Função Quadrática

  

Algumas funções são muito utilizadas na Física, na Economia, na Engenharia, na Informática para descreverem fenômenos ocorridas nessas ciências e tecnologias. Essas funções geram uma equação que possuem a forma de uma equação de 2º grau, e são chamadas funções quadráticas. 

Vejamos um exemplo de construção desse tipo de função:

Com 80 metros um fazendeiro deseja circundar uma área retangular junto a um rio para confinar alguns animais.

Construindo uma expressão que possibilite o cálculo das medidas possíveis do retângulo que representa a cerca, e utilizando x e y como dimensões possíveis para esse retângulo, temos:

Cerca: 2x + y = 80

Área: A = x ∙ y 

Isolando y, temos:

y = 80 – 2x.

Substituindo em A, temos:

A = x ∙ (80 – 2x).

Desenvolvendo a expressão:

A = 80x – 2x².

Essa expressão formada é uma função quadrática, onde x é o domínio e A é a imagem. A medida da área A é função da medida x de um dos lados. 

Agora, utilizando a primeira expressão, podemos construir uma tabela para sabermos as medidas possíveis de A, em m² em função de x, em metros:

x (m)	A = 80x – 2x2 (m2)
1	A = 80∙1 – 2∙12 = 80 – 2 = 78
2	A = 80∙2 – 2∙22 = 160 – 2∙4 = 160 – 8 = 152
5	A = 80∙5 – 2∙52 = 400 – 2∙25 = 400 – 50 = 350
10	A = 80∙10 – 2∙102 = 400 – 2∙100 = 800 – 200 = 600
20	A = 80∙20 – 2∙202 = 1.600 – 2∙400 = 1.600 – 800 = 800

 

Bem como a medida y é função afim da medida x na expressão: y = 80 – 2x:

x (m)	y = 80 – 2x (m)
1	y = 80 – 2∙1 = 80 – 2 = 78
2	y = 80 – 2∙2 = 80 – 4 = 76
5	y = 80 – 2∙5 = 80 – 10 = 70
10	y = 80 – 2∙10 = 80 – 20 = 60
20	y = 80 – 2∙20 = 80 – 40 = 40

Observem que, se calcularmos os valores de x ∙ y da segunda tabela, gera o valor de A na primeira tabela, configurando que vale a ideia da função.

 

Para uma função quadrática, serão analisadas as mesmas propriedades que estudamos para uma função afim: domínio, imagem, zeros, sinal, crescimento e decrescimento. E como esse entendimento auxilia na compreensão de diversas situações que ocorrem no cotidiano. Comecemos com sua definição formal:

 

 

Vejamos, alguns exemplos inicias de uso da função quadrática.

Exemplo 1:

É dada uma função f(x) = 2x² – 8x + 7. Calcule:

a) f(–1)

b) f(0)

c) f(2)

d) o valor de x, quando f(x) = 1. 

Resolvendo:

a) f(–1) = 2∙(–1)² – 8∙(–1) + 7 = –2 + 8 + 7 = 13.

b) f(0) = 2∙(0)² – 8∙(0) + 7 = 0 + 0 + 7 = 7.   

c) f(2) = 2∙(2)² – 8∙(2) + 7 = 2∙4 – 16 + 7 = 8 – 9 = –1.

d) Teremos que resolver a equação de 2º grau formada:

2x² – 8x + 7 = 1

2x² – 8x + 7 – 1 = 0

2x² – 8x + 6 = 0

 

 

x₁ = (8 + 4) / 4 = 12 / 4 = 3 

x₂ = (8 – 4) / 4 = 4 / 4 = 1.

Logo, x pode tomar o valor de 1 e de 3.

 

Exemplo 2:

Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = –2t² + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

a) No segundo dia de infecção, quantas pessoas estariam infectadas segundo essa expectativa?

O segundo dia de infecção é quando t = 2, então devemos calcular o número de pessoas f(2):

f(t) = –2t² + 120t

f(2) = –2∙(2)² + 120∙(2) = –2∙(4) + 240 = –8 + 240 = 232

Logo, no segundo dia já teríamos 232 pessoas infectadas.

 

b) E no décimo dia?

O décimo dia de infecção é quando t = 10, então devemos calcular o número de pessoas f(10):

f(t) = –2t² + 120t

f(2) = –2∙(10)² + 120∙(10) = –2∙(100) + 1.200 = –200 + 1.200 = 1.000

Logo, no décimo dia já teríamos 1.000 pessoas infectadas.

 

c) Segundo essa expectativa, quantas pessoas estariam infectadas depois de um mês do início da infecção, se uma medida sanitária não tivesse sido tomada?

Depois de um mês dia de infecção é quando t = 30, então devemos calcular o número de pessoas f(30):

f(t) = –2t² + 120t

f(2) = –2∙(30)² + 120∙(30) = –2∙(900) + 3.600 = –1.800 + 3.600 = 1.800

Logo, no décimo dia já teríamos 1.800 pessoas infectadas, se não fosse tomada uma pedida sanitária.

 

d) A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1.600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. Qual dia começou a segunda dedetização?

A segunda dedetização deverá ser feita quando a f(t) = 1.600, então substituindo esse valor na função, encontraremos o valor de t.

–2t² + 120t = 1.600

2t² – 120t – 800 = 0

Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar as contas. Assim, a equação ficará:

t² – 60t – 400 = 0

Para encontrar as raízes da equação, usaremos a fórmula de Bhaskara:

 

Portanto, a segunda dedetização ocorrerá no 20º dia, que é quando chegará a 1.600 infectados após a primeira dedetização.

 

Exemplo 3:

Qual o zero da função f(x) = –3x² + 12x – 9 ?

O zero da função é o valor do domínio quando a função é nula, ou seja, o valor de x quando f(x) = 0.

Então teremos:

–3x² + 12x – 9 = 0

3x² – 12x + 9 = 0

 

x₁ = (12 + 6) / 6 = 18 / 6 = 3 

x₂ = (12 – 6) / 6 = 6 / 6 = 1.

Portanto, teremos como zeros da função quadrática dada x = 1 e x = 3.

 

Atividade:

1) Para que uma função do tipo y = ax² + bx + c seja quadrática, o coeficiente x² deve ser:

(A) igual a zero.

(B) positivo.

(C) não nulo.

               (D) inexistente.

 

4) É dada uma função f(x) = x² – 4x + 3. Calcule:

a) f(–1).

b) f(0).

c) f(2).

d) os zeros da função.

e) o valor de x, quando f(x) = 3.

 

5) É dada uma função . Calcule:

a) f(–1).

b) f(0).

c) f(2).

d) os zeros da função.

e) o valor de x, quando f(x) = 7.

 

6) Qual o valor da imagem da f(5) na seguinte função quadrática: f(x) = x² + 8x – 20 ?

 

7) Quais os zeros da função f(x) = x² + 8x – 20 ?

 

8) Os zeros da função de lei y = – x² + 9 são:

a) inexistentes

b) iguais a 3

c) 3 e – 3

d) iguais a 4,5

 

9) Do décimo sexto andar de um edifício, a 50 metros do chão, caiu um vaso. A distância do vaso em relação ao solo em cada momento da queda pode ser calculada pela lei de função d = 50 – 5t². Quantos segundo o vaso levou para atingir o solo?

 

10) Uma indústria de refrigerantes tem sua produção diária P, em garrafas, variando com o número de operadores em serviço n, de acordo com a função P(n) = n²+ 50n +20.000. Calcule:

a) a produção se o número de operadores for 40.

b) o número de operadores necessário para produzir 25.400 garrafas de refrigerantes.

 

11) A receita R de uma pequena empresa, entre os dias 1 e 30 do mês, é dada, em função do dia d do mês, pela função R(d) = –d²+ 31d – 30, enquanto a despesa D é dada por D(d) = 11d –19. Em que dias o lucro da empresa é zero?

 

12) Numa operação de salvamento marítimo, foi lançado um foguete sinalizador que permaneceu aceso durante toda sua trajetória. Considere que a altura h, em metros, alcançada por este foguete, em relação ao nível do mar, é descrita por:

h = 10 + 7t – t²,

em que t é o tempo, em segundos, após seu lançamento. A luz emitida pelo foguete é útil apenas a partir de 22 m acima do nível do mar. Depois de quantos segundos, após o lançamento, o foguete emite essa luz útil ?

(A) 3 segundos.

(B) 4 segundos.

(C) 5 segundos.

(D) 6 segundos.

 

13) Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como parte de um dos lados do cercado retangular que certo criador precisa construir. Para completar o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca.

Determine as dimensões x e y do cercado para que a área seja 100 m².

 

14) Um lote retangular tem 156 m² de área; a medida de sua lateral tem 1m a mais do que o dobro da medida da frente. Quantos metros de muro deverão ser construídos para cercar o lote, deixando apenas um portão de 2,5 m de largura?

 

15) Sabe-se, pela Lei de Newton, que uma força produzida por um corpo em movimento é equivalente ao produto da massa do corpo por sua aceleração. Se um grupo de n homens estão empurrando uma alavanca (aríete) contra uma plataforma e a massa total que produz a força F sobre a plataforma varia com a função M = (35n + 4) kg, enquanto a aceleração varia com a função a = (2n + 1) m/s², calcule o número n de homens necessário para produzir uma força de 763 N.

 

16) A temperatura T de uma estufa (em graus Celsius) é determinada ,em função da hora h do dia, pela expressão

T = –h² + 22h – 85.