As
operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, bem como de
expressões algébricas em geral, já foram estudadas. Agora que estamos estudando
as funções polinomiais, veremos finalmente como dividir polinômios, um passo essencial para a fatoração dessas funções.
A fatoração, por sua vez, é útil para
encontrar os zeros da função polinomial,
os quais nos permitem resolver equações e inequações, bem como traçar os
gráficos dessas funções.
Para
tratar da divisão de polinômios, precisamos recordar algumas características da
divisão de números naturais. Exemplo 1. Divisão de números naturais
Ao
dividirmos 315 por 21, obtemos o valor exato 15.
Nesse caso dizemos que
Essa
divisão também pode ser apresentada com o auxílio do diagrama ao lado, muito
explorado no ensino fundamental.
Em
uma divisão de números naturais, o número que está sendo dividido (315, no
exemplo acima) é denominado dividendo,
enquanto o número pelo qual se está dividindo (21) é chamado de divisor. O resultado da divisão (15)
recebe o nome de quociente.
Multiplicando
por 21 os dois lados da equação acima, obtemos a equação equivalente
315 = 21 x 15.
Assim,
quando a divisão é exata, o
dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente.
Considerando,
agora, a divisão de 315 por 22, notamos que o resultado não é exato. Embora a divisão forneça 14 como quociente, há um resto de 7 unidades.
como
mostra o diagrama a seguir.
Nesse
caso, o produto 22 x 14 fornece 308, faltando 7 unidades para chegarmos a
315, de modo que
315 = 22 x 14 + 7.
De uma forma geral, se p é um número natural (o dividendo) e d (o divisor) é um número natural menor ou igual a p, então existe um número inteiro q (o quociente), e um número inteiro r (o resto), tais que
p = d ⋅ q + r.
Vamos
dividir polinômios seguindo estratégia semelhante àquela adotada para números
inteiros.
Entretanto,
antes de começar o processo de divisão, é conveniente:
•
escrever os monômios do dividendo e do divisor em ordem decrescente de grau;
•
incluir os monômios que faltam, usando o zero como coeficiente.
Exemplo: Para dividir p(x) = x3 − 2x + 15 − 4x2 por
d(x) = x − 3 devemos, em primeiro
lugar, reescrever p(x) em ordem
decrescente do grau dos seus monômios, e montar o diagrama tradicional da
divisão.
No
primeiro passo, dividimos o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau de d(x).
Em
nosso exemplo, isso corresponde a calcular
Esse
resultado é, então, anotado no diagrama, logo abaixo do divisor.
Em
seguida, multiplicamos o termo encontrado, x2
pelo divisor d(x), obtendo
Esse
polinômio é, então, subtraído do dividendo p(x).
Essa
operação pode ser feita diretamente no diagrama, como mostrado a seguir.
Atenção: Não se esqueça de inverter o
sinal de todos os termos de x3 − 3x2 ao transcrever esse
polinômio para o diagrama, pois isso facilita a subtração.
Observe
que o polinômio x3 − 3x2 não possui termos de grau 1 e de
grau 0. Assim, ao subtraí-lo de x3 − 4x2 − 2x + 15,
simplesmente “descemos” os termos −2x
e + 15 da primeira linha, somando-os a −x2.
Continuando
o processo, passamos à divisão do polinômio restante, −x2 − 2x + 15, pelo divisor, x − 3.
Nesse
caso, tomando apenas o termo de maior grau de cada uma desses polinômios,
calculamos:
Esse
monômio deve ser somado à parcela já encontrada do quociente:
Multiplicando
a nova parcela do quociente, −x, pelo
divisor, x − 3, obtemos
Subtraindo,
então, esse polinômio de −x2 −
2x + 15, chegamos a
O
diagrama abaixo resume os passos da segunda etapa da divisão (observe que o
polinômio −x2 + 3x aparece
com o sinal trocado:
No
terceiro passo do processo, dividimos o termo de maior grau de −5x + 15 pelo termo de maior grau de x − 3, ou seja, calculamos
e
passamos esse termo para nosso diagrama:
Em
seguida, multiplicamos o termo encontrado pelo divisor d(x),
e
subtraímos esse polinômio de
Todas
essas operações são, então, incluídas no diagrama, conforme mostrado abaixo.
Como
o resultado da subtração acima é zero, terminamos o processo.
Nesse caso, dizemos que p(x) é divisível por d(x), ou seja, r(x) = 0 e
x3 − 4x2 − 2x + 15 =
(x2 − x − 5)∙(x
− 3).
No
exemplo acima, cada passo da divisão foi detalhado, para facilitar a
compreensão dos cálculos envolvidos. Tentaremos, agora, resolver um problema
mais complicado, abreviando as etapas e recorrendo mais ao diagrama do que às
contas em separado.
Exemplo: Divisão de polinômios Divida p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 por d(x) = x2 − 2x + 1.
Solução:
Comecemos
completando os monômios do dividendo:
p(x)
= 3x4 − 4x3 − 2x2 + 0x + 5.
Agora,
passemos às etapas da divisão propriamente dita.
•
Dividindo o monômio de maior grau de p(x)
pelo monômio de maior grau de d(x):
•
Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):
•
Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de p(x) diretamente no diagrama:
•
Dividindo o monômio de maior grau de 2x3 − 5x2 + 5 pelo
monômio de maior grau de d(x):
•
Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):
2x(x2 − 2x + 1) = 2x3
− 4x2 + 2x.
•
Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de 2x3 − 5x2 + 5 diretamente no diagrama:
•
Dividindo o monômio de maior grau de −x2
− 2x + 5 pelo monômio de maior grau de d(x):
•
Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):
−1(x2 − 2x + 1) = −x2
+ 2x − 1.
• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de −x2 − 2x + 5 diretamente no diagrama:
Como
o polinômio restante, −4x+6, tem grau
menor que o divisor, d(x) = x2
− 2x + 1, não há como prosseguir com a divisão.
Nesse
caso, o quociente é q(x) = 3x2
+ 2x − 1,
e o
resto é r(x) = −4x + 6.
Assim,
temos
Teorema do resto
Como
vimos acima, ao dividirmos um polinômio
p(x)
por x − a,
obtemos
o quociente q(x) e o resto r, de modo
que
p(x) = (x − a)q(x) + r.
Aqui,
escrevemos apenas r, em lugar de r(x), porque o resto é um número real.
Usando
essa equação, é fácil reparar que
p(a) = (a − a)q(x) + r = 0 ⋅ q(x) + r = r.
Esse
resultado tem usos diversos na matemática, de modo que vamos apresentá-lo em um
quadro.
Exemplo: Dado o polinômio p(x) = x3 − 2x2 − 5x − 10, calcule p(4) e depois divida p(x) por x – 4.
p(4) = 43 – 2∙42 – 5∙4 – 10 = 64 – 32 – 20 – 10 = 2
x3 − 2x2
− 5x – 10 = (x – 4)∙(x2 + 2x + 3) + 2
Atividades:
a)
(2x3 − 3x2 + 6)/(x2 − 2)
b)
(6x2 − 4x − 3)/(3x − 5)
c)
(4x3 + 2x2 + 11x)/(2x2 + 3)
d)
(6x4 + 5x3 − 2x)/(3x − 2)
e)
(4x3 + 6x − 10)/(2x − 4)
f)
(24x3 − 4x − 1)/(2x − 1)
g)
(8x3 − 12x2 − 2x)/(4x − 8)
h) (2x4
− 4x3 + x − 17)/(x2 − 4)
i)
(x4 − 6x3 + 3x2 − 2x + 3)/(x2 − 2x
− 3)
j)
(x4 − 5x2 + 4)/(x2 − 1)
k)
(3x5 − 2x3 − 11x)/(x3 − 3x)
l)
(6x2 + 7x + 9)/(2x2 − 5x + 1)
m) (x4
+ 2x − 12)/(x + 2)
n) (x2
− 5x + 8)/(x − 3)
o) (3x
+ 7)/(x + 4)
p)
(x4 − 2)/(x − 1)
q)
(x3 − 3x2 + 4x − 5)/(x − 4)
Zeros reais de funções polinomiais
p(x) = anxn +
an−1xn−1 + ⋯
+ a1x + a0
cujo
grau, n, é maior ou igual a 3.
Começaremos
nossa análise estudando os zeros dessas funções. Encontrar os zeros de uma
função polinomial não é tarefa fácil quando o grau da função é maior que 2.
De
fato, para funções de grau 3 e 4, ainda é possível usar fórmulas explícitas
para os zeros, embora elas sejam pouco práticas. Já para funções de grau maior
que 4, é preciso adotar estratégias mais complexas, como veremos abaixo.
Entretanto,
quando alguns zeros já são conhecidos, a determinação dos zeros restantes pode
ser grandemente facilitada se usamos o teorema do fator, que decorre do teorema
do resto, já estudado.
Como
consequência desse teorema, concluímos que,
se p(x) for divisível por x − a, ou seja,
se o
resto dessa divisão for 0,
então
p(a) = 0, de modo que a
é um zero do polinômio p(x).
Além
disso, se r = 0, temos
p(x) = q(x)⋅
d(x) + r(x) = q(x)⋅
(x − a)
+ 0 = (x − a)∙q(x) ∙p(x)
= (x − a)∙q(x),
de
modo que (x − a) é um fator de p(x).
Também
não é difícil mostrar que,
se x − a é um fator de p(x),
então
p(a) = 0, o que nos leva ao teorema a
seguir.
Exemplo: Dado o polinômio p(x) = 3x3 + 5x2 + cx
+ 16, determine o valor da constante c
de modo que x + 2 seja um fator de p(x).
Solução:
Observe
que o fator x + 2 pode ser convertido
à forma x − a se escrevermos x + 2 = x − (−2).
Desse
modo, temos a = −2.
Segundo
o teorema do fator, para que p(x)
tenha um fator x + 2, é preciso que p(−2) = 0.
Assim,
3(−2)3 +
5(−2)2 + c(−2) + 16 = 0
−2c + 12 = 0
c = −12 / −2
c = 6
Logo, x + 2 é um
fator de p(x) = 3x3 + 5x2 + 6x + 16.
Juntando
o resultado fornecido pelo teorema do fator aos conhecimentos que já adquirimos
sobre gráficos de funções, podemos estabelecer as seguintes relações entre
fatores, zeros, soluções de equação e interceptos-x.
Exemplo: Seja dada a função p(x) = x3
+ 2x2 − 15x.
a)
Determine todos os zeros de p(x).
b)
Escreva o polinômio na forma fatorada.
c)
Trace o gráfico de p, identificando
os interceptos-x.
Solução:
a)
Como todos os termos de p(x) incluem a variável x, podemos pô-la em evidência,
de modo que
p(x) = x(x2 + 2x − 15).
Logo, p(x) = 0 se x = 0 ou x2 +
2x − 15 = 0.
Concluímos, então, que x = 0 é um zero de p,
e que os demais zeros do polinômio são solução de
x2 + 2x − 15 = 0.
Para encontrar as raízes dessa equação,
calculamos o discriminante
∆ = 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−15) = 64,
e aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos as raízes
Portanto, os zeros de p(x) são x = 0, x = 3 e x =−5.
b) Como a equação x2 + 2x − 15 =
0, tem duas soluções, podemos escrever o termo quadrático (x2 + 2x −
15) como o produto de dois fatores mais simples:
x2 + 2x − 15 = (x − 3)∙(x + 5).
O que implica que a forma fatorada de p(x)
é:
p(x) = x∙(x −
3)∙(x + 5).
c) Sabendo que x =
−5, x = 0 e x = 3
são zeros de p(x), devemos escolher um intervalo de x que inclua esses
pontos ao traçar o gráfico da função.
Adotando x ∈ [−6, 4], obtemos a curva mostrada no gráfico abaixo, na qual os
pontos de interseção com o eixo-x estão identificados em verde.
No exemplo
anterior, a função polinomial, que era de grau 3, tinha exatamente 3
zeros e percebemos que também funções polinomiais de grau 2 (funções
quadráticas) podem ter 0, 1 ou 2 zeros e um polinômio de grau 1 (função afim),
pode ter 0 ou 1 zero. Notamos, assim, que há uma relação entre o grau do polinômio e o número de zeros reais que ele possui.
Essa relação é descrita pelo teorema a seguir:
Atividades:
1) Para
cada função polinomial abaixo, determine o valor da constante c de modo que o termo fornecido seja um
fator de p.
a) p(x) = x2 − 9x + c. Fator: x − 8
b) p(x) = 5x2 + cx + 9. Fator: x + 3
c) p(x) = x3 − 6x2 + 3x +
c. Fator: x − 5
d) p(x) = 3x3 + cx2 − 13x
+ 3. Fator: x − 1
e) p(x) = x4 − 2x3 + 8x2
+ cx − 2. Fator: x − 2
f) p(x) = 2x4 − 10x3 + cx2
+ 6x + 40. Fator: x − 4
2) Determine
as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem
no lado esquerdo das equações, utilizando fatoração por evidência:
a) x3
− 4x = 0
b) x3
− 4x2 − 21x = 0
c)
2x3 + 11x2 − 6x = 0
d)
−3x3 + 6x2 + 9x = 0
e) x4
− x3 − 20x2 = 0
f) x4
− 8x3 + 16x2 = 0
g)
5x4 − 8x3 + 3x2 = 0
h)
8x4 − 6x3 − 2x2 = 0
3) Determine
as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que
aparecem no lado esquerdo das equações.
a) x3 + x2 − 2x − 2 = 0,
sabendo que x = −1 é uma raiz.
b) x3 − 5x2 − 4x + 20 = 0,
sabendo que x = 2 é uma raiz.
c) x4 − 9x3 − x2
+ 81x − 72 = 0, sabendo que x = 8
e x = 3 são raízes.
d) x3 − 3x2 − 10x + 24 =
0, sabendo que x = 4 é uma raiz.
e) x3 − 4x2 − 17x + 60 =
0, sabendo que x = 3 é uma raiz.
f) 4x3 − 16x2 + 21x − 9 =
0, sabendo que x = 1 é uma raiz.
g) 3x3 − 26x2 + 33x + 14
= 0, sabendo que x = 7 é uma
raiz.
h) x4 − 9x3 + 17x2
+ 33x – 90 = 0, sabendo que x = −2
e x = 5 são raízes.
i) x4 − 6x3 − 5x2
+ 30x, sabendo que x = 6 é uma
raiz.
4) Em
cada caso abaixo, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o
grau e os zeros indicadas.
a)
Grau 2, com zeros x = −4 e x = 0.
b)
Grau 2, com zeros x = 1/2 e x = 2, com concavidade para baixo.
c)
Grau 3, com zeros x = 0, x = 1 e x = 3.
d)
Grau 3, com zeros x = −2 e x = 1 (com multiplicidade 2).
e)
Grau 3, com zero x = 8 (com multiplicidade 3).
f)
Grau 4, com zeros x = −3, x = −2, x = 0 e x = 5.
5) Funções
polinomiais: uma visão analítica
Uma das principais razões pelas quais
estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é determinar o
número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde
que zero de uma função f é uma raiz da equação f(x) = 0). O problema
de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da Matemática
ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o
cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI,
matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de
equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito
complicadas e, por isso, são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do
tipo:
Qual é o maior número de zeros que uma
função polinomial pode ter?
Qual é o menor número de zeros que uma
função polinomial pode ter?
Como podemos encontrar todos os zeros de
um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação
polinomial? ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX,
quando este problema foi completamente resolvido. [...]
Disponível
em: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html Acesso
em: 24 out. 2014 (adaptado).
Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros zeros?
(A) –6 (B) –5 (C) 0 (D) 5 (E) 6
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