Divisão de polinômios
As
operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, bem como de
expressões algébricas em geral, já foram estudadas. Agora que estamos estudando
as funções polinomiais, veremos finalmente como dividir polinômios, um passo essencial para a fatoração dessas funções.
A fatoração, por sua vez, é útil para
encontrar os zeros da função polinomial,
os quais nos permitem resolver equações e inequações, bem como traçar os
gráficos dessas funções.
Para
tratar da divisão de polinômios, precisamos recordar algumas características da
divisão de números naturais. Exemplo 1. Divisão de números naturais
Ao
dividirmos 315 por 21, obtemos o valor exato 15.
Nesse caso dizemos que
Essa divisão também pode ser apresentada com o auxílio do diagrama ao lado, muito explorado no ensino fundamental.
Em uma divisão de números naturais, o número que está sendo dividido (315, no exemplo acima) é denominado dividendo, enquanto o número pelo qual se está dividindo (21) é chamado de divisor. O resultado da divisão (15) recebe o nome de quociente.
Multiplicando por 21 os dois lados da equação acima, obtemos a equação equivalente
315 = 21 x 15.
Assim,
quando a divisão é exata, o
dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente.
Considerando,
agora, a divisão de 315 por 22, notamos que o resultado não é exato. Embora a divisão forneça 14 como quociente, há um resto de 7 unidades.
como
mostra o diagrama a seguir.
Nesse
caso, o produto 22 x 14 fornece 308, faltando 7 unidades para chegarmos a
315, de modo que
315 = 22 x 14 + 7.
De
uma forma geral, se p é um número
natural (o dividendo) e d (o divisor)
é um número natural menor ou igual a p,
então existe um número inteiro q (o
quociente), e um número inteiro r (o
resto), tais que
p = d ⋅ q + r.
Vamos
dividir polinômios seguindo estratégia semelhante àquela adotada para números
inteiros.
Entretanto,
antes de começar o processo de divisão, é conveniente:
•
escrever os monômios do dividendo e do divisor em ordem decrescente de grau;
•
incluir os monômios que faltam, usando o zero como coeficiente.
Exemplo: Para dividir p(x) = x3 − 2x + 15 − 4x2 por
d(x) = x − 3 devemos, em primeiro
lugar, reescrever p(x) em ordem
decrescente do grau dos seus monômios, e montar o diagrama tradicional da
divisão.
No
primeiro passo, dividimos o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau de d(x).
Em
nosso exemplo, isso corresponde a calcular
Esse
resultado é, então, anotado no diagrama, logo abaixo do divisor.
Em
seguida, multiplicamos o termo encontrado, x2
pelo divisor d(x), obtendo
Esse
polinômio é, então, subtraído do dividendo p(x).
Essa
operação pode ser feita diretamente no diagrama, como mostrado a seguir.
Atenção: Não se esqueça de inverter o
sinal de todos os termos de x3 − 3x2 ao transcrever esse
polinômio para o diagrama, pois isso facilita a subtração.
Observe
que o polinômio x3 − 3x2 não possui termos de grau 1 e de
grau 0. Assim, ao subtraí-lo de x3 − 4x2 − 2x + 15,
simplesmente “descemos” os termos −2x
e +15 da primeira linha, somando-os a −x2.
Continuando
o processo, passamos à divisão do polinômio restante, −x2 − 2x + 15, pelo divisor, x − 3.
Nesse
caso, tomando apenas o termo de maior grau de cada uma desses polinômios,
calculamos:
Esse
monômio deve ser somado à parcela já encontrada do quociente:
Multiplicando
a nova parcela do quociente, −x, pelo
divisor, x − 3, obtemos
Subtraindo,
então, esse polinômio de −x2 −
2x + 15, chegamos a
O
diagrama abaixo resume os passos da segunda etapa da divisão (observe que o
polinômio −x2 + 3x aparece com o sinal trocado:
No
terceiro passo do processo, dividimos o termo de maior grau de −5x + 15 pelo termo de maior grau de x − 3, ou seja, calculamos
e passamos esse termo para nosso diagrama:
Em
seguida, multiplicamos o termo encontrado pelo divisor d(x),
e
subtraímos esse polinômio de
Todas
essas operações são, então, incluídas no diagrama, conforme mostrado abaixo.
Como
o resultado da subtração acima é zero, terminamos o processo.
Nesse
caso, dizemos que p(x) é divisível por d(x), ou seja, r(x) = 0 e
x3 − 4x2 − 2x + 15 = (x2 − x − 5)∙(x − 3).
No
exemplo acima, cada passo da divisão foi detalhado, para facilitar a
compreensão dos cálculos envolvidos. Tentaremos, agora, resolver um problema
mais complicado, abreviando as etapas e recorrendo mais ao diagrama do que às
contas em separado.
Exemplo: Divisão de polinômios Divida p(x) = 3x4 − 4x3 −
2x2 + 5 por d(x) = x2
− 2x + 1.
Solução:
Comecemos
completando os monômios do dividendo:
p(x)
= 3x4 − 4x3 − 2x2 + 0x + 5.
Agora,
passemos às etapas da divisão propriamente dita.
•
Dividindo o monômio de maior grau de p(x)
pelo monômio de maior grau de d(x):
•
Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):
•
Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de p(x) diretamente no diagrama:
•
Dividindo o monômio de maior grau de 2x3 − 5x2 + 5 pelo
monômio de maior grau de d(x):
•
Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):
2x(x2 − 2x + 1) = 2x3
− 4x2 + 2x.
•
Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de 2x3 − 5x2 + 5 diretamente
no diagrama:
•
Dividindo o monômio de maior grau de −x2
− 2x + 5 pelo monômio de maior grau de d(x):
•
Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):
−1(x2 − 2x + 1) = −x2
+ 2x − 1.
• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de −x2 − 2x + 5 diretamente no diagrama:
Como
o polinômio restante, −4x+6, tem grau
menor que o divisor, d(x) = x2
− 2x + 1, não há como prosseguir com a divisão.
Nesse
caso, o quociente é q(x) = 3x2
+ 2x − 1,
e o
resto é r(x) = −4x + 6.
Assim,
temos
Teorema do resto
Como
vimos acima, ao dividirmos um polinômio
p(x)
por x − a,
obtemos
o quociente q(x) e o resto r, de modo
que
p(x) = (x − a)q(x) + r.
Aqui,
escrevemos apenas r, em lugar de r(x), porque o resto é um número real.
Usando
essa equação, é fácil reparar que
p(a) = (a − a)q(x) + r = 0 ⋅ q(x) + r = r.
Esse
resultado tem usos diversos na matemática, de modo que vamos apresentá-lo em um
quadro.
Exemplo: Dado o polinômio p(x) = x3 − 2x2 − 5x − 10, calcule p(4) e depois divida p(x) por x – 4.
p(4) = 43 – 2∙42 – 5∙4 – 10 = 64 – 32 – 20 – 10 = 2
x3 − 2x2
− 5x – 10 = (x – 4)∙(x2 + 2x + 3) + 2
Nota-se que o valor de p(4) é o mesmo do resta da divisão de p(x) por x – 4, como o Teorema nos indica.
Atividades:
1) Para
cada expressão na forma p(x)/d(x)
abaixo, calcule o quociente q(x) e o
resto r(x).
a)
(2x3 − 3x2 + 6)/(x2 − 2)
b)
(6x2 − 4x − 3)/(3x − 5)
c)
(4x3 + 2x2 + 11x)/(2x2 + 3)
d)
(6x4 + 5x3 − 2x)/(3x − 2)
e)
(4x3 + 6x − 10)/(2x − 4)
f)
(24x3 − 4x − 1)/(2x − 1)
g)
(8x3 − 12x2 − 2x)/(4x − 8)
h) (2x4
− 4x3 + x − 17)/(x2 − 4)
i)
(x4 − 6x3 + 3x2 − 2x + 3)/(x2 − 2x
− 3)
j)
(x4 − 5x2 + 4)/(x2 − 1)
k)
(3x5 − 2x3 − 11x)/(x3 − 3x)
l)
(6x2 + 7x + 9)/(2x2 − 5x + 1)
m) (x4
+ 2x − 12)/(x + 2)
n) (x2
− 5x + 8)/(x − 3)
o) (3x
+ 7)/(x + 4)
p)
(x4 − 2)/(x − 1)
q) (x3 − 3x2 + 4x − 5)/(x − 4)
Zeros reais de funções polinomiais
Agora
que vimos as funções constantes, lineares e quadráticas, que são funções
polinomiais de grau 0, 1 e 2, respectivamente, é hora de explorarmos as
características das funções
p(x) = anxn +
an−1xn−1 + ⋯
+ a1x + a0
cujo grau, n, é maior ou igual a 3.
Começaremos
nossa análise estudando os zeros dessas funções. Encontrar os zeros de uma
função polinomial não é tarefa fácil quando o grau da função é maior que 2.
De
fato, para funções de grau 3 e 4, ainda é possível usar fórmulas explícitas
para os zeros, embora elas sejam pouco práticas. Já para funções de grau maior
que 4, é preciso adotar estratégias mais complexas, como veremos abaixo.
Entretanto,
quando alguns zeros já são conhecidos, a determinação dos zeros restantes pode
ser grandemente facilitada se usamos o teorema do fator, que decorre do teorema
do resto, já estudado.
Como
consequência desse teorema, concluímos que,
se p(x) for divisível por x − a, ou seja,
se o
resto dessa divisão for 0,
então
p(a) = 0, de modo que a
é um zero do polinômio p(x).
Além
disso, se r = 0, temos
p(x) = q(x)⋅
d(x) + r(x) = q(x)⋅
(x − a)
+ 0 = (x − a)∙q(x) ∙p(x)
= (x − a)∙q(x),
de
modo que (x − a) é um fator de p(x).
Também
não é difícil mostrar que,
se x − a é um fator de p(x),
então
p(a) = 0, o que nos leva ao teorema a
seguir.
Exemplo: Dado o polinômio p(x) = 3x3 + 5x2 + cx
+ 16, determine o valor da constante c
de modo que x + 2 seja um fator de p(x).
Solução:
Observe
que o fator x + 2 pode ser convertido
à forma x − a se escrevermos x + 2 = x − (−2).
Desse
modo, temos a = −2.
Segundo
o teorema do fator, para que p(x)
tenha um fator x + 2, é preciso que p(−2) = 0.
Assim,
3(−2)3 +
5(−2)2 + c(−2) + 16 = 0
−2c + 12 = 0
c = −12 / −2
c = 6
Logo, x + 2 é um
fator de p(x) = 3x3 + 5x2 + 6x + 16.
Juntando
o resultado fornecido pelo teorema do fator aos conhecimentos que já adquirimos
sobre gráficos de funções, podemos estabelecer as seguintes relações entre
fatores, zeros, soluções de equação e interceptos-x.
Exemplo: Seja dada a função p(x) = x3
+ 2x2 − 15x.
a)
Determine todos os zeros de p(x).
b)
Escreva o polinômio na forma fatorada.
c)
Trace o gráfico de p, identificando
os interceptos-x.
Solução:
a)
Como todos os termos de p(x) incluem a variável x, podemos pô-la em evidência,
de modo que
p(x) = x(x2 + 2x − 15).
Logo, p(x) = 0 se x = 0 ou x2 + 2x − 15 = 0.
Concluímos, então, que x = 0 é um zero de p,
e que os demais zeros do polinômio são solução de
x2 + 2x − 15 = 0.
Para encontrar as raízes dessa equação,
calculamos o discriminante
∆ = 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−15) = 64,
e aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos as raízes
Portanto, os zeros de p(x) são x = 0, x = 3 e x =−5.
b) Como a equação x2 + 2x − 15 =
0, tem duas soluções, podemos escrever o termo quadrático (x2 + 2x −
15) como o produto de dois fatores mais simples:
x2 + 2x − 15 = (x − 3)∙(x + 5).
O que implica que a forma fatorada de p(x)
é:
p(x) = x∙(x −
3)∙(x + 5).
c) Sabendo que x = −5, x = 0 e x = 3 são zeros de p(x), devemos escolher um intervalo de x que inclua esses pontos ao traçar o gráfico da função.
Adotando x ∈ [−6, 4], obtemos a curva mostrada no gráfico abaixo, na qual os
pontos de interseção com o eixo-x estão identificados em verde.
No exemplo
anterior, a função polinomial, que era de grau 3, tinha exatamente 3
zeros e percebemos que também funções polinomiais de grau 2 (funções
quadráticas) podem ter 0, 1 ou 2 zeros e um polinômio de grau 1 (função afim),
pode ter 0 ou 1 zero. Notamos, assim, que há uma relação entre o grau do polinômio e o número de zeros reais que ele possui.
Essa relação é descrita pelo teorema a seguir:
Atividades:
1) Para
cada função polinomial abaixo, determine o valor da constante c de modo que o termo fornecido seja um
fator de p.
a) p(x) = x2 − 9x + c. Fator: x − 8
b) p(x) = 5x2 + cx + 9. Fator: x + 3
c) p(x) = x3 − 6x2 + 3x +
c. Fator: x − 5
d) p(x) = 3x3 + cx2 − 13x
+ 3. Fator: x − 1
e) p(x) = x4 − 2x3 + 8x2
+ cx − 2. Fator: x − 2
f) p(x) = 2x4 − 10x3 + cx2
+ 6x + 40. Fator: x − 4
2) Determine
as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que
aparecem no lado esquerdo das equações, utilizando fatoração por evidência:
a) x3
− 4x = 0
b) x3
− 4x2 − 21x = 0
c)
2x3 + 11x2 − 6x = 0
d)
−3x3 + 6x2 + 9x = 0
e) x4
− x3 − 20x2 = 0
f) x4
− 8x3 + 16x2 = 0
g)
5x4 − 8x3 + 3x2 = 0
h)
8x4 − 6x3 − 2x2 = 0
3) Determine
as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que
aparecem no lado esquerdo das equações.
a) x3 + x2 − 2x − 2 = 0,
sabendo que x = −1 é uma raiz.
b) x3 − 5x2 − 4x + 20 = 0,
sabendo que x = 2 é uma raiz.
c) x4 − 9x3 − x2
+ 81x − 72 = 0, sabendo que x = 8
e x = 3 são raízes.
d) x3 − 3x2 − 10x + 24 =
0, sabendo que x = 4 é uma raiz.
e) x3 − 4x2 − 17x + 60 =
0, sabendo que x = 3 é uma raiz.
f) 4x3 − 16x2 + 21x − 9 =
0, sabendo que x = 1 é uma raiz.
g) 3x3 − 26x2 + 33x + 14
= 0, sabendo que x = 7 é uma
raiz.
h) x4 − 9x3 + 17x2
+ 33x – 90 = 0, sabendo que x = −2
e x = 5 são raízes.
i) x4 − 6x3 − 5x2
+ 30x, sabendo que x = 6 é uma
raiz.
4) Em
cada caso abaixo, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o
grau e os zeros indicadas.
a)
Grau 2, com zeros x = −4 e x = 0.
b)
Grau 2, com zeros x = 1 e x = 2, com concavidade para baixo.
c)
Grau 3, com zeros x = 0, x = 1 e x = 3.
d)
Grau 3, com zeros x = −2 e x = 1 (com multiplicidade 2).
e)
Grau 3, com zero x = 8 (com multiplicidade 3).
f)
Grau 4, com zeros x = −3, x = −2, x = 0 e x = 5.
5) Funções
polinomiais: uma visão analítica
Uma das principais razões pelas quais
estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é determinar o número
e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero
de uma função f é uma raiz da equação f(x) = 0). O problema de calcular as
raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo dos
séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das
raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos
italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações
polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas
e, por isso, são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo:
Qual é o maior número de zeros que uma
função polinomial pode ter?
Qual é o menor número de zeros que uma
função polinomial pode ter?
Como podemos encontrar todos os zeros de
um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação
polinomial? ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX,
quando este problema foi completamente resolvido. [...]
Disponível
em: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html Acesso
em: 24 out. 2014 (adaptado).
Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros zeros?
(A) –6 (B) –5 (C) 0 (D) 5 (E) 6
Números Complexos
Já
vimos que as equações quadráticas cujo discriminante é negativo – ou seja, ∆ < 0 – não têm solução real.
Uma equação quadrática simples que não possui raiz real é x2 + 1 = 0,
pois,
subtraindo 1 dos dois lados da equação, obtemos
x2 = −1,
e
não há um número real cujo quadrado valha −1.
Dificuldade
semelhante ocorre com equações cúbicas (do terceiro grau), quárticas (do quarto
grau) ou que envolvam polinômios de maior grau.
Para contornar o inconveniente de não ser possível encontrar raízes reais para todas as equações polinomiais, os matemáticos inventaram o conjunto dos números complexos, representado por ℂ.
Nesse
conjunto, há um número especial, denominado unidade imaginária, ou simplesmente
i, que é definido por
de
modo que
Usando
a unidade imaginária, podemos resolver a equação quadrática acima fazendo
Assim,
a equação tem duas soluções, que são x1
= i e x2 = −i.
Consideremos,
agora, a equação x2 + 9 = 0.
Nesse
caso, seguindo a mesma ideia apresentada acima, escrevemos
Assim,
se admitirmos a existência de , podemos dizer que a
equação tem duas soluções, x1 =
e x2
= −
, embora nenhuma delas seja
real.
Na
verdade, notando que
(3i)2 = 32 ∙ i2 = 9(−1) = −9, e (−3i)2
= (−3)2 ∙ i2
= 9(−1) = −9,
concluímos
que as raízes da equação são os números complexos x1 = 3i e x2
= −3i.
Raiz quadrada de números negativos
Vimos
acima que = i e
que
= 3i.
Vejamos
como obter a raiz quadrada de um número real negativo qualquer:
Dado
um número real positivo b,
Naturalmente, .
Entretanto,
damos preferência à forma para deixar claro que o termo i não está dentro
da raiz.
Observe
que
Logo,
a regra do produto de raízes de números reais, que diz que quando a
≥ 0 e b ≥ 0, também pode ser
aplicada quando a ≥ 0 e b < 0 (ou a < 0 e b ≥ 0).
Porém,
essa regra não é válida quando os dois termos são negativos, ou seja, não se
pode dizer que
Errado!
Para obter o resultado correto nesse caso, devemos seguir o que foi apresentado no quadro acima e escrever
Esse
exemplo ilustra o motivo principal de os matemáticos adotarem a unidade
imaginária i. Sem ela, os erros no
cálculo de produtos de raízes quadradas de números negativos poderiam ser
frequentes.
Exemplos:
Raízes quadradas de números reais negativos
Definição de Número Complexo
Para
estender os conceitos vistos acima a todas as equações polinomiais, definimos
os números complexos conforme mostrado no quadro abaixo:
Exemplo:
a) 5 + 3i é um número complexo com parte
real 5 e parte imaginária 3.
b) 7 − 2i é um número complexo com parte
real 7 e parte imaginária − 2.
c)
3/4 – 4/5 i é um número complexo com parte real 3/4 e parte imaginária −4/5 .
d) 4i é um número complexo com parte real 0
e parte imaginária 4.
e)
−3 é um número complexo com parte real −3 e parte imaginária 0.
Números
complexos com a parte real igual a zero, como aquele mostrado no item (e)
acima, são chamados puramente
imaginários.
Por
sua vez, os números reais – como o valor −3 citado no item (e) – podem ser
vistos como números complexos sem a
parte imaginária.
Assim, sendo, o conjunto dos números complexos contém todos os números reais, ou seja, ℝ ⊂ ℂ.
Os números complexos são empregados em diversos ramos da matemática, da física e da engenharia. Entretanto, sua aplicação mais imediata é a solução de equações polinomiais, como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo: Resolva x2 − 6x + 13 = 0.
Solução:
O
discriminante dessa equação é
∆ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 13 = 36 − 52 = −16.
Aplicando a fórmula de Bhaskara, mesmo observando que ∆ < 0, obtemos:
Logo,
apesar de não haver solução real, a equação tem duas raízes complexas, que são:
Note
que, quando ∆ < 0, as raízes complexas da equação quadrática ax2 + bx + c = 0 têm sempre a
forma:
x = r + si e = r − si,
em
que r = −b / (2a) e s = / (2a).
Nesse
caso, dizemos que as soluções formam um par conjugado. A definição de conjugado complexo é dada no quadro abaixo.
Os
exemplos a seguir ilustram como obter os conjugados de números complexos na forma z = a + bi, em que a é a parte real e b a
parte imaginária.
Atividades:
1) Reescreva
as expressões abaixo usando a unidade imaginária i quando necessário.
2)
Resolva as equações abaixo.
a)
9x2 + 1 = 0
b)
25x2 + 16 = 0
c) x2
− 4x + 5 = 0
d) x2
+ 2x + 10 = 0
e) x2
− 12x + 40 = 0
f)
−x2 + 8x − 25 = 0
g) x2
− 5x + 7 = 0
h)
3x2 − 12x + 87 = 0
i)
4x2 + 4x + 5 = 0
j)
2x2 − 6x + 9 = 0
k)
4x2 + 24x + 85 = 0
l)
5x2 − 2x + 10 = 0
Teorema fundamental da álgebra
Já
vimos que toda equação polinomial de grau n,
com coeficientes reais, tem no máximo n
raízes reais. Veremos agora que, trabalhando com números complexos, conseguimos
resultados bem mais precisos, baseados no teorema abaixo, que apresentamos sem
demonstração.
Toda função polinomial p(x) com coeficientes complexos
tem ao menos um zero complexo.
Observe
que o teorema fundamental da álgebra também se aplica a polinômios com
coeficientes reais, já que todo número real é também complexo.
Apresentado dessa forma, o teorema parece pouco promissor, pois só indica que uma função polinomial de grau n,
pn(x) = anxn
+ an−1xn−1 + an−2xn−2 + ⋯ + a1x + a0,
tem
um zero complexo .
Entretanto,
a sua combinação com o Teorema do Fator, nos permite decompor a função pn no produto de um fator
linear por uma função polinomial pn−1,
que tem grau n − 1:
Supondo,
então, que n − 1 seja maior que zero,
podemos aplicar novamente o teorema fundamental da álgebra, agora a pn−1.
Concluímos,
assim, que essa função também tem ao menos um zero complexo, , e que é possível escrever:
Desse
modo,
em
que pn−2(x) é um polinômio
de grau n − 2.
Repetindo
esse processo outras n − 2 vezes,
chegamos à expressão:
Esse resultado é importante porque indica que é possível decompor uma função polinomial de grau n em n fatores de grau 1, embora o teorema não explique como os zeros de pn são determinados.
Exemplo:
Já
vimos que o polinômio p(x) = x4
− 4x3 + 13x2 podia ser escrito na forma p(x) = x2 (x2 − 4x +
13), bastando para isso que puséssemos x2
em evidência. Concluímos, assim, que
x1
= 0 é uma raiz (de multiplicidade 2)
de p(x) = 0.
Para
achar os outros zeros do polinômio, aplicamos a fórmula de Bhaskara à equação x2
− 4x + 13 = 0, calculando, em primeiro lugar, o discriminante:
∆ = (−4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅
13 = −36.
Uma
vez que já sabemos trabalhar com números complexos, não nos intimidamos com o
fato de o discriminante ser negativo, e prosseguimos escrevendo:
Assim,
as raízes (complexas) de
Finalmente,
lembrando que x1 = 0 também é um zero da função polinomial:
p(x) = x4 − 4x3 + 13x2
e
aplicando o Teorema da Decomposição, obtemos
p(x) = x2∙ (x − 2 − 3i)∙(x − 2 + 3i).
Observe
que, nesse exemplo, o coeficiente do monômio de maior grau do polinômio
original é a4 = 1.
Multiplicidade de zeros e pares conjugados
O
Teorema da Decomposição indica que é possível escrever uma função polinomial de
grau n como o produto de n fatores lineares que envolvem os zeros complexos da
função.
Entretanto,
não se exige que esses números sejam distintos. De fato, uma função quadrática
simples como p(x) = x2 − 10x +
25 pode ser apresentada na forma fatorada p(x) = (x − 5)∙(x
− 5), na qual o zero real x = 5
aparece duas vezes, tendo, portanto, multiplicidade
2.
Exemplo:
A
função polinomial
p(x) = 4x7 +44x6 +73x5
−508x4 −1070x3 +1400x2 −375x
pode
ser escrita na forma fatorada
p(x) = 4x∙(x
− 3)∙(x – 1/2)2 ∙(x + 5)3.
Determine
os zeros da função e suas multiplicidades.
Solução:
Como já
dispomos da função na forma fatorada, concluímos trivialmente que seus zeros
são
x1
= 0, x2 = 3, x3 = 1/2 e x4 = −5.
A multiplicidade de cada zero c é o número
de vezes que o termo (x − c) aparece quando a função é apresentada na forma
fatorada.
Dito de outra forma, a multiplicidade de um
zero c é o expoente do fator (x − c).
Sendo assim, nesse problema,
• x1 = 0 tem multiplicidade 1,
• x2 = 3 tem multiplicidade 1,
• x3 = 1/2 tem multiplicidade 2,
• x4 = −5 tem multiplicidade.
No
problema acima, notamos que a soma das multiplicidades é exatamente igual ao
grau do polinômio. Esse resultado, que vale para toda função polinomial, está
resumido no quadro a seguir:
Exemplo:
Dada
a função p(x) = 5∙(x
+ 1)3∙(x
− 2 + i)2∙(x
− 2 − i)2, determine as raízes da equação p(x) = 0, bem como o grau de p.
Solução:
As raízes da equação p(x) = 0 são os zeros
da função, ou seja,
x = −1, x = 2 − i e x = 2 + i.
Já o grau de p pode ser obtido somando-se os
expoentes dos fatores lineares:
3 + 2 + 2 = 7.
Outro Exemplo:
Uma função polinomial p tem como zeros x = 3 (com multiplicidade 2), x = 2i e x = −2i. Escreva a expressão de p, sabendo que p(0) = 144.
Solução:
Segundo o Teorema da Decomposição, a função
pode ser escrita na forma p(x) = a∙(x
− 3)2∙(x
− 2i)∙(x + 2i).
Sendo assim, temos
p(0) = a∙(0
− 3)2∙(0
− 2i)∙(0 + 2i). Substituindo x por
0.
p(0) = a∙(−3)2∙(−2i)∙(2i).
Simplificando os termos entre parênteses.
p(0) = a ⋅ 9 ⋅
(−4i2).
Calculando a potência e o produto.
p(0) = a ⋅ 9 ⋅
4. Usando o fato de que i2 = −1.
p(0) = 36a. Simplificando o resultado.
Como sabemos que p(0) = 144, concluímos que
36a = 144 ⇒ a = 144/36 = 4.
Logo, p(x) = 4∙(x
− 3)2∙(x
− 2i)∙(x + 2i).
Observe
que, nos exemplos anteriores, os zeros
complexos do polinômio apareceram em pares conjugados. No primeiro caso, esses
zeros eram 2 + 3i e 2 − 3i, enquanto no segundo tínhamos 2i e −2i.
De fato, isso não ocorreu por acaso, mas como consequência direta de os coeficientes do polinômio serem reais, como indicado no quadro abaixo:
Exemplo:
Escreva uma função polinomial de quarto grau, com coeficientes reais, que tenha como zeros
x1 = 1, x2
= −6, e x3 = 4 − 5i.
Solução:
Como os coeficientes da função devem ser
reais, concluímos que os zeros complexos aparecerão em pares conjugados.
Assim, se x3 = 4−5i é um desses
zeros, devemos ter x4 = 4 + 5i.
Logo, a função terá a forma:
p(x) = a(x − 1)(x + 6)(x − 4 + 5i)(x − 4 −
5i).
Escolhendo a = 1 por simplicidade, obtemos
p(x) = (x − 1)(x + 6)(x − 4 + 5i)(x − 4 −
5i).
Atividades:
1) Determine
os zeros das funções polinomiais abaixo e indique suas multiplicidades. Informe
também o grau das funções.
a)
16(x − 2)2 (x + 7)3
b)
(x − 2 − 5i)(x − 2 + 5i)(x + 3 − 4i)(x + 3 + 4i)
c)
(x + 4)3 (x − 5 − 5i)(x − 5 + 5i)
d)
2(x − 1)(x − 1)(x − 1 − i)(x − 1 + i)
e)
(x − 8 − 2i)4 (x − 8 + 2i)4
f)
3x(x − 1 3 )(x − 3i)2 (x + 3i)2
2) Determine
as raízes das equações abaixo e escreva os polinômios do lado esquerdo na forma
fatorada.
a) 16x2 + 81 = 0
b) x3
− 9x = 0
c)
4x3 + 25x = 0
d) x3
+ 2x2 + 5x = 0
e)
2x3 − 16x2 + 50x = 0
f) x4
+ 4x2 = 0
g)
256x4 + x2 = 0
h) x5
+ 64x3 = 0
i) x4
+ 2x2 − 24 = 0
j) x4
+ 5x2 + 4 = 0
3) Determine
as raízes das equações abaixo e escreva os polinômios do lado esquerdo na forma
fatorada.
a) x3
+ 2x2 − 3x − 10 = 0, sabendo que 2 é raiz
b)
2x3 − 3x2 + 50x − 75 = 0, sabendo que 5i é raiz
c) x3
− 7x2 + 44x + 52 = 0, sabendo que 4 − 6i é raiz
d) x3
− 3x2 + 7x + 75 = 0, sabendo que −3 é raiz
e)
4x3 − 24x2 + 25x − 25 = 0, sabendo que 5 é raiz
4)
A decomposição de um polinômio p em
fatores do 1º grau é dada por: p(x) = 5
(x + 1) (x – 3) (x – 4).
As
raízes desse polinômio são:
(A) 5, 3 e 4
(B) −1, 3 e 4
(C) 1, −3 e −4
(D) 5, −3 e −4
Gráficos
nas funções polinomiais de graus diversos
De
forma geral, o gráfico de uma função polinomial possui as seguintes
características:
1) Ele é contínuo, ou seja, ele não contém buracos, saltos (descontinuidades verticais) ou falhas (descontinuidades horizontais).
2)
Ele é suave, ou seja, ele não possui
mudanças bruscas de direção ou inclinação. Essas mudanças são denominadas informalmente de quinas ou bicos.
Vejamos:
(a)
Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há um buraco em a e um salto em b.
(b)
Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há uma falha entre a e b.
(c)
Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há uma quina em a e um bico em b.
(d)
Pode ser o gráfico de uma função polinomial, pois é contínuo e suave.
Otimização do formato de uma caixa
Uma
folha de papelão com 56 × 32 cm será usada para fabricar uma caixa sem tampa,
como a que é mostrada na Figura abaixo:
Para
obter a caixa, a folha de papelão deverá ser cortada nas linhas contínuas e
dobrada nas linhas tracejadas indicadas na Figura abaixo:
Observe
que a base da caixa corresponde ao retângulo interno da Figura acima e que a
altura da caixa é x.
Responda
às perguntas abaixo, lembrando que o volume de um prisma retangular de lados x, y
e z é igual a xyz.
a)
Exprima em função da variável x cada
uma das duas dimensões do fundo da caixa dobrada.
b)
Determine uma função V(x) que forneça
o volume da caixa em relação a x.
c)
Defina um domínio adequado para V,
considerando que os lados da caixa não podem ser negativos.
d)
Esboce o gráfico de V(x).
e) A
partir do gráfico de V(x), determine
o valor de x que maximiza o volume da
caixa. Calcule o volume correspondente.
Solução:
a) Observando a Figura, notamos que a folha
de papelão tem 56 cm de largura. Desse comprimento, uma parcela correspondente
a 4x deve ser reservada para formar a lateral da caixa. Assim, a largura do
fundo da caixa é dada por L(x) = 56 − 4x.
Por sua vez, dos 32 cm de altura que a folha
de papelão possui, 2x devem ser usados na lateral da caixa, de modo que a outra
dimensão do fundo da caixa é definida por A(x) = 32 − 2x.
b) Dadas as dimensões do fundo da caixa, e
considerando que sua altura mede x, o volume comportado será equivalente a V
(x) = (56 − 4x)∙(32
− 2x)∙x.
c) Como nenhuma dimensão da caixa pode ser
negativa, devemos impor as seguintes condições:
a) x ≥ 0.
b) 56 − 4x ≥ 0, o que nos leva a x ≤ 14.
c) 32 − 2x ≥ 0, que implica que x ≤ 16.
Tomando a interseção dessas desigualdades,
obtemos
D = {x ∈ R ∣
0 ≤ x ≤ 14}.
d) Claramente, a função V(x) tem como zeros
x = 0, x = 14 e x =
16.
Entretanto, como vimos no item anterior,
somente os valores de x entre 0 e 14 têm sentido físico.
Limitando nosso gráfico a esse intervalo,
obtemos a curva mostrada no gráfico abaixo:
e)
Analisando a Figura 4.35, concluímos que a altura que maximiza o volume da
caixa é x ≈ 5cm, à qual corresponde um volume aproximado de
V(5) = (56 − 4 ⋅
5)(32 − 2 ⋅ 5) ⋅ 5 = 3960 cm3
Atividades:
1) Dados os gráficos abaixo, determine quais podem
representar uma função polinomial. Caso o gráfico não possa corresponder a uma
função polinomial, indique o motivo.
2) Considerando
apenas o comportamento extremo das funções abaixo, relacione-as aos gráficos
apresentados.
a) f(x) = x3 − 5x + 1
b) f(x) = −2x3 − x2 + 4x + 6
c) f(x) = x4 − 3x3 − 2x2 + 4x – 4
d) f(x) = 1 − 4x2 − 4x3 + 3x4 + 2x5
− x6
3) Os gráficos de algumas funções polinomiais foram desenhados abaixo, com o auxílio de um programa matemático. Determine aproximadamente os pontos de mínimo e máximo local e os valores correspondentes de cada função.
4) Uma companhia aérea permite que um passageiro leve consigo uma
bagagem cuja soma das dimensões (altura, largura e profundidade) não ultrapasse
150 cm. Joaquim pretende tomar um voo dessa companhia levando uma caixa cuja
base é quadrada. Suponha que o comprimento do lado da base seja x.
a)
Escreva uma função h(x) que forneça a
altura da caixa em relação às outras duas dimensões.
b)
Forneça uma função v(x) que forneça o
volume da caixa, lembrando que o volume de um prisma retangular de lados x, y
e z é igual a xyz.
c)
Defina um domínio adequado para v(x),
lembrando que nenhum lado da caixa pode ter comprimento negativo.
d)
Esboce o gráfico de v(x) no domínio
que você escolheu.
e)
Determine o valor de x que maximiza o
volume da caixa. Calcule o volume correspondente.
5) Um caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço de cartolina de 60cm
de lado, cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados.
a) Qual a função V(x) em
relação ao volume da caixa?
b) Cortando-se quadrados de lado 10 cm nos cantos e dobrando
conforme a figura, é possível formar uma caixa sem tampa cujo volume é igual a
16.000 cm3. Verifique se existe outra medida que pode ser cortado os
quadrados para que o volume seja também 16.000 cm3.
6) Deseja-se
cortar quadrados em cada canto de uma folha de papelão quadrada, com 18 cm de
lado para obter uma caixa de papelão na forma de um paralelepípedo sem tampa.
a)
Determine o polinômio que representa o volume da caixa em relação ao lado de
medida x dos quadrados cortados.
b)
Cortando-se quadrados de lado 4 cm nos cantos da folha é possível construir uma
caixa de 400cm3. Existe algum outro valor para o lado do quadrado a
ser recortado em cada canto para qual o volume da caixa resultante também seja
igual a 400cm3? (Utilize a calculadora para calcular a raiz não
exata)
7) Um
quadrado de papelão tem 20 cm de lado. Cortando quadradinhos iguais, nos quatro
cantos, podemos montar uma caixa em forma de bloco retangular.
a)
Determine a função V(x) referente ao
volume da caixa.
b)
Sabendo-se que se cortar quadrados de 5 cm obteremos um volume de 500 cm3.
É possível obtermos outros valores referentes à medida que deve ser cortado os
quadrados para obter o volume de 500 cm3?
8)
Um quadrado de cartolina em forma de bloco retangular, vamos cortar os cantos
da cartolina, retirando quadradinhos em x
cm. Quais devem ser os valores de x,
em centímetros, para que a capacidade seja de 72 ml?
9) Para
fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelão de espessura desprezível
e 8 dm de lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de
lados x. Em seguida, o papelão foi
dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paralelepípedo
retângulo, de altura x, como mostram os esquemas ao lado. Quando x = 2 dm, o volume da caixa é igual a 8
dm³. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8 dm³.
10) (ENEM-2009) Muitas
indústrias têm procurado modificar as embalagens de seus produtos de forma a
economizar material, mas mantendo o mesmo volume. Considere que se tenha uma
folha de papelão quadrada e se deseje encontrar a melhor altura (h) para fazer
uma caixa sem tampa, cortando-se os quatro cantos da folha. As exigências são
que as dimensões da caixa sejam números inteiros e que o volume seja o maior
possível. No modelo apresentado na figura seguinte, a folha tem 12 cm de lado
e, nesse caso, a caixa de maior volume terá altura 2 cm. Para encontrar esse
número, é calculado o volume em função da altura e prossegue-se atribuindo
valores a h e calculando o volume, enquanto o valor do volume aumentar.
(A) 2 cm
(B) 3 cm
(C) 4 cm
(D) 5 cm
(E) 6 cm
11) Qual o possível polinômio
do P que se refere ao gráfico abaixo?
12) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. A curva abaixo, cuja equação é dada por e = t3 + at2 + bt + c, representa a posição e, em metros, o ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b e c são números reais fixos.
a) A partir do gráfico a cima, encontre os valores de a, b e c fixos e a escreva a função com esses devidos valores.
b) No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido. Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar.
13) Os gráficos de duas
funções polinomiais P e Q estão representados na figura seguinte.
Para que valores
de x, temos P(x) = Q(x)?
De
acordo com o gráfico, quantas vezes foi necessário colocar a proteção de
ouvidos no último turno de trabalho?
(A) 7
(B) 6
(C) 4
(D) 3
(E) 2
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