Circunferência e Círculo

Há muito tempo, os círculos despertam a curiosidade humana. Os círculos sempre estiveram ao nosso redor, por exemplo: a Lua, o Sol, o formato redondo dos frutos, as ondas produzidas por uma pedra atirada na água, entre outros.

Ao observar troncos de árvore rolarem, o homem passou a “imitar” o movimento da natureza e inventou a roda há aproximadamente 6 mil anos. Daí em diante, surgiram muitas situações que levaram à necessidade de medir o comprimento da circunferência e a área do círculo. Esse será o assunto deste tema.

Pode-se observar circunferências e círculos em objetos do dia a dia, como embalagens de alimentos, rodas de veículos etc. Então, determinar o comprimento de circunferências e a área de círculos deve ser útil em muitas situações. Você consegue se lembrar de algumas delas?

Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a distância não nula dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência.

Medidas na circunferência e no círculo

"Hiram fez também o mar de bronze, que tinha dez côvados de uma borda à outra, perfeitamente redondo e com altura de cinco côvados; sua circunferência media-se com um fio de trinta côvados."

I Reis. cap 7 , v. 23 - Bíblia Católica Online

O interesse pelo estudo das medidas de uma circunferência é muito antigo. Há referências a essas medidas até no Antigo Testamento, em uma passagem que descreve um tipo de reservatório cilíndrico que teria 5 medidas de altura, 10 medidas de uma borda a outra e 30 medidas no contorno.De acordo com essa referência, o comprimento da circunferência C é três vezes a medida do diâmetro d.

Nesse caso, a razão entre o comprimento C e o diâmetro d da circunferência é 3.

Em busca de maior precisão, os matemáticos desenvolveram métodos para descobrir o valor dessa razão, que foi batizada de “pi” (π). Eles calcularam a razão entre o comprimento e o diâmetro de circunferências de vários tamanhos, e concluíram que esse é um valor constante de aproximadamente 3,14159.

Em 1737, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) adotou a letra grega π como símbolo dessa constante: π ≈ 3,14.

Mais tarde, descobriu-se que π é um número irracional; isso quer dizer que não existe uma fração que o represente, só aproximações racionais. Dependendo da aplicação, a aproximação π ≈ 3,14 é mais do que suficiente para a maioria das atividades escolares e até mesmo profissionais.

Admitindo que a razão é constante, tem-se

Como d = 2∙r, então

Logo,

C = 2 ∙ π ∙ r

Portanto, quando a medida do raio é conhecida, C = 2 π r é a fórmula que determina o valor do comprimento de uma circunferência.

Acompanhe um exemplo da aplicação dessa fórmula.

• Quantas pedaladas são necessárias para uma pessoa percorrer 1 km numa bicicleta cuja roda tem um raio que mede 0,5 m?

Primeiro, calculam-se quantos metros ela se desloca a cada volta.

C = 2πr

C = 2 x 3,14 x 0,5 = 3,14 m

Portanto, a cada volta, ela se desloca aproximadamente 3,14 m.

Para alcançar 1 km, uma pessoa terá que dar:

(3,14 m) · número de voltas = 1.000 m

número de voltas = 1.000 m / 3,14 m = 318,47

Logo, são necessárias 319 voltas completas para percorrer 1 km. Considerando que, a cada pedalada, a roda dá uma volta completa em torno do seu centro, uma pessoa dá 319 pedaladas para percorrer essa distância.

Atividades:

1) O diâmetro da roda de uma bicicleta mede 80 cm. Determine quanto um ciclista percorre quando a roda dessa bicicleta dá 10 voltas completas.

2) O raio médio da Terra é de aproximadamente 6.400 km. Com base nesse dado, calcule o comprimento aproximado da Linha do Equador, usando as seguintes aproximações para π:

a) π ≈ 3,14

b) π ≈ 3,1

c) π ≈ 3

3) O diâmetro do aro de uma cesta de basquete mede 0,45 m. Calcule o comprimento do aro.

4) Uma bola de basquete deve ter até 78 cm de circunferência máxima.

a) Calcule seu diâmetro.

b) Uma bola com essas medidas entra na cesta com as dimensões indicadas no exercício anterior? Observe o esboço de um desenho abaixo, e indique quantos são os centímetros de folga ou de excesso.

5) De acordo com as normas oficiais, uma bola de futebol de campo deve ter entre 68 cm e 71 cm de circunferência. Calcule o diâmetro da bola:

a) de 68 cm

b) de 71 cm

6) O círculo central de um campo de futebol deve medir 18,30 m de diâmetro. Calcule o comprimento do contorno do círculo.

7) Utilizando π ≈ 3,14, determine a medida do raio de uma roda cuja medida de comprimento é:

a) 314 cm.

b) 1 m.

8) Qual é o raio R de uma circunferência cujo comprimento é igual ao de uma semicircunferência de raio r = 5 cm?

9) Um marceneiro deve construir uma mesa redonda que comporte 6 pessoas a sua volta. Qual deve ser o raio dessa mesa para que cada pessoa possa dispor de um arco de 50 cm?

10) Determine o comprimento de uma circunferência inscrita em um quadrado de lado 2 cm.

11) Determine o comprimento de uma circunferência tangente a dois lados paralelos de um retângulo de lados 4 cm e 3 cm.

Área do círculo

Imagine um círculo que foi dividido em pequenas fatias e depois foi aberto, formando uma espécie de serrote:

A soma das áreas desses triângulos é muito próxima da área do círculo.

Observe que a área do “serrote” formado pelos triângulos é, aproximadamente, igual à metade da área do retângulo cuja base mede 2πr, pois o comprimento desse retângulo coincide com o da circunferência (2πr) e a altura dele coincide com o raio r.

Como você já sabe calcular o comprimento da circunferência, calcular a área será mais simples.

Comprimento da circunferência = base do retângulo

C =2πr

Essa é a fórmula que permite calcular a área de um círculo.

Para calcular, por exemplo, a área de um círculo de raio 5 cm, basta substituir o valor do raio na fórmula:

A = π ∙ 5² = 25π

Utilizando π ≈ 3,14, temos:

A = 25 x 3,14 = 78,5 cm²

Assim como existe uma fórmula para calcular a área do círculo, também existem fórmulas para determinar a área de partes do círculo, em especial, a do setor circular e a da coroa circular.

O setor circular é como uma fatia de pizza e é determinado pela medida do raio e pelo ângulo central α.

O setor circular é uma fração do círculo proporcional à razão , por exemplo,

A coroa circular é determinada pelo raio da circunferência externa e pelo raio da circunferência interna. Assim, a área da coroa circular é:

Atividades:

1) O comprimento de uma circunferência é 31,4 cm. Determine a área do círculo.

2) Dobrando a medida do raio de um círculo, quanto aumentará a área?

3) Determine a área de um círculo tangente aos quatro lados de um quadrado de lado 10 cm.

4) Determine a área de um círculo no qual um quadrado de lado 2 cm está inscrito.

5) Calcule a área do semicírculo de raio 10 cm.

6) Observe a figura de um setor circular de raio r e ângulo central de 45^o, que representa 1/8 de uma circunferência de raio r. Determine a área do setor sabendo que r = 10 cm.