segunda-feira, 18 de maio de 2020

Introdução à Probabilidade

De acordo com dados da PNAD Contínua (Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua) 2018, o número de mulheres no Brasil é superior ao de homens. A população brasileira é composta por 48,3% de homens e 51,7% de mulheres. 

A população brasileira é de 203,2 milhões de habitantes, sendo 98,1456 milhões de homens (48,3% do total) e 105,0544 milhões de mulheres (51,7%).

As informações de 2018 destacam que existem 93,4 homens para cada grupo de 100 mulheres.

Os dados expostos nesse levantamento têm consequências sociais relacionadas ao trabalho, à família, à educação e a muitos temas importantes.

A população masculina apresentou padrão mais jovem que a feminina: na faixa etária até 24 anos, os homens totalizavam, em 2018, 18,2%, enquanto as mulheres17,5%. Por outro lado, os homens de 60 anos ou mais de idade correspondiam a 6,8%, e as mulheres dessa faixa etária, 8,6%.

Com o auxílio desse gráfico é possível calcular o percentual de homens de 35 a 39 anos, por exemplo. Em outras palavras, ao se escolher uma pessoa ao acaso na faixa etária de 35 a 39 anos, o gráfico permite calcular a probabilidade de essa pessoa ser um homem.

As probabilidades são designadas por eventos. Entre as informações anteriores, alguns eventos seriam "uma mulher entre 30 a 34 anos" ou "um homem entre 15 a 19 anos". Cada evento tem uma probabilidade de ocorrência que pode ser expressa por um número de 0 a 1, ou de forma equivalente, em percentual, por um número de 0% a 100%, designando a chance de ocorrer um evento.

A probabilidade de que você venha a morrer algum dia é 1 ou a chance de 100%, pois a morte, algum dia. é certa. Por exemplo, a probabilidade  de um falecido conhecido voltar a fazer os mesmos eventos é 0 ou uma chance de 0%.

A figura a seguir apresenta algumas designações possíveis de eventos e suas correspondentes probabilidades:

Antes de definir o conceito de probabilidade, fique atento às próximas ideias relacionadas à probabilidade.

Espaço amostral e evento aleatório

Dado um experimento, o conjunto formado por todos os seus resultados possíveis é denominado espaço amostral. Denotando por S o espaço amostral. Por exemplo, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis (ocorrer cara ou ocorrer coroa) enquanto para um dado há seis resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Os dois experimentos aleatórios citados anteriormente têm os seguintes espaços amostrais:

  • Lançamento de uma moeda: S= {Ca,Co};
  • Lançamento de um dado:  S= {1,2,3,4,5,6}

Outros dois exemplos são:

  • Duas moedas: S= {(Ca,Co),(Ca,Ca),(Co,Ca),(Co,Co)}
  • Dois dados: S= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,6)}

Quando realizamos um experimento, geralmente estamos em busca de alguns resultados de nosso interesse. Esses resultados constituem o que denominamos evento. Mais formalmente, evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

Por exemplo, o evento A formado pelos resultados pares do dado é o subconjunto A = {2; 4; 6} contido em S. 

Outros exemplos de um dado seriam B= {1; 3; 5}, correspondente aos números ímpares; C = {1}, aos números menores que 2; ou D = {3; 6}, aos números múltiplos de 3.

Dessa forma, enquanto que espaço amostral é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento, evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

Alguns resultados importantes:

  • Se E = SE é chamado de evento certo.
  • Se E = E é chamado de evento impossível.

No lançamento de um dado, onde S= {1,2,3,4,5,6}, temos:

  • A= {2,4,6} S. Logo, A é um evento de S.
  • B= {1,2,3,4,5,6} S. Logo, B é um evento certo de S, pois B = S.
  • C= ∅ ⊂ S. Logo, C é um evento impossível de S.

Um evento é sempre definido por uma sentença. Assim, os eventos acima podem ser definidos pelas sentenças:

  • Obter um número par na face superior
  • Obter um número menor ou igual a 6 na face superior
  • Obter um número maior que 6 na face superior


Como podemos calcular a probabilidade de o resultado do lançamento de um dado comum pode ser par, por exemplo?

A probabilidade de o resultado ser par é obtida dividindo o número de elementos do evento A (apenas os pares) pelo número de elementos do espaço amostral (todos os números), ou seja:

 Como se observa, o conceito de probabilidade baseia-se em uma operação de divisão.



Exemplo 1: Considerando um experimento aleatório que consiste no lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de duas moedas apresentarem faces iguais?

O espaço amostral do experimento, conjunto formado por todos os resultados possíveis do experimento, é dado por:

S= {(Ca,Co),(Ca,Ca),(Co,Ca),(Co,Co)}

O evento A formado pelos resultados que apresentam duas faces iguais é dado por:

A= {(Ca,Ca),(Co,Co)}

Logo, a probabilidade de se obter duas faces iguais no lançamento de duas moedas comuns é igual a:


Exemplo 2: Considerando novamente o gráfico apresentado inicialmente e as informações dadas: "A população masculina apresentou padrão mais jovem que a feminina: na faixa etária até 24 anos, os homens totalizavam, em 2018, 18,2%, enquanto as mulheres17,5%. Por outro lado, os homens de 60 anos ou mais de idade correspondiam a 6,8%, e as mulheres dessa faixa etária, 8,6%."

a) Escolhido uma pessoa ao acaso na faixa etária até 24 anos, calcule a probabilidade de ser um homem.

Devido à proporção, pode-se considerar a quantidade de elementos do espaço amostral como sendo a soma n (S)= 18,2 + 17,5 = 35,7. Dessa forma, a probabilidade de se ter um homem, na escolha de uma pessoa ao acaso nessa faixa etária é igual a:

Conclusão: os dados indicam que 49,01% das pessoas até 24 anos são homens.


b) Escolhido uma mulher ao acaso, qual a probabilidade de ela está  na faixa de 60 anos ou mais de idade?

Como 51,7% da população é de mulheres e o percentual de mulheres acima de 60 anos é 8,6%.

Então a probabilidade de escolher uma mulher acima de 60 anos é:

 

Conclusão: a chance de se escolher uma mulher acima de 60 anos é de 13,15%.



Exemplo 3: Em uma classe com 22 moças e 13 rapazes, foi realizado um sorteio. Quem tem maior chance de ser sorteado. Um rapaz ou uma moça? Quais são as probabilidades?

Uma moça tem maior chance de ser sorteado, pois se tem mais moças que rapazes.

Com o mesmo número de elementos do espaço amostral que será n (S) = 22 + 13 = 35, as probabilidades são:


Conclusão: Diremos que a probabilidade de ser sorteada uma moça é 22/35 ("22 para 35") e a probabilidade de ser sorteado um rapaz é 13/35 ("13 para 35"). E diremos que a chance de ser sorteada uma moça é de 62,85%, e um rapaz tem chance de 37,15% de ser sorteado.


Exemplo 4: Em um saco, foram colocados 4 bolas amarelas e 6 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de sair uma bola vermelha?

O número de elementos do espaço amostral que será n (S) = 6 + 4 = 10, e a probabilidade de sair uma bola vermelha será:


Conclusão: Diremos que a probabilidade de ser sorteada uma bola vermelha é 3/5 (“3 para 5”).



Exemplo 5: Quando sorteamos um dos meses do ano. Qual a probabilidade de sair um mês:

a) cujo nome começa com consoante?

Como num ano temos 12 meses, o número de elemento desse espaço amostral será n(S) = 12.

Em cada caso, vamos verificar o número de elementos de cada evento e prosseguir com a divisão para calcular a probabilidade.

Nesse caso, os meses que começam com consoante formam o conjunto de evento A:

A = {janeiro, fevereiro, março, maio, junho, julho, setembro, novembro, dezembro}

O número de elementos desse evento é n(A) = 9. Pois são nove dos meses que começam com consoante.

Logo, a probabilidade de ser sorteado um dos meses começando com consoante será:


(Continue fazendo os outros...)

b) do 2º bimestre?
c) cujo nome começa com J?
d) de 31 dias?
e) cujo nome começa e termina com uma vogal?
f) que, no mesmo ano, vem antes de junho?
g) do 1º trimestre do ano?
h) com mais do que 27 dias?
i) cujo nome começa com vogal e termina com consoante?
j) cujo nome começa com a letra A?
k) de 30 dias?
l) que, no mesmo ano, vem depois de fevereiro?
m) fica entre março e agosto?
n) que fica entre março e agosto?
o) que não é de 30 dias?




Atividades Probabilidade

1) As colunas a seguir relacionam designações de eventos com probabilidades de ocorrência dos eventos. Associe as colunas corretamente:

2) Em uma urna foram colocados cartões numerados de 1 a 30. 

a) Qual a probabilidade de ser sorteado um número par?

b) Qual a probabilidade de ser sorteado um número múltiplo de 5?


3) Simão está rifando uma bicicleta em sua escola. A rifa é constituída de 100 diferentes números. Se Tito compra quatro desses números, que probabilidade tem de ganhar a bicicleta?


4) Dentre os números de algarismos distintos formados com os algarismos 4, 5 e 6. Qual a probabilidade de ser múltiplo de 5?

5) Considere um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas por questão.
a) Quantos são os gabaritos possíveis?
b) Se um aluno responde a prova ao acaso, qual é a probabilidade de ele tirar 10?
c) Qual é a probabilidade dele tirar zero?

6) Considere  uma empresa com 20 homens e 10 mulheres. Para se formar uma comissão com 5 pessoas, qual a probabilidade de 4 serem mulheres?

7) Na Mega-Sena, o apostador escolhe de 6 a 15 (entre 01 e 60). São sorteadas 6 dezenas. Se o apostador, em seu cartão, indicou estas 6 dezenas, ele recebe o prêmio máximo.
a) Quantos são os possíveis resultados da Mega-Sena?
b) Suponhamos que um apostador preenche um cartão com 6 dezenas. Qual a probabilidade de ele receber o prêmio máximo?

8) (ENEM-2015) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso.

Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?

(A) 1/100

(B) 19/100

(C) 20/100

(D) 21/100

(E) 80/100




Revendo Probabilidade




1) Observe o conjunto {3, 4, 5, 7, 8}:
a) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser escritos com esses elementos?
b) Quantos desses números são pares?
c) Escolhendo ao acaso um número desses, qual a probabilidade do número escolhido ser par?

2) Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra RÉGUA. Qual a probabilidade de a palavra começar por G?

3) Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual a probabilidade de a bola ser um número:
a) múltiplo de 3;
b) primo.

4) Numa caixa de 5 peças boas e 2 defeituosas, pegando uma ao acaso, qual a probabilidade dela ser defeituosa.

5) Num ônibus tem 8 lugares vagos e um desses lugares o banco está solto. Entraram 3 pessoas, qual a probabilidade de uma dessas três sentar nesse banco.

6) Dentre os números de algarismos distintos formados com os algarismos 4, 5 e 6. Qual a probabilidade de ser múltiplo de 5?

7) Uma concessionária possui em seu estoque 60 carros de um mesmo modelo, mas de cores diferentes. São 15 carros azuis, 20 verdes, e os outros são pretos. Beatriz vai comprar um desses carros e gostaria que ele fosse azul ou verde. Se o carro for escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que o desejo de Beatriz seja realizado?

            (A) 7/12         (B) 5/12         (C) 1/3        (D) 1/4


8) Lucas fez as provas de Matemática, Português, Física, Química e Biologia num mesmo dia. Ele recebeu um envelope com essas 5 provas e, sem olhar, tirou uma prova do envelope.

Qual é a chance de Lucas ter tirado a prova de Matemática?

            (A) 20%.        (B) 25%.         (C) 50%.        (D) 80%.


9) Seis fichas foram colocadas em uma urna, cada uma contendo uma letra da palavra BRASIL. Se as fichas forem retiradas aleatoriamente, uma a uma, a probabilidade das letras saírem na mesma ordem em que aparecem na palavra é:

            (A) 1/6      (B) 1/21       (C) 1/36      (D)  1/20

 

10) (ENEM-2012) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. 

Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é:

(A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas.

(B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.

(C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo.

(D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.

(E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.




Atividades Resolvidas:

1) Na Mega-Sena, sorteiam-se seis dezenas de um total de 60. Quem jogar em 7 ou mais dezenas e acertar as 6 sorteadas (sena), ganha também prêmios correspondentes a 4 e 5 acertos (quadra e quina).

A tabela ilustra quantas cotas de cada prêmio são pagas, de acordo com o número de dezenas marcadas em um cartão ganhador.

Dezenas Marcadas

Sena

Quina

Quadra

6

1

0

0

7

1

6

0

8

1

12

15

15

1

54

540

Como seria a linha seguinte, caso fosse permitido apostar em 16 dezenas?

 

Solução:

 

Para ver o número de quinas, temos que escolher 5 dentre as 6 dezenas da sena e uma dentre as 16 − 6 = 10 dezenas não sorteadas, num total de 6 × 10 = 60.

Para o número de quadras, deve-se escolher 4 dentre as sorteadas na sena (C6, 4 = 15) e duas dentre as 10 não sorteadas (C10, 2 = 45), num total de 15 x 45 = 675.

 

2) Um apostador joga em 6 dezenas da Mega-Sena. Ouvindo o resultado no rádio, se anima ao notar que acertou as primeiras 4 dezenas cantadas. Qual a probabilidade de ter acertado todas 6?

 

Solução:

Há ao todo C56, 2 sorteios com 4 números cantados. Dentre esses, somente um é o que paga a sena para o apostador (aquele com os dois outros números que ele jogou). Com isso, a probabilidade é:

 1 / 1.540 ≈ 0, 06 %.







 

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