Ponto Médio de um segmento
Observe a reta orientada:
O ponto M é dito ponto médio do segmento AB, quando
a distância entre A e M e entre M e B são iguais, ou seja, AM = MB. O ponto
médio M divide o segmento AB na razão 1.
Podemos determinar a abscissa xM do ponto médio M, conhecidas as abscissas de A(3) e
de B(9) e utilizando o fato, que M divide AB na razão r = 1, teremos:
Resolvendo a equação:
xM
– 3 = 9 – xM
2xM = 9 + 3
xM = 12 / 2
xM = 6
Então a abscissa do ponto médio M é 6.
De modo geral, temos
que a abscissa do ponto médio M é a média aritmética das abscissas do segmento
AB.
Pelo mesmo
fato que, M divide AB na razão 1, temos:
xM
– xA
= xB – xM
Calculemos, a abscissa do ponto médio M, dos pontos C(-9) e D(13), localizados na reta orientada.
Então a abscissa do ponto médio M é 2.
Vejamos no Plano, considerando
os pontos A(1, 2) e B(5, 6), verifiquemos as coordenados 
do ponto médio M do segmento AB:
a)
Em relação ao eixo das abscissas: 
.
b) Em relação ao eixo das ordenadas: 
.
De fato, notamos que as coordenadas de M é (3, 4).
De modo geral, as
coordenadas 
do ponto médio M de um segmento AB, contido num plano, a partir das
coordenadas dos pontos A e B do segmento, é dado por:
A
abscissa do ponto médio é a média
aritmética das abscissas dos pontos do segmento; e a ordenada é a média aritmética das ordenadas dos pontos do segmento.
Então
M(2, 3).
Mediana e Baricentro de um Triângulo no Plano
Num Plano, podemos obter um
triângulo, determinando três pontos não colineares, ou seja, não pertencentes
à mesma reta.
Define-se, mediana como o segmento que liga o vértice de um triângulo ao ponto médio do lado oposto, então devemos ter três medianas num triângulo.
O encontro dessas três medianas é num mesmo ponto chamado Baricentro.
Um
fato importante para Geometria Analítica, que nota-se na Geometria Plana, é que
o baricentro divide cada mediana na razão 2 para 1.
Façamos, no plano
cartesiano, um triângulo com vértices A(1, 4); B(-2, 1) e C(4, 3).
Podemos,
calcular a medida da mediana AMA,
do triângulo ABC formado:
a) Calculando
as coordenadas do ponto médio MA do segmento BC;
MA
(1, 2)
b)
Calculando a distância entre A(1,4) e MA(1,
2).
Então a medida da mediana AMA
é 2.
Vamos determinar as
coordenadas do baricentro G(xG,
yG) do triângulo ABC de
vértices A(1, 4); B(-2, 1) e C(4, 3).
Utilizando
o fato, que o baricentro divide cada mediana na razão 2 para 1, teremos que G
divide AMA na razão r = 2.
Sabendo da coordenada de MA(1,
2) e fazendo 
,
vamos obter xG e yG, coordenadas de G.
Calculando a equação para xG:
Calculando
a equação para yG:
De modo geral, teremos que:
a) A
coordenada do ponto médio do lado BC é 
.
b) O
baricentro G(xG, yG) divide o segmento AMA
na razão 2.
c) A
abscissa 
e como 
, teremos 
=
2 e calculando a equação em xG
d) A ordenada 
= 2
e como 
, teremos 
=
2 e calculando a equação em yG, obteremos:
Então
as coordenadas do baricentro são: 
.
Determinando
a coordenada do baricentro G do triângulo de vértices M(3, 5), N(-1,6) e P(4,
10), teremos:
Então G(2, 7).
Condição
de alinhamento de três pontos no plano
Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja A(xA, yA) e B(xB, yB) eles estão sempre alinhados.
Mas,
qual a condição para que três pontos distintos A, B e C estejam alinhados?
A
figura a seguir mostra três pontos A(2, 3), B(3, 4) e C(5, 6), que estão
alinhados, os seja, são pontos de uma mesma reta.
Agora, para determinarmos,
num plano, se os pontos estão alinhados a partir de suas coordenadas, deveremos
notar que existem formados, entre eles, triângulos que percebemos que são
semelhantes e com essa ferramenta dos triângulos semelhantes que determinaremos
esta colinearidade.
Observe
a figura:
Os triângulos notados ACE
e ABD são semelhantes, portanto as razões se suas medidas correspondentes são
iguais e teremos: 
.
Verifiquemos este fato,
calculando as medidas dos segmentos a partir das coordenadas dos pontos A(2, 3), B(3, 4) e C(5, 6).
Assim, AE = 5 – 2 = 3 ; AD
= 3 – 2 = 1; CE = 6 – 3 = 3 e BD = 4 – 3 = 1.
De fato, 
, verificado assim a semelhanças entre os triângulos
notados.
Sendo a semelhança entre os triângulos notados, a condição inicial de alinhamento entre três pontos num plano, vejamos de modo geral, como será esta condição:
Como triângulos notados
ACE e ABD são semelhantes, temos: 
.
Calculando as medidas dos
segmentos a partir das coordenadas dos pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), teremos:
AE = xC – xA
AD = xB – xA
CE = yC
– yA
BD = yB
– yA
Três pontos, num plano,
serão colineares, quando valer a igualdade:
Vejamos se os pontos M(0,
2), N(-3, 1) e P(4, 5) são colineares. Para isso, deve valer a igualdade entre
as razões:
Verificando:
e
.
Notamos
que as razões são diferentes, então os pontos não são colineares.
Vejamos
se os pontos R(-2, 6), S(4, 8) e T(1, 7) estão alinhados.
Verificamos
que 
e
.
As
razões são iguais, então os pontos estão alinhados.
A condição de alinhamento de três pontos, num plano,
a partir das coordenadas dos pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), apresentada aqui, tem o detalhe que de que a razão
das diferenças das abscissas deve ser igual a razão das diferenças das
ordenadas, partindo da ordem que no numerador é a diferença do terceiro ponto com
o primeiro, e no denominador a diferença do segundo ponto com o primeiro
também.
Condição de alinhamento de três pontos no plano,
utilizando determinante de matrizes
Uma forma mais usual que determina a Condição
de alinhamento de três pontos a partir de suas coordenadas é através de determinante
de matrizes, que será demonstrado a seguir:
Sabemos que três pontos A(xA,
yA), B(xB,
yB), C(xC,
yC), num plano, serão
colineares, quando valer a igualdade:
Transformando
a igualdade:
Slide 3: Essa
igualdade
é equivalente a:
, na forma de determinante de matriz.
E utilizando a ideia do Teorema
de Laplace, concluímos que a igualdade anterior é equivalente a:
Então,
como demonstrado, se os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) estão alinhados vale a igualdade:
Reciprocamente, se 
, então, A(xA, yA), B(xB,
yB), C(xC,
yC) são pontos colineares.
Vejamos por esta forma se A(2, 3), B(3, 4) e C(5, 6) estão alinhados:
Como o resultado do determinante é 0,
então, os pontos estão alinhados.
Vejamos agora se os pontos M(0, 2), N(-3, 1) e P(4,
5) são colineares, utilizando a condição do determinante nulo:
Como o resultado do determinante é
diferente de 0, então os pontos não são colineares.
Um observação interessante, que torna o
alinhamento de três pontos imediato, é quando as abscissas ou as ordenadas dos
três pontos dados são iguais, entre si.
Os pontos A(2, 3), B(2, 4) e C(2, 6) estão alinhados, pois têm a mesma abscissa.
Os pontos M(0, 2), N(-3, 2) e P(4, 2) estão alinhados,
pois têm mesma ordenada.
Área de polígono Convexo
Slide 1: Quando três pontos não são colineares, ou seja não
estão alinhados, num plano, eles formam um triângulo, e estes pontos serão os
vértices do triângulo.
Os
pontos A(1, 4); B(-2, 1) e C(4, 3) não são colineares, pois:
= 1·(1 – 3) + 2·(4 – 3) +
4·(4 – 1) = – 2 + 2 + 12 = 12 ≠ 0.
Então, estes pontos são vértices de um
triângulo. E como verificaremos, o determinante gerado auxiliará a calcular a
área do triângulo.
Iremos calcular, a área do triângulo formado pelos
vértices A(1, 4); B(-2, 1) e C(4, 3).
Notando
que em torno a ele há um quadrilátero DEBF e três triângulos retângulos CDA,
AEB e BFC, que devemos calcular suas áreas e fazer a diferença entre a área do
quadrilátero A(DEBF) com cada uma das áreas dos três triângulos retângulos
A(CDA), A(AEB), A(BFC) e obteremos a área desejada A(ABC) do triângulo formado
pelos vértices A, B e C.
Da
seguinte forma: A(ABC) = A(DEBF) – A(CDA) – A(AEB) – A(BFC).
Obteremos a área desejada A(ABC) do triângulo
formado pelos vértices A(1, 4); B(-2, 1) e C(4, 3).
Da
seguinte forma: A(ABC) = A(DEBF) – A(CDA) – A(AEB) – A(BFC).
Para
isso, devemos calcular área A(DEBF) do fazendo o produto da base BF com a
altura FD e a área A de cada triângulo retângulo que será a metade do produto
de cada cateto, calculando as medidas dos lados utilizando as coordenadas dos
pontos.
O segmento BF = 4 – (–2) = 6.
O segmento FD = 4 – 1 = 3.
Então
A(DEBF) = 6 x 3 = 18.
Agora, vamos calcular a área de cada triângulo retângulo, calculando as medidas dos lados utilizando as coordenadas dos pontos A(1, 4); B(-2, 1) e C(4, 3).
A área A(CDA) é a metade do produto dos
catetos CD e DA.
O segmento CD = 4 – 3 = 1
O segmento DA = 4 – 1 = 3
Então A(CDA) = 
A área A(AEB) é a metade do produto dos
catetos AE e EB.
O segmento AE = 1 – (–2) = 3
O segmento DA = 4 – 1 = 3
Então A(CDA) = 
Slide 5: A área
A(BFC) é a metade do produto dos catetos BF e FC.
O segmento BF = 4 – (–2) = 6
O segmento DA = 3 – 1 = 2
Então A(CDA) = 
= 6.
Agora, já conhecidas todas áreas
necessárias:
A(DEBF) = 18
A(CDA) = 3 / 2
A(CDA) = 9 / 2
A(CDA) =
6
Finalmente podemos fazer:
A(ABC) = A(DEBF) – A(CDA) – A(AEB) –
A(BFC)
A(ABC) = 
= 6.
Notemos que a área do triângulo é a
metade do valor do determinante calculado anteriormente na condição de não
alinhamento de três pontos, isso não é por acaso.
De modo geral, sendo os pontos sendo os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices de um triângulo, podemos calcular a área A do triângulo do seguinte modo:
.
Fatalmente, o módulo da metade do determinante da condição de alinhamento entre
três pontos.
Calculemos
a área do triângulo formado pelos pontos
M(0, 2), N(-3, 1) e P(4, 5)
= 0·(1 – 5) + 3·(2 – 5) +
4·(2 – 1) = 0 – 9 + 4 = – 5
Então A = 
= 2,5.
Vamos compreender agora, como se dá uma equação geral da reta a partir do alinhamento de pontos. Como se sabe uma reta é perfeitamente caracterizada se são conhecidos dois de seus infinitos pontos, um terceiro ponto se estiver alinhado à esses dois pontos conhecidos pertencem à reta determinada. Vejamos:
Sendo P(x, y) um ponto qualquer
dessa reta, teremos, então, o alinhamento de P com A e B, assim, verifica-se a
condição de alinhamento, isto é:
Resolvendo o determinante acima pela Regra de Sarrus,
temos:
x∙yA + y∙xB + xA ∙ yB – xB ∙ yA – yB ∙ x – xA ∙ y = 0
Colocando o x e o y em evidência, temos:
x∙(yA – yB) + y∙(xB – xA) + (xA
∙ yB – xB ∙
yA) = 0 (*)
Vamos fazer as seguintes considerações a fim de tornar a
equação acima mais simples:
A = yA –
yB
B = xB –
xA
C = xA ∙ yB – xB ∙ yA
E substituindo em (*), temos Ax + By + C = 0, chamada equação geral da reta r.
Exemplo: Obtenha
a equação geral da reta r que passa
pelos pontos A (2, –1) e B (1, 3).
Para obter a equação da reta r, deve-se resolver o
determinante abaixo:
(ENEM-2013) Nos últimos anos, a televisão
tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som
e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do
sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não
contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três
cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de
transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades.
As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre
corresponde ao ponto de coordenadas:
(A) (65, 35).
(B) (53, 30).
(C) (45, 35).
(D) (50, 20).
(E) (50, 30).
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