Operações com Polinômios (Soma, Subtração e Multiplicação)

Já foram apresentadas funções polinomiais. Nesta aula, será aprofundado um pouco mais o seu conhecimento no estudo dessas funções, aprendendo a efetuar cálculos de adição, subtração e multiplicação.

As situações envolvendo cálculos algébricos são de extrema importância para a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.

 

1 – ADIÇÃO DE POLINÔMIOS:

A adição entre polinômios é realizada de forma muito simples, basta reduzir seus termos semelhantes, vejamos alguns exemplos a seguir.

Dados dois polinômios A(x) = 3x² – 6x + 4 e B(x) = 2x² + 4x – 7.

A soma A(x) + B(x) é calculada da seguinte forma:

A(x) + B(x) = (3x² – 6x + 4) + (2x² + 4x – 7)

 

1º passo: Eliminando os parênteses e observando os sinais das operações, temos:

3x² – 6x + 4 + 2x² + 4x – 7

2º passo: Reduzindo os termos semelhantes.

3x² + 2x² – 6x + 4x + 4 – 7 = 5x² – 2x – 3

Viu como é simples!!

Agora vamos trabalhar alguns exemplos onde é preciso ter bastante atenção!

EXEMPLO 01:

Considere as funções polinomiais A(x) = x³ + 2x² + x – 3 e B(x) = x² + x +1, determine a soma A(x) + B(x).

Resolução:

Para determinar a soma A(x) + B(x) utilizaremos os passos apresentados acima:

A(x) + B(x) =

(x³ + 2x² +x – 3) + (x² + x + 1)

x³ + 2x² + x – 3 + x² + x + 1

x³ + 2x² + x² + x + x – 3 + 1

x³ + 3x² + 2x – 2

 

EXEMPLO 02:

Considere os polinômios P(x) = –2x² + 5x – 2 e Q(x) = – 3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição entre eles.

Resolução:

P(x) + Q(x) = (– 2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1)

P(x) + Q(x) = –2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1

P(x) + Q(x) = –3x³ – 2x² + 7x – 3

 

2 - SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:

A subtração entre polinômios é realizada de forma análoga a adição, basta que ao eliminar os parênteses você se lembre de que o sinal de subtração altera o sinal de todos os termos dentro do parênteses.

Dados dois polinômios A(x) = 3x² –  6x + 4 e B(x) = 2x² + 4x –  7 a diferença A(x) –  B(x) é calculada da seguinte forma:

A(x) –  B(x) = (3x² –  6x + 4) –  (2x² + 4x –  7)

1º passo: Elimine os parênteses observando que os sinais dos termos do polinômio B(x) devem ser trocados. Observe:

A(x) –  B(x) = (3x² –  6x + 4) –  (2x² + 4x –  7)

3x² – 6x + 4 – 2x² – 4x + 7

2º passo: Reduzindo os termos semelhantes.

x² – 10x + 11

Viu como subtrair polinômios também é simples!!

Agora veja alguns exemplos onde também é preciso ter bastante atenção!

 

EXEMPLO 03:

Considere as funções polinomiais A(x) = x³ + 2x² + x – 3 e B(x) = x² + x + 1, determine a diferença A(x) – B(x):

Resolução:

A(x) – B(x) = (x³ + 2x² + x – 3) – (x² + x + 1), seguindo os passos anteriores:

1º passo: Eliminando os parênteses e observando os sinais das operações, temos:

x³ + 2x² + x –  3 –  x² –  x –  1

2º passo: Reduzindo os termos semelhantes.

x³ + x² –  4

 

EXEMPLO 04:

Considere os polinômios P(x) = –2x² + 5x– 2 e Q(x) = – 3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a subtração entre eles.

Resolução:

P(x) – Q(x) = (–2x² + 5x - 2) – (–3x³ + 2x –  1)

P(x) – Q(x) = – 2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1

P(x) – Q(x) = 3x³ – 2x² + 3x – 1

 

3 - MULTIPLICAÇÃO DE UM MONÔMIO POR UM POLINÔMIO:

Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Vejam alguns exemplos:

 

EXEMPLO 05:

Considere o monômio A(x) = 2x e o polinômio B(x) = x² + x + 1, determine a multiplicação A(x) ∙ B(x):

Resolução:

A(x) ∙ B(x) = 2x∙(x² + x + 1), utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar o monômio A(x) por cada termo do polinômio B(x).

2x∙(x² + x + 1) = 2x³ + 2x² + 2x

 

EXEMPLO 06:

Dados o monômio P(x) = 2x² e o polinômio Q(x) = 3x³ + 2x² + x + 1, determine o produto P(x) ∙ Q(x).

Resolução:

O produto P(x) ∙ Q(x) = 2x²∙(3x³ + 2x² + x + 1) será obtido utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

2x² ∙ (3x³ + 2x² + x + 1) = 6x⁵ + 4x⁴ + 2x³ + 2x

 

Lembre-se que ao efetuar a multiplicação de potências de mesma base, devemos somar os expoentes!

 

4 - MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS:

Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.

 

EXEMPLO 07:

Dados os polinômios P(x) = 2x + 3 e Q(x) = 3x³ + 2x² + x + 1, determine o produto P(x)∙Q(x):

Resolução:

O produto P(x) ∙ Q(x) = (2x + 3)∙(3x³ + 2x² + x + 1), utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, o termo 2x multiplica todos os termos do polinômio Q(x), e o mesmo

ocorre para o termo 3, em P(x). Observe:

2x ∙ 3x³ = 6x⁴ e 3 ∙ 3x³ = 9x³

2x ∙ 2x² = 4x³ e 3 ∙ 2x² = 6x²

2x ∙ x = 2x² e 3 ∙ x = 3x

2x ∙ 1 = 2x e 3 ∙ 1 = 3

Assim, temos:

(2x + 3)∙(3x³ + 2x² + x + 1) = 6x⁴ + 4x³ + 2x² + 2x + 9x³ + 6x² + 3x + 3

 

Observe que o grau do produto P(x)∙ Q(x) é a soma dos

graus de P(x) e Q(x), isto é, 2 + 3 = 5.

Agora reduzindo os termos semelhantes, verificamos.

P(x)∙Q(x) = 6x⁴ + 13x³ + 8x² + 5x + 3

 

EXEMPLO 08:

Agora considere os polinômios A(x)= (3x² + 4) e B(x)= (5x² – 12x – 6). Então para achar o

produto A(x)∙B(x) = (3x² + 4)∙(5x² – 12x – 6), devemos novamente utilizar a propriedade distributiva:

A(x)∙B(x) = (3x² + 4)∙(5x² – 12x – 6)

 A(x)∙B(x) = 15x⁴ – 36x³ – 18x² + 20x² – 48x – 24

Reduzindo os termos semelhantes encontramos:

A(x)∙B(x) = 15x⁴ – 36x³ + 2x² – 48x – 24

 

Atividades: 

1) Considere os polinômios P(x) = –2x² + 5x – 2 e Q(x) = –3x³ + 2x – 1. Efetue a adição entre eles.

 

2) Dados os polinômios A(x) = 2x³ – 5x² – x + 21 e B(x) = 2x³ + x² – 2x + 5, determine:

a) A(x) + B(x)

b) A(x) – B(x)

 

 3) Considere o monômio M(x) = 3x e o polinômio P(x) = 5x² + 3x – 1, determine o resultado da multiplicação M(x)∙P(x).

 

4) Dados o monômio P(x) = 2x + 3 e o polinômio Q(x) = 3x³ + 2x² + x + 1, determine o produto P(x) ∙ Q(x).

  

5) São dados os polinômios: G = 3x² – y, H = 5y + 3 e J = – 7x² + 2y.

Qual é o resultado de G ∙ H – J?

      (A) 15x²y + 7x² – 5y

      (B) 15x²y + 2x² + 16y² – y

      (C) 15x²y + 16x² – 5y² – 5y

      (D) 15x²y + 16x² + 5y² + 5y

 

6) O presidente do Tabajara Futebol Clube precisa cercar o campo e quer quantos metros de alambrado terá que comprar, sendo o comprimento desse campo de futebol dado por 5x + 20 e sua largura por 4x + 10 metros.

a) Calcule o perímetro desse campo?

b) Para gramar o campo, é necessário calcular a sua área, calcule-a.

7) Qual a expressão algébrica que representa o perímetro da figura abaixo?

 

Produtos Notáveis

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:

(x + 2)∙(x + 2) =

(y – 3)∙(y – 3) =

(z + 4 )∙( z – 4) =

 

Cinco casos de Produtos Notáveis

Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber:

 

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

Quadrado: expoente 2;

Soma de dois termos: a + b;

Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)².

Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:

(a + b)² = (a + b) ∙ (a + b) =

= a² + a ∙ b + a ∙ b + b² =

= a² + 2 ∙ a ∙ b + b²

Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:

(a + b)² = a² + 2∙a∙b + b²

Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

 

Exemplos:

(2 + a)² = 2² + 2 ∙ 2 ∙ a + a² = 4 + 4a + a²

(3x + y)² = (3 x)² + 2 ∙ 3x ∙ y + y² =  9x² +6xy + y²

 

Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

Quadrado: expoente 2;

Diferença de dois termos: a – b;

Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a – b)².

Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:

(a – b)² = (a – b)∙(a – b)

= a² – a . b – a . b + b² =

= a² – 2 .a . b + b²

Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:

(a – b)² = a² – 2∙a∙b + b²

Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(a – 5c)² = a² – 2 ∙ a ∙ 5c + (5c)² = a² – 10∙a∙c + 25c²

(p – 2s) = p² – 2 ∙ p ∙ 2s + (2s)² = p² – 4ps + 4s²

 

Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.

Produto = operação de multiplicação;

Soma de dois termos = a + b;

Diferença de dois termos = a – b;

O produto da soma pela diferença de dois termos é:

(a + b) ∙ (a – b)

Resolvendo o produto de (a + b) ∙ (a – b), obtemos:

(a + b) . (a – b) = a² –  ab + ab  –  b² = a² + 0 + b² = a² –  b²

 

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b) . (a – b) = a² – b²

 

Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 – c) ∙ (2 + c) = 2² – c² = 4 – c²

(3x² – 1) ∙ (3x² + 1) = (3x²)² – 1² = 9x⁴ – 1

 

Quarto caso: Cubo da soma de dois termos

Cubo = expoente 3;

Soma de dois termos = a + b;

Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)³

Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:

(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b) =

= (a² + a ∙ b + a ∙b + b²) ∙ (a + b) =

= ( a² + 2 ∙a ∙ b + b² ) ∙( a + b ) =

= a³ +2∙a²∙b + a∙b² + a²∙b + 2∙a b² + b³ =

= a³ + 3 ∙a²∙b + 3∙a∙b² + b³

 

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b)³ = a³ + 3 ∙ a² ∙ b + 3∙a∙b² + b³

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

 

Exemplos

(3c + 2a)³ = (3c)³ + 3∙(3c)² ∙2a + 3∙3c∙(2a)² + (2a)³ = 27c³ + 54c²a + 36ca² + 8a³

 

Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos

Cubo = expoente 3;

Diferença de dois termos = a – b;

Logo, o cubo da diferença de dois termos é: (a – b )³.

Efetuando os produtos, obtemos:

(a – b)³ = (a – b) . (a – b) . (a – b) =

= (a² - a . b - a ∙b + b²) ∙ (a – b) =

= (a² – 2 ∙ a ∙ b + b²) ∙ (a – b) =

= a³ – 2 ∙ a² ∙ b + a ∙ b² – a² ∙ b + 2 ∙ a ∙ b² – b³ =

= a³ – 3 ∙ a² ∙ b + 3∙ a ∙ b² – b³

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x – 2y)³ =  x³ – 3 ∙ x² ∙ 2y + 3 ∙ x ∙ (2y)² – (2y)³ = x³ – 6 x²y + 12xy² – 8y³

 

Fatoração de polinômio 

Fatoração de polinômios é um conteúdo matemático que reúne técnicas para escrevê-los em forma de produto entre monômios  ou até mesmo entre outros polinômios. Essa decomposição é baseada no teorema fundamental da aritmética, que garante o seguinte:

Todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto em um produto de números primos.

 

As técnicas usadas para fatorar polinômios – chamadas de casos de fatoração – baseiam-se nas propriedades da multiplicação, em especial na propriedade distributiva. Os seis casos de fatoração de polinômios são os seguintes:

 

1º caso de fatoração: fator comum em evidência

Observe, no polinômio a seguir, que existe um fator repetindo-se em cada um de seus termos.

4x + ax

Para escrever esse polinômio na forma de produto, coloque esse fator que se repete em evidência. Para isso, basta fazer o processo inverso da propriedade distributiva da seguinte maneira:

x(4 + a)

Observe que, aplicando a propriedade distributiva nessa fatoração, teremos justamente o polinômio inicial. Veja outro exemplo do primeiro caso de fatoração:

4x³ + 6x²

4x³ + 6x² = 2·2xxx + 2·3xx = 2xx(2x + 3) = 2x²(2x + 3)

 

2° caso de fatoração: agrupamento

Pode ser que, ao colocar fatores comuns em evidência, o resultado seja um polinômio que ainda possui fatores comuns. Então, devemos fazer um segundo passo: colocar fatores comuns em evidência novamente.

Assim, a fatoração por agrupamento é uma dupla fatoração por fator comum.

 

Exemplo:

xy + 4y + 5x + 20

 

Na primeira fatoração, colocaremos os termos comuns em evidência da seguinte maneira:

y(x + 4) + 5(x + 4)

Observe que o polinômio resultante possui, em seus termos, o fator comum x + 4. Colocando-o em evidência, teremos:

(x + 4)(y + 5)

3º caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

Esse caso, basicamente, é o contrário de produtos notáveis. Observe o produto notável a seguir:

(x + 5)² = x² + 10x + 25

Na fatoração do trinômio quadrado perfeito, escrevemos polinômios expressos nessa forma como produto notável. Veja um exemplo:

4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)²

Observe que é preciso garantir que o polinômio é realmente um trinômio quadrado perfeito para fazer esse procedimento.

 

O que é trinômio?

Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja exemplos:

3x² + 2x + 1

20x³ + 5x – 2x²

2ab +5b + 3c

Nem todos os trinômios acima podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.

O que é quadrado perfeito?

Para melhor entender o que é quadrado perfeito, veja:
Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 25 é um quadrado perfeito, pois 5² = 25.

Agora, devemos aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.

Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1ª forma: a fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado² , então, como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A₁ = (x + y)²

O resultado dessa área A₁ = (x + y)² é um quadrado perfeito.

2ª forma: esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A₂ = x² + xy + xy + y², como xy e xy são semelhantes podemos somá-los:

A₂ = x² +2xy + y²

O resultado da área A₂ = x² +2xy + y² é um trinômio.
As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

A₁ = A₂

(x + y)² = x² +2xy + y²

Então, o trinômio x² + 2xy + y² tem como quadrado perfeito (x + y)².

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x² +2xy + y² fatorado fica (x + y)².

Como identificar um trinômio do quadrado perfeito?

Como já foi dito, nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado perfeito ou não?

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja um exemplo:

Veja se o trinômio 16x² + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras acima:

Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x² + 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio é 16x² + 8x + 1 é (4x + 1)², pois é a soma das raízes ao quadrado.

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

Dado o trinômio m² – m n + n², devemos tirar as raízes dos termos m² e n², as raízes serão m e n, o dobro dessas raízes será 2∙m∙n que é diferente do termo m n (termos do meio), então esse trinômio não é quadrado perfeito.

Exemplo 2:

Dado o trinômio 4x² – 8xy + y², devemos tirar as raízes dos termos 4x² e y², as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2∙2x∙y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

Exemplo 3:

Dado o trinômio 1 + 9a² – 6a.

Devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem crescente de expoentes, ficando assim:

9a² – 6a + 1.

Agora, tiramos a raiz dos termos 9a² e 1, que serão respectivamente 3a e 1. 

O dobro dessas raízes será 2∙3a∙1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1)².

 

4º caso de fatoração: diferença de dois quadrados

Polinômios conhecidos como diferença de dois quadrados possuem esta forma:

x² – a²

A sua fatoração é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. Observe o resultado da fatoração desse polinômio:

x² – a² = (x + a)(x – a)

 

5º caso de fatoração: diferença de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x³ + y³ pode ser fatorado da seguinte maneira:

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

 

6º caso de fatoração: Soma de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x³ – y³ pode ser fatorado da seguinte maneira:

x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)

 

Atividades: 

1) Calcule:

a) (2x + 2y)² =

b) (3x – 3y)² =

c) (x + 5)(x – 5)=

d) (x + 3)² =

e) (y – 2)² =

f) (3m + 2n)(3m – 2n)=

 

2) Calcule a área das figuras abaixo, com suas medidas expressas algebricamente:

a) retângulo: 

b) quadrado:

c) triângulo retângulo: 

3) Sabe-se que a área de uma piscina retangular é expressa por 4x² – 64, se o comprimento da piscina é expresso por 2x + 8, qual a expressão da largura dessa piscina?

 

4) Identifique se os trinômios são quadrados perfeitos e expresse sua forma fatorada:

a) 25x² + 90x + 81

b) x² – 8x + 16

c) x² + 10x + 25

d) 4x² – 16x + 64

 

5) Observe as igualdades abaixo.

(I) (x + 3)² = x² + 9

(II) (y – 4)∙(y + 4) = y² – 16

(III) (2x – 1)² = 4x² – 4x + 1

Quais dessas igualdades estão corretas?

       (A) I e II, apenas.

       (B) I e III, apenas.

       (C) II e III, apenas.

       (D) I, II e III.

 

6) A forma fatorada da expressão 6ab + 15a – 2b – 5 é:

      (A) (3a – 1)∙(2b – 5)

      (B) (3a – 1)∙(2b + 5)

      (C) (3a + 1)∙(2b – 5)

      (D) (3a + 1)∙(2b + 5)

 

7) (ENEM-2016) Um terreno retangular de lados cujas medidas, em metro, são x e y será cercado para a construção de um parque de diversões. Um dos lados do terreno encontra-se às margens de um rio. Observe a figura.

Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$7.500,00. O material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados.

Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do material podem ser relacionados pela equação:

       (A) 4(2x + y) = 7.500

       (B) 4(x + 2y) = 7.500

       (C) 2(x + y) = 7.500

       (D) 2(4x + y) = 7.500

       (E) 2(2x + y) = 7.500

Aprofunde-se: