Tão importante quanto saber calcular o volume de um cubo ou de um bloco retangular é calcular o volume de sólidos que têm forma cilíndrica. Eles estão em toda a parte.
Com base no volume, é possível
avaliar a capacidade de recipientes cilíndricos, como latas de conserva, por
exemplo, e confrontá-la com a massa indicada nos rótulos.
Você já reparou que em todas as embalagens dos produtos que compra no supermercado vem registrado o peso líquido do produto?
Um bom exercício é verificar se o peso líquido indicado nas embalagens é compatível com as dimensões dos recipientes.
Volume de um sólido
Para calcular o volume de um sólido em que as seções planas têm, todas, a mesma área, multiplica-se a área da base pela altura.
Para melhor compreender essa
ideia, imagine, por exemplo, um pacote de biscoito de água e sal em que todas
são quadradas e têm a mesma massa. Se os biscoitos forem empilhadas umas sobre
as outras para compor um pacote, a massa total será a quantidade de massa de
um biscoito a multiplicada pelo número de biscoito que há na pilha.
Pode-se usar essa ideia para determinar
o volume de um prisma de base retangular.
Se a área A do retângulo da
base é A = a · b, então o volume V do prisma é a área da base multiplicada pela
altura c:
V = A · c = (a · b) · c = a ·
b · c
Observe esse princípio
utilizado no cálculo do volume de um cilindro de base circular:
V = área da base (A) · altura
(h)
V = A · h
Mas a área da base desse
cilindro é
portanto, o volume do cilindro é 
Capacidade no cilindro:
Uma jarra tem a forma interna
de um cilindro reto. Sabendo que o diâmetro da base mede 20 cm e a altura é de
40 cm, descobrir quantos litros de suco cabem na jarra. (Use π ≈ 3,14)
V = 2 x 3,14 x 10 x 40
V = 12.560 cm3
Cada 1 cm3 = 1 ml.
Portanto, essa jarra tem capacidade de 12.560 ml = 12,56 litros.
Outros exemplos:
1) Essa relação é utilizada em inúmeras aplicações, por exemplo, para determinar a capacidade de um reservatório cilíndrico de 10 m de diâmetro por 6 m de altura.
2) Algumas caixas-d’água têm
formato cilíndrico. Imagine que um fabricante precisa determinar que altura
deve ter uma caixa-d’água com raio de 1 m, para que sua capacidade seja de
2.000 litros.
Como 1.000 l = 1 m3, tem-se:
V = 2.000 l = 2 m3
π · 12· h = 2
h = 2 / 3,14
h = 0,637
Portanto, a altura dessa caixa d’água deverá ser de 0,637 m, quase 64 cm.
Determinar a área de superfície de sólidos também é muito útil. A indústria de embalagens, por exemplo, prevê a quantidade de matéria-prima (alumínio ou papelão) para fabricar latas e outros tipos de embalagens cilíndricas por meio do cálculo de superfície do cilindro. Para isso, é fundamental saber sua área lateral (que é um retângulo) e de suas bases.
Para calcular a área da superfície de um cilindro de base circular de raio r e altura h, somam-se as áreas do retângulo de lados 2π r e altura h e das duas.
Área no Cilindro
Área lateral: Al = 2πr ∙
h
Área da base: Ab = πr2
Área total: At = Al + 2∙Ab
At = 2πr ∙ h + 2 ∙ πr2
At = 2πr ∙
(h + r)
Achar a área total da superfície
de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10 cm e a altura é de 20
cm. (Use π ≈ 3,14)
A área de cada base é dada por
Ab = πr2. Logo,
Ab = 3,14 x 102
Ab = 3,14 x 100 = 314 cm2.
Quando planificamos a superfície lateral de um cilindro, obtemos um
retângulo no qual os lados têm a mesma altura h do cilindro e comprimento 2πr da circunferência de uma das bases.
Assim, a área lateral é:
Al = 2 x 3,14 x 10 x 20
Al = 1.256 cm2.
Assim, a área total da superfície desse cilindro é:
At = 1.256 + 2 x 314
At = 1.884 cm2.
Atividades:
1) Utilizando π ≈ 3, determine o volume e a capacidade de um cilindro cuja base é um círculo de raio 5 cm e cuja altura é 10 cm.
2) Determine qual é o cilindro com o maior volume:
o cilindro 1: de raio 4 cm e altura 6 cm; ou o
cilindro 2: de raio 6 cm e altura 4 cm?
3) Determine o volume do
cilindro abaixo.
5) O raio da base e a altura de um círculo reto
medem 5 cm e 20 cm, respectivamente. Desse cilindro, calcule:
a) a área lateral;
b) a área total;
c) o volume.
6) A área lateral de um cilindro é 36π
cm2, Calcule o volume do cilindro, sabendo que sua altura mede 6 cm.
7) Um cilindro possui 10 cm de altura e 5 cm de raio da
base. Qual é a área lateral desse cilindro?
8) Se dobrássemos o raio do cilindro da questão anterior
e diminuíssemos pela metade a altura do mesmo a área lateral teria o mesmo
valor? Justifique.
9)
Um corpo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de altura, está com água até a
altura de 8 cm. Foram então colocadas em seu interior n bolas de gude, e o
nível da água atingiu a boca do vidro, sem derramamento.
Qual é o volume, em cm3, de todas as n bolas de gude juntas?
(A) 32
(B)
48
(C)
64
(D)
80
(E) 96
10) Mergulhando-se uma pedra num recipiente cilíndrico reto, o nível da água sobe 4 cm. Calcule o volume da pedra, em centímetros cúbicos, sabendo que a base do recipiente tem raio de 5 cm.
11) A carga de uma caneta esferográfica – um reservatório cilíndrico – tem 2 mm de diâmetro e 10 cm de altura. Se uma pessoa gasta mais ou menos 10 mm3 de tinta por dia, quanto tempo a carga vai durar?
12) Uma seringa tem 2 cm de
diâmetro e 10 cm de comprimento. Para enchê-la puxamos o êmbolo, que pode se
afastar até 8 cm no interior do cilindro. Quantos ml de medicamento cabem na
seringa, aproximadamente?
13) A figura abaixo representa vasos comunicantes com dois cilindros usados em experiências de Física. O cilindro menor, que tem raio 10 cm de raio, está com 10l de água. Sabendo que o cilindro maior tem 20 cm de raio, descubra quantos litros de água contém:
14) No cilindro reto desenhado abaixo, a área da superfície lateral é de 1.000 cm2 e a altura é de 1 m. Qual o volume do cilindro?
15) Quando a água se congela, seu
volume aumenta em aproximadamente 7%. Calcule o volume de água necessário para
se obter um bloco retangular de gelo com arestas de 2 dm, 5 dm e 21,4 dm.
16) Ao ser aquecido, um gás
aumenta de volume em 25%, elevando o êmbolo de um recipiente cilíndrico.
Observe a figura abaixo e descubra a altura do êmbolo após o aquecimento do
gás:
17) (ENEM-2018) Um
artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de
diâmetro e 6 cm de altura.
Ele
pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta,
empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas
possam ser fechadas.
No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas:
Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa?
(A) I (B) II (C) III (D) IV (E) V
18) Foram observados três tipos de potes, a serem armazenados um produto:
1ª opção: pote em forma de um cubo de aresta 6
cm.
2ª opção: pote em forma de um prisma
quadrangular regular de altura 8,64 cm e 5 cm de aresta da base.
3ª opção: pote em forma de um cilindro reto de altura 8 cm e raio da base 3 cm.
Nos três
casos, as tampas são metálicas e espessura mínima, portanto, não interferindo
no conteúdo do pote. Sabendo que a espessura das bordas e das bases de todos os
potes são a mesma, considerando-se o valor de
É correto afirmar:
(A) Os três potes têm o mesmo volume, portanto a capacidade de conter a mesma quantidade do produto.
(B) É possível colocar mais quantidade do produto na segunda opção.
(C) O pote de forma cilíndrica é o que poderá ter menor quantidade do produto.
(D) O pote
cúbico é o que poderá conter maior quantidade do produto.
19) Uma lata
de leite em pó, em forma de um cilindro reto, possui 8 cm de altura com 3 cm de
raio na base. Uma outra lata de leite, de mesma altura e cujo raio é o dobro da
primeira lata, possui um volume:
(A) duas vezes maior.
(B) três vezes maior.
(C) quatro vezes maior.
(D) oito vezes maior.
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será:
(A) o triplo.
(B) o dobro.
(C) igual.
(D) a metade.
(E) a terça parte.
Nenhum comentário:
Postar um comentário