que somando 4 dá como resultado – 8 ?

 

Atividades:

1) Uma lanchonete oferece 2 tipos de refrigerantes e 3 tipos de sanduíches. Com isso, 6 lanches diferentes podem ser oferecidos. Para chegar a esse número total de lanches diferentes possíveis na lanchonete, utilizamos a ideia de número que expressa quantidade. Que conjunto numérico primordial é utilizado para a contagem de objetos e expressa quantidade, no qual essa categoria de números pertencem?

(A) Conjunto dos Números Naturais.

(B) Conjunto dos Números Inteiros.

(C) Conjunto dos Números Racionais.

(D) Conjunto dos Números Irracionais.

 

2) Sabemos que a temperatura de lugares gelados podem chegar, por exemplo a –2 ^oC (entende-se como 2 graus Celsius abaixo de zero), esse tipo de número não é natural, pois não expressa quantidade de objeto, mas uma grandeza física chamada Temperatura, que a partir de um referencial é medida. Esse número é um número negativo, considerado um número menor que o referencial zero. Os números negativos, o zero e os números positivos pertencem a que conjunto numérico abaixo?

(A) Conjunto dos Números Naturais.

(B) Conjunto dos Números Inteiros.

(C) Conjunto dos Números Transcendentes.

(D) Conjunto dos Números Irracionais.

 

3) Agora se a temperatura medida for –2,5 ^oC, ou positivamente 2,5 ^oC, vemos que esses números não podem ser números inteiros, pois são fracionados ou partidos, pois estão entre dois números inteiros como entre –2 e –3 ou entre 2 e 3, tanto de forma negativa ou de forma positiva, esse tipo de número dizemos que está na forma decimal. Qual o conjunto numérico abaixo pertencem os números que podem ser escritos na forma de razão p/q, como os números decimais, as frações, as dízimas periódicas e os números inteiros?

(A) Conjunto dos Números Naturais.

(B) Conjunto dos Números Inteiros.

(C) Conjunto dos Números Racionais.

(D) Conjunto dos Números Irracionais.

 

4) Assinale abaixo, a única afirmativa FALSA:

(A) Todo número inteiro positivo é natural.

(B) Todo número inteiro é racional.

(C) Todo número natural é inteiro e é racional.

(D) Todo número racional é inteiro e natural.

 

5) Existem certa categoria de números que não podem ser escritos na forma de razão p/q, portanto não são números racionais. Todo o número que não é racional, como as dízimas não periódicas, as raízes não exatas e os números especiais que aparecem nos fenômenos da natureza como o π ("pi"), o ϕ ("fi") e o neperiano e pertencem a que conjunto numérico abaixo?

(A) Conjunto dos Números Naturais.

(B) Conjunto dos Números Inteiros.

(C) Conjunto dos Números Racionais.

(D) Conjunto dos Números Irracionais.

 

6) Todo número que é irracional não é racional e todo número racional não é irracional. Qual o conjunto numérico que reúne todos os números racionais e irracionais, ou seja, é a união do conjunto do número racional com o conjunto dos números irracionais?

(A) Conjunto dos Números Naturais.

(B) Conjunto dos Números Inteiros.

(C) Conjunto dos Números Transcendentes.

(D) Conjunto dos Números Reais.

 

7) Classifique os números como racional ou irracional:

 

a)		e) 5 +
b)		f) 3
c)		g) 4 – 2
d) 2		h)  + 2

 

8) Complete com  ou  as lacunas abaixo:

-3 __ -5 __   -2 __

__  __  __

7/8 __   8/7 __ 8/4 __

 

 

 

 

9) Complete o símbolo correto, <, > ou =, entre cada par de inteiros:

a) 4 ___ –7      b) –2 ___ –9     c) 6 ___ 8          d) –8 ___ 3 

e) 3² ___ 8     f) 3² ___ 9     g) (3x2) ____ 3²

 

10) Represente os elementos dos conjuntos abaixo:

 

A = {x ∈  / x < 4} =  ­­­­­___________________________

 

B = {x ∈  / – 1 < x < 6} =  ­­­­­___________________________

 

C = {x    / – 2 ≤ x < 5) = ­ ­­­­­___________________________

 

D = {x    / 5 ≤ x ≤ 6} =  ­­­­­________________________

 

E = {x    / 5 < x < 6} =  ­­­­­________________________

 

F = {x    / x < 1} =  ­­­­­___________________________

 

G = {x ∈  / x ≥ 0} =  ­­­­­___________________________

 

H = {x ∈  / x < 0} =  ­­­­­___________________________

 

11) Sendo os conjuntos

L = {x    / –3 < x < 3} e

M = {x    / –5 ≤ x ≤ 4}.

Descreva os conjuntos L U M e L ∩ M.

 

12) Calcule as operações:

a) 349 + 152

b) 349 – 152

c) 112 x 4

d) 164 x 15

e) 105 : 5

f) 320 : 16

 

13) (ENEM) Em relação aos principais conjuntos numéricos, é CORRETO afirmar que:

(A) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.

(B) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.

(C) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.

(D) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.

(E) Todo número irracional é real.

 

14) Indique abaixo a única alternativa FALSA:

(A) 6,5 ∉ Q.

(B) 3 ∈ Q.

(C) 5,666... ∈ Q.

(D) √3 ∉ Q

 

15) Indique abaixo a única afirmativa FALSA:

(A) O número 1,234523452345... é racional.

(B) O número 0,1011011101111... é irracional.

(C) Os números √2 e –√2 são números racionais.

(D) Os números π ≈ 3,141592..., e ≈ 2,71828... e φ ≈ 1,61803... são números irracionais.

 

11) Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) as sentenças abaixo:

(    ) 5 ∈         (    ) 5 ∈           (    ) –3 ∈            (    ) –3 ∈  

 

(    ) 0 ∈          (    )   ∈          (    ) 6,5             (    ) 3 ∈   

 

     (    ) –3         (    )  5,666... ∈           (    )              

 

 

12) Classifique as afirmativas em verdadeira (V) ou falsa (F):

a) Todo natural tem um antecessor natural. (    )

b) Todo racional é real. (    )

c) Todo número inteiro tem um sucessor inteiro. (    )

d) Todo racional é um irracional. (     )

e)  ∩  = .

 

13) Analise as afirmativas abaixo, em seguida assinale a VERDADEIRA:

(A) Todo número natural é também um número real.

(B) –1 é um número inteiro, mas não é racional.

(C) π é um número natural.

(D) Zero não é um número racional.

(E) 13 é um número natural.

 

14) Diga se os números abaixo são racionais ou irracionais:

a) 1,21

b) 1,6180339...

c) 3,777...

d)

e) 1 +

 

15) Associe cada subconjunto de In a pelo menos uma característica.

(A) Primos.

(B) Múltiplos de 3.

(C) Divisores de 12.

(D) Quadrados perfeitos maiores que 0.

(E) Múltiplos de 12.

 

(   ) Infinito.

(   ) Finito.

(   ) Todos pares.

(   ) 2 é o menor elemento.

(   ) 1 é o menor elemento.

 

16) Represente por extensão os conjuntos abaixo:

A = {x    / –5 x  8}

B = {x    / –5 x  8}

 

17) Analise cada uma das alternativas, indicando se ela é verdadeira (V) ou falsa (F).

a) O conjunto dos números pares positivos é um subconjunto dos números inteiros.

b) Todos os subconjuntos de  também são subconjuntos de .

c) Qualquer subconjunto de  também é um subconjunto de In.

d) Todos os subconjuntos de  têm infinitos elementos.

 

18) Leia a frase a seguir e decida se ela é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.

Existe um elemento em  que é menor que qualquer outro número inteiro.

 

19) Observe os exemplos a seguir antes de responder às questões.

• O conjunto A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} é um subconjunto finito de  e seus elementos podem ser escritos como uma sequência de números consecutivos.

• Os conjuntos B = {–37} e C = {41} são subconjuntos de ZZ, que têm apenas um elemento.

• O conjunto D = {–3, 0, 3, 6, 9, ...} é um subconjunto infinito de , formado por múltiplos de 3 e com apenas um número negativo: –3, que é o menor elemento do conjunto.

• O conjunto E = {..., –8, –6, –4, –2, 0} é um subconjunto de , formado pelos infinitos números pares negativos e pelo zero, que nesse conjunto é o maior elemento.

 

20) Descreva um subconjunto infinito de :

a) em que 0 (zero) seja o menor elemento.

b) em que 0 (zero) seja o maior elemento.

 

 

21) Dado o conjunto C = {7, –8, √3, π, 2/7}. Quais elementos são:

a) números naturais?

b) números inteiros?

c) números racionais?

d) números irracionais?

e) números reais?