quinta-feira, 30 de julho de 2020

Modelar Função Quadrática


Operações com Polinômios (Soma, Subtração e Multiplicação)

Já foram apresentadas funções polinomiais. Nesta aula, será aprofundado um pouco mais o seu conhecimento no estudo dessas funções, aprendendo a efetuar cálculos de adição, subtração e multiplicação.

As situações envolvendo cálculos algébricos são de extrema importância para a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.

 

1 – ADIÇÃO DE POLINÔMIOS:

A adição entre polinômios é realizada de forma muito simples, basta reduzir seus termos semelhantes, vejamos alguns exemplos a seguir.

Dados dois polinômios A(x) = 3x2 – 6x + 4 e B(x) = 2x2 + 4x – 7.

A soma A(x) + B(x) é calculada da seguinte forma:

A(x) + B(x) = (3x2 – 6x + 4) + (2x2 + 4x – 7)

 

1º passo: Eliminando os parênteses e observando os sinais das operações, temos:

A(x) + B(x) = 3x2 – 6x + 4 + 2x2 + 4x – 7

2º passo: Reduzindo os termos semelhantes.

A(x) + B(x) = 3x2 + 2x2 – 6x + 4x + 4 – 7 

A(x) + B(x) = 5x2 – 2x – 3

Viu como é simples!!

Agora vamos trabalhar alguns exemplos onde é preciso ter bastante atenção!


EXEMPLO 01:

Considere as funções polinomiais A(x) = determine a soma A(x) + B(x).

Resolução:

Para determinar a soma A(x) + B(x) utilizaremos os passos apresentados acima:

A(x) + B(x) = (x3 + 2x2 +x 3) + (x2 + x + 1)

A(x) + B(x) = x3 + 2x2 + x 3 + x2 + x + 1

A(x) + B(x) = x3 + 2x2 + x2 + x + x 3 + 1

A(x) + B(x) =  x3 + 3x2 + 2x 2

 

EXEMPLO 02:

Considere os polinômios P(x) = –2x² + 5x – 2 e Q(x) = –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição entre eles.

Resolução:

P(x) + Q(x) = (– 2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1)

P(x) + Q(x) = –2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1

P(x) + Q(x) = –3x³ – 2x² + 7x – 3


 

2 - SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:

A subtração entre polinômios é realizada de forma análoga a adição, basta que ao eliminar os parênteses você se lembre de que o sinal de subtração altera o sinal de todos os termos dentro do parênteses.

Dados dois polinômios A(x) = 3x2 –  6x + 4 e B(x) = 2x2 + 4x –  7. 

A diferença A(x)  B(x) é calculada da seguinte forma:

A(x)  B(x) = (3x2 –  6x + 4) (2x2 + 4x –  7)

1º passo: Elimine os parênteses observando que os sinais dos termos do polinômio B(x) devem ser trocados. Observe:

A(x)  B(x) = (3x2 –  6x + 4)  (2x2 + 4x –  7)

A(x) –  B(x) = 3x2 – 6x + 4 – 2x2 – 4x + 7

2º passo: Reduzindo os termos semelhantes.

A(x) –  B(x) = x2 – 10x + 11

Viu como subtrair polinômios também é simples!!

Agora veja alguns exemplos onde também é preciso ter bastante atenção!

 

EXEMPLO 03:

Considere as funções polinomiais A(x) = x3 + 2x2 + x – 3 e B(x) = x2 + x + 1, determine a diferença A(x) – B(x):

Resolução:

A(x) – B(x) = (x3 + 2x2 + x – 3) – (x2 + x + 1), seguindo os passos anteriores:

1º passo: Eliminando os parênteses e observando os sinais das operações, temos:

A(x) – B(x) = x3 + 2x2 + x –  3 –  x2 –  x –  1

2º passo: Reduzindo os termos semelhantes.

A(x) – B(x) = x3 + x2 –  4

 

EXEMPLO 04:

Considere os polinômios P(x) = –2x² + 5x– 2 e Q(x) = – 3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a subtração entre eles.

Resolução:

P(x) – Q(x) = (–2x² + 5x - 2) – (–3x³ + 2x –  1)

P(x) – Q(x) = – 2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1

P(x) – Q(x) = 3x³ – 2x² + 3x – 1

 

3 - MULTIPLICAÇÃO DE UM MONÔMIO POR UM POLINÔMIO:

Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Vejam alguns exemplos:

 

EXEMPLO 05:

Considere o monômio A(x) = 2x e o polinômio B(x) = x2 + x + 1, determine a multiplicação A(x)B(x):

Resolução:

A(x)∙B(x) = 2x∙(x2 + x + 1), utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar o monômio A(x) por cada termo do polinômio B(x).

A(x)∙B(x) = 2x∙(x2 + x + 1) = 2x3 + 2x2 + 2x

 

EXEMPLO 06:

Dados o monômio P(x) = 2x2 e o polinômio Q(x) = 3x3 + 2x2 + x + 1, determine o produto P(x)Q(x).

Resolução:

O produto P(x)∙Q(x) = 2x2∙(3x3 + 2x2 + x + 1) será obtido utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

P(x)∙Q(x) = 2x2 (3x3 + 2x2 + x + 1) = 6x5 + 4x4 + 2x3 + 2x

Lembre-se que ao efetuar a multiplicação de potências de mesma base, devemos somar os expoentes!

 

4 - MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS:

Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.

 

EXEMPLO 07:

Dados os polinômios P(x) = 2x + 3 e Q(x) = 3x3 + 2x2 + x + 1, determine o produto P(x)∙Q(x):

Resolução:

O produto P(x) ∙ Q(x) = (2x + 3)∙(3x3 + 2x2 + x + 1), utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, o termo 2x multiplica todos os termos do polinômio Q(x), e o mesmo

ocorre para o termo 3, em P(x). Observe:

2x ∙ 3x3 = 6x4

2x ∙ 2x2 = 4x3

2x ∙ x = 2x2

2x ∙ 1 = 2x 3 ∙ 1 = 3

Assim, temos:

(2x + 3)∙(3x3 + 2x2 + x + 1) = 

= 6x4 + 4x3 + 2x2 + 2x + 9x3 + 6x2 + 3x + 3

Observe que o grau do produto P(x)Q(x) é a soma dos graus de P(x) e Q(x), isto é, 2 + 3 = 5.

Agora reduzindo os termos semelhantes, verificamos.

P(x)Q(x) = 6x4 + 13x3 + 8x2 + 5x + 3


EXEMPLO 08:

Agora considere os polinômios A(x)= (3x2 + 4) e B(x)= (5x² – 12x – 6). 

Então para achar o produto A(x)∙B(x) = (3x2 + 4)(5x² – 12x – 6), devemos novamente utilizar a propriedade distributiva:

A(x)∙B(x) = (3x2 + 4)(5x2 – 12x – 6)

 A(x)∙B(x) = 15x4 – 36x3 – 18x2 + 20x2 – 48x – 24

Reduzindo os termos semelhantes encontramos:

A(x)∙B(x) = 15x4 – 36x3 + 2x2 – 48x – 24

 

Atividades:

1) Considere os polinômios P(x) = –2x² + 5x – 2 e Q(x) = 3x³ + 2x 1. Efetue a adição entre eles.

 

2) Dados os polinômios A(x) = 2x³ – 5x² – x + 21 e B(x) = 2x³ + x² – 2x + 5, determine:

a) A(x) + B(x)

b) A(x) – B(x)


3) Considere o monômio M(x) = 3x e o polinômio P(x) = 5x2 + 3x – 1, determine o resultado da multiplicação M(x)P(x).

 

4) Dados o monômio P(x) = 2x + 3 e o polinômio Q(x) = 3x3 + 2x2 + x + 1, determine o produto P(x)Q(x).

 

5) São dados os polinômios: G = 3x² – y, H = 5y + 3 e J = – 7x² + 2y.

Qual é o resultado de G ∙ H – J?

      (A) 15x²y + 7x² – 5y

      (B) 15x²y + 2x² + 16y² – y

      (C) 15x²y + 16x² – 5y² – 5y

      (D) 15x²y + 16x² + 5y² + 5y

 

6) O presidente do Tabajara Futebol Clube precisa cercar o campo e quer quantos metros de alambrado terá que comprar, sendo o comprimento desse campo de futebol dado por 5x + 20 e sua largura por 4x + 10 metros.

a) Calcule o perímetro desse campo?


b) Para gramar o campo, é necessário calcular a sua área, calcule-a.

 

Produtos Notáveis

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:

(x + 2)∙(x + 2) =

(y – 3)∙(y – 3) =

(z + 4 )∙(z – 4) =

 

Cinco casos de Produtos Notáveis

Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber:

 

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

Quadrado: expoente 2;

Soma de dois termos: a + b;

Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)2.

Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:

(a + b)2 = (a + b) ∙ (a + b) =

= a2 + a ∙ b + a ∙ b + b=

= a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2

Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:

(a + b)2 = a2 + 2∙a∙b + b2

Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

 Exemplos:

(2 + a)= 22 + 2 ∙ 2 ∙ a + a2 = 4 + 4a + a2

(3x + y)2 = (3 x)2 + 2 ∙ 3x ∙ y + y=  9x2 +6xy + y2

 

Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

Quadrado: expoente 2;

Diferença de dois termos: a – b;

Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a – b)2.

Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:

(a b)= (a – b)∙(a – b)

= a2 – a . b – a . b + b2 =

= a2 – 2 .a . b + b2

Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:

(a – b)= a2 – 2∙a∙b + b2

Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(a – 5c)2 = a2 – 2 ∙ a ∙ 5c + (5c)2 = a2 – 10∙a∙c + 25c2

(p – 2s) = p2 – 2 ∙ p ∙ 2s + (2s)2 = p2 – 4ps + 4s2


Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.

Produto: operação de multiplicação;

Soma de dois termos: a + b;

Diferença de dois termos = a – b;

O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) ∙ (a – b).

Resolvendo o produto de (a + b) ∙ (a – b), obtemos:

(a + b) . (a – b) = a2 –  ab + ab  –  b2 = a+ 0 + b= a2 –  b2

 

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 – c) ∙ (2 + c) = 22 – c2 = 4 – c2

(3x2 – 1) ∙ (3x2 + 1) = (3x2)2 – 12 = 9x4 – 1

 

Quarto caso: Cubo da soma de dois termos

Cubo: expoente 3;

Soma de dois termos: a + b;

Logo, o cubo da soma de dois termos é:(a + b)3

Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:

(a + b)= (a + b) . (a + b) . (a + b) =

= (a2 + a ∙ b + a ∙b + b2) ∙ (a + b) =

= ( a2 + 2 ∙a ∙ b + b2 ) ∙( a + b ) =

= a3 +2∙a2∙b + a∙b2 + a2∙b + 2∙a b2 + b3 =

= a3 + 3 ∙a2∙b + 3∙a∙b2 + b3

 

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b)= a3 + 3 ∙ a2 ∙ b + 3∙a∙b2 + b3

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo. 

Exemplo

(3c + 2a)3 = (3c)3 + 3∙(3c)2 ∙2a + 3∙3c∙(2a)2 + (2a)3 = 27c3 + 54c2a + 36ca2 + 8a3

 

Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos

Cubo: expoente 3;

Diferença de dois termos: a – b;

Logo, o cubo da diferença de dois termos é: (a – b )3.

Efetuando os produtos, obtemos:

(a b)= (a b) . (a b) . (a b) =

= (a2 - a . b - a ∙b + b2) ∙ (a – b) =

= (a2 – 2 ∙ a ∙ b + b2) ∙ (a – b) =

= a3 – 2 ∙ a2 ∙ b + a ∙ b2 – a2 ∙ b + 2 ∙ a ∙ b2 – b3 =

= a3 – 3 ∙ a2 ∙ b + 3∙ a ∙ b2 – b3

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x – 2y)3 =  x3 – 3 ∙ x2 ∙ 2y + 3 ∙ x ∙ (2y)2 – (2y)3 = x3 – 6 x2y + 12xy2 – 8y3

 


Fatoração de polinômio

Fatoração de polinômios é um conteúdo matemático que reúne técnicas para escrevê-los em forma de produto entre monômios  ou até mesmo entre outros 

Todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto em um produto de números primos.

As técnicas usadas para fatorar polinômios – chamadas de casos de fatoração – baseiam-se nas propriedades da multiplicação, em especial na propriedade distributiva. Os seis casos de fatoração de polinômios são os seguintes:


1º caso de fatoração: fator comum em evidência

Observe, no polinômio a seguir, que existe um fator repetindo-se em cada um de seus termos.

4x + ax

Para escrever esse polinômio na forma de produto, coloque esse fator que se repete em evidência. Para isso, basta fazer o processo inverso da propriedade distributiva da seguinte maneira:

x(4 + a)

Observe que, aplicando a propriedade distributiva nessa fatoração, teremos justamente o polinômio inicial. Veja outro exemplo do primeiro caso de fatoração:

4x3 + 6x2

4x3 + 6x= 2·2xxx + 2·3xx = 2xx(2x + 3) = 2x2(2x + 3)

 

2° caso de fatoração: agrupamento

Pode ser que, ao colocar fatores comuns em evidência, o resultado seja um polinômio que ainda possui fatores comuns. Então, devemos fazer um segundo passo: colocar fatores comuns em evidência novamente.

Assim, a fatoração por agrupamento é uma dupla fatoração por fator comum.

 Exemplo:

xy + 4y + 5x + 20

Na primeira fatoração, colocaremos os termos comuns em evidência da seguinte maneira:

y(x + 4) + 5(x + 4)

Observe que o polinômio resultante possui, em seus termos, o fator comum x + 4. Colocando-o em evidência, teremos:

(x + 4)(y + 5)


3º caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

Esse caso, basicamente, é o contrário de produtos notáveis. Observe o produto notável a seguir:

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

Na fatoração do trinômio quadrado perfeito, escrevemos polinômios expressos nessa forma como produto notável. Veja um exemplo:

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

Observe que é preciso garantir que o polinômio é realmente um trinômio quadrado perfeito para fazer esse procedimento.

 

O que é trinômio?

Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja exemplos:

3x2 + 2x + 1

20x3 + 5x – 2x2

2ab +5b + 3c

Nem todos os trinômios acima podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.

O que é quadrado perfeito?

Para melhor entender o que é quadrado perfeito, veja:
Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 25 é um quadrado perfeito, pois 52 = 25.

Agora, devemos aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.


Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:


1ª forma: a fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2, então, como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A1 = (x + y)2

O resultado dessa área A1 = (x + y)2 é um quadrado perfeito.

2ª forma: esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los:

A2 = x2 +2xy + y2

O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio.

As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:


A1 = A2

(x + y)2 = x2 +2xy + y2


Então, o trinômio x2 + 2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.


Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x2 +2xy + y2 fatorado fica (x + y)2.


Como identificar um trinômio do quadrado perfeito?


Como já foi dito, nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado perfeito ou não?


Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.


Veja um exemplo:

Veja se o trinômio 16x2 + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras acima:



Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x+ 8x + 1 é quadrado perfeito.


Então, a forma fatorada do trinômio é 16x2 + 8x + 1 é (4x + 1)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.


Veja alguns exemplos:


Exemplo 1:

Dado o trinômio m2 – m n + n2, devemos tirar as raízes dos termos m2 e n2, as raízes serão m e n, o dobro dessas raízes será 2∙m∙n que é diferente do termo m n (termos do meio), então esse trinômio não é quadrado perfeito.

Exemplo 2:

Dado o trinômio 4x– 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2, as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2∙2x∙y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.


Exemplo 3:

Dado o trinômio 1 + 9a2 – 6a.

Devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem crescente de expoentes, ficando assim:

9a2 – 6a + 1.

Agora, tiramos a raiz dos termos 9a2 e 1, que serão respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será 2∙3a1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1)2.

 

4º caso de fatoração: diferença de dois quadrados

Polinômios conhecidos como diferença de dois quadrados possuem esta forma:

x2 – a2

A sua fatoração é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. Observe o resultado da fatoração desse polinômio:

x2 – a= (x + a)(x – a)

 

5º caso de fatoração: diferença de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 + ypode ser fatorado da seguinte maneira:

x3 + y= (x + y)(x2 – xy + y2)

 

6º caso de fatoração: Soma de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 – ypode ser fatorado da seguinte maneira:

x3 – y= (x – y)(x2 + xy + y2)

 

Atividades:

1) Calcule:

a) (2x + 2y)2 =

b) (3x – 3y)2 =

c) (x + 5)(x – 5)=

d) (x + 3)2 =

e) (y – 2)2 =

f) (3m + 2n)(3m – 2n)=

 

2) Calcule a área das figuras abaixo, com suas medidas expressas algebricamente:

a) retângulo: 2x + 1 e 2x – 1;

b) quadrado: (5x – 3)

c) triângulo: (2x – 4)

 

3) Sabe-se que a área de uma piscina retangular é expressa por 4x2 – 64, se o comprimento da piscina é expresso por 2x + 8, qual a expressão da largura dessa piscina?

 

4) Identifique se os trinômios são quadrados perfeitos e expresse sua forma fatorada:

a) 25x2 + 90x + 81

b) x2 – 8x + 16

c) x2 + 10x + 25

d) 4x2 – 16x + 64

 

5) Observe as igualdades abaixo.

(I) (x + 3)² = x² + 9

(II) (y – 4).(y + 4) = y² – 16

(III) (2x – 5)² = 4x² – 20x + 25

Quais dessas igualdades estão corretas?

       (A) I e II, apenas.

       (B) I e III, apenas.

       (C) II e III, apenas.

       (D) I, II e III.

 

6) A forma fatorada da expressão 6ab + 15a – 2b – 5 é:

      (A) (3a – 1)∙(2b – 5)

      (B) (3a – 1)∙(2b + 5)

      (C) (3a + 1)∙(2b – 5)

      (D) (3a + 1)∙(2b + 5)

 

7) (ENEM-2016) Um terreno retangular de lados cujas medidas, em metro, são x e y será cercado para a construção de um parque de diversões. Um dos lados do terreno encontra-se às margens de um rio. Observe a figura.

Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$ 7.500,00. O material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados.

Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do material podem ser relacionados pela equação:

       (A) 4(2x + y) = 7.500

       (B) 4(x + 2y) = 7.500

       (C) 2(x + y) = 7.500

       (D) 2(4x + y) = 7.500

       (E) 2(2x + y) = 7.500



Função Quadrática

Sejam dados os coeficientes reais a, b e c, com a ≠ 0. A função definida por f(x) = ax2 + bx + c é denominada função quadrática. 

As funções quadráticas têm aplicações em áreas variadas, como a física, a economia, a engenharia, a biologia e a geografia. 

O problema abaixo mostra o emprego de uma função quadrática à descrição da trajetória de uma bola. 

Problema 1. Um golfista dá uma tacada que faz sua bola descrever uma trajetória na qual a altura, em metros, é dada pela função f(x) = −0,008x2 + x, em que x é a distância horizontal da bola, em metros, medida a partir de sua posição antes da tacada.

Quando a bola está a uma distância horizontal x do ponto de partida, sua altura é f(x).

a) Determine a altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 40 m de seu ponto de partida.

b) Com base em uma tabela de pontos, trace a trajetória da bola no plano Cartesiano.

c) Determine a que distância do ponto de partida a bola cai no chão.

 

Solução:

a) A altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 50 m de sua posição original é dada por

f(40) = −0,008 402 + 40 = 27,2.

Logo, a bola está a uma altura de 27,2 m.

 

b) A Tabela abaixo fornece uma lista de pares ordenados obtidos a partir da definição de f. 

Com base nesses pontos, traçamos o gráfico abaixo, que mostra a trajetória descrita pela bola: 

 

c) Observando o gráfico, concluímos que a bola toca o solo a cerca de 125 metros de seu ponto de partida. Para determinar com exatidão a coordenada horizontal desse ponto, basta lembrar que dizer que a bola está sobre o solo é o mesmo que afirmar que sua altura é zero.

Assim, temos f(x) = 0, ou seja,

−0,008x2 + x = 0 x(−0,008x + 1) = 0. 


Assim temos, as raízes dessa equação devem satisfazer:

x = 0 ou −0,008x + 1 = 0


Nesse último caso, temos:

−0,008x + 1 = 0 0,008x = 1 x = 1 / 0,008 = 125. 

 

Logo, os pontos em que a bola toca o solo são aqueles nos quais x = 0 m (ponto de partida) e x = 125 m, que é a distância horizontal entre o ponto de partida e o ponto de queda da bola.

A curva mostrada no trecho entre x = 125 e x = 140, no qual os valores de f(x) são negativos. Esse trecho foi usado apenas para completar a trajetória até o ponto de queda, não implicando que, na prática, a bola tenha tido uma altura negativa, o que só aconteceria se ela fosse enterrada no solo.

É importante notar que uma função quadrática pode ser fornecida em outro formato que não aquele apresentado no quadro acima, como mostram os exemplos a seguir.

 

Problema 2: Converta as funções abaixo ao formato f(x) = ax2 + bx + c.

a) f(x) = 2(x − 1)(x + 3)

b) f(x) = −3(x − 4)2 + 6

 

Solução.

a) Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever:

2(x − 1)(x + 3) = 2(x2 − x + 3x − 3) = 2x2 + 4x − 6.

Logo, f(x) = 2x2 + 4x − 6.

 

b) Usando a regra do quadrado da soma (ou a propriedade distributiva mais uma vez), obtemos:

−3(x − 4)2 + 6 = −3(x2 − 8x + 16) + 6 = −3x2 + 24x − 48 + 6 = −3x2 + 24x − 42.

Assim, f(x) = −3x2 + 24x − 42.

 

Gráfico das funções quadráticas

 

O gráfico de uma função quadrática tem um formato característico – similar a uma letra “U” mais aberta –, e é chamado parábola.

A Figura abaixo mostra duas parábolas típicas:

 

Observando as curvas dos gráficos, notamos que a função quadrática tem um ponto de mínimo ou um ponto de máximo local. A esse ponto especial da parábola damos o nome de vértice.

Além disso, toda parábola é simétrica a uma reta vertical que passa por seu vértice. Essa reta vertical é denominada eixo de simetria.

Outra característica importante de parábola é a sua concavidade, que é a lado para o qual a curva se abre. Na primeira curva mostra uma parábola com concavidade para cima, enquanto a segunda curva mostra uma parábola com concavidade para baixo.

Note que há uma relação entre a concavidade e o sinal do coeficiente a. Se a > 0, a parábola tem concavidade para cima. Por outro lado, a concavidade é para baixo se a < 0.

O parâmetro a também controla a abertura da parábola. Quanto maior for o valor absoluto desse parâmetro, menor será a abertura, e vice-versa, como ilustra o gráfico abaixo: 

 

Por sua vez, o coeficiente c da função quadrática determina o intercepto-y da parábola, pois, tomando x = 0, temos:

f(0) = a 02 + b 0 + c = c

Já os interceptos-x da parábola correspondem às raízes da equação f(x) = 0, que é equivalente à equação quadrática 

ax2 + bx + c = 0.

 

Resolução de Equação de 2º grau ou zero da função quadrática

A ideia principal do método para resolver uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, é essa:

ü  Se ax2 + bx + c for um quadrado perfeito, podemos fatorá-lo na forma (d + e)2 ou (d – e)2, cuja resolução é simples. Acompanhe a resolução de 16x2 + 8x + 1 = 16.

Fatoramos: 16x2 + 8x + 1 em (4x + 1)2, escrevemos (4x + 1)2 = 16

e obtemos 4x + 1 = 4 ou 4x + 1 = –4.

Resolvendo as equações acima, temos: x = 3/4 ou x = –5/4.

S = {−5/4, 3/4}.

 

ü  Se o trinômio não for um quadrado perfeito, para resolver a equação proposta devemos completar um quadrado perfeito a partir da expressão dada. Acompanhe o quadro abaixo:

 

Com isso, obtemos a fórmula geral de resolução, na qual b2 – 4ac é o discriminante, também representado pela letra grega maiúscula ∆ (“delta”).

Essa expressão é conhecida como fórmula de Bhaskara, em homenagem ao matemático indiano Bhaskara Akaria (1114-1185).

 

Exemplo: Dada a função quadrática f(x) = 2x2 − 5x − 3, determine os interceptos de seu gráfico com os eixos coordenados.

Solução:

• O intercepto-y da parábola é dado pelo coeficiente c, cujo valor é −3.

• Para obter os interceptos-x, devemos resolver a equação 2x2  − 5x − 3 = 0. Nesse caso, o discriminante vale

∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 2 (3) = 25 + 24 = 49.

 

Como ∆ > 0, sabemos que o gráfico intercepta o eixo-x em dois pontos.

Recorrendo, então, à fórmula de Bhaskara, obtemos:

        

Logo, os interceptos são:

O gráfico obtido será:

Desta forma, podemos analisar acerca do papel do discriminante:

∆ = b2 − 4ac do polinômio quadrático, numa função quadrática e podemos dizer que a parábola:

 • intercepta o eixo-x em dois pontos se ∆ > 0;

 • intercepta o eixo-x em um ponto se ∆ = 0;

 não intercepta o eixo-x se ∆ < 0.

  

Atividades:

1) Um terreno, que tem a forma de um quadrado, foi reduzido da maneira indicada na figura abaixo, para dar lugar a uma calçada com 2 m de largura. Ao final, sua área passou a ser de 484 m². Qual era a medida do lado do terreno original?

 

2) Resolva as equações abaixo:

a) x2 = 4

b) (2x – 3)2 = 25

c) 25x2 + 90x + 81 =0

d) x2 – 2x – 15 = 0

e) 2x2 + 3x + 1 = 0


3) O produto entre dois números naturais consecutivos é 156. A soma desses dois números é:

            (A) 1.       (B) 25.       (C) 27.        (D) 156.      

 

4) Antônio, com 20m de cerca, construiu um cercado retangular de 32 m² de área, utilizando seu muro como um dos lados. Quais as medidas dos lados desse cercado retangular?

 

5) Para presentear os colegas no natal, Ana comprou alguns exemplares de um livro por R$ 540,00. Por ter obtido um desconto de R$ 15,00 no preço de cada exemplar do livro, ela conseguiu comprar 3 exemplares a mais do que previra originalmente. Com o desconto concedido, quantos exemplares desse livro Ana comprou?

 

6) Quero fazer um cercado retangular com 22 m² de área. O material que possuo dá para erguer 26 m de cerca. Que medidas devem ter os lados do meu cercado retangular?

 

7) O dono da marcenaria, que fabrica certo tipo de armário, verificou que o número N de armários que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria e que essa dependência é dada pela igualdade N = x2 + 2x. Qual é o número de funcionários necessários para a marcenaria fabricar 168 armários em um mês?

 

8) Uma pessoa distribui 240 balas para um certo número de crianças. Se cada criança receber uma bala a menos, o número de balas que cada criança vai receber será igual ao número de crianças. Qual é o número de crianças?

 

9) Defina uma função f(x) que forneça a área da região destacada na figura, lembrando que a área de um retângulo de lados b e h é bh. 


10) Dada a função f(x) = x2 − 3x:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = −2

c) esboce o gráfico da função no plano coordenado, indicando os pontos que você obteve no item (b);

d) determine graficamente as soluções da inequação f(x) ≥ −2.

 

11) Dada a função f(x) = 5x − 2x2:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 2;

c) esboce o gráfico da função no plano coordenado, indique os pontos que você obteve no item (b);

d) determine graficamente as soluções da inequação f(x) ≥ 2.

 

11) Dada a função f(x) = −2x2 + 9x:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente as soluções da inequação f(x) ≥ 9;

c) determine algebricamente o ponto de mínimo ou máximo de f;

d) esboce o gráfico da função no plano coordenado.

 

12) Dada a função f(x) = −3x2 + 15x:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente as soluções da inequação f(x) ≥ 12;

c) determine algebricamente o ponto de mínimo ou máximo de f;

d) esboce o gráfico da função no plano coordenado.

 

13) Dada a função f(x) = 15x2 + x – 2:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente as soluções da inequação f(x) ≤ −2;

c) determine algebricamente o ponto de mínimo ou máximo de f.

 

14) Esboce o gráfico e determine o ponto de mínimo ou máximo de cada função.

a) f(x) = (x − 1)(x + 2)

b) f(x) = (−3 − x)(x + 3)

c) f(x) = x2 − 3x + 4

d) f(x) = −2x2 + 3x + 2

e) f(x) = 4x + x2

f) f(x) = −x2 − 4

g) f(x) = (x − 4)(x + 1)


15) (ENEM-2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação:

q = 400 – 100p,

na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais.

 A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto.

 O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo:

      (A) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50

      (B) R$ 1,50 ≤ p < R$ 2,50

      (C) R$ 2,50 ≤ p < R$ 3,50

      (D) R$ 3,50 ≤ p < R$ 4,50

      (E) R$ 4,50 ≤ p < R$ 5,50


16) (ENEM-2015) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van, pois realiza, com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e urbano, intermunicipal e excursões em geral. 

O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago. 

Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é

      (A) V(x) = 902x

      (B) V(x) = 930x

      (C) V(x) = 900 + 30x

      (D) V(x) = 60x + 2x²

      (E) V(x) = 900 30x 2x²


17) (ENEM-2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = −t²/4 + 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 ºC.

Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

      (A) 19,0

      (B) 19,8

      (C) 20,0

      (D) 38,0

      (E) 39,0


18) (ENEM-2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) =  ̶ 2t² + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. 

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. 

A segunda dedetização começou no:

      (A) 19º dia.

      (B) 20º dia.

      (C) 29º dia.

      (D) 30º dia.

      (E) 60º dia.


19) (ENEM-2016) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões.

Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão.

Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

ü  y = 9 – x2 , sendo x e y medidos em metros. 

Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

      (A) 18

      (B) 20

      (C) 36

      (D) 45

      (E) 54

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