Seja b uma constante real tal que b > 0 e b ≠ 1. Se x > 0, então dizemos que y = logb x se e somente se by = x.
A função definida por f(x) = logb x é
denominada função logarítmica na
base b.
A função logarítmica f(x) = logb x é a inversa de g(y) = by, a função exponencial na mesma base b. Da mesma forma, g(y) = by é a inversa de f(x) = logb x.
Logo, as equações y = logb x e x = by são equivalentes, embora a primeira equação esteja na forma logarítmica, enquanto a segunda está na forma exponencial.
Note que é importante manter a base. Assim, por
exemplo, y = log3 x é a inversa de x = 3y, mas não de x =
5y.
Exemplo:
Sabendo que P = 80 ∙ (1,05)t e utilizando log 2= 0,30 e log 1,05= 0,02.
a)
Calcule P
se t = 0;
Fazendo, a substituição na função exponencial P
do valor dado de x = 0, temos:
P = 80 x (1,05)0 = 80 x 1 = 80
Logo, quando x = 0, temos P = 80.
b)
Calcule t
se P = 160.000.000.
Agora, fazendo a substituição do valor P = 160 dado
na função, temos:
160 = 80 x (1,05)t
Resolvendo a equação exponencial, temos:
160 / 80 = (1,05)t
2 = (1,05)t
(1,05)t = 2
Aplicando log aos dois lados e a propriedade de
logaritmo de potência, temos:
log (1,05)t = log 2
t ∙ log (1,05) = log 2
Substituindo os logs dados, temos:
t ∙ 0,02 = 0,30
t = 0,30 / 0,02
t = 15
Logo, quando P = 160, temos t = 15.
Aplicação de Logaritmo I
1) A partir de um certo ano, a população de uma cidade passou a crescer de acordo com a função
P = 50.000 · (1,024)n,
onde n representa os anos e P, o número de habitantes. Sabendo que log 1,024= 0,01, faça uma previsão de quando essa cidade atingirá 500.000 habitantes.
2) O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição, o número de pessoas y que ficam conhecendo o produto é dado por
y = 3 – 3 · (0,6)t,
onde y é dado em milhões de pessoas.
Para que valor de t teremos pelo
menos 1,2 milhão de pessoas conhecendo o produto?
3) Numa experiência realizada em laboratório, Alice constatou que, dentro de t horas, a população P de determinada bactéria crescia segundo a função P(t)= 25 · 2t. Nessa experiência, a população atingiu 625 bactérias em, aproximadamente:
(A) 4 horas e 43 minutos.
(B) 5 horas e 23 minutos.
(C) 4 horas e 38 minutos.
(D) 5 horas e 4 minutos.
4) Uma cultura de microrganismo que cresce 20% por hora apresentava 100.000 indivíduos no início de estudo. Daí tem-se que esse crescimento tem como modelo matemático a função
P(t)=100.000 · (1,2)t,
como P o número de indivíduos em determinado período de tempo t.
Adotando log 1,2 = 0,8 e log 3 = 0,48, calcule o tempo necessário a partir do inicio desse estudo para que a cultura atinja 300.000 indivíduos.
5) Ao nível do mar, a pressão atmosférica P é de 750 mmHg. Essa pressão varia com a altura h, de acordo com a fórmula 
6)
O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão
atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros,
detectada pelo altímetro de um avião seja dada, em função da pressão
atmosférica p, em atm, por: 
. Num determinado instante, a
pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,5 atm. Considerando a
aproximação log 2 = 0,3, a altitude
do avião nesse instante, em quilômetros, era de:
(A) 6.
(B) 8.
(C) 9.
(D) 11.
(E) 12.
Aplicação de Logaritmo II
Para relacionar os
conceitos de acidez e alcalinidade com sua vivência, você já deve ter percebido
que ao beber, separadamente, um pouco de água, de vinagre e de suco de caju sem
açúcar têm-se sensações diferentes. A água não causa nenhum desconforto na degustação,
o vinagre provoca azedume, enquanto o suco de caju causa uma sensação
adstringente (“amargura a boca”). Isso se deve à concentração de íons H+
na solução. A acidez, a neutralidade ou a alcalinidade de uma solução são
expressas pelo pH (potencial hidrogeniônico) da solução, definido por: pH = –
log [H+]; em que [H+] é concentração de íons hidrogênio H+,
em mol/L. Assim, o valor do pH aumenta à medida que a concentração de íons
hidrogênio decresce. Quanto menor o pH, mais ácida é a solução. O valor 7 do pH
indica que a solução é neutra (nem ácida, nem alcalina); um pH abaixo de 7
indica acidez; e acima de 7, alcalinidade. Por exemplo, o pH da água é 7, do
vinagre é menor que 7 e do suco de caju é maior que 7.
1) Considere as seguintes soluções ácidas: o suco de limão, cujo
pH é 2, e o suco de tomate, cujo pH é 4.
a) Qual é a concentração de íons H+, em mol/L, no suco
de limão?
b) A concentração de íons H+, em mol/L, no suco de
limão equivale a quantas vezes essa concentração no suco de tomate?
2) Podemos dizer também que o pH de uma solução é o logaritmo decimal do inverso da concentração de H3O+(hidrônio). Qual é o pH de uma solução cuja concentração de H3O+ é 4 x 10–5 mol/L?
3) Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou
que, nela, a concentração de íons de hidrogênio era [H+] = 6 x 10–8 mol/L.
Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30 para
log 2, e de 0,48 para log 3. Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH
dessa solução foi:
(A) 7,22.
(B) 7,32.
(C) 7,48.
(D) 7,74.
4) Se a molaridade do sangue humano for dada por 4 x 10–8 e, adotando-se log 2 = 0,30; o pH do sangue humano será:
(A) 4,6.
(B) 4,8.
(C) 6,8.
(D) 7,4.
5) A
intensidade I de um terremoto, medida
na escala Richter, é um número que varia de I
= 0 até I = 9 para o maior
terremoto conhecido. I é dado pela
fórmula: 
, em que E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7 x 10–3 kWh.
Qual é a energia liberada num
terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
6) A magnitude de um
terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia
liberada pelo abalo sísmico. Podemos dizer que um abalo sísmico de magnitude 6
na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3?
Aplicação de Logaritmo III
3) O nível sonoro S, em decibéis (dB), de uma fonte
emissora de som é dado pela função 
, onde I é a intensidade da onda sonora, em Watt por metro quadrado (W/m2), e Io = 10-12 W/m2
é a intensidade de referência padrão correspondente à menor intensidade
percebida pelo ouvido humano. A máxima intensidade suportável pelo ouvido
humano é de 1 W/m2. Acima desse valor, a sensação auditiva é
dolorosa.
Assim, o nível sonoro S de uma fonte que emite um som com a maior intensidade que o
ouvido pode suportar, sem dor, é:
(A) 80 dB (B) 10–11 dB (C) 10–12 dB (D) 120 dB
4) Porém um som de 90 dB já é suficiente para causar danos ao ouvido médio, qual é a intensidade da onde sonora, em W/m2, nesse nível sonoro de referência?
5) Um amplificador de som de uma apresentação musical, ligado a 5 × 10–1 W/m2 , será capaz de prejudicar a audição de um incauto fã?
6) A que intensidade I, em W/m² , corresponde o som usual de uma conversa, que costuma atingir 40 dB?
7) Suponha que o nível sonoro S e a intensidade I de um som estejam relacionados pela equação logarítmica
S = 120 + 10 log10 I, em que S é medido em decibéis e I, em watts por metro quadrado. Sejam I1 a intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas e I2 a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A razão I1/I2 é igual a:
(A) 1/10 (B)
1 (C) 10 (D) 100
8) A escala de um aparelho para medir ruídos é definida da seguinte forma: R = 12 + log I, em que R é a medida do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m². No Brasil, a unidade utilizada é o decibel (1/10 do bel). Por exemplo, o ruído dos motores de um avião a jato é de 160 decibéis, enquanto o ruído do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade é de 80 decibéis, sendo este o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
(1) A intensidade sonora de um ruído de zero decibel é de 10–12 W/m.
(2) A intensidade sonora dos motores de um
avião a jato é o dobro da intensidade sonora do tráfego em uma esquina
movimentada de uma grande cidade.
(3) Uma intensidade sonora maior que 10–4 W/m² produz um ruído que é nocivo ao ouvido humano.
Aplicação de Logaritmo IV
Os átomos de uma substância
radioativa (como rádio e o urânio, por exemplo) tendem a se desintegrar,
emitindo partículas e transformando-se noutra substância. As partículas
emitidas não alteram significativamente a massa total do corpo mas, com o passar
do tempo, a quantidade da substância original diminui (aumentando,
consequentemente, a massa da nova substância transformada). Isto ocorre de tal
modo que, em cada instante, a quantidade de matéria que se está desintegrando
naquele momento é proporcional à massa da substância original que ainda resta.
Assim sendo, se chamarmos
(como fazem os cientistas) de meia-vida de uma substância radioativa o tempo
necessário para que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por
aquela substância, constatamos que a meia vida é um número intrinsecamente
associado a cada substância radioativa: o tempo necessário para reduzir à
metade a radioatividade de uma tonelada de urânio é igual ao tempo que leva um
grama da mesma substância para ter sua metade desintegrada.
A propósito: os vários
isótopos do urânio têm meia vida da ordem de 109 anos. Enquanto
isso, a meia vida do rádio-224 é de 3 dias e 15 horas.
Toda substância radioativa se desintegra a uma taxa constante, isto é, seu decaimento é exponencial. Para isso utiliza-se a seguinte expressão
Q = Q0 · e-rt,
em que Q é
a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos e e=2,7.
1) Em quantos anos 200g de uma substância radioativa, que se
desintegra a uma taxa de 5% ao ano, se reduzirão a 50g. (Utilize log 2,7 = 0,4
e log 2 = 0, 3)
2) Uma substância radioativa se desintegra a uma
taxa de 8% ao ano. Em quantos anos 50g dessa substância se reduzirão a 5g?
3) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é
S = S0 · e-0,25t,
em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegra-se?
4) Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegra. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano.
5) Luiz ingeriu 500mg de amoxicilina às 8h. Suponha que a meia-vida dessa substância é de aproximadamente 1h.
a) Qual é a taxa r de desintegração da substância?
b) Depois de que horas, a
quantidade da substância no corpo de Luiz será de 5mg?
6) (ENEM 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão
M(t) = A · (2,7)kt,
onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?
(A) 27.
(B) 36.
(C) 50.
(D) 54.
(E) 100.
7) Um fabricante de equipamentos de informática um disco rígido de 30 gigabytes. Na linguagem usual de computação, essa medida corresponde a p × 230 bytes.
|
x |
2,0 |
2,2 |
2,4 |
2,6 |
2,8 |
3,0 |
|
log x |
0,301 |
0,342 |
0,380 |
0,415 |
0,447 |
0,477 |
Calcule o valor de p,
considerando que 1 gigabyte equivale a 109 bytes.
8) As populações A e B de
duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas funções:
A(t) = log4 (2 + t)5 e B(t) = log2 (2t + 4)2,
nas quais a variável t representa o tempo em anos. Essas
cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:
(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14
9) A lei de resfriamento de Newton afirma que a diferença de temperatura entre
um corpo e o meio que o contém decresce a um taxa de variação proporcional à
diferença de temperatura. Considere função
T(t)= Tm + (T0 – Tm) · e-kt,
onde Tm é a temperatura ambiente do meio, T0 é a temperatura do objeto no instante t = 0 e k é uma constante positiva que depende do material do corpo.
Num certo dia, a temperatura
ambiente era de 30 graus. A água que fervia a 100 graus em uma panela, cinco
minutos depois de apagado o fogo, tinha a temperatura de 65 graus. Assim, o
tempo necessário, em minutos, depois de apagado o fogo, para a água atingir a
temperatura de 37 graus, foi de:
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20
10) Suponha que, em
determinado local, cuja temperatura ambiente é de 30 °C, existe uma panela de água fervente no fogo. Em t=0, o fogo é desligado e 5 min depois a temperatura
da água é de 65 °C. Depois de quanto tempo, a partir do desligamento do fogo, a
agua atingira a temperatura de 37 °C? Considere log 2= 0,3.
(A) 20 minutos e 40 segundos.
(B) 16 minutos e 40 segundos.
(C) 12 minutos e 40 segundos.
(D) 8 minutos e 40 segundos.
11) Em um trecho de mata
próxima à cidade, a polícia encontrou, por volta das 17 horas, um cadáver. O
médico legista chegou às 17h20min e imediatamente mediu a temperatura do corpo,
que era de 32,5°C. Uma hora mais tarde, ele mediu novamente a temperatura e
verificou que era de 31,5°C. A temperatura ambiente (na mata) se manteve
constante, a 16,5°C. O legista considera que a temperatura normal de uma pessoa
vive é 36,5°C. De acordo com as temperaturas coletadas, e usando a lei do
resfriamento de Newton, o horário da morte pode ser estimada por volta de: (Dados: log 2 = 0,3; log 3 = 0,47)
(A) 13h40min.
(B) 14h.
(C) 14h30min.
(D) 15h.
(E) 14h50min.
12) Um forno elétrico estava em pleno funcionamento quando ocorreu uma falha de energia elétrica, que durou algumas horas. A partir do instante em que ocorreu a falha, a temperatura no interior do forno pôde ser expressa pela função:
T(t) = 2t + 400 · 2-t,
com t em horas, t ≥ 0, e a temperatura em graus Celsius.
a) Determine as temperaturas
do forno no instante em que ocorreu a falha de energia elétrica e uma hora
depois.
b) Quando a energia elétrica
voltou, a temperatura no interior do forno era de 40 graus. Determine por
quanto tempo houve falta de energia elétrica. (Use a aproximação log2 5 = 2,3)
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