domingo, 20 de setembro de 2020

Divisão de Polinômio

 

As operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, bem como de expressões algébricas em geral, já foram estudadas. Agora que estamos estudando as funções polinomiais, veremos finalmente como dividir polinômios, um passo essencial para a fatoração dessas funções.

A fatoração, por sua vez, é útil para encontrar os zeros da função polinomial, os quais nos permitem resolver equações e inequações, bem como traçar os gráficos dessas funções.

Para tratar da divisão de polinômios, precisamos recordar algumas características da divisão de números naturais. Exemplo 1. Divisão de números naturais

Ao dividirmos 315 por 21, obtemos o valor exato 15.

Nesse caso dizemos que  

Essa divisão também pode ser apresentada com o auxílio do diagrama ao lado, muito explorado no ensino fundamental.

 

Em uma divisão de números naturais, o número que está sendo dividido (315, no exemplo acima) é denominado dividendo, enquanto o número pelo qual se está dividindo (21) é chamado de divisor. O resultado da divisão (15) recebe o nome de quociente.

 

Multiplicando por 21 os dois lados da equação acima, obtemos a equação equivalente

315 = 21 x 15.

 

Assim, quando a divisão é exata, o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente.

Considerando, agora, a divisão de 315 por 22, notamos que o resultado não é exato. Embora a divisão forneça 14 como quociente, há um resto de 7 unidades.

como mostra o diagrama a seguir.

Nesse caso, o produto 22 x 14 fornece 308, faltando 7 unidades para chegarmos a 315, de modo que

315 = 22 x 14 + 7.

 

De uma forma geral, se p é um número natural (o dividendo) e d (o divisor) é um número natural menor ou igual a p, então existe um número inteiro q (o quociente), e um número inteiro r (o resto), tais que

 p = d q + r.




 

Vamos dividir polinômios seguindo estratégia semelhante àquela adotada para números inteiros.

Entretanto, antes de começar o processo de divisão, é conveniente:

• escrever os monômios do dividendo e do divisor em ordem decrescente de grau;

• incluir os monômios que faltam, usando o zero como coeficiente.

 

Exemplo: Para dividir p(x) = x3 − 2x + 15 − 4x2 por d(x) = x − 3 devemos, em primeiro lugar, reescrever p(x) em ordem decrescente do grau dos seus monômios, e montar o diagrama tradicional da divisão.


No primeiro passo, dividimos o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau de d(x).

Em nosso exemplo, isso corresponde a calcular


Esse resultado é, então, anotado no diagrama, logo abaixo do divisor.


Em seguida, multiplicamos o termo encontrado, x2 pelo divisor d(x), obtendo

 

Esse polinômio é, então, subtraído do dividendo p(x).


Essa operação pode ser feita diretamente no diagrama, como mostrado a seguir.


Atenção: Não se esqueça de inverter o sinal de todos os termos de x3 − 3x2 ao transcrever esse polinômio para o diagrama, pois isso facilita a subtração.

 

Observe que o polinômio x3 − 3x2 não possui termos de grau 1 e de grau 0. Assim, ao subtraí-lo de x3 − 4x2 − 2x + 15, simplesmente “descemos” os termos −2x e + 15 da primeira linha, somando-os a −x2.

 

Continuando o processo, passamos à divisão do polinômio restante, −x2 − 2x + 15, pelo divisor, x − 3.

Nesse caso, tomando apenas o termo de maior grau de cada uma desses polinômios, calculamos:


Esse monômio deve ser somado à parcela já encontrada do quociente:

 

Multiplicando a nova parcela do quociente, −x, pelo divisor, x − 3, obtemos


Subtraindo, então, esse polinômio de −x2 − 2x + 15, chegamos a


O diagrama abaixo resume os passos da segunda etapa da divisão (observe que o polinômio −x2 + 3x aparece com o sinal trocado:

 

No terceiro passo do processo, dividimos o termo de maior grau de −5x + 15 pelo termo de maior grau de x − 3, ou seja, calculamos


e passamos esse termo para nosso diagrama: 


Em seguida, multiplicamos o termo encontrado pelo divisor d(x),

 

e subtraímos esse polinômio de

 

Todas essas operações são, então, incluídas no diagrama, conforme mostrado abaixo. 


Como o resultado da subtração acima é zero, terminamos o processo.

 

Nesse caso, dizemos que p(x) é divisível por d(x), ou seja, r(x) = 0

x3 − 4x2 − 2x + 15 = (x2 − x − 5)(x − 3).

 


No exemplo acima, cada passo da divisão foi detalhado, para facilitar a compreensão dos cálculos envolvidos. Tentaremos, agora, resolver um problema mais complicado, abreviando as etapas e recorrendo mais ao diagrama do que às contas em separado.

 

Exemplo: Divisão de polinômios Divida p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 por d(x) = x2 − 2x + 1

Solução:

 Comecemos completando os monômios do dividendo:

 p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 0x + 5.

 

Agora, passemos às etapas da divisão propriamente dita.

 

• Dividindo o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau de d(x):


• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):


• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de p(x) diretamente no diagrama:

 

• Dividindo o monômio de maior grau de 2x3 − 5x2 + 5 pelo monômio de maior grau de d(x):




• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):

 

2x(x2 − 2x + 1) = 2x3 − 4x2 + 2x.

 

• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de 2x3 − 5x2 + 5 diretamente no diagrama:

 

• Dividindo o monômio de maior grau de −x2 − 2x + 5 pelo monômio de maior grau de d(x):

 

• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):

−1(x2 − 2x + 1) = −x2 + 2x − 1.

 

• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de −x2 − 2x + 5 diretamente no diagrama: 

 

Como o polinômio restante, −4x+6, tem grau menor que o divisor, d(x) = x2 − 2x + 1, não há como prosseguir com a divisão.

Nesse caso, o quociente é q(x) = 3x2 + 2x − 1,

e o resto é r(x) = −4x + 6.

Assim, temos


 

Teorema do resto

Como vimos acima, ao dividirmos um polinômio

 p(x) por x − a,

obtemos o quociente q(x) e o resto r, de modo que

p(x) = (x − a)q(x) + r.

 

Aqui, escrevemos apenas r, em lugar de r(x), porque o resto é um número real.

 

Usando essa equação, é fácil reparar que

p(a) = (a − a)q(x) + r = 0 q(x) + r = r.

 

Esse resultado tem usos diversos na matemática, de modo que vamos apresentá-lo em um quadro.

 

Exemplo: Dado o polinômio p(x) = x3 − 2x2 − 5x − 10, calcule p(4) e depois divida p(x) por x – 4

p(4) = 43 – 242 – 54 – 10 = 64 – 32 – 20 – 10 = 2 

x3 − 2x2 − 5x – 10 = (x – 4)(x2 + 2x + 3) + 2

 Nota-se que o valor de p(4) é o mesmo do resta da divisão de p(x) por x – 4, como o Teorema nos indica.

 

 

 

Atividades:

 1) Para cada expressão na forma p(x)/d(x) abaixo, calcule o quociente q(x) e o resto r(x).

a) (2x3 − 3x2 + 6)/(x2 − 2)

b) (6x2 − 4x − 3)/(3x − 5)

c) (4x3 + 2x2 + 11x)/(2x2 + 3)

d) (6x4 + 5x3 − 2x)/(3x − 2)

e) (4x3 + 6x − 10)/(2x − 4)

f) (24x3 − 4x − 1)/(2x − 1)

g) (8x3 − 12x2 − 2x)/(4x − 8)

h) (2x4 − 4x3 + x − 17)/(x2 − 4)

i) (x4 − 6x3 + 3x2 − 2x + 3)/(x2 − 2x − 3)

j) (x4 − 5x2 + 4)/(x2 − 1)

k) (3x5 − 2x3 − 11x)/(x3 − 3x)

l) (6x2 + 7x + 9)/(2x2 − 5x + 1)

m) (x4 + 2x − 12)/(x + 2)

n) (x2 − 5x + 8)/(x − 3)

o) (3x + 7)/(x + 4)

p) (x4 − 2)/(x − 1)

q) (x3 − 3x2 + 4x − 5)/(x − 4)

 

 

Zeros reais de funções polinomiais

 Agora que vimos as funções constantes, lineares e quadráticas, que são funções polinomiais de grau 0, 1 e 2, respectivamente, é hora de explorarmos as características das funções

p(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0

cujo grau, n, é maior ou igual a 3.

 

Começaremos nossa análise estudando os zeros dessas funções. Encontrar os zeros de uma função polinomial não é tarefa fácil quando o grau da função é maior que 2.

De fato, para funções de grau 3 e 4, ainda é possível usar fórmulas explícitas para os zeros, embora elas sejam pouco práticas. Já para funções de grau maior que 4, é preciso adotar estratégias mais complexas, como veremos abaixo.

Entretanto, quando alguns zeros já são conhecidos, a determinação dos zeros restantes pode ser grandemente facilitada se usamos o teorema do fator, que decorre do teorema do resto, já estudado.

 

Como consequência desse teorema, concluímos que,

se p(x) for divisível por x − a, ou seja,

se o resto dessa divisão for 0,

então p(a) = 0, de modo que a é um zero do polinômio p(x).

 

Além disso, se r = 0, temos

p(x) = q(x) d(x) + r(x) = q(x) (x a) + 0 = (x − a)q(x) p(x) = (x − a)q(x),

de modo que (x − a) é um fator de p(x).

Também não é difícil mostrar que,

se x − a é um fator de p(x),

então p(a) = 0, o que nos leva ao teorema a seguir.

 


Exemplo: Dado o polinômio p(x) = 3x3 + 5x2 + cx + 16, determine o valor da constante c de modo que x + 2 seja um fator de p(x).

 

Solução:

Observe que o fator x + 2 pode ser convertido à forma x − a se escrevermos x + 2 = x − (−2).

Desse modo, temos a = −2.

Segundo o teorema do fator, para que p(x) tenha um fator x + 2, é preciso que p(−2) = 0. Assim,

3(−2)3 + 5(−2)2 + c(−2) + 16 = 0

−2c + 12 = 0

c = −12 / −2

c = 6

Logo, x + 2 é um fator de p(x) = 3x3 + 5x2 + 6x + 16.

 

Juntando o resultado fornecido pelo teorema do fator aos conhecimentos que já adquirimos sobre gráficos de funções, podemos estabelecer as seguintes relações entre fatores, zeros, soluções de equação e interceptos-x.



Exemplo: Seja dada a função p(x) = x3 + 2x2 − 15x.

a) Determine todos os zeros de p(x).

b) Escreva o polinômio na forma fatorada.

c) Trace o gráfico de p, identificando os interceptos-x.

 

Solução:

 a) Como todos os termos de p(x) incluem a variável x, podemos pô-la em evidência, de modo que

p(x) = x(x2 + 2x − 15).

 

Logo, p(x) = 0 se x = 0 ou x2 + 2x − 15 = 0.

 

Concluímos, então, que x = 0 é um zero de p, e que os demais zeros do polinômio são solução de

x2 + 2x − 15 = 0.

 

Para encontrar as raízes dessa equação, calculamos o discriminante

∆ = 22 − 4 1 (15) = 64,

 

e aplicamos a fórmula de Bhaskara:

 

Assim, temos as raízes

 Portanto, os zeros de p(x) são x = 0, x = 3 e x =−5.

 

b) Como a equação x2 + 2x − 15 = 0, tem duas soluções, podemos escrever o termo quadrático (x2 + 2x − 15) como o produto de dois fatores mais simples:

x2 + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5).

O que implica que a forma fatorada de p(x) é:

p(x) = x(x − 3)(x + 5).

 

c) Sabendo que x = −5, x = 0 e x = 3 são zeros de p(x), devemos escolher um intervalo de x que inclua esses pontos ao traçar o gráfico da função.

 

Adotando x [6, 4], obtemos a curva mostrada no gráfico abaixo, na qual os pontos de interseção com o eixo-x estão identificados em verde.

 

No exemplo anterior, a função polinomial, que era de grau 3, tinha exatamente 3 zeros e percebemos que também funções polinomiais de grau 2 (funções quadráticas) podem ter 0, 1 ou 2 zeros e um polinômio de grau 1 (função afim), pode ter 0 ou 1 zero. Notamos, assim, que há uma relação entre o grau do polinômio e o número de zeros reais que ele possui. Essa relação é descrita pelo teorema a seguir:

 

Atividades: 

1) Para cada função polinomial abaixo, determine o valor da constante c de modo que o termo fornecido seja um fator de p.

a) p(x) = x2 − 9x + c. Fator: x − 8

b) p(x) = 5x2 + cx + 9. Fator: x + 3

c) p(x) = x3 − 6x2 + 3x + c. Fator: x − 5

d) p(x) = 3x3 + cx2 − 13x + 3. Fator: x − 1

e) p(x) = x4 − 2x3 + 8x2 + cx − 2. Fator: x − 2

f) p(x) = 2x4 − 10x3 + cx2 + 6x + 40. Fator: x − 4

 

2) Determine as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações, utilizando fatoração por evidência:

a) x3 − 4x = 0

b) x3 − 4x2 − 21x = 0

c) 2x3 + 11x2 − 6x = 0

d) −3x3 + 6x2 + 9x = 0

e) x4 − x3 − 20x2 = 0

f) x4 − 8x3 + 16x2 = 0

g) 5x4 − 8x3 + 3x2 = 0

h) 8x4 − 6x3 − 2x2 = 0

 

3) Determine as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.

a) x3 + x2 − 2x − 2 = 0, sabendo que x = −1 é uma raiz.

b) x3 − 5x2 − 4x + 20 = 0, sabendo que x = 2 é uma raiz.

c) x4 − 9x3 x2 + 81x − 72 = 0, sabendo que x = 8 e x = 3 são raízes.

d) x3 − 3x2 − 10x + 24 = 0, sabendo que x = 4 é uma raiz.

e) x3 − 4x2 − 17x + 60 = 0, sabendo que x = 3 é uma raiz.

f) 4x3 − 16x2 + 21x − 9 = 0, sabendo que x = 1 é uma raiz.

g) 3x3 − 26x2 + 33x + 14 = 0, sabendo que x = 7 é uma raiz.

h) x4 − 9x3 + 17x2 + 33x – 90 = 0, sabendo que x = −2 e x = 5 são raízes.

i) x4 − 6x3 − 5x2 + 30x, sabendo que x = 6 é uma raiz.

 

4) Em cada caso abaixo, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o grau e os zeros indicadas.

a) Grau 2, com zeros x = −4 e x = 0.

b) Grau 2, com zeros x = 1/2 e x = 2, com concavidade para baixo.

c) Grau 3, com zeros x = 0, x = 1 e x = 3.

d) Grau 3, com zeros x = −2 e x = 1 (com multiplicidade 2).

e) Grau 3, com zero x = 8 (com multiplicidade 3).

f) Grau 4, com zeros x = −3, x = −2, x = 0 e x = 5.

 

5) Funções polinomiais: uma visão analítica

Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função f é uma raiz da equação f(x) = 0). O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e, por isso, são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo:

Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter?

Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter?

Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação polinomial? ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este problema foi completamente resolvido. [...]

Disponível em: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html Acesso em: 24 out. 2014 (adaptado).

Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros zeros?

         (A) –6       (B) –5         (C) 0       (D) 5      (E) 6



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