domingo, 20 de setembro de 2020

Modelar Função Quadrática

 

 

Sejam dados os coeficientes reais a, b e c, com a ≠ 0. A função definida por f(x) = ax2 + bx + c é denominada função quadrática.

 

As funções quadráticas têm aplicações em áreas variadas, como a física, a economia, a engenharia, a biologia e a geografia.

 

O problema abaixo mostra o emprego de uma função quadrática à descrição da trajetória de uma bola.

 

Problema 1. Um golfista dá uma tacada que faz sua bola descrever uma trajetória na qual a altura, em metros, é dada pela função f(x) = −0,008x2 + x, em que x é a distância horizontal da bola, em metros, medida a partir de sua posição antes da tacada.

Quando a bola está a uma distância horizontal x do ponto de partida, sua altura é f(x).

a) Determine a altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 40 m de seu ponto de partida.

b) Com base em uma tabela de pontos, trace a trajetória da bola no plano Cartesiano.

c) Determine a que distância do ponto de partida a bola cai no chão.

 

Solução:

a) A altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 50 m de sua posição original é dada por

f(40) = −0,008 402 + 40 = 27,2.

Logo, a bola está a uma altura de 27,2 m.

 

b) A Tabela abaixo fornece uma lista de pares ordenados obtidos a partir da definição de f.

 

Com base nesses pontos, traçamos o gráfico abaixo, que mostra a trajetória descrita pela bola: 

 

c) Observando o gráfico, concluímos que a bola toca o solo a cerca de 125 metros de seu ponto de partida. Para determinar com exatidão a coordenada horizontal desse ponto, basta lembrar que dizer que a bola está sobre o solo é o mesmo que afirmar que sua altura é zero.

Assim, temos f(x) = 0, ou seja,

−0,008x2 + x = 0 

 x(0,008x + 1) = 0. 

Assim temos, as raízes dessa equação devem satisfazer

x = 0 ou 0,008x + 1 = 0. 

Nesse último caso, temos

−0,008x + 1 = 0 

0,008x =

x = 1 / 0,008 

x = 125.

 Logo, os pontos em que a bola toca o solo são aqueles nos quais x = 0 m (ponto de partida) e x = 125 m, que é a distância horizontal entre o ponto de partida e o ponto de queda da bola.

A curva mostrada no trecho entre x = 125 e x = 140, no qual os valores de f(x) são negativos. Esse trecho foi usado apenas para completar a trajetória até o ponto de queda, não implicando que, na prática, a bola tenha tido uma altura negativa, o que só aconteceria se ela fosse enterrada no solo.

 

É importante notar que uma função quadrática pode ser fornecida em outro formato que não aquele apresentado no quadro acima, como mostram os exemplos a seguir. 

Problema 2: Converta as funções abaixo ao formato f(x) = ax2 + bx + c.

a) f(x) = 2(x − 1)(x + 3)

b) f(x) = −3(x − 4)2 + 6

 

Solução.

a) Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever 

2(x − 1)(x + 3) = 2(x2 − x + 3x − 3) = 2x2 + 4x − 6.

Logo, f(x) = 2x2 + 4x − 6.

 

b) Usando a regra do quadrado da soma (ou a propriedade distributiva mais uma vez), obtemos:

−3(x − 4)2 + 6 = −3(x2 − 8x + 16) + 6 = −3x2 + 24x − 48 + 6 = −3x2 + 24x − 42.

Assim, f(x) = −3x2 + 24x − 42.

 

 

 

Gráfico das funções quadráticas 

O gráfico de uma função quadrática tem um formato característico – similar a uma letra “U” mais aberta –, e é chamado parábola.

A Figura abaixo mostra duas parábolas típicas.

Observando as curvas dos gráficos, notamos que a função quadrática tem um ponto de mínimo ou um ponto de máximo local. A esse ponto especial da parábola damos o nome de vértice.

Além disso, toda parábola é simétrica a uma reta vertical que passa por seu vértice. Essa reta vertical é denominada eixo de simetria.

Outra característica importante de parábola é a sua concavidade, que é a lado para o qual a curva se abre. Na primeira curva mostra uma parábola com concavidade para cima, enquanto a segunda curva mostra uma parábola com concavidade para baixo.

Note que há uma relação entre a concavidade e o sinal do coeficiente a. Se a > 0, a parábola tem concavidade para cima. Por outro lado, a concavidade é para baixo se a < 0.

O parâmetro a também controla a abertura da parábola. Quanto maior for o valor absoluto desse parâmetro, menor será a abertura, e vice-versa, como ilustra o gráfico abaixo:

 

Por sua vez, o coeficiente c da função quadrática determina o intercepto-y da parábola, pois, tomando x = 0, temos:

f(0) = a 02 + b 0 + c = c.

Já os interceptos-x da parábola correspondem às raízes da equação f(x) = 0, que é equivalente à equação quadrática ax2 + bx + c = 0.

 

Resolução de Equação de 2º grau ou zero da função quadrática 

A ideia principal do método para resolver uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, é essa:

ü  Se ax2 + bx + c for um quadrado perfeito, podemos fatorá-lo na forma (d + e)2 ou (d – e)2, cuja resolução é simples. Acompanhe a resolução de 16x2 + 8x + 1 = 16.

Fatoramos: 16x2 + 8x + 1 em (4x + 1)2, escrevemos (4x + 1)2 = 16

e obtemos 4x + 1 = 4 ou 4x + 1 = –4.

Resolvendo as equações acima, temos: x = 3/4 ou x = –5/4.

S = {−5/4, 3/4}.

 

ü  Se o trinômio não for um quadrado perfeito, para resolver a equação proposta devemos completar um quadrado perfeito a partir da expressão dada. Acompanhe o quadro abaixo:

 

Com isso, obtemos a fórmula geral de resolução, na qual b2 – 4ac é o discriminante, também representado pela letra grega maiúscula ∆ (“delta”).

Essa expressão é conhecida como fórmula de Bhaskara, em homenagem ao matemático indiano Bhaskara Akaria (1114-1185).

 

 

Exemplo: Dada a função quadrática f(x) = 2x2 − 5x − 3, determine os interceptos de seu gráfico com os eixos coordenados.

Solução:

• O intercepto-y da parábola é dado pelo coeficiente c, cujo valor é −3.

• Para obter os interceptos-x, devemos resolver a equação 2x2  − 5x − 3 = 0. Nesse caso, o discriminante vale

∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 2 (3) = 25 + 24 = 49.

 

Como ∆ > 0, sabemos que o gráfico intercepta o eixo-x em dois pontos.

Recorrendo, então, à fórmula de Bhaskara, obtemos:

Logo, os interceptos são:



 

Podemos analisar acerca do papel do discriminante:

∆ = b2 − 4ac do polinômio quadrático, numa função quadrática e podemos dizer que a parábola:

 • intercepta o eixo-x em dois pontos se ∆ > 0;

 • intercepta o eixo-x em um ponto se ∆ = 0;

 não intercepta o eixo-x se ∆ < 0.

 

 

Atividades:

 

1) Um terreno, que tem a forma de um quadrado, foi reduzido da maneira indicada na figura abaixo, para dar lugar a uma calçada com 2m de largura. Ao final, sua área passou a ser de 484m². Qual era a medida do lado do terreno original?

 

2) Resolva as equações abaixo:

a) x2 = 4

b) (2x – 3)2 = 25

c) 25x2 + 90x + 81 =0

d) x2 – 2x – 15 = 0

e) 2x2 + 3x + 1 = 0

 

3) O produto entre dois números naturais consecutivos é 156. A soma desses dois números é:        

        (A) 22 metros.

        (B) 24 metros.

        (C) 26 metros.

        (D) 28 metros.


4) Antônio, com 20m de cerca, construiu um cercado retangular de 32m² de área, utilizando seu muro como um dos lados. Quais as medidas dos lados desse cercado retangular?

 


5) Quero fazer um cercado retangular com 20 m² de área. O material que possuo dá para erguer 18 m de cerca. Que medidas devem ter os lados do meu cercado retangular?

 

6) Para presentear os colegas no natal, Ana comprou alguns exemplares de um livro por R$ 540,00. Por ter obtido um desconto de R$ 15,00 no preço de cada exemplar do livro, ela conseguiu comprar 3 exemplares a mais do que previra originalmente. Com o desconto concedido, quantos exemplares desse livro Ana comprou?

 

7) O dono da marcenaria, que fabrica certo tipo de armário, verificou que o número N de armários que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria e que essa dependência é dada pela igualdade N = x2 + 2x. Qual é o número de funcionários necessários para a marcenaria fabricar 168 armários em um mês?

 

8) Uma pessoa distribui 240 balas para um certo número de crianças. Se cada criança receber uma bala a menos, o número de balas que cada criança vai receber será igual ao número de crianças. Qual é o número de crianças?

 

9) Defina uma função f(x) que forneça a área da região destacada na figura, lembrando que a área de um retângulo de lados b e h é bh.

 

10) Dada a função f(x) = x2 − 3x:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = −2; c) esboce o gráfico da função no plano coordenado, indicando os pontos que você obteve no item (b);

d) determine graficamente as soluções da inequação f(x) ≥ −2.

 

11) Dada a função f(x) = 5x − 2x2:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 2;

c) esboce o gráfico da função no plano coordenado, indique os pontos que você obteve no item (b);

d) determine graficamente as soluções da inequação f(x) ≥ 2.

 

11) Dada a função f(x) = −2x2 + 9x:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente as soluções da inequação f(x) ≥ 9;

c) determine algebricamente o ponto de mínimo ou máximo de f;

d) esboce o gráfico da função no plano coordenado.

 

12) Dada a função f(x) = −3x2 + 15x:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente as soluções da inequação f(x) ≥ 12;

c) determine algebricamente o ponto de mínimo ou máximo de f;

d) esboce o gráfico da função no plano coordenado.

 

13) Dada a função f(x) = 15x2 + x – 2:

a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0;

b) determine algebricamente as soluções da inequação f(x) ≤ −2;

c) determine algebricamente o ponto de mínimo ou máximo de f.

 

14) Esboce o gráfico e determine o ponto de mínimo ou máximo de cada função.

a) f(x) = (x − 1)(x + 2)

b) f(x) = (−3 − x)(x + 3)

c) f(x) = x2 − 3x + 4

d) f(x) = −2x2 + 3x + 2

e) f(x) = 4x + x2

f) f(x) = −x2 − 4

g) f(x) = (x − 4)(x + 1)


15) Um grupo de amigos, numa excursão, aluga uma van por 342 reais. Findo o passeio, três deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram que completar o total, pagando cada um deles 19 reais a mais. Quantos eram os amigos?



Aprofunde-se:




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