A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 4 x 4 x 4 pode ser indicado na forma 43.
Com 4 na base da potência e 3 como expoente da potência.
Veja mais exemplos:
23 = 2 x 2 x 2 = 8.
(–5)3 = (–5) x (–5) x (–5) = –125.
.
Agora, vejamos os tipos de potenciação e suas propriedades. Lembramos novamente que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
TIPOS DE POTENCIAÇÃO
A seguir explicaremos vários tipos de potenciação.
a) Potência com expoente inteiro positivo:
41 = 4.
34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
(–2)3 = (–2) x (–2) x (–2) = –8.
b) Potência com expoente nulo
a0 = 1 para qualquer a 0.
Exemplos:
90 = 1.
c) Potência com expoente negativo
Exemplos:
5) Potência com expoente fracionário
Podemos também aplicar as regras de potenciação, quando a potência é fracionária. Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita em forma de radical e todo radical pode ser escrito na forma de potenciação com expoente fracionário. Por exemplo,
PROPRIEDADES DE POTENCIAÇÃO
A seguir você irá revisar algumas propriedades importantes de potenciação. Estas propriedades serão utilizadas frequentemente em cálculos matemáticos.
P1. Produto de potências de mesma base
Considere o exemplo 42 x 46. Por definição de potência você tem:
42 x 46 = (4 x 4) x (4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4) = 48.
Agora, sejam a ≠ 0 e m e n números reais, então am ∙ an = am + n.
Exemplos:
P2. Divisão de potência de mesma base
Considere o exemplo
. Pela definição de potência você tem:
Treine, agora, com as seguintes potências:
P3. Potência de potência
Considere o seguinte exemplo (53)2. Pela definição de potência você tem:
(53)2 = 53 x 53 = (5 x 5 x 5) x (5 x 5 x 5) = 56 = 15.625.
Sejam a ≠ 0 e m e n números reais, então (am)n = am ∙ n.
Exemplos:
P4. Potência de uma fração
Exemplos:
Treine, agora, com as seguintes potências:
Aula 3 - Equação Exponencial
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| Calcule o valor de x em cada equação! |
Aula 4 - Complemento de Equação Exponencial e Função definida por uma equação exponencial
Vamos calcular o valor de x nas seguintes equações exponenciais, vejamos:
a) 5 ∙ 2x = 10
Como o 5 está multiplicando um fator com uma incógnita exponencial, ele vai para o segundo membro dividindo o 10. E prosseguimos com a resolução da equação da forma:
b) 5 ∙ 3x = 45
Do mesmo modo que a equação anterior, como o 5 está multiplicando um fator com uma incógnita exponencial, ele vai para o segundo membro dividindo o 45. E prosseguimos com a resolução da equação da forma:
c) 5 + 4x = 21
Como o 5 está somando uma parcela com uma incógnita exponencial, ele vai para o segundo membro subtraindo o 21. E prosseguimos com a resolução da equação da forma:
c) 10 + 2x = 42
Como o 10 está somando uma parcela com uma incógnita exponencial, ele vai para o segundo membro subtraindo o 42. E prosseguimos com a resolução da equação da forma:
a) 3 ∙ 2x = 96
b) 5 ∙ 2x + 1 = 20
c) 7 ∙ 3x = 441
d) 23 + 3x = 50
e) 40 + 23x = 104
f) 230 + 10 ∙ 3x + 1 = 500
Vejamos um problema de aplicação das equações exponenciais que gerará uma função, não qual abrirá precedente para apresentarmos função exponencial.
Em um restaurante, devido às más condições de higienização, uma salada foi infectada por uma colônia de bactérias. Supondo que nessa colônia há 10 bactérias e que 1 bactéria divide-se em 3 a cada minuto, em quanto tempo, em minutos, haverá 65.610 bactérias?
Nas condições apresentadas no problema, se cada uma bactéria divide-se em três a cada minuto tem-se que:
inicio: 10 bactérias.
1 minuto depois: cada uma das 10 dividiu-se em três outros, logo tem-se 10 x 3 = 30 bactérias.
2 minutos depois: cada uma das 30 anteriores dividiu-se em três outras, logo term-se 30 x 3 = 90 bactérias.
3 minutos depois: cada uma das 90 anteriores dividiu-se em três outras, logo tem-se 90 x 3 = 270 bactérias.
E dessa forma, observa-se que o número de bactérias N depois de um determinado tempo t minutos, varia da seguinte forma:
No t = 0 min tem-se N = 10 bactérias.
No t = 1 min tem-se N = 10 x 3 bactérias.
No t = 2 min tem-se N = 10 x 3 x 3 bactérias.
No t = 3 min tem-se N = 10 x 3 x 3 x 3 bactérias.
E isso ocorre sucessivamente, pois pode-se verificar que no t = 4 min tem-se N = 10 x 34 = 10 x 81 = 810 bactérias, notando assim que ocorre o que chama-se um crescimento exponencial.
Sendo possível então modelar uma função nesses termos:
N(t) = 10 ∙ 3t
O número de bactérias N varia em função do tempo t minutos, na lei de função acima apresentada.
A partir dessa lei de função: N(t) = 10 ∙ 3t, pode-se calcular depois de 10 minutos quantas bactérias haverá nessa salada.
Bem como, é possível saber, depois de quanto tempo haverá 65.610 bactérias.
Fazendo-se, como N(t) = 65.610 então 10 x 3t = 65.610, surgindo aqui uma equação exponencial que deve-se resolver para obter o valor de t:
10 x 3t = 65.610
3t = 65.610 / 10
3t = 6.561
3t = 38
t = 8
Exemplos de função Exponencial:
Uma dica importante para calcular potências em uma calculadora, utilizando as teclas próprias:
Treine, agora, calculando o que se pede de cada função:
Aula 5 - Potência de base 10 e Números decimais
Generalizando, temos:
,para n > 0.
Ordem e operações com números decimais:
I) Comprimento
Podemos definir a distância entre dois
pontos distintos A e B como sendo o comprimento do segmento de reta de
extremidades A e B.
A unidade padrão de medida do
comprimento é o metro (m). Os múltiplos e submúltiplos do metro mais utilizados
são: o quilômetro (km), o decímetro (dm), o centímetro (cm) e o milímetro (mm).
Atividades:
1) Em média, o passo de Mario
mede 50 cm. Qual a distância, em metros, Mario percorre ao dar mil passos?
2) Uma montanha de 0,937 km de altura. Deseja-se construir um edifício com a décima parte da altura da montanha. Quantos metros deve ter o edifício?
II) Área
Entende-se como a medida de uma superfície plana.
Unidades mais usadas: metro
quadrado (m2), quilômetro quadrado (km2) e centímetro
quadrado (cm2).
1 km2 = (1.000 m)2 = (103 m)2 = 106 m2
1 m2 =
(100 cm)2 = (102 cm)2 = 104 cm2
1 cm2 =
10–4 m2
Área de Figuras Planas:
Atividades:
1) Calcular a área de um quadrado cujos lados medem 0,60 m. Dê a resposta em centímetros quadrados.
2) Calcule a área de um terreno retangular cujos lados medem 1.000 m e 1.200 m. Dê a resposta em km2.
3) Qual a área da bandeirinha representada pela figura abaixo?
4) Calcule a área da parte hachurada da figura abaixo:
5) Qual a área da figura abaixo?
III) Massa
Entende-se como quantidade de matéria de
um corpo.
A unidade padrão de medida de massa é o
quilograma (kg). Os múltiplos e submúltiplos do quilograma mais usado é: o
grama(g), o miligrama(mg),
e a tonelada (t).
Assim, temos: 1 t = 1.000kg = 103
kg
1 kg = 1.000 g = 103 g
1 g = 0,001
kg = 10-3 kg
1 mg = 0,001
g = 10-3 g
1
mg = 10-6 kg
VI) Intervalo de Tempo
Entende-se a duração de uma atividade
que nos dá ideia de presente, passado e futuro ou período no qual um evento
ocorre.
A unidade padrão de tempo é o segundo
(s).
O segundo, admite, entre
outros, os seguintes múltiplos: minuto (min), hora (h) e dia.
Assim, temos: 1 min = 60 s
1 h = 60 min
= 3.600 s
1 dia = 24 h = 86.400 s
Atividades:
1) Um avião tem capacidade
para quatrocentos passageiros. Cada pessoa tem, em média, massa de 70kg e pode
levar 20kg de bagagem. Quantas toneladas
esse avião tem capacidade para carregar?
2) Dona Margarida precisa
descobrir a massa de um único feijão. Usando uma balança, descobriu que a massa
de mil feijões era de 0,47 kg. Desse modo, Dona Margarida determinou a massa de
um feijão em quantos gramas?
3) Em uma eleição, cinco
eleitores demoram para votar, respectivamente: 1min 28s, 2min 50s, 1min 16s e
1min 42s. Qual o total de tempo gasto por estes eleitores?
4) Um ônibus partiu de seu
ponto de embarque às 14h34min, retornando ao mesmo ponto como desembarque às
18h39min. Determine o intervalo de tempo da viagem desse ônibus?
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