Potenciação

A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 4 x 4 x 4 pode ser indicado na forma 4³.

Com 4 na base da potência e 3 como expoente da potência. 

Veja mais exemplos:

2³ = 2 x 2 x 2 = 8.

(–3)² = (–3) x (–3) = 9.

(–5)³ = (–5) x (–5) x (–5) = –125.

De modo geral:

Também podemos definir que em uma potência:

a) com expoente 1 e base igual a um número real qualquer, o resultado é esse próprio número;

b) com expoente 0 e base igual a um número real diferente de zero, o resultado é 1.

c) com expoente igual a um número inteiro negativo e base diferentes de zero, o resultado é o inverso elevado ao oposto desse expoente, ou seja:

.

Observe alguns exemplos:

 

Atividades:

1) Calcule o valor das expressões abaixo:

a) 4^–2 + 2^–4 = 

b) 5^–2 x 10² = 

c) 6^–2 x 2³ x 3² =

d) (–2)² – 2 =

PROPRIEDADES DE POTENCIAÇÃO

A seguir você irá revisar algumas propriedades importantes de potenciação. Estas propriedades serão utilizadas frequentemente em cálculos matemáticos.

P1. Produto de potências de mesma base

Considere o exemplo 4² x 4⁶. Por definição de potência temos:

4² x 4⁶ = (4 x 4) x (4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4) = 4⁸.

De modo geral, sejam a ≠ 0 e m e n números reais, então a^m ∙ aⁿ = a^{m + n}.


Exemplos:

4² x 4⁶ = 4^{2 + 6} = 4⁸.

(–5)³ x (–5)⁴ = (–5)^{3 + 4} = (–5)⁷.

a⁶ ∙ a ^–2 = a^{6 + (–2)} = a^{6 – 2}  = a⁴.

3² x 3⁴ x 3³ = 3^{2 + 4 + 3} = 3⁹.

P2. Divisão de potência de mesma base

Considere o exemplo 

.

Pela definição de potência temos:

Treine, agora, com as seguintes potências:

P3. Potência de potência

Considere o seguinte exemplo (5³)². Pela definição de potência temos:

(5³)² = 5³ x 5³ = (5 x 5 x 5)  x (5 x 5 x 5) = 5⁶ = 15.625.

De modo, geral, sejam a ≠ 0 e m e n números reais, então (a^m)ⁿ  = a^{m ∙ n}.


Exemplos:

(3²)⁴ = 3^{2 x 4} = 3⁸

(b⁵)^–2 = b^–10    

Treine, agora, com as seguintes potências:

Atividades:

1) Observe a tabela abaixo:

31 = 3		36 = 729
32 = 9		37 = 2.187
33 = 27		38 = 6.561
34 = 81		39 = 19.683
35 = 243		310 = 59.049

Calcule as operações, utilizando as propriedades de potenciação: 

27 x 2.187 =

19.583 : 729 =

81² = 

Se a tabela agilizou os cálculos, imagine o que não faria uma calculadora eletrônica.

Há quatrocentos anos, os matemáticos não sonhavam com calculadoras. Nem mesmo essas tabelas eles conheciam.

Mas, no século XVI, com o desenvolvimento da Astronomia, da navegação e do comércio, os cálculos tornaram-se longos e trabalhosos.

Essas dificuldades levaram os matemáticos da época a buscarem alternativas. E tiveram uma grande ideia.

2) Uma espécie de bactéria dobra a população a cada dia e uma cultura tem 100 indivíduos inicialmente. Sabendo que 2⁵ = 32 e 2⁶ = 64, vamos estimar quantos dias levará para que a população:

a) Chegue a 3.200?

b) Chegue a 6.400?

c) Chegue a 204.800?

d) Chegue a 6.553.600?

3) Escreva em forma de potência o valor:

a) do dobro de 2⁹.

b) da metade de 2⁹.

c) do quadrado de 2⁹.

d) do triplo de 3⁷.

e) da terça parte de 3⁷.

f) do quadrado de 3⁷.

g) do cubo de 3⁷.

h) do quádruplo de 2⁴.

4) Calcule o valor de (–3)⁵ x (–3)^–5.

5) Calcule o valor da expressão 5^x ∙ 5^{x – 1} ∙ 5^{x + 1}.

Aprofunde-se: