segunda-feira, 3 de agosto de 2020

Números Complexos nas funções polinomiais



Divisão de polinômios 

As operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, bem como de expressões algébricas em geral, já foram estudadas. Agora que estamos estudando as funções polinomiais, veremos finalmente como dividir polinômios, um passo essencial para a fatoração dessas funções.

A fatoração, por sua vez, é útil para encontrar os zeros da função polinomial, os quais nos permitem resolver equações e inequações, bem como traçar os gráficos dessas funções.

Para tratar da divisão de polinômios, precisamos recordar algumas características da divisão de números naturais. Exemplo 1. Divisão de números naturais

Ao dividirmos 315 por 21, obtemos o valor exato 15.

Nesse caso dizemos que

 

Essa divisão também pode ser apresentada com o auxílio do diagrama ao lado, muito explorado no ensino fundamental.


Em uma divisão de números naturais, o número que está sendo dividido (315, no exemplo acima) é denominado dividendo, enquanto o número pelo qual se está dividindo (21) é chamado de divisor. O resultado da divisão (15) recebe o nome de quociente.

Multiplicando por 21 os dois lados da equação acima, obtemos a equação equivalente

315 = 21 x 15.

 

Assim, quando a divisão é exata, o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente.

Considerando, agora, a divisão de 315 por 22, notamos que o resultado não é exato. Embora a divisão forneça 14 como quociente, há um resto de 7 unidades.

como mostra o diagrama a seguir.


Nesse caso, o produto 22 x 14 fornece 308, faltando 7 unidades para chegarmos a 315, de modo que

315 = 22 x 14 + 7.

 

De uma forma geral, se p é um número natural (o dividendo) e d (o divisor) é um número natural menor ou igual a p, então existe um número inteiro q (o quociente), e um número inteiro r (o resto), tais que

 p = d q + r.




Vamos dividir polinômios seguindo estratégia semelhante àquela adotada para números inteiros.

Entretanto, antes de começar o processo de divisão, é conveniente:

• escrever os monômios do dividendo e do divisor em ordem decrescente de grau;

• incluir os monômios que faltam, usando o zero como coeficiente.

 

Exemplo: Para dividir p(x) = x3 − 2x + 15 − 4x2 por d(x) = x − 3 devemos, em primeiro lugar, reescrever p(x) em ordem decrescente do grau dos seus monômios, e montar o diagrama tradicional da divisão.


No primeiro passo, dividimos o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau de d(x).

Em nosso exemplo, isso corresponde a calcular


Esse resultado é, então, anotado no diagrama, logo abaixo do divisor.


Em seguida, multiplicamos o termo encontrado, x2 pelo divisor d(x), obtendo


 

Esse polinômio é, então, subtraído do dividendo p(x).


Essa operação pode ser feita diretamente no diagrama, como mostrado a seguir.


Atenção: Não se esqueça de inverter o sinal de todos os termos de x3 − 3x2 ao transcrever esse polinômio para o diagrama, pois isso facilita a subtração.

 

Observe que o polinômio x3 − 3x2 não possui termos de grau 1 e de grau 0. Assim, ao subtraí-lo de x3 − 4x2 − 2x + 15, simplesmente “descemos” os termos −2x e +15 da primeira linha, somando-os a −x2.

 

Continuando o processo, passamos à divisão do polinômio restante, −x2 − 2x + 15, pelo divisor, x − 3.

Nesse caso, tomando apenas o termo de maior grau de cada uma desses polinômios, calculamos:


Esse monômio deve ser somado à parcela já encontrada do quociente:


 

Multiplicando a nova parcela do quociente, −x, pelo divisor, x − 3, obtemos


Subtraindo, então, esse polinômio de −x2 − 2x + 15, chegamos a


O diagrama abaixo resume os passos da segunda etapa da divisão (observe que o polinômio −x2 + 3x  aparece com o sinal trocado:

 

No terceiro passo do processo, dividimos o termo de maior grau de −5x + 15 pelo termo de maior grau de x − 3, ou seja, calculamos


e passamos esse termo para nosso diagrama:

  

Em seguida, multiplicamos o termo encontrado pelo divisor d(x),


 

e subtraímos esse polinômio de


 

Todas essas operações são, então, incluídas no diagrama, conforme mostrado abaixo.

Como o resultado da subtração acima é zero, terminamos o processo.

 

Nesse caso, dizemos que p(x) é divisível por d(x), ou seja, r(x) = 0 e

 

x3 − 4x2 − 2x + 15 = (x2 − x − 5)∙(x − 3). 


No exemplo acima, cada passo da divisão foi detalhado, para facilitar a compreensão dos cálculos envolvidos. Tentaremos, agora, resolver um problema mais complicado, abreviando as etapas e recorrendo mais ao diagrama do que às contas em separado.

 

Exemplo: Divisão de polinômios Divida p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 por d(x) = x2 − 2x + 1.

 

Solução:

 Comecemos completando os monômios do dividendo:

 p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 0x + 5.

 

Agora, passemos às etapas da divisão propriamente dita.

 

• Dividindo o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau de d(x):


• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):


• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de p(x) diretamente no diagrama:


 

• Dividindo o monômio de maior grau de 2x3 − 5x2 + 5 pelo monômio de maior grau de d(x):


• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):

 

2x(x2 − 2x + 1) = 2x3 − 4x2 + 2x.

 

• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de 2x3 − 5x2 + 5 diretamente no diagrama:


 

• Dividindo o monômio de maior grau de −x2 − 2x + 5 pelo monômio de maior grau de d(x):


 

• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):

−1(x2 − 2x + 1) = −x2 + 2x − 1.

 

• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de −x2 − 2x + 5 diretamente no diagrama: 


 

Como o polinômio restante, −4x+6, tem grau menor que o divisor, d(x) = x2 − 2x + 1, não há como prosseguir com a divisão.

Nesse caso, o quociente é q(x) = 3x2 + 2x − 1,

e o resto é r(x) = −4x + 6.

Assim, temos


 


Teorema do resto

Como vimos acima, ao dividirmos um polinômio

 p(x) por x − a,

obtemos o quociente q(x) e o resto r, de modo que

p(x) = (x − a)q(x) + r.

 

Aqui, escrevemos apenas r, em lugar de r(x), porque o resto é um número real.

 

Usando essa equação, é fácil reparar que

p(a) = (a − a)q(x) + r = 0 q(x) + r = r.

 

Esse resultado tem usos diversos na matemática, de modo que vamos apresentá-lo em um quadro.



Exemplo: Dado o polinômio p(x) = x3 − 2x2 − 5x − 10, calcule p(4) e depois divida p(x) por x – 4

p(4) = 43 – 242 – 54 – 10 = 64 – 32 – 20 – 10 = 2 

x3 − 2x2 − 5x – 10 = (x – 4)(x2 + 2x + 3) + 2

 

Nota-se que o valor de p(4) é o mesmo do resta da divisão de p(x) por x – 4, como o Teorema nos indica. 

 



Atividades: 

1) Para cada expressão na forma p(x)/d(x) abaixo, calcule o quociente q(x) e o resto r(x).

a) (2x3 − 3x2 + 6)/(x2 − 2)

b) (6x2 − 4x − 3)/(3x − 5)

c) (4x3 + 2x2 + 11x)/(2x2 + 3)

d) (6x4 + 5x3 − 2x)/(3x − 2)

e) (4x3 + 6x − 10)/(2x − 4)

f) (24x3 − 4x − 1)/(2x − 1)

g) (8x3 − 12x2 − 2x)/(4x − 8)

h) (2x4 − 4x3 + x − 17)/(x2 − 4)

i) (x4 − 6x3 + 3x2 − 2x + 3)/(x2 − 2x − 3)

j) (x4 − 5x2 + 4)/(x2 − 1)

k) (3x5 − 2x3 − 11x)/(x3 − 3x)

l) (6x2 + 7x + 9)/(2x2 − 5x + 1)

m) (x4 + 2x − 12)/(x + 2)

n) (x2 − 5x + 8)/(x − 3)

o) (3x + 7)/(x + 4)

p) (x4 − 2)/(x − 1)

q) (x3 − 3x2 + 4x − 5)/(x − 4) 

 

Zeros reais de funções polinomiais 

Agora que vimos as funções constantes, lineares e quadráticas, que são funções polinomiais de grau 0, 1 e 2, respectivamente, é hora de explorarmos as características das funções

p(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0

cujo grau, n, é maior ou igual a 3.

Começaremos nossa análise estudando os zeros dessas funções. Encontrar os zeros de uma função polinomial não é tarefa fácil quando o grau da função é maior que 2.

De fato, para funções de grau 3 e 4, ainda é possível usar fórmulas explícitas para os zeros, embora elas sejam pouco práticas. Já para funções de grau maior que 4, é preciso adotar estratégias mais complexas, como veremos abaixo.

Entretanto, quando alguns zeros já são conhecidos, a determinação dos zeros restantes pode ser grandemente facilitada se usamos o teorema do fator, que decorre do teorema do resto, já estudado.

 

Como consequência desse teorema, concluímos que,

se p(x) for divisível por x − a, ou seja,

se o resto dessa divisão for 0,

então p(a) = 0, de modo que a é um zero do polinômio p(x).

 

Além disso, se r = 0, temos

p(x) = q(x) d(x) + r(x) = q(x) (x − a) + 0 = (x − a)∙q(x) ∙p(x) = (x − a)∙q(x),

de modo que (x − a) é um fator de p(x).

Também não é difícil mostrar que,

se x − a é um fator de p(x),

então p(a) = 0, o que nos leva ao teorema a seguir.

 


Exemplo: Dado o polinômio p(x) = 3x3 + 5x2 + cx + 16, determine o valor da constante c de modo que x + 2 seja um fator de p(x).

 

Solução:

Observe que o fator x + 2 pode ser convertido à forma x − a se escrevermos x + 2 = x − (−2).

Desse modo, temos a = −2.

Segundo o teorema do fator, para que p(x) tenha um fator x + 2, é preciso que p(−2) = 0. Assim,

3(−2)3 + 5(−2)2 + c(−2) + 16 = 0

−2c + 12 = 0

c = −12 / −2

c = 6

Logo, x + 2 é um fator de p(x) = 3x3 + 5x2 + 6x + 16.

 

Juntando o resultado fornecido pelo teorema do fator aos conhecimentos que já adquirimos sobre gráficos de funções, podemos estabelecer as seguintes relações entre fatores, zeros, soluções de equação e interceptos-x.



Exemplo: Seja dada a função p(x) = x3 + 2x2 − 15x.

a) Determine todos os zeros de p(x).

b) Escreva o polinômio na forma fatorada.

c) Trace o gráfico de p, identificando os interceptos-x.

 

Solução:

 a) Como todos os termos de p(x) incluem a variável x, podemos pô-la em evidência, de modo que

p(x) = x(x2 + 2x − 15). 

Logo, p(x) = 0 se x = 0 ou x2 + 2x − 15 = 0. 

Concluímos, então, que x = 0 é um zero de p, e que os demais zeros do polinômio são solução de

x2 + 2x − 15 = 0. 

Para encontrar as raízes dessa equação, calculamos o discriminante

∆ = 22 − 4 1 (−15) = 64, 

e aplicamos a fórmula de Bhaskara:

 

Assim, temos as raízes

 Portanto, os zeros de p(x) são x = 0, x = 3 e x =−5.

 

b) Como a equação x2 + 2x − 15 = 0, tem duas soluções, podemos escrever o termo quadrático (x2 + 2x − 15) como o produto de dois fatores mais simples:

x2 + 2x − 15 = (x − 3)∙(x + 5).

O que implica que a forma fatorada de p(x) é:

p(x) = x(x − 3)(x + 5).

 

c) Sabendo que x = −5, x = 0 e x = 3 são zeros de p(x), devemos escolher um intervalo de x que inclua esses pontos ao traçar o gráfico da função. 

Adotando x [−6, 4], obtemos a curva mostrada no gráfico abaixo, na qual os pontos de interseção com o eixo-x estão identificados em verde.


 

No exemplo anterior, a função polinomial, que era de grau 3, tinha exatamente 3 zeros e percebemos que também funções polinomiais de grau 2 (funções quadráticas) podem ter 0, 1 ou 2 zeros e um polinômio de grau 1 (função afim), pode ter 0 ou 1 zero. Notamos, assim, que há uma relação entre o grau do polinômio e o número de zeros reais que ele possui. Essa relação é descrita pelo teorema a seguir:

 

Atividades: 

1) Para cada função polinomial abaixo, determine o valor da constante c de modo que o termo fornecido seja um fator de p.

a) p(x) = x2 − 9x + c. Fator: x − 8

b) p(x) = 5x2 + cx + 9. Fator: x + 3

c) p(x) = x3 − 6x2 + 3x + c. Fator: x − 5

d) p(x) = 3x3 + cx2 − 13x + 3. Fator: x − 1

e) p(x) = x4 − 2x3 + 8x2 + cx − 2. Fator: x − 2

f) p(x) = 2x4 − 10x3 + cx2 + 6x + 40. Fator: x − 4

 

2) Determine as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações, utilizando fatoração por evidência:

a) x3 − 4x = 0

b) x3 − 4x2 − 21x = 0

c) 2x3 + 11x2 − 6x = 0

d) −3x3 + 6x2 + 9x = 0

e) x4 − x3 − 20x2 = 0

f) x4 − 8x3 + 16x2 = 0

g) 5x4 − 8x3 + 3x2 = 0

h) 8x4 − 6x3 − 2x2 = 0

 

3) Determine as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.

a) x3 + x2 − 2x − 2 = 0, sabendo que x = −1 é uma raiz.

b) x3 − 5x2 − 4x + 20 = 0, sabendo que x = 2 é uma raiz.

c) x4 − 9x3 x2 + 81x − 72 = 0, sabendo que x = 8 e x = 3 são raízes.

d) x3 − 3x2 − 10x + 24 = 0, sabendo que x = 4 é uma raiz.

e) x3 − 4x2 − 17x + 60 = 0, sabendo que x = 3 é uma raiz.

f) 4x3 − 16x2 + 21x − 9 = 0, sabendo que x = 1 é uma raiz.

g) 3x3 − 26x2 + 33x + 14 = 0, sabendo que x = 7 é uma raiz.

h) x4 − 9x3 + 17x2 + 33x – 90 = 0, sabendo que x = −2 e x = 5 são raízes.

i) x4 − 6x3 − 5x2 + 30x, sabendo que x = 6 é uma raiz.

 

4) Em cada caso abaixo, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o grau e os zeros indicadas.

a) Grau 2, com zeros x = −4 e x = 0.

b) Grau 2, com zeros x = 1 e x = 2, com concavidade para baixo.

c) Grau 3, com zeros x = 0, x = 1 e x = 3.

d) Grau 3, com zeros x = −2 e x = 1 (com multiplicidade 2).

e) Grau 3, com zero x = 8 (com multiplicidade 3).

f) Grau 4, com zeros x = −3, x = −2, x = 0 e x = 5.

 

5) Funções polinomiais: uma visão analítica

Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função f é uma raiz da equação f(x) = 0). O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e, por isso, são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo:

Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter?

Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter?

Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação polinomial? ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este problema foi completamente resolvido. [...]

Disponível em: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html Acesso em: 24 out. 2014 (adaptado).


Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros zeros?

         (A) –6       (B) –5         (C) 0       (D) 5      (E) 6


Números Complexos 

Já vimos que as equações quadráticas cujo discriminante é negativo – ou seja, ∆ < 0não têm solução real.

Uma equação quadrática simples que não possui raiz real é x2 + 1 = 0,

pois, subtraindo 1 dos dois lados da equação, obtemos

x2 = −1,

e não há um número real cujo quadrado valha −1.

 

Dificuldade semelhante ocorre com equações cúbicas (do terceiro grau), quárticas (do quarto grau) ou que envolvam polinômios de maior grau.

Para contornar o inconveniente de não ser possível encontrar raízes reais para todas as equações polinomiais, os matemáticos inventaram o conjunto dos números complexos, representado por .

 

Nesse conjunto, há um número especial, denominado unidade imaginária, ou simplesmente i, que é definido por

de modo que

     

Usando a unidade imaginária, podemos resolver a equação quadrática acima fazendo


Assim, a equação tem duas soluções, que são x1 = i e x2 = −i.

 

Consideremos, agora, a equação x2 + 9 = 0.

Nesse caso, seguindo a mesma ideia apresentada acima, escrevemos


 

Assim, se admitirmos a existência de , podemos dizer que a equação tem duas soluções, x1  e x2 = −, embora nenhuma delas seja real.

 

Na verdade, notando que

(3i)2 = 32 i2 = 9(−1) = −9, e (−3i)2 = (−3)2 i2 = 9(−1) = −9,

concluímos que as raízes da equação são os números complexos x1 = 3i e x2 = −3i.

 

Raiz quadrada de números negativos

 

Vimos acima que  = i e que  = 3i.

Vejamos como obter a raiz quadrada de um número real negativo qualquer:


Dado um número real positivo b,

Naturalmente, .

Entretanto, damos preferência à forma  para deixar claro que o termo i não está dentro da raiz.

Observe que  

Logo, a regra do produto de raízes de números reais, que diz que  quando a ≥ 0 e b ≥ 0, também pode ser aplicada quando a ≥ 0 e b < 0 (ou a < 0 e b ≥ 0).

 

Porém, essa regra não é válida quando os dois termos são negativos, ou seja, não se pode dizer que

  Errado!

 

Para obter o resultado correto nesse caso, devemos seguir o que foi apresentado no quadro acima e escrever

 

Esse exemplo ilustra o motivo principal de os matemáticos adotarem a unidade imaginária i. Sem ela, os erros no cálculo de produtos de raízes quadradas de números negativos poderiam ser frequentes.

 

Exemplos:

 Raízes quadradas de números reais negativos

 


Definição de Número Complexo 

Para estender os conceitos vistos acima a todas as equações polinomiais, definimos os números complexos conforme mostrado no quadro abaixo:



Exemplo:

a) 5 + 3i é um número complexo com parte real 5 e parte imaginária 3.

b) 7 − 2i é um número complexo com parte real 7 e parte imaginária − 2.

c) 3/4 – 4/5 i é um número complexo com parte real 3/4 e parte imaginária −4/5 .

d) 4i é um número complexo com parte real 0 e parte imaginária 4.

e) −3 é um número complexo com parte real −3 e parte imaginária 0.

 

Números complexos com a parte real igual a zero, como aquele mostrado no item (e) acima, são chamados puramente imaginários.

Por sua vez, os números reais – como o valor −3 citado no item (e) – podem ser vistos como números complexos sem a parte imaginária.

Assim, sendo, o conjunto dos números complexos contém todos os números reais, ou seja,   

Os números complexos são empregados em diversos ramos da matemática, da física e da engenharia. Entretanto, sua aplicação mais imediata é a solução de equações polinomiais, como mostra o exemplo abaixo. 

Exemplo: Resolva x2 − 6x + 13 = 0. 

Solução:

O discriminante dessa equação é

∆ = (−6)2 − 4 1 13 = 36 52 = 16. 

Aplicando a fórmula de Bhaskara, mesmo observando que ∆ < 0, obtemos:


Logo, apesar de não haver solução real, a equação tem duas raízes complexas, que são:

  


Note que, quando ∆ < 0, as raízes complexas da equação quadrática ax2 + bx + c = 0 têm sempre a forma:

x = r + si    si, 

em que r = −b / (2a) e s = / (2a).

 

Nesse caso, dizemos que as soluções formam um par conjugado. A definição de conjugado complexo é dada no quadro abaixo.


Os exemplos a seguir ilustram como obter os conjugados  de números complexos na forma z = a + bi, em que a é a parte real e b a parte imaginária.

 

 


Atividades:

1) Reescreva as expressões abaixo usando a unidade imaginária i quando necessário.


2) Resolva as equações abaixo.

a) 9x2 + 1 = 0

b) 25x2 + 16 = 0

c) x2 − 4x + 5 = 0

d) x2 + 2x + 10 = 0

e) x2 − 12x + 40 = 0

f) −x2 + 8x − 25 = 0

g) x2 − 5x + 7 = 0

h) 3x2 − 12x + 87 = 0

i) 4x2 + 4x + 5 = 0

j) 2x2 − 6x + 9 = 0

k) 4x2 + 24x + 85 = 0

l) 5x2 − 2x + 10 = 0

 

 

Teorema fundamental da álgebra 

Já vimos que toda equação polinomial de grau n, com coeficientes reais, tem no máximo n raízes reais. Veremos agora que, trabalhando com números complexos, conseguimos resultados bem mais precisos, baseados no teorema abaixo, que apresentamos sem demonstração.


Toda função polinomial p(x) com coeficientes complexos tem ao menos um zero complexo.


Observe que o teorema fundamental da álgebra também se aplica a polinômios com coeficientes reais, já que todo número real é também complexo.


Apresentado dessa forma, o teorema parece pouco promissor, pois só indica que uma função polinomial de grau n,

pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + + a1x + a0,

 

tem um zero complexo .

 

Entretanto, a sua combinação com o Teorema do Fator, nos permite decompor a função pn no produto de um fator linear por uma função polinomial pn−1, que tem grau n − 1:

 

Supondo, então, que n − 1 seja maior que zero, podemos aplicar novamente o teorema fundamental da álgebra, agora a pn−1.

Concluímos, assim, que essa função também tem ao menos um zero complexo, , e que é possível escrever:

Desse modo,

em que pn−2(x) é um polinômio de grau n − 2.

 

Repetindo esse processo outras n − 2 vezes, chegamos à expressão:

 

Esse resultado é importante porque indica que é possível decompor uma função polinomial de grau n em n fatores de grau 1, embora o teorema não explique como os zeros de pn são determinados.

 

Exemplo:

Já vimos que o polinômio p(x) = x4 − 4x3 + 13x2 podia ser escrito na forma p(x) = x2 (x2 − 4x + 13), bastando para isso que puséssemos x2 em evidência. Concluímos, assim, que

 x1 = 0 é uma raiz (de multiplicidade 2) de p(x) = 0.

 

Para achar os outros zeros do polinômio, aplicamos a fórmula de Bhaskara à equação x2 − 4x + 13 = 0, calculando, em primeiro lugar, o discriminante:

∆ = (−4) 2 − 4 1 13 = 36.

 

Uma vez que já sabemos trabalhar com números complexos, não nos intimidamos com o fato de o discriminante ser negativo, e prosseguimos escrevendo:

 

Assim, as raízes (complexas) de


Finalmente, lembrando que x1 = 0 também é um zero da função polinomial:

p(x) = x4 − 4x3 + 13x2

e aplicando o Teorema da Decomposição, obtemos

p(x) = x2 (x − 2 − 3i)(x − 2 + 3i). 

Observe que, nesse exemplo, o coeficiente do monômio de maior grau do polinômio original é a4 = 1.

 

Multiplicidade de zeros e pares conjugados

 

O Teorema da Decomposição indica que é possível escrever uma função polinomial de grau n como o produto de n fatores lineares que envolvem  os zeros complexos da função.

Entretanto, não se exige que esses números sejam distintos. De fato, uma função quadrática simples como p(x) = x2 − 10x + 25 pode ser apresentada na forma fatorada p(x) = (x − 5)(x − 5), na qual o zero real x = 5 aparece duas vezes, tendo, portanto, multiplicidade 2.

 

Exemplo:

A função polinomial

p(x) = 4x7 +44x6 +73x5 −508x4 −1070x3 +1400x2 −375x

pode ser escrita na forma fatorada

p(x) = 4x(x − 3)(x – 1/2)2 (x + 5)3.

Determine os zeros da função e suas multiplicidades.

 

Solução:

 Como já dispomos da função na forma fatorada, concluímos trivialmente que seus zeros são

 x1 = 0, x2 = 3, x3 = 1/2 e x4 = −5.

A multiplicidade de cada zero c é o número de vezes que o termo (x − c) aparece quando a função é apresentada na forma fatorada.

Dito de outra forma, a multiplicidade de um zero c é o expoente do fator (x − c).

Sendo assim, nesse problema,

• x1 = 0 tem multiplicidade 1,

• x2 = 3 tem multiplicidade 1,

• x3 = 1/2 tem multiplicidade 2,

• x4 = −5 tem multiplicidade.

 

No problema acima, notamos que a soma das multiplicidades é exatamente igual ao grau do polinômio. Esse resultado, que vale para toda função polinomial, está resumido no quadro a seguir:


Exemplo:

Dada a função p(x) = 5(x + 1)3(x − 2 + i)2(x − 2 − i)2, determine as raízes da equação p(x) = 0, bem como o grau de p.

 

Solução:

As raízes da equação p(x) = 0 são os zeros da função, ou seja,

x = −1, x = 2 − i e x = 2 + i.

Já o grau de p pode ser obtido somando-se os expoentes dos fatores lineares:

3 + 2 + 2 = 7.

  

Outro Exemplo:

Uma função polinomial p tem como zeros x = 3 (com multiplicidade 2), x = 2i e x = −2i. Escreva a expressão de p, sabendo que p(0) = 144

Solução:

Segundo o Teorema da Decomposição, a função pode ser escrita na forma p(x) = a(x − 3)2(x − 2i)(x + 2i).

Sendo assim, temos

p(0) = a(0 − 3)2(0 − 2i)(0 + 2i). Substituindo x por 0.

p(0) = a(−3)2(−2i)(2i). Simplificando os termos entre parênteses.

p(0) = a 9 (4i2). Calculando a potência e o produto.

p(0) = a 9 4. Usando o fato de que i2 = −1.

p(0) = 36a. Simplificando o resultado.

Como sabemos que p(0) = 144, concluímos que

36a = 144 a = 144/36 = 4. 

Logo, p(x) = 4(x − 3)2(x − 2i)(x + 2i).

 

Observe que, nos exemplos anteriores,  os zeros complexos do polinômio apareceram em pares conjugados. No primeiro caso, esses zeros eram 2 + 3i e 2 − 3i, enquanto no segundo tínhamos 2i e −2i.

 

De fato, isso não ocorreu por acaso, mas como consequência direta de os coeficientes do polinômio serem reais, como indicado no quadro abaixo: 


Exemplo:

Escreva uma função polinomial de quarto grau, com coeficientes reais, que tenha como zeros 

x1 = 1, x2 = −6, e x3 = 4 − 5i.

 

Solução:

Como os coeficientes da função devem ser reais, concluímos que os zeros complexos aparecerão em pares conjugados.

Assim, se x3 = 4−5i é um desses zeros, devemos ter x4 = 4 + 5i.

Logo, a função terá a forma:

p(x) = a(x − 1)(x + 6)(x − 4 + 5i)(x − 4 − 5i). 

Escolhendo a = 1 por simplicidade, obtemos

p(x) = (x − 1)(x + 6)(x − 4 + 5i)(x − 4 − 5i).

 

Atividades: 

1) Determine os zeros das funções polinomiais abaixo e indique suas multiplicidades. Informe também o grau das funções.

a) 16(x − 2)2 (x + 7)3

b) (x − 2 − 5i)(x − 2 + 5i)(x + 3 − 4i)(x + 3 + 4i)

c) (x + 4)3 (x − 5 − 5i)(x − 5 + 5i)

d) 2(x − 1)(x − 1)(x − 1 − i)(x − 1 + i)

e) (x − 8 − 2i)4 (x − 8 + 2i)4

f) 3x(x − 1 3 )(x − 3i)2 (x + 3i)2

 

2) Determine as raízes das equações abaixo e escreva os polinômios do lado esquerdo na forma fatorada.

 a) 16x2 + 81 = 0

b) x3 − 9x = 0

c) 4x3 + 25x = 0

d) x3 + 2x2 + 5x = 0

e) 2x3 − 16x2 + 50x = 0

f) x4 + 4x2 = 0

g) 256x4 + x2 = 0

h) x5 + 64x3 = 0

i) x4 + 2x2 − 24 = 0

j) x4 + 5x2 + 4 = 0

 

3) Determine as raízes das equações abaixo e escreva os polinômios do lado esquerdo na forma fatorada.

a) x3 + 2x2 − 3x − 10 = 0, sabendo que 2 é raiz

b) 2x3 − 3x2 + 50x − 75 = 0, sabendo que 5i é raiz

c) x3 − 7x2 + 44x + 52 = 0, sabendo que 4 − 6i é raiz

d) x3 − 3x2 + 7x + 75 = 0, sabendo que −3 é raiz

e) 4x3 − 24x2 + 25x − 25 = 0, sabendo que 5 é raiz

 

4) A decomposição de um polinômio p em fatores do 1º grau é dada por: p(x) = 5 (x + 1) (x – 3) (x – 4).

As raízes desse polinômio são:

      (A) 5, 3 e 4   

      (B) 1, 3  e 4

      (C) 1, 3 e 4     

      (D) 5, 3 e −4

 

 


Gráficos nas funções polinomiais de graus diversos 


De forma geral, o gráfico de uma função polinomial possui as seguintes características:

1) Ele é contínuo, ou seja, ele não contém buracos, saltos (descontinuidades verticais) ou falhas (descontinuidades horizontais). 

2) Ele é suave, ou seja, ele não possui mudanças bruscas de direção ou inclinação. Essas mudanças são denominadas informalmente de quinas ou bicos.


Vejamos:


(a) Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há um buraco em a e um salto em b.


(b) Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há uma falha entre a e b.


(c) Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há uma quina em a e um bico em b.


(d) Pode ser o gráfico de uma função polinomial, pois é contínuo e suave.

 

Exemplo de gráfico de função polinomial:


Otimização do formato de uma caixa 

Uma folha de papelão com 56 × 32 cm será usada para fabricar uma caixa sem tampa, como a que é mostrada na Figura abaixo:

 

Para obter a caixa, a folha de papelão deverá ser cortada nas linhas contínuas e dobrada nas linhas tracejadas indicadas na Figura abaixo:


Observe que a base da caixa corresponde ao retângulo interno da Figura acima e que a altura da caixa é x.


Responda às perguntas abaixo, lembrando que o volume de um prisma retangular de lados x, y e z é igual a xyz.

a) Exprima em função da variável x cada uma das duas dimensões do fundo da caixa dobrada.

b) Determine uma função V(x) que forneça o volume da caixa em relação a x.

c) Defina um domínio adequado para V, considerando que os lados da caixa não podem ser negativos.

d) Esboce o gráfico de V(x).

e) A partir do gráfico de V(x), determine o valor de x que maximiza o volume da caixa. Calcule o volume correspondente.

 

Solução:

a) Observando a Figura, notamos que a folha de papelão tem 56 cm de largura. Desse comprimento, uma parcela correspondente a 4x deve ser reservada para formar a lateral da caixa. Assim, a largura do fundo da caixa é dada por L(x) = 56 − 4x.

Por sua vez, dos 32 cm de altura que a folha de papelão possui, 2x devem ser usados na lateral da caixa, de modo que a outra dimensão do fundo da caixa é definida por A(x) = 32 − 2x.

 

b) Dadas as dimensões do fundo da caixa, e considerando que sua altura mede x, o volume comportado será equivalente a V (x) = (56 − 4x)(32 − 2x)x.

 

c) Como nenhuma dimensão da caixa pode ser negativa, devemos impor as seguintes condições:

a) x ≥ 0.

b) 56 − 4x ≥ 0, o que nos leva a x ≤ 14.

c) 32 − 2x ≥ 0, que implica que x ≤ 16.

Tomando a interseção dessas desigualdades, obtemos

D = {x R 0 x 14}.

 

d) Claramente, a função V(x) tem como zeros

x = 0, x = 14 e x = 16.

Entretanto, como vimos no item anterior, somente os valores de x entre 0 e 14 têm sentido físico.

Limitando nosso gráfico a esse intervalo, obtemos a curva mostrada no gráfico abaixo:


 

 e) Analisando a Figura 4.35, concluímos que a altura que maximiza o volume da caixa é x ≈ 5cm, à qual corresponde um volume aproximado de

V(5) = (56 − 4 5)(32 2 5) 5 = 3960 cm3


 

 

Atividades:

1) Dados os gráficos abaixo, determine quais podem representar uma função polinomial. Caso o gráfico não possa corresponder a uma função polinomial, indique o motivo.


 


 

2) Considerando apenas o comportamento extremo das funções abaixo, relacione-as aos gráficos apresentados.

a) f(x) = x3 − 5x + 1

b) f(x) = −2x3 − x2 + 4x + 6

c) f(x) = x4 − 3x3 − 2x2 + 4x – 4

d) f(x) = 1 − 4x2 − 4x3 + 3x4 + 2x5 − x6

 





3) Os gráficos de algumas funções polinomiais foram desenhados abaixo, com o auxílio de um programa matemático. Determine aproximadamente os pontos de mínimo e máximo local e os valores correspondentes de cada função.



4) Uma companhia aérea permite que um passageiro leve consigo uma bagagem cuja soma das dimensões (altura, largura e profundidade) não ultrapasse 150 cm. Joaquim pretende tomar um voo dessa companhia levando uma caixa cuja base é quadrada. Suponha que o comprimento do lado da base seja x.

a) Escreva uma função h(x) que forneça a altura da caixa em relação às outras duas dimensões.

b) Forneça uma função v(x) que forneça o volume da caixa, lembrando que o volume de um prisma retangular de lados x, y e z é igual a xyz.

c) Defina um domínio adequado para v(x), lembrando que nenhum lado da caixa pode ter comprimento negativo.

d) Esboce o gráfico de v(x) no domínio que você escolheu.

e) Determine o valor de x que maximiza o volume da caixa. Calcule o volume correspondente.


5) Um caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço de cartolina de 60cm de lado, cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados.

a) Qual a função V(x) em relação ao volume da caixa?

b) Cortando-se quadrados de lado 10 cm nos cantos e dobrando conforme a figura, é possível formar uma caixa sem tampa cujo volume é igual a 16.000 cm3. Verifique se existe outra medida que pode ser cortado os quadrados para que o volume seja também 16.000 cm3.

 

6) Deseja-se cortar quadrados em cada canto de uma folha de papelão quadrada, com 18 cm de lado para obter uma caixa de papelão na forma de um paralelepípedo sem tampa.

a) Determine o polinômio que representa o volume da caixa em relação ao lado de medida x dos quadrados cortados.

b) Cortando-se quadrados de lado 4 cm nos cantos da folha é possível construir uma caixa de 400cm3. Existe algum outro valor para o lado do quadrado a ser recortado em cada canto para qual o volume da caixa resultante também seja igual a 400cm3? (Utilize a calculadora para calcular a raiz não exata)

 

7) Um quadrado de papelão tem 20 cm de lado. Cortando quadradinhos iguais, nos quatro cantos, podemos montar uma caixa em forma de bloco retangular.

a) Determine a função V(x) referente ao volume da caixa.

b) Sabendo-se que se cortar quadrados de 5 cm obteremos um volume de 500 cm3. É possível obtermos outros valores referentes à medida que deve ser cortado os quadrados para obter o volume de 500 cm3?

 

8) Um quadrado de cartolina em forma de bloco retangular, vamos cortar os cantos da cartolina, retirando quadradinhos em x cm. Quais devem ser os valores de x, em centímetros, para que a capacidade seja de 72 ml?

 

9) Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelão de espessura desprezível e 8 dm de lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lados x. Em seguida, o papelão foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paralelepípedo retângulo, de altura x, como mostram os esquemas ao lado. Quando x = 2 dm, o volume da caixa é igual a 8 dm³. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8 dm³.


10) (ENEM-2009) Muitas indústrias têm procurado modificar as embalagens de seus produtos de forma a economizar material, mas mantendo o mesmo volume. Considere que se tenha uma folha de papelão quadrada e se deseje encontrar a melhor altura (h) para fazer uma caixa sem tampa, cortando-se os quatro cantos da folha. As exigências são que as dimensões da caixa sejam números inteiros e que o volume seja o maior possível. No modelo apresentado na figura seguinte, a folha tem 12 cm de lado e, nesse caso, a caixa de maior volume terá altura 2 cm. Para encontrar esse número, é calculado o volume em função da altura e prossegue-se atribuindo valores a h e calculando o volume, enquanto o valor do volume aumentar.

Se a folha quadrada tiver 20 cm de lado, qual deve ser a medida do lado do quadrado a ser cortado em cada um dos cantos, de modo a obter uma caixa sem tampa cujas dimensões sejam números inteiros e cujo volume seja o maior possível?

      (A) 2 cm

      (B) 3 cm

      (C) 4 cm

      (D) 5 cm

      (E) 6 cm

 

11) Qual o possível polinômio do P que se refere ao gráfico abaixo?


12) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. A curva abaixo, cuja equação é dada por e = t3 + at2 + bt + c, representa a posição e, em metros, o ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b e c são números reais fixos.

a) A partir do gráfico a cima, encontre os valores de a, b e c fixos e a escreva a função com esses devidos valores.


b) No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido.  Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar.

 

13)  Os gráficos de duas funções polinomiais P e Q estão representados na figura seguinte.

Para que valores de x, temos P(x) = Q(x)?


14) De acordo com a Organização Mundial da Saúde (OMS), o limite de ruído suportável para o ouvido humano é de 65 decibéis. Ruídos com intensidade superior a este valor começam a incomodar e causar danos ao ouvido. Em razão disto, toda vez que os ruídos oriundos do processo de fabricação de peças em uma fábrica ultrapassam este valor, é disparado um alarme sonoro, indicando que os funcionários devem colocar proteção nos ouvidos. O gráfico fornece a intensidade sonora registrada no último turno de trabalho dessa fábrica. Nele, a variável t indica o tempo (medido em hora), e l indica a intensidade sonora (medida em decibel). 

De acordo com o gráfico, quantas vezes foi necessário colocar a proteção de ouvidos no último turno de trabalho?

      (A) 7

      (B) 6

      (C) 4

      (D) 3

      (E) 2



Nenhum comentário:

Postar um comentário