Corpos Redondos: Cilindro

 

Tão importante quanto saber calcular o volume de um cubo ou de um bloco retangular é calcular o volume de sólidos que têm forma cilíndrica. Eles estão em toda a parte. 

Com base no volume, é possível avaliar a capacidade de recipientes cilíndricos, como latas de conserva, por exemplo, e confrontá-la com a massa indicada nos rótulos.

Você já reparou que em todas as embalagens dos produtos que compra no supermercado vem registrado o peso líquido do produto?

Um bom exercício é verificar se o peso líquido indicado nas embalagens é compatível com as dimensões dos recipientes. 

Volume de um sólido 

Para calcular o volume de um sólido em que as seções planas têm, todas, a mesma área, multiplica-se a área da base pela altura. 

Para melhor compreender essa ideia, imagine, por exemplo, um pacote de biscoito de água e sal em que todas são quadradas e têm a mesma massa. Se os biscoitos forem empilhadas umas sobre as outras para compor um pacote, a massa total será a quantidade de massa de um biscoito a multiplicada pelo número de biscoito que há na pilha.

 

 

Pode-se usar essa ideia para determinar o volume de um prisma de base retangular.

Se a área A do retângulo da base é A = a · b, então o volume V do prisma é a área da base multiplicada pela altura c:

V = A · c = (a · b) · c = a · b · c

 

Observe esse princípio utilizado no cálculo do volume de um cilindro de base circular:

V = área da base (A) · altura (h)

V = A · h

 

Mas a área da base desse cilindro é
 

portanto, o volume do cilindro é 

Capacidade no cilindro:

Uma jarra tem a forma interna de um cilindro reto. Sabendo que o diâmetro da base mede 20 cm e a altura é de 40 cm, descobrir quantos litros de suco cabem na jarra. (Use π ≈ 3,14)

 Calculando o volume V = πr² ∙ h do cilindro:

V = 2 x 3,14 x 10 x 40

V = 12.560 cm³

 Cada 1 cm³ = 1 ml.

Portanto, essa jarra tem capacidade de 12.560 ml = 12,56 litros.

Outros exemplos:

1) Essa relação é utilizada em inúmeras aplicações, por exemplo, para determinar a capacidade de um reservatório cilíndrico de 10 m de diâmetro por 6 m de altura. 

V = π · 5² · 6 = 3,14 x 25 x 6 = 3,14 · 150 = 471 m³.

Como 1.000 l = 1 m³, então a a capacidade desse reservatório é 471.000 litros.

2) Algumas caixas-d’água têm formato cilíndrico. Imagine que um fabricante precisa determinar que altura deve ter uma caixa-d’água com raio de 1 m, para que sua capacidade seja de 2.000 litros.

Como 1.000 l = 1 m³, tem-se:

V = 2.000 l = 2 m³

π  ·  1²· h = 2

3,14 · h = 2

h = 2 / 3,14

h = 0,637

Portanto, a altura dessa caixa d’água deverá ser de 0,637 m, quase 64 cm.

  

Determinar a área de superfície de sólidos também é muito útil. A indústria de embalagens, por exemplo, prevê a quantidade de matéria-prima (alumínio ou papelão) para fabricar latas e outros tipos de embalagens cilíndricas por meio do cálculo de superfície do cilindro. Para isso, é fundamental saber sua área lateral (que é um retângulo) e de suas bases. 

Para calcular a área da superfície de um cilindro de base circular de raio r e altura h, somam-se as áreas do retângulo de lados 2π r e altura h e das duas.

Área no Cilindro 

Área lateral: Al = 2πr ∙ h

Área da base: Ab = πr²

Área total: At = Al + 2∙Ab

                   At = 2πr ∙ h + 2 ∙ πr²

                   At = 2πr ∙ (h + r)

 

Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10 cm e a altura é de 20 cm. (Use π ≈ 3,14)

 Solução:

A área de cada base é dada por Ab = πr². Logo,

Ab = 3,14 x 10²

Ab = 3,14 x 100 = 314 cm².

 

Quando planificamos a superfície lateral de um cilindro, obtemos um retângulo no qual os lados têm a mesma altura h do cilindro e comprimento 2πr da circunferência de uma das bases. Assim, a área lateral é:

Al = 2 x 3,14 x 10 x 20

Al = 1.256 cm².

 

Assim, a área total da superfície desse cilindro é:

At = 1.256 + 2 x 314

At = 1.884 cm².

Atividades:

1) Utilizando π ≈ 3, determine o volume e a capacidade de um cilindro cuja base é um círculo de raio 5 cm e cuja altura é 10 cm.

 

2) Determine qual é o cilindro com o maior volume: 

o cilindro 1: de raio 4 cm e altura 6 cm; ou o 

cilindro 2: de raio 6 cm e altura 4 cm?

 

3) Determine o volume do cilindro abaixo.

4) Utilizando π ≈ 3,14, calcule aproximadamente como se apresentaria comercialmente a capacidade da embalagem da figura abaixo:

5) O raio da base e a altura de um círculo reto medem 5 cm e 20 cm, respectivamente. Desse cilindro, calcule:

a) a área lateral; 

b) a área total; 

c) o volume.

 

6) A área lateral de um cilindro é 36π cm², Calcule o volume do cilindro, sabendo que sua altura mede 6 cm.

 

7) Um cilindro possui 10 cm de altura e 5 cm de raio da base. Qual é a área lateral desse cilindro?

 

8) Se dobrássemos o raio do cilindro da questão anterior e diminuíssemos pela metade a altura do mesmo a área lateral teria o mesmo valor? Justifique.

9) Um corpo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de altura, está com água até a altura de 8 cm. Foram então colocadas em seu interior n bolas de gude, e o nível da água atingiu a boca do vidro, sem derramamento.

Qual é o volume, em cm³, de todas as n bolas de gude juntas?

        (A) 32   

        (B) 48        

        (C) 64        

        (D) 80     

        (E) 96 

10) Mergulhando-se uma pedra num recipiente cilíndrico reto, o nível da água sobe 4 cm. Calcule o volume da pedra, em centímetros cúbicos, sabendo que a base do recipiente tem raio de 5 cm.

 

11) A carga de uma caneta esferográfica – um reservatório cilíndrico – tem 2 mm de diâmetro e 10 cm de altura. Se uma pessoa gasta mais ou menos 10 mm³ de tinta por dia, quanto tempo a carga vai durar? 

12) Uma seringa tem 2 cm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Para enchê-la puxamos o êmbolo, que pode se afastar até 8 cm no interior do cilindro. Quantos ml de medicamento cabem na seringa, aproximadamente?

 

 

13) A figura abaixo representa vasos comunicantes com dois cilindros usados em experiências de Física. O cilindro menor, que tem raio 10 cm de raio, está com 10l de água. Sabendo que o cilindro maior tem 20 cm de raio, descubra quantos litros de água contém: 

14) No cilindro reto desenhado abaixo, a área da superfície lateral é de 1.000 cm² e a altura é de 1 m. Qual o volume do cilindro?

15) Quando a água se congela, seu volume aumenta em aproximadamente 7%. Calcule o volume de água necessário para se obter um bloco retangular de gelo com arestas de 2 dm, 5 dm e 21,4 dm.

 

16) Ao ser aquecido, um gás aumenta de volume em 25%, elevando o êmbolo de um recipiente cilíndrico. Observe a figura abaixo e descubra a altura do êmbolo após o aquecimento do gás:

17) (ENEM-2018) Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura.

Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas.

No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas:

Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa?

               (A) I            (B) II                (C) III            (D) IV             (E) V

18) Foram observados três tipos de potes, a serem armazenados um produto: 

1ª opção: pote em forma de um cubo de aresta 6 cm.

2ª opção: pote em forma de um prisma quadrangular regular de altura 8,64 cm e 5 cm de aresta da base.

3ª opção: pote em forma de um cilindro reto de altura 8 cm e raio da base 3 cm. 

Nos três casos, as tampas são metálicas e espessura mínima, portanto, não interferindo no conteúdo do pote. Sabendo que a espessura das bordas e das bases de todos os potes são a mesma, considerando-se o valor de  como sendo 3. 

É correto afirmar: 

        (A) Os três potes têm o mesmo volume, portanto a capacidade de conter a mesma quantidade do produto. 

        (B) É possível colocar mais quantidade do produto na segunda opção. 

        (C) O pote de forma cilíndrica é o que poderá ter menor quantidade do produto. 

        (D) O pote cúbico é o que poderá conter maior quantidade do produto.

19) Uma lata de leite em pó, em forma de um cilindro reto, possui 8 cm de altura com 3 cm de raio na base. Uma outra lata de leite, de mesma altura e cujo raio é o dobro da primeira lata, possui um volume:

(A) duas vezes maior.   

(B) três vezes maior.        

(C) quatro vezes maior.             

(D) oito vezes maior.

20) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. 

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será: 

        (A) o triplo.

        (B) o dobro.

        (C) igual.

        (D) a metade.

        (E) a terça parte.

21) Podemos imaginar a formação de um cilindro reto a partir de um retângulo em rotação, o cilindro é chamado de cilindro de revolução:

Observe acima as medidas do retângulo que gerou o cilindro e descubra o volume e a área total da superfície do cilindro.

22) Seção meridiana é a interseção com um plano que contém o seu eixo. Calcule a área da seção meridiana do cilindro reto desenhado a seguir, sabendo que ele tem 9 m de altura e 10 cm de raio da base.

Aprofunde-se:

Circunferência e Círculo

 

Há muito tempo, os círculos despertam a curiosidade humana. Os círculos sempre estiveram ao nosso redor, por exemplo: a Lua, o Sol, o formato redondo dos frutos, as ondas produzidas por uma pedra atirada na água, entre outros.

Ao observar troncos de árvore rolarem, o homem passou a “imitar” o movimento da natureza e inventou a roda há aproximadamente 6 mil anos. Daí em diante, surgiram muitas situações que levaram à necessidade de medir o comprimento da circunferência e a área do círculo. Esse será o assunto deste tema. 

Pode-se observar circunferências e círculos em objetos do dia a dia, como embalagens de alimentos, rodas de veículos etc. Então, determinar o comprimento de circunferências e a área de círculos deve ser útil em muitas situações. Você consegue se lembrar de algumas delas?

 

Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a distância não nula dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência.

Medidas na circunferência e no círculo

"Hiram fez também o mar de bronze, que tinha dez côvados de uma borda à outra, perfeitamente redondo e com altura de cinco côvados; sua circunferência media-se com um fio de trinta côvados."

I Reis. cap 7 , v. 23 - Bíblia Católica Online

Leia mais em: https://www.bibliacatolica.com.br/biblia-ave-maria/i-reis/7/

O interesse pelo estudo das medidas de uma circunferência é muito antigo. Há referências a essas medidas até no Antigo Testamento, em uma passagem que descreve um tipo de reservatório cilíndrico que teria 5 medidas de altura, 10 medidas de uma borda a outra e 30 medidas no contorno.De acordo com essa referência, o comprimento da circunferência C é três vezes a medida do diâmetro d. 

Nesse caso, a razão entre o comprimento C e o diâmetro d da circunferência é 3. 

Em busca de maior precisão, os matemáticos desenvolveram métodos para descobrir o valor dessa razão, que foi batizada de “pi” (π). Eles calcularam a razão entre o comprimento e o diâmetro de circunferências de vários tamanhos, e concluíram que esse é um valor constante de aproximadamente 3,14159. 

Em 1737, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) adotou a letra grega π como símbolo dessa constante: π ≈ 3,14.

Mais tarde, descobriu-se que π é um número irracional; isso quer dizer que não existe uma fração que o represente, só aproximações racionais. Dependendo da aplicação, a aproximação π ≈ 3,14 é mais do que suficiente para a maioria das atividades escolares e até mesmo profissionais.

 

Admitindo que a razão é constante, tem-se 

 

Como d = 2∙r, então 

.

Logo,

C = 2 ∙ π ∙ r

 

Portanto, quando a medida do raio é conhecida, C = 2 π r é a fórmula que determina o valor do comprimento de uma circunferência.

 

Acompanhe um exemplo da aplicação dessa fórmula.

• Quantas pedaladas são necessárias para uma pessoa percorrer 1 km numa bicicleta cuja roda tem um raio que mede 0,5 m?

Primeiro, calculam-se quantos metros ela se desloca a cada volta.

C = 2πr

C = 2 x 3,14 x 0,5 = 3,14 m 

Portanto, a cada volta, ela se desloca aproximadamente 3,14 m.

 

Para alcançar 1 km, uma pessoa terá que dar:

(3,14 m) · número de voltas = 1.000 m

número de voltas = 1.000 m / 3,14 m = 318,47

 Logo, são necessárias 319 voltas completas para percorrer 1 km. Considerando que, a cada pedalada, a roda dá uma volta completa em torno do seu centro, uma pessoa dá 319 pedaladas para percorrer essa distância.

Atividades:

1) O diâmetro da roda de uma bicicleta mede 80 cm. Determine quanto um ciclista percorre quando a roda dessa bicicleta dá 10 voltas completas.

 

2) O raio médio da Terra é de aproximadamente 6.400 km. Com base nesse dado, calcule o comprimento aproximado da Linha do Equador, usando as seguintes aproximações para π:

a) π ≈ 3,14

b) π ≈ 3,1

c) π ≈ 3

 

3) O diâmetro do aro de uma cesta de basquete mede 0,45 m. Calcule o comprimento do aro.

 

4) Uma bola de basquete deve ter até 78 cm de circunferência máxima.

a) Calcule seu diâmetro.

b) Uma bola com essas medidas entra na cesta com as dimensões indicadas no exercício anterior? Observe o esboço de um desenho abaixo, e indique quantos são os centímetros de folga ou de excesso. 

5) De acordo com as normas oficiais, uma bola de futebol de campo deve ter entre 68 cm e 71 cm de circunferência. Calcule o diâmetro da bola:

a) de 68 cm

b) de 71 cm

6) O círculo central de um campo de futebol deve medir 18,30 m de diâmetro. Calcule o comprimento do contorno do círculo.

 

7) Utilizando  π ≈ 3,14, determine a medida do raio de uma roda cuja medida de comprimento é: 

a) 314 cm.

b) 1 m.

 

8) Qual é o raio R de uma circunferência cujo comprimento é igual ao de uma semicircunferência de raio r = 5 cm?

 

9) Um marceneiro deve construir uma mesa redonda que comporte 6 pessoas a sua volta. Qual deve ser o raio dessa mesa para que cada pessoa possa dispor de um arco de 50 cm?

 

10) Determine o comprimento de uma circunferência inscrita em um quadrado de lado 2 cm. 

11) Determine o comprimento de uma circunferência tangente a dois lados paralelos de um retângulo de lados 4 cm e 3 cm.

Área do círculo

Imagine um círculo que foi dividido em pequenas fatias e depois foi aberto, formando uma espécie de serrote: 

A soma das áreas desses triângulos é muito próxima da área do círculo.

Observe que a área do “serrote” formado pelos triângulos é, aproximadamente, igual à metade da área do retângulo cuja base mede 2πr, pois o comprimento desse retângulo coincide com o da circunferência (2πr) e a altura dele coincide com o raio r.

Como você já sabe calcular o comprimento da circunferência, calcular a área será mais simples.

Comprimento da circunferência = base do retângulo 

C =2πr

 

 

Essa é a fórmula que permite calcular a área de um círculo.

Para calcular, por exemplo, a área de um círculo de raio 5 cm, basta substituir o valor do raio na fórmula:

A = π ∙ 5² = 25π

Utilizando π ≈ 3,14, temos:

A = 25 x 3,14 = 78,5 cm²

  

Assim como existe uma fórmula para calcular a área do círculo, também existem fórmulas para determinar a área de partes do círculo, em especial, a do setor circular e a da coroa circular.

O setor circular é como uma fatia de pizza e é determinado pela medida do raio e pelo ângulo central α.

O setor circular é uma fração do círculo proporcional à razão , por exemplo,

 

A coroa circular é determinada pelo raio da circunferência externa e pelo raio da circunferência interna. Assim, a área da coroa circular é:

Atividades:

1) O comprimento de uma circunferência é 31,4 cm. Determine a área do círculo.

2) Dobrando a medida do raio de um círculo, quanto aumentará a área?

3) Determine a área de um círculo tangente aos quatro lados de um quadrado de lado 10 cm.

4) Determine a área de um círculo no qual um quadrado de lado 2 cm está inscrito.

5) Calcule a área do semicírculo de raio 10 cm.

 

6) Observe a figura de um setor circular de raio r e ângulo central de 45^o, que representa 1/8 de uma circunferência de raio r. Determine a área do setor sabendo que r = 10 cm.

 

7) Na figura a seguir, há duas coroas circulares: a da esquerda tem centro em A e a da direita tem centro em D.

Sobre a área das duas coroas, assinale a alternativa correta:

        (A) A coroa de centro em A tem área maior que a coroa de centro em D.

        (B) As duas coroas têm áreas equivalentes.

        (C) A coroa de centro em D tem área maior que a coroa de centro em A.

8) O raio de um circunferência é 6 cm.

a) Calcule o comprimento dessa circunferência.

b) Calcule a área do círculo correspondente.

 

9) O diâmetro de uma circunferência é 8 cm.

a) Calcule o comprimento dessa circunferência.

b) Calcule a área do círculo correspondente.

 

10) Um círculo de raio √10  cm foi dividido em 4 partes. Qual a área de cada uma das partes?

 

11) Calcule a área da região limitada por duas circunferências de mesmo centro, uma com raio 10 cm e outra com raio 6 cm.

Aprofunde-se: