Números Complexos nas funções

 

Já vimos que as equações quadráticas cujo discriminante é negativo – ou seja, ∆ < 0 – não têm solução real.

Uma equação quadrática simples que não possui raiz real é x² + 1 = 0, pois, subtraindo 1 dos dois lados da equação, obtemos

x² = −1,

e não há um número real cujo quadrado valha −1.

 

Dificuldade semelhante ocorre com equações cúbicas (do terceiro grau), quárticas (do quarto grau) ou que envolvam polinômios de maior grau.

Para contornar o inconveniente de não ser possível encontrar raízes reais para todas as equações polinomiais, os matemáticos inventaram o conjunto dos números complexos, representado por.

 

Nesse conjunto, há um número especial, denominado unidade imaginária, ou simplesmente i, que é definido por

de modo que

i² = −1.

 

Usando a unidade imaginária, podemos resolver a equação quadrática acima fazendo

x² + 1 = 0 

 x² = −1 

Assim, a equação tem duas soluções, que são x₁ = i e x₂ = −i.

 

Consideremos, agora, a equação x² + 9 = 0.

Nesse caso, seguindo a mesma ideia apresentada acima, escrevemos

x² + 9 = 0 

 x² = −9 

 

Assim, se admitirmos a existência de podemos dizer que a equação tem duas soluções, 

embora nenhuma delas seja real.

 

Na verdade, notando que

(3i)² = 3² ∙ i² = 9(−1) = −9, e (−3i)² = (−3)² ∙ i² = 9(−1) = −9,

concluímos que as raízes da equação são os números complexos 

x₁ = 3i e x₂ = −3i.

 

Raiz quadrada de números negativos 

Vimos acima que  e que 

Vejamos como obter a raiz quadrada de um número real negativo qualquer:

Dado um número real positivo b, 

 

Naturalmente, 

Entretanto, damos preferência à forma i √ b para deixar claro que o termo i não está dentro da raiz.

Observe que 

Logo, a regra do produto de raízes de números reais, que diz que 

quando a ≥ 0 e b ≥ 0, também pode ser aplicada quando a ≥ 0 e b < 0 (ou a < 0 e b ≥ 0).

 

Porém, essa regra não é válida quando os dois termos são negativos, ou seja, não se pode dizer que

 

Para obter o resultado correto nesse caso, devemos seguir o que foi apresentado no quadro acima e escrever

 

Esse exemplo ilustra o motivo principal de os matemáticos adotarem a unidade imaginária i. Sem ela, os erros no cálculo de produtos de raízes quadradas de números negativos poderiam ser frequentes.

 

Exemplos:

 Raízes quadradas de números reais negativos

 

Definição de Número Complexo 

Para estender os conceitos vistos acima a todas as equações polinomiais, definimos os números complexos conforme mostrado no quadro abaixo.

Exemplo:

a) 5 + 3i é um número complexo com parte real 5 e parte imaginária 3.

b) 7 − 2i é um número complexo com parte real 7 e parte imaginária − 2.

c) 3/4 – 4/5 i é um número complexo com parte real 3/4 e parte imaginária −4/5 .

d) 4i é um número complexo com parte real 0 e parte imaginária 4.

e) −3 é um número complexo com parte real −3 e parte imaginária 0.

 

 Números complexos com a parte real igual a zero, como aquele mostrado no item (e) acima, são chamados puramente imaginários.

Por sua vez, os números reais – como o valor −3 citado no item (e) – podem ser vistos como números complexos sem a parte imaginária.

Assim, sendo, o conjunto dos números complexos contém todos os números reais, ou seja, 

Os números complexos são empregados em diversos ramos da matemática, da física e da engenharia. Entretanto, sua aplicação mais imediata é a solução de equações polinomiais, como mostra o exemplo abaixo.

 Exemplo: Resolva x² − 6x + 13 = 0.

 Solução:

O discriminante dessa equação é

∆ = (−6)² − 4 ⋅ 1 ⋅ 13 = 36 − 52 = −16.

 Aplicando a fórmula de Bhaskara, mesmo observando que

∆ < 0, obtemos:

Logo, apesar de não haver solução real, a equação tem duas raízes complexas, que são: 

 

Note que, quando ∆ < 0, as raízes complexas da equação quadrática ax² + bx + c = 0 têm sempre a forma:

Nesse caso, dizemos que as soluções formam um par conjugado. A definição de conjugado complexo é dada no quadro abaixo.

Os exemplos a seguir ilustram como obter os conjugados de números complexos na forma z = a + bi, em que a é a parte real e b a parte imaginária.

 

 

Atividades:

1) Reescreva as expressões abaixo usando a unidade imaginária i quando necessário.

2) Resolva as equações abaixo.

a) 9x² + 1 = 0

b) 25x² + 16 = 0

c) x² − 4x + 5 = 0

d) x² + 2x + 10 = 0

e) x² − 12x + 40 = 0

f) −x² + 8x − 25 = 0

g) x² − 5x + 7 = 0

h) 3x² − 12x + 87 = 0

i) 4x² + 4x + 5 = 0

j) 2x² − 6x + 9 = 0

k) 4x² + 24x + 85 = 0

l) 5x² − 2x + 10 = 0

 

 

Teorema fundamental da álgebra 

Já vimos que toda equação polinomial de grau n, com coeficientes reais, tem no máximo n raízes reais. Veremos agora que, trabalhando com números complexos, conseguimos resultados bem mais precisos, baseados no teorema abaixo, que apresentamos sem demonstração.

Observe que o teorema fundamental da álgebra também se aplica a polinômios com coeficientes reais, já que todo número real é também complexo.

 

Apresentado dessa forma, o teorema parece pouco promissor, pois só indica que uma função polinomial de grau n,

p_n(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + a_n−2xⁿ⁻² + ⋯ + a₁x + a₀,

 

tem um zero complexo 

Entretanto, a sua combinação com o Teorema do Fator, nos permite decompor a função p_n no produto de um fator linear por uma função polinomial p_n−1, que tem grau n − 1:

 

Supondo, então, que n − 1 seja maior que zero, podemos aplicar novamente o teorema fundamental da álgebra, agora a p_n−1.

Concluímos, assim, que essa função também tem ao menos um zero complexo, e que é possível escrever:

Desse modo,

em que p_n−2(x) é um polinômio de grau n − 2.

 

Repetindo esse processo outras n − 2 vezes, chegamos à expressão

 

Esse resultado é importante porque indica que é possível decompor uma função polinomial de grau n em n fatores de grau 1, embora o teorema não explique como os zeros de p_n são determinados.  

Exemplo:

Já vimos que o polinômio p(x) = x⁴ − 4x³ + 13x² podia ser escrito na forma p(x) = x² (x² − 4x + 13), bastando para isso que puséssemos x² em evidência. Concluímos, assim, que x₁ = 0 é uma raiz (de multiplicidade 2) de p(x) = 0.

 

Para achar os outros zeros do polinômio, aplicamos a fórmula de Bhaskara à equação x² − 4x + 13 = 0, calculando, em primeiro lugar, o discriminante:

∆ = (−4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 13 = −36.

 

Uma vez que já sabemos trabalhar com números complexos, não nos intimidamos com o fato de o discriminante ser negativo, e prosseguimos escrevendo:

 

Assim, as raízes (complexas) de

Finalmente, lembrando que x₁ = 0  também é um zero da função polinomial:

p(x) = x⁴ − 4x³ + 13x²

e aplicando o Teorema da Decomposição, obtemos

p(x) = x²∙ (x − 2 − 3i)∙(x − 2 + 3i). 

Observe que, nesse exemplo, o coeficiente do monômio de maior grau do polinômio original é a₄ = 1.

 

Multiplicidade de zeros e pares conjugados 

O Teorema da Decomposição indica que é possível escrever uma função polinomial de grau n como o produto de n fatores lineares que envolvemos zeros complexos da função.

Entretanto, não se exige que esses números sejam distintos. De fato, uma função quadrática simples como p(x) = x² − 10x + 25 pode ser apresentada na forma fatorada p(x) = (x − 5)∙(x − 5), na qual o zero real x = 5 aparece duas vezes, tendo, portanto, multiplicidade 2.

 

Exemplo:

A função polinomial

p(x) = 4x⁷ +44x⁶ +73x⁵ −508x⁴ −1070x³ +1400x² −375x

pode ser escrita na forma fatorada

p(x) = 4x∙(x − 3)∙(x – 1/2 )² ∙(x + 5)³.

Determine os zeros da função e suas multiplicidades.

 

Solução:

 Como já dispomos da função na forma fatorada, concluímos trivialmente que seus zeros são

 x₁ = 0, x₂ = 3, x₃ = 1/2 e x₄ = −5.

A multiplicidade de cada zero c é o número de vezes que o termo (x − c) aparece quando a função é apresentada na forma fatorada.

Dito de outra forma, a multiplicidade de um zero c é o expoente do fator (x − c).

Sendo assim, nesse problema,

• x₁ = 0 tem multiplicidade 1,

• x₂ = 3 tem multiplicidade 1,

• x₃ = 1/2 tem multiplicidade 2,

• x₄ = −5 tem multiplicidade.

 

No problema acima, notamos que a soma das multiplicidades é exatamente igual ao grau do polinômio. Esse resultado, que vale para toda função polinomial, está resumido no quadro a seguir:

 

Exemplo:

Dada a função p(x) = 5∙(x + 1)³∙(x − 2 + i)²∙(x − 2 − i)², determine as raízes da equação p(x) = 0, bem como o grau de p.

 

Solução:

As raízes da equação p(x) = 0 são os zeros da função, ou seja,

x = −1, x = 2 − i e x = 2 + i.

Já o grau de p pode ser obtido somando-se os expoentes dos fatores lineares:

3 + 2 + 2 = 7.

 

 Outro Exemplo:

Uma função polinomial p tem como zeros x = 3 (com multiplicidade 2), x = 2i e x = −2i. Escreva a expressão de p, sabendo que p(0) = 144.

 

Solução:

Segundo o Teorema da Decomposição, a função pode ser escrita na forma p(x) = a∙(x − 3)²∙(x − 2i)∙(x + 2i).

Sendo assim, temos

p(0) = a∙(0 − 3)²∙(0 − 2i)∙(0 + 2i). Substituindo x por 0.

p(0) = a∙(−3)²∙(−2i)∙(2i). Simplificando os termos entre parênteses.

p(0) = a ⋅ 9 ⋅ (−4i²). Calculando a potência e o produto.

p(0) = a ⋅ 9 ⋅ 4. Usando o fato de que i² = −1.

p(0) = 36a. Simplificando o resultado.

Como sabemos que p(0) = 144, concluímos que

36a = 144 ⇒ a = 144/36 = 4.

 

Logo, p(x) = 4∙(x − 3)²∙(x − 2i)∙(x + 2i).

 

Observe que, nos exemplos anteriores,  os zeros complexos do polinômio apareceram em pares conjugados. No primeiro caso, esses zeros eram 2 + 3i e 2 − 3i, enquanto no segundo tínhamos 2i e −2i.

 

De fato, isso não ocorreu por acaso, mas como consequência direta de os coeficientes do polinômio serem reais, como indicado no quadro abaixo.

 

Exemplo:

 Escreva uma função polinomial de quarto grau, com coeficientes reais, que tenha como zeros x₁ = 1, x₂ = −6, e x₃ = 4 − 5i.

 Solução:

Como os coeficientes da função devem ser reais, concluímos que os zeros complexos aparecerão em pares conjugados.

Assim, se x₃ = 4−5i é um desses zeros, devemos ter x₄ = 4 + 5i.

Logo, a função terá a forma:

p(x) = a(x − 1)(x + 6)(x − 4 + 5i)(x − 4 − 5i).

 

Escolhendo a = 1 por simplicidade, obtemos

p(x) = (x − 1)(x + 6)(x − 4 + 5i)(x − 4 − 5i).

 

Atividades:

 

1) Determine os zeros das funções polinomiais abaixo e indique suas multiplicidades. Informe também o grau das funções.

a) 16(x − 2)² (x + 7)³

b) (x − 2 − 5i)(x − 2 + 5i)(x + 3 − 4i)(x + 3 + 4i)

c) (x + 4)³ (x − 5 − 5i)(x − 5 + 5i)

d) 2(x − 1)(x − 1)(x − 1 − i)(x − 1 + i)

e) (x − 8 − 2i)⁴ (x − 8 + 2i)⁴

f) 3x(x − 1 3 )(x − 3i)² (x + 3i)²

 

2) Determine as raízes das equações abaixo e escreva os polinômios do lado esquerdo na forma fatorada.

 a) 16x² + 81 = 0

b) x³ − 9x = 0

c) 4x³ + 25x = 0

d) x³ + 2x² + 5x = 0

e) 2x³ − 16x² + 50x = 0

f) x⁴ + 4x² = 0

g) 256x⁴ + x² = 0

h) x⁵ + 64x³ = 0

i) x⁴ + 2x² − 24 = 0

j) x⁴ + 5x² + 4 = 0

 

3) Determine as raízes das equações abaixo e escreva os polinômios do lado esquerdo na forma fatorada.

a) x³ + 2x² − 3x − 10 = 0, sabendo que 2 é raiz

b) 2x³ − 3x² + 50x − 75 = 0, sabendo que 5i é raiz

c) x³ − 7x² + 44x + 52 = 0, sabendo que 4 − 6i é raiz

d) x³ − 3x² + 7x + 75 = 0, sabendo que −3 é raiz

e) 4x³ − 24x² + 25x − 25 = 0, sabendo que 5 é raiz

 

4) A decomposição de um polinômio p em fatores do 1º grau é dada por: p(x) = 5 (x + 1) (x – 3) (x – 4).

As raízes desse polinômio são:

      (A) 5, 3 e 4   

      (B) −1, 3  e 4

      (C) 1, −3 e −4     

      (D) 5, −3 e −4

 

 

Gráficos nas funções polinomiais de graus diversos 

De forma geral, o gráfico de uma função polinomial possui as seguintes características:

1) Ele é contínuo, ou seja, ele não contem buracos, saltos (descontinuidades verticais) ou falhas (descontinuidades horizontais), como o que se vê nas Figuras 2)(a) e 2)(b).

 

2) Ele é suave, ou seja, ele não possui mudanças bruscas de direção ou inclinação, como as mostradas na Figura 2)(c). Essas mudanças são denominadas informalmente de quinas ou bicos.

(a) Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há um buraco em a e um salto em b.

(b) Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há uma falha entre a e b.

(c) Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há uma quina em a e um bico em b.

(d) Pode ser o gráfico de uma função polinomial, pois é contínuo e suave.

 

Otimização do formato de uma caixa 

Uma folha de papelão com 56 × 32 cm será usada para fabricar uma caixa sem tampa, como a que é mostrada na Figura abaixo:

 

Para obter a caixa, a folha de papelão deverá ser cortada nas linhas contínuas e dobrada nas linhas tracejadas indicadas na Figura abaixo:

Observe que a base da caixa corresponde ao retângulo interno da Figura acima e que a altura da caixa é x. 

Responda às perguntas abaixo, lembrando que o volume de um prisma retangular de lados x, y e z é igual a xyz.

a) Exprima em função da variável x cada uma das duas dimensões do fundo da caixa dobrada.

b) Determine uma função V(x) que forneça o volume da caixa em relação a x.

c) Defina um domínio adequado para V, considerando que os lados da caixa não podem ser negativos.

d) Esboce o gráfico de V(x).

e) A partir do gráfico de V(x), determine o valor de x que maximiza o volume da caixa. Calcule o volume correspondente.

 

Solução:

a) Observando a Figura, notamos que a folha de papelão tem 56 cm de largura. Desse comprimento, uma parcela correspondente a 4x deve ser reservada para formar a lateral da caixa. Assim, a largura do fundo da caixa é dada por L(x) = 56 − 4x.

Por sua vez, dos 32 cm de altura que a folha de papelão possui, 2x devem ser usados na lateral da caixa, de modo que a outra dimensão do fundo da caixa é definida por A(x) = 32 − 2x.

 

b) Dadas as dimensões do fundo da caixa, e considerando que sua altura mede x, o volume comportado será equivalente a V (x) = (56 − 4x)∙(32 − 2x)∙x.

 

c) Como nenhuma dimensão da caixa pode ser negativa, devemos impor as seguintes condições:

a) x ≥ 0.

b) 56 − 4x ≥ 0, o que nos leva a x ≤ 14.

c) 32 − 2x ≥ 0, que implica que x ≤ 16.

Tomando a interseção dessas desigualdades, obtemos

D = {x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 14}.

 

d) Claramente, a função V(x) tem como zeros

x = 0, x = 14 e x = 16.

Entretanto, como vimos no item anterior, somente os valores de x entre 0 e 14 têm sentido físico.

Limitando nosso gráfico a esse intervalo, obtemos a curva mostrada no gráfico abaixo:

 

 e) Analisando a Figura do item d, concluímos que a altura que maximiza o volume da caixa é x ≈ 5cm, à qual corresponde um volume aproximado de

V(5) = (56 − 4 ⋅ 5)(32 − 2 ⋅ 5) ⋅ 5 = 3960 cm³

  

Atividades:

1) Dados os gráficos abaixo, determine quais podem representar uma função polinomial. Caso o gráfico não possa corresponder a uma função polinomial, indique o motivo.

2) Considerando apenas o comportamento extremo das funções abaixo, relacione-as aos gráficos apresentados.

a) f(x) = x³ − 5x + 1

b) f(x) = −2x³ − x² + 4x + 6

c) f(x) = x⁴ − 3x³ − 2x² + 4x – 4

d) f(x) = 1 − 4x² − 4x³ + 3x⁴ + 2x⁵ − x⁶

 

 

3) Os gráficos de algumas funções polinomiais foram desenhados abaixo, com o auxílio de um programa matemático. Determine aproximadamente os pontos de mínimo e máximo local e os valores correspondentes de cada função.

 

4) Uma companhia aérea permite que um passageiro leve consigo uma bagagem cuja soma das dimensões (altura, largura e profundidade) não ultrapasse 150 cm. Joaquim pretende tomar um voo dessa companhia levando uma caixa cuja base é quadrada. Suponha que o comprimento do lado da base seja x.

a) Escreva uma função h(x) que forneça a altura da caixa em relação às outras duas dimensões.

b) Forneça uma função V(x) que forneça o volume da caixa, lembrando que o volume de um prisma retangular de lados x, y e z é igual a xyz.

c) Defina um domínio adequado para V(x), lembrando que nenhum lado da caixa pode ter comprimento negativo.

d) Esboce o gráfico de V(x) no domínio que você escolheu.

e) Determine o valor de x que maximiza o volume da caixa. Calcule o volume correspondente.

 

5) Um caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço de cartolina de 60cm de lado, cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados.

a) Qual a função V(x) em relação ao volume da caixa?

b) Cortando-se quadrados de lado 10 cm nos cantos e dobrando conforme a figura, é possível formar uma caixa sem tampa cujo volume é igual a 16.000 cm³. Verifique se existe outra medida que pode ser cortado os quadrados para que o volume seja também 16.000 cm³.

 

6) Deseja-se cortar quadrados em cada canto de uma folha de papelão quadrada, com 18 cm de lado para obter uma caixa de papelão na forma de um paralelepípedo sem tampa.

a) Determine o polinômio que representa o volume da caixa em relação ao lado de medida x dos quadrados cortados.

b) Cortando-se quadrados de lado 4 cm nos cantos da folha é possível construir uma caixa de 400cm³. Existe algum outro valor para o lado do quadrado a ser recortado em cada canto para qual o volume da caixa resultante também seja igual a 400cm³? (Utilize a calculadora para calcular a raiz não exata)

 

7) Um quadrado de papelão tem 20 cm de lado. Cortando quadradinhos iguais, nos quatro cantos, podemos montar uma caixa em forma de bloco retangular.

a) Determine a função V(x) referente ao volume da caixa.

b) Sabendo-se que se cortar quadrados de 5 cm obteremos um volume de 500 cm³. É possível obtermos outros valores referentes à medida que deve ser cortado os quadrados para obter o volume de 500 cm³?

 

8) Um quadrado de cartolina em forma de bloco retangular, vamos cortar os cantos da cartolina, retirando quadradinhos em x cm. Quais devem ser os valores de x, em centímetros, para que a capacidade seja de 72 ml?

 

9) Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelão de espessura desprezível e 8 dm de lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lados x. Em seguida, o papelão foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paralelepípedo retângulo, de altura x, como mostram os esquemas ao lado. Quando x = 2 dm, o volume da caixa é igual a 8 dm³. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8 dm³.

10) (ENEM-2009) Muitas indústrias têm procurado modificar as embalagens de seus produtos de forma a economizar material, mas mantendo o mesmo volume. Considere que se tenha uma folha de papelão quadrada e se deseje encontrar a melhor altura (h) para fazer uma caixa sem tampa, cortando-se os quatro cantos da folha. As exigências são que as dimensões da caixa sejam números inteiros e que o volume seja o maior possível. No modelo apresentado na figura seguinte, a folha tem 12 cm de lado e, nesse caso, a caixa de maior volume terá altura 2 cm. Para encontrar esse número, é calculado o volume em função da altura e prossegue-se atribuindo valores a h e calculando o volume, enquanto o valor do volume aumentar.

Se a folha quadrada tiver 20 cm de lado, qual deve ser a medida do lado do quadrado a ser cortado em cada um dos cantos, de modo a obter uma caixa sem tampa cujas dimensões sejam números inteiros e cujo volume seja o maior possível?

      (A) 2 cm

      (B) 3 cm

      (C) 4 cm

      (D) 5 cm

      (E) 6 cm

 

11) Qual o possível polinômio do P que se refere ao gráfico abaixo?

12) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. A curva abaixo, cuja equação é dada por e = t³ + at² + bt + c, representa a posição e, em metros, o ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b e c são números reais fixos.

 

a) A partir do gráfico a cima, encontre os valores de a, b e c fixos e a escreva a função com esses devidos valores.

b) No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido.  Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar.

 

13)  Os gráficos de duas funções polinomiais P e Q estão representados na figura seguinte.

Para que valores de x, temos P(x) = Q(x)?

 

14) Angelo e Benito participaram de uma corrida de 800 metros. O gráfico abaixo mostra a distância percorrida, em função do tempo, para os dois corredores, sendo que Benito chegou à frente de Angelo.

Quanto tempo decorreu entre as chegadas de Benito e Angelo?