Equação do 2º Grau

 

 

Sabemos que podemos resolver problemas usando equações. A resolução de equações pelo método algébrico consiste em algumas etapas que vamos recordar:

a) Representar o valor desconhecido do problema, a incógnita, por uma letra que, em geral, é a letra x.

b) Escrever a sentença matemática que “traduz” o problema. É o que chamamos de equacionar o problema.

c) Resolver a equação do problema.

d) Verificar a solução encontrada escolhendo a solução correta, de acordo com o que foi solicitado no problema.

 

Já estudamos problemas utilizando equações do 1º grau, estudemos agora equações do 2º grau, usadas na resolução de problemas de diferentes assuntos que apresentam necessidade desse tipo de equação.

 

Na figura a seguir, temos um retângulo de comprimento 6 cm e cuja largura é desconhecida, ou seja, não sabemos sua medida. Ao lado desse retângulo temos um quadrado cujo lado é igual à largura do retângulo. Vamos determinar o lado do quadrado, sabendo que a área total da figura é de 16 cm².

Chamamos o lado do quadrado, que é a incógnita do problema, de x.

Calculando as áreas do retângulo e do quadrado, temos: 

Área do retângulo: 6 ∙ x = 6x

Área do quadrado: x ∙ x = x² 

Área total da figura é: 6x + x² = 16. (Equação do problema) 

Vamos, agora, "arrumar" a equação do problema, colocando todos os termos no primeiro membro e ordenando-os de acordo com as potências de x, da maior para a menor, ou seja, de modo decrescente.

 

x² + 6x – 16  = 0

 

Essa equação é da forma ax² + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau.

Os coeficientes a, b e c são números reais; e o a é sempre diferente de zero.

Assim, a equação do 2º grau possui:

Um coeficiente dependente de x²: a.

Um coeficiente dependente de x: b.

Um coeficiente independente de x: c.

 

Veja os exemplos:

a) Na equação 2x² – 4x + 5 = 0, os coeficientes são:

a = 2, b = –4 e c = 5.

 

b) Na equação x² + 5x = 0, os coeficientes são:

a = 1, b = 5 e c = 0.

Nesse caso, não existe o termo independente de x.

 

c) Na equação 2x² – 9 = 0, os coeficientes são:

a = 2, b = 0 e c = –9.

Nesse caso, não existe o termo do 1º grau em x.

 

d) Na equação 4x² = 0, os coeficientes são:

a = 4, b = 0 e c = 0.

Nesse caso, faltam dois termos.

 

A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos.

Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta.

Na equação do 2º grau, escrevemos que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero?

Vamos substituir a por zero da equação ax² + bx + c = 0.

A equação ficará assim:

0∙x + bx + c = 0

bx + c = 0 

Uma equação do 1º grau. Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero, pois anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.

 

Resolução de uma equação do 2º grau 

Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímos x por esse valor.

No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.

Exemplo:

a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da equação:

A equação é: x² + 6x – 16 = 0

Substituindo x por 2, temos:

2² + 6 ∙ 2 – 16 = 0

4 + 12 – 16 = 0

16 – 16 = 0

Sentença verdadeira!

Logo, x = 2 é uma solução da equação x² + 6x – 16 = 0.

 

b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.

Substituindo x por 1, temos:

1² + 6 ∙ 1 – 16 = 0

1 + 6 – 16 = 0

7 – 16 = 0

Sentença falsa!

Logo, x = 1 não é solução da equação x² + 6x – 16 = 0.

 

Resolução das equações incompletas 

1º caso: Equações do 2º grau em que b = 0

(equações do tipo ax² + c = 0) 

Nesse caso, a equação só tem um termo em x, então a resolvermos como se ela fosse uma equação do 1º grau.

ax² + c = 0

ax² = –c.

Isolando o termo em x no 1º membro. 

Agora, calculando o termo em x², temos:

x² = –c / a. 

e extraindo a raiz quadrada, ficará:

 

Porém as soluções da equação são, podem ser uma positiva e uma negativa, de forma simétrica, por exemplo:

 

Desse modo, esse tipo de equação pode ter duas soluções reais, caso o radicando –c seja um número positivo.

Se o radicando for negativo a equação não terá solução, pois a raiz de índice par de um número negativo não é um número real.

No caso do radicando ser nulo, a equação terá uma única solução, também nula.

 

Exemplo: Resolver a equação 3x² – 27 = 0.

3x² = 27

x² = 27 / 3

x² = 9

x = ±

x = 3

As soluções da equação são +3 e –3.

 

2º caso: Equações do 2º grau em que c = 0

(equações do tipo ax² + bx = 0)

 

Observe que essa equação possui dois termos em x.

Nesse caso, podemos fatorar ax² + bx, colocando x em evidência:

x ∙ (ax + b) = 0

Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero.

Logo um dos fatores deve ser nulo: x = 0.

Se x (ax + b) = 0, então x = 0 ou ax + b = 0.

ax = –b

x = –b / a

 As soluções da equação são x₁ = 0 e x₂ = –b/a.

Neste tipo de equação, encontraremos sempre duas soluções diferentes, sendo uma delas iguais a zero.

 

Exemplo: Resolver a equação 3x² – 15x = 0.

x ∙ (3x – 15) = 0

x = 0 ou 3x – 15 = 0

3x = 15

x = 15 / 3

x = 5

As soluções são x₁ = 0 e x₂ = 5.

 

Atividades:

1) Na equação x² – 7x + 10 = 0, verifique se o número 5 é uma solução.

 

2) Dados os números, 0, –1 e 1; indique quais são as soluções da equação: x² + 3x + 4.

 

3) Na equação 3x² + 3x – 4 = 0, indique:

a) o coeficiente dependente de x².

b) o coeficiente dependente de x.

c) o coeficiente independente de x.

4) Quais são os coeficientes da equação  ?

 

5) Uma equação do 2º grau (ax² + bx + c = 0) é chamada de incompleta quando b=0 ou c=0. Resolva as equações incompletas do 2º grau abaixo:

a) x² = 49

b) 3x² = 9

c) x² – 36 = 0

d) 2x² – 8 = 0

e) x² – 1 = 8

f) x² + 5 = 30

g) –3x² + 12 = 0                         

h) 16x² – 5 = 4

 

6) Resolva as equações abaixo colocando x em evidência:

a) x² – 2x = 0                             

b) x² + 10x = 0

c) 2x² + 8x = 0                            

d) 6x² + 6x = 0

e) 2x² – 72 = 0

f) x² – 16x = 0                            

g) –3x² + 9x = 0

h) –7x² + 13x = 0

i) –x² + 5x = 0

j) 2x² = 8x

k) 3x² = –6x

 

7) Qual é o número que elevado ao quadrado é igual ao seu dobro?

 

8) Qual é o lado de um quadrado cuja área é 256 cm² ?

 

9) Resolva as equações de 2º grau abaixo:

a) 2x² = 10

b) x² – 3 = 0

c) 3x² – 21 = 0

d) 4x² – 3 = 0

e) (x – 2)² = 6

f) (x + 5)² – 3 = 0

g) –7x² + 19 = 0

h) –5x² + 10 = 0

i) (x – 4)² = 4                                            

j) (x – 3)² = 16

k) (x + 1)² = 64

l) (2x – 3)² – 9 = 16

m) (x + 3)² + 12 = 48

 

10) Lembrando que “se A ∙ B = 0, então A = 0 e B = 0”, resolva as seguintes equações:

a) (x – 1) ∙ (x – 2) ∙ (x – 3) = 0

b) 10 ∙ (x + 2) ∙ x = 0

c) x ∙ (2x – 1) ∙ (3x + 1) = 0

Resolução de Equação do 2º Grau Completa 

Já sabemos resolver a equação x² + 6x = 0, colocando o x em evidência. 

Agora, como resolver a equação x² + 6x = 7 ? 

Observe atentamente a resolução abaixo. Vamos começar com algo que, a princípio, pode parecer misterioso. 

Somando 9 aos dois lados da equação:

x² + 6x + 9 = 7 + 9 

Repare que, com esse artifício misterioso o lado esquerdo é exatamente igual a (x + 3)². Confira. 

Temos, então:

(x + 3)² = 16

x + 3 = ± √16

x + 3 = ± 4

x = –3 ± 4

As raízes da equação são:

             x₁ = –3 + 4 = 1              

x₂ = –3 – 4 = –7  

Fica então a pergunta: como adivinhamos que, se somássemos 9 aos dois lados da equação, a solução apareceria? Respondemos logo.

Para obter um quadrado perfeito a partir da expressão

x² + px,

devemos somar a essa expressão:

Observe que

 

Portanto, se temos, por exemplo a expressão x² + 6x, para obter um quadrado perfeito, devemos somar

 

Exemplo:

Vamos resolver a equação x² – 8x – 20 = 0.

Isolamos então x² – 8x no primeiro membro, e a seguir, procuramos o número que deve ser colocado no lugar de #, de modo que x² – 8x + # seja um trinômio quadrado perfeito.

Como esse número é 16, somaremos 16 aos dois membros da equação. 

Veja então a sequência toda:

x² – 8x – 20 = 0

x² – 8x = 20

x² – 8x + 16 = 20 + 16

(x – 4)² = 36

x – 4 = ± √36

x – 4 = ± 6

x = 4 ± 6

Portanto, as raízes da equação são:

x₁ = 4 + 6 = 10              

x₂ = 4 – 6 = –2  

Logo, S = {–2, 10}.

 

Vamos conferir: 

x² – 8x – 20 = 0

(–2)² – 8 ∙ (–2) – 20 = 4 + 16 – 20 = 0

(10)² – 8 ∙ (10) – 20 = 100 – 80 – 20 = 0  

 

Atividade:

1) Pratique, como completar quadrados.

a) x² + 10x + # = (x + #)²

(10/2)² = 5² = 25

Portanto, x² + 10x + 25 = (x + 5)².

 

b) x² + 12x + # = (x + #)²

c) x² – 6x + # = (x – #)²

d) x² + 3x + # = (x + #)²

 

2) Resolva as equações:

a) (x + 3)² = 25

b) (x – 2)² = 1

c) (x – 1)² = 2

d) x² – 4x = 12

e) x² – 6x – 40 = 0

f) x² – 5x + 6 = 0

g) x² – 8x + 10 = 0

h) (3x – 2)² = 4

  

Fórmula Resolutiva de Equação do 2º Grau Completa 

Existe um método que nos permite resolver qualquer equação do 2º grau.

Aplicando esse método, obtemos uma fórmula resolutiva conhecida como fórmula de Bhaskara.

Bhaskara foi um matemático hindu nascido por volta do ano 1100. Embora a fórmula que vamos conhecer leve seu nome, ele não a descobriu. Trezentos anos antes, o método de resolução já era aplicado elo matemático árabe Al-Khowrizmi, tido como iniciador da álgebra. Entretanto, Bhaskara levou a fama...

A idéia principal do método para resolver uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, é esta:

a) se ax² + bx + c for um trinômio quadrado perfeito, a resolução é simples; 

b) se ax² + bx + c não for um trinômio quadrado perfeito, iremos transformá-lo num trinômio quadrado perfeito.

Somando um número conveniente aos dois membros da equação e assim completando quadrado, como aprendido anteriormente.

Para tanto, vamos começar procurando o número que deve ser colocado no lugar de #, para que 

4x² + 20x + # 

seja um trinômio quadrado perfeito.

4x² + 20x = 4 ∙ (x² + 5x),

colocando o 4 em evidência, para completar o quadrado da expressão inicial, primeiro devemos completar para expressão:

x² + 5x

Disso, temos:

 

E para a expressão inicial, temos:

 

4x² + 20x + 25 = (2x + 5)².

 

Dedução da Fórmula de Bhaskara 

Vamos usar o método na resolução de uma equação do 2º grau genérica, isto é, uma equação que representa qualquer uma das possíveis equações do 2º grau:

ax² + bx + c = 0, a ≠0 

 Começamos isolando ax² + bx no primeiro membro. 

ax² + bx + c = 0

ax² + bx = –c

Agora, procuramos o termo que deve ser colocado no lugar de #, para que ax² + bx + # seja um trinômio quadrado perfeito.

colocando o a em evidência, para completar o quadrado da expressão inicial, primeiro devemos completar para expressão:

 

Disso, temos:

 

E para a expressão inicial, temos:

Voltando à equação

ax² + bx = –c,

já sabemos que para completar quadrado e resolvê-la, precisamos somar ambo os lados por:

 

Então, temos:

 

É bastante usual indicarmos a expressão b² – 4ac pele letra grega Δ (“delta”) e que recebe o nome de discriminante da equação do 2º grau e possui um papel fundamental na equação, pois se:

Se o discriminante for positivo, Δ > 0, a equação possui duas raízes reais diferentes.

Se o discriminante foi nulo, Δ = 0, a equação possui uma raiz real, ou por pleonasmo diz-se que possui duas raízes reais iguais.

Se o discriminante dor negativo, Δ < 0, a equação não possui raízes reais.

 

Utilizando a fórmula de Bhaskara, vamos resolver algumas equações: 

Equação 1: 2x² – 7x + 3 = 0 

A equação possui duas raízes reais diferentes, que são: 

Logo, a solução da equação é:

x₁  = 3       e       x₂ = ½.

Equação 2: x² – 6x + 9 = 0 

Como o discriminante (valor dentro do radical) é nulo, a equação possui uma raiz real, que é:

x = 6 / 2 = 3.

Logo, a solução da equação é:

x = 3.

 

Equação 3: 2x² + 5x + 4 = 0

A equação não possui raízes reais, pois seu discriminante (valor dentro do radical) é negativo.

 

 

Atividades:

1) Além da fatoração, há uma fórmula resolutiva das equações do 2º grau. Segundo a fórmula as raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a≠0 e a, b, c    são dadas por 

, 

onde o valor da expressão b² – 4ac é denominado discriminante da equação. 

Use a fórmula para achar as raízes das seguintes equações:

a) x² – 2x – 15 = 0                            

b) x² + 5x – 6 = 0

c) 2x² + 3x + 1 = 0

d) x² – 5x + 4 = 0                        

e) x² – 3x + 2 = 0

f) 2x² – 3x + 1 = 0                      

g) x² – x – 2 = 0

h) x² + x + 5 = 0                          

i) 4x² – 6x + 2 = 0

j) 8x² – 2x – 1 = 0

k) 3x² – 8x + 10 = 0

l) –x² – 2x + 3 = 0

2) O matemático francês François Viète (1540-1603) descobriu as seguintes relações entre as raízes x₁ e x₂ da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0  (a≠0):

x₁ + x₂ =  –b / a           e           x₁ ∙ x₂  = c / a   .

Indique a soma e o produto das raízes das equações abaixo. A seguir, descubra mentalmente suas raízes:

a) x² – 5x + 6 = 0                         

b) x² – 4x + 4 = 0

 

3) A soma S e o produto P das raízes de uma equação do 2º grau são tais que a equação pode ser apresentada da seguinte forma: x² –  Sx + P = 0.

Resolva mentalmente as equações abaixo, achando, inicialmente, a soma e o produto das raízes:

a) x² + 7x + 10 = 0                     

b) x² – 4x –  5 = 0

c) x² + 8x – 9 = 0

d) x² – 3x – 10 = 0

e) x² + 8x + 16 = 0

4) Na equação x² – 4x + p – 6 = 0, a soma e o produto das raízes são iguais. Determine, nessas condições, o valor de p.

 

5) Considere as expressões:

x² – 5x – 6      e      2x – 16.

Encontre os valores reais de x para os quais:

a) a primeira expressão é igual a 0.

b) a segunda expressão é igual a 0.

c) a primeira expressão é igual a 8.

d) a segunda expressão é igual a 8.

e) as duas expressões possuem o mesmo valor.

 

6) Por que a equação (x – 1)² + 3 = 0 não possui solução?

 

7) Resolva a equação x⁴ + 15x² – 16 = 0.

 

8) Resolva as equações abaixo: 

a) x² + 4x – 1 = 0                   b) 10x² – 7x + 1 = 0

c) x² + x +   = 0                     d) (x – 1)² = 9

e) a² + 2a + 1 = 0                   f) m² – 9 = 16

g) k² + 100k = 0                     h) h + 1 = h² – 1

i) w² – 16w + 64 = 0              j) 100u² – u = 0

 

 

Problemas com Equação do 2º grau 

Já tratamos de resoluções de equações do 2º grau, vamos resolver problemas que dependem dessas equações.

Observe que o significado das incógnitas deve ficar bem claro para que o equacionamento do problema possa ser feito sem dificuldade. Após a resolução da equação, devemos verificar se as duas raízes servem como resposta para o problema em questão.

Para tanto, é interessante que você leia atentamente cada enunciado e construa a equação que possibilita a resolução. Vejamos alguns exemplos: 

Exemplo 1:

A prefeitura de uma cidade deseja cimentar o contorno de uma praça retangular de 40 metros por 20 metros. Para que faixa a ser cimentada seja uniforme e a área interna da praça tenha 476 m², que largura deverá ter essa faixa? 

Claramente que a largura da faixa é nossa incógnita. Vamos então chamar de x a medida que desejamos calcular.

Pelo problema, a área interna deverá ter 476 m². Devemos pela figura verificar que a área interna é dada pelas dimensões:

da largura: (20 – x – x) = 20 – 2x,

e do comprimento: (40 – x – x) = 40 – 2x.

Fazendo o produto dessas dimensões obteremos a área da parte interna, já conhecida:

(20 – 2x) ∙ (40 – 2x) = 476.

Desenvolvendo a expressão, temos:

800 – 40x – 80x + 4x² = 476

4x² – 120x + 800 – 476 = 0

4x² – 120x + 324 = 0. 

Essa é uma equação do 2º grau, e a largura da calçada a sua incógnita. Vamos resolver essa equação, utilizando a fórmula de Bhaskara: 

x₁ = (30 + 24) / 2 = 54 / 2 = 27. 

x₂ = (30 – 24) / 2 = 6 / 2 = 3.

 

Como a faixa não pode ser maior que a própria praça, descartamos a raiz x = 27. 

Assim, a solução do problema deverá ser x = 3. 

Isso significa que a faixa ao redor da praça deverá ter 3 metros de largura.  

 

Exemplo 2:

Dois números quando adicionados somam 10 e quando multiplicados têm produto 24. Quais são esses números?

Formando expressão algébrica de cada uma das situações, temos, utilizando como variáveis x e y:

x + y = 10

x ∙ y = 24. 

Agora, temos duas equações, e para resolvê-la e encontrar uma solução para o problema devemos isolar uma das incógnitas, escolhamos isolar y:

y = 10 – x.

Na segunda equação no lugar de substituímos x pela expressão encontrada depois de isolar:

x ∙ y = 24.

x ∙ (10 – x) = 24.

Desenvolvendo a expressão e resolvendo a equação de 2º grau, temos:

10x – x² = 24

–x² + 10x – 24 = 0

x² – 10x + 24 = 0 

 

x₁ = (10 + 2) / 2 = 12 / 2 = 6 

x₂ = (10 – 2) / 2 = 8 / 2 = 4. 

É assim, encontrado que os dois números são 4 e 6. 

E se verificarmos, teremos:

4 + 6 = 10

4 x 6 = 24.

 

 

Exemplo 3:

Conhecendo a área e o perímetro de um retângulo, é possível calcular suas dimensões. Quais as dimensões de um retângulo que tem 18 cm de perímetro e 20 cm² de área? 

Formando expressão algébrica de cada uma das situações, temos, utilizando como variáveis x e y:

Perímetro: 2∙x + 2∙y = 18

Área: x ∙ y = 20

De acordo com as dimensões x e y da figura, devemos encontrar os valores x e y que satisfaçam as duas equações:

a) Isolando o y, temos:

2x + 2y = 18

x + y = 9

y = 9 – x.

b) Substituindo na 2ª equação:

x ∙ y = 20

(9 – x) ∙ x = 20

9x – x² = 20

c) Desenvolvendo a expressão e resolvendo a equação de 2º grau, temos:

x² – 9x + 20 = 0

 

x₁ = (9 + 1) / 2 = 10 / 2 = 5 

x₂ = (9 – 1) / 2 = 8 / 2 = 4. 

Portanto, as dimensões desse retângulo são 5 cm e 4 cm. 

E se verificarmos, teremos:

Perímetro = 2 x 5 + 2 x 4 = 10 + 8 = 18.

Área = 5 x 4 = 20

 

Exemplo 4:

Seu Cirilo deseja cercar o terreno onde vai construir sua casa. Para tanto, ele pretende aproveitar um barranco e cercar os outros 3 lados, de forma a obter um retângulo. Como área do terreno é de 96 m² e ele dispõe de um rolo de 28 m de tela, a que distância do barranco deverão ser colocadas as estacas 1 e 2? 

 

Área = 96

x ∙ (28 – 2x) = 96

28x – 2x² = 96

2x² – 28x + 96 = 0

  

x₁ = (28 + 4) / 4 = 32 / 4 = 8 

x₂ = (28 – 4) / 4 = 24 / 4 = 6. 

Resolvendo essa equação, temos: x = 8 ou x = 6.

Portanto, seu Pedro deverá colocar as estacas a 8 m ou a 6 m do barranco.

 

Atividades: 

1) Sabendo que a soma de dois números é 37 e seu produto é 300, descubra quais são esses números.

 

2) Os números 1, 2, 3, 4 ... são chamados de números naturais. Cada número natural possui um consecutivo, que á o número que vem depois dele. Por exemplo, o consecutivo de 1 é 2. O consecutivo de 8 é 9 etc.

Multiplicando-se um número natural por seu consecutivo, encontramos 132. Que número é esse?

 

3) Quais as dimensões de um retângulo que tem 30 cm de perímetro e 50 cm² de área?

 

4) Ao cercar um terreno retangular, dando três voltas completas, uma pessoa gastou 180 m de arame. Quais as dimensões desse retângulo, sabendo que o comprimento é o dobro da altura.

 

5) Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma área retangular de 5 m². Quais as medidas dos lados desse retângulo? (Use √5 ≈ 2,24). 

 

6) Um operário foi contratado para construir uma calçada em volta de dois lados de um terreno retangular, como mostra a figura abaixo:

O terreno mede 20 m por 30 m e a calçada deve ter sempre a mesma largura. Sabendo que o operário dispõe de 104 m² de lajotas para fazer a obra, qual calçada deve ser a largura da calçada?

 

7) Um terreno retangular tem 50 m² de área. Diminuindo seu comprimento em 3 m e aumentando sua largura em 2 m, o terreno transforma-se em um quadrado. Qual á área desse quadrado?

Sugestão: Observe a figura abaixo:

 

8) João comprou um certo número de camisetas (todas iguais) para dar a seus empregados e gastou R$ 96,00. Dias depois, passando em outra loja, viu a mesma camiseta em promoção, R$ 2,00 mais barata. Desta vez, comprou uma camiseta a mais que na compra anterior e gastou R$ 90,00.  Quantas camisetas João comprou ao todo?

 

9) Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante, sendo que três delas são mulheres. A conta, de R$ 72,00, foi inicialmente dividida entre todos, mas depois os homens resolveram que, por gentileza, as mulheres não deveriam pagar. Então, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00 e a conta foi paga. Quantas pessoas havia no grupo?

Sugestão: Escolha as seguintes incógnitas:

x = número de pessoas do grupo

y = valor que cada um deveria pagar

a) Se a conta foi de R$ 72,00, qual é a primeira equação?

b) Se existem 3 mulheres no grupo, quantos são os homens?

c) Se, no pagamento, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00, qual é a segunda equação?

 

10) Na figura abaixo existem 20 pontos arrumados em 5 linhas e 4 colunas:

Imagine que 480 soldados estão formados, arrumados em linhas e colunas.

O número de linhas é 4 unidades maior que o número de colunas. Quantas são as linhas e as colunas dessa formação?

 

11) Equacione o texto abaixo e resolva:

Estavam os pássaros

divididos em dois grupos:

enquanto o quadrado da oitava parte

se divertia cantando sobre as árvores,

outros doze sobrevoavam

o campo também cantando alegremente

Quantos pássaros havia no total?

 

12) Um triângulo retângulo tem hipotenusa 15. Um dos catetos tem 3 unidades a mais que o outro. Qual é o perímetro desse triângulo?

 

13) Um bambu de 32 côvados, erguendo-se verticalmente sobre um terreno horizontal, é quebrado num certo ponto pela força do vento. Sabendo que sua extremidade tocou a terra a 16 côvados do seu pé, responda: a quantos côvados do seu pé estava o ponto em que o bambu foi atingido pela força do vento?

Observando a figura, vimos que o bambu forma com o chão um triângulo retângulo.

 

 

O número de diagonais de um polígono

 

Um polígono tem n lados, sendo n > 3. Veja os exemplos:

De cada um dos vértices de um polígono saem n – 3 diagonais.

Do vértice A desse octógono (polígono de 8 lados) saem 5 diagonais (8 – 3 = 5).

Como são n lados, temos n∙(n – 3) diagonais. Entretanto, essa expressão deve ser dividida por 2, caso contrário uma mesma diagonal seria contada duas vezes (a diagonal AC é a mesma diagonal CA).

Então, temos que o número de diagonais de um polígono é:

Nessa expressão, D representa o número de diagonais e n o número de lados do polígono.

Assim, vemos que há uma relação entre o número de lados e o número de diagonais de um polígono. 

Para descobrir todas as diagonais de um octógono, acompanhe o cálculo abaixo:

Se quiser conferir o resultado, desenhe esse polígono e trace suas diagonais.

 

Exemplo 1:

Qual é o polígono que tem 90 diagonais?

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação

 n² – 3n – 180 = 0, 

 

x₁ = (3 + 27) / 2 = 30 / 2 = 15 

x₂ = (3 – 27) / 2 = –24 / 2 = –12.

Como as diagonais de um polígono são representadas por um número inteiro e positivo, abandonaremos a raiz n =  –12.

Portanto, o polígono que tem 90 diagonais é o polígono de 15 lados.

 

Exemplo 2:

Existe polígono com 100 diagonais?

Como a √809 não é exata, as raízes da equação n² - 3n - 200 = 0 não podem ser valores inteiros. Nesse caso, concluímos que não existe polígono com 100 diagonais.

Observe que a equação n² - 3n - 200 = 0 possui duas raízes reais. No entanto, nenhuma delas satisfaz a solução do problema. Muitas vezes não basta resolver a equação, pois é preciso analisar a solução encontrada.

 

Atividade:

1) De acordo com a expressão, diga qual o polígono que possui:

a) 35 diagonais.

b) 54 diagonais.

c) 170 diagonais.