Matrizes e Determinantes

 

Um conceito importante no estudo dos Sistemas Lineares é o conceito de matrizes, porque, usualmente, um sistema linear pode ser apresentado na forma de matrizes, ou ser associado a uma matriz. O que seria então uma matriz?

Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.

 

 Notação: A = (a_ij)_{m x n} com i = 1, 2, ..., m e j = 1,2, ..., n.

 

a_ij - elemento genérico da matriz A

i - índice que representa a linha do elemento

j - índice que representa a coluna do elemento

m x n - ordem da matriz. Lê-se “m por n”.

 

 Representações: A = (   ) ; A = [   ] ; A = ||   ||

 

Slide 3: A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 8x8. 

Outro exemplo de matriz é a representação de dados de uma tabela, como no exemplo:

 Segunda-feira, depois da Páscoa, Antônio, um camelôs decide queimar seu estoque de ovos e trabalhar com o estoque restante. Na barraca do Antônio, a quantidade disponível de ovos é dada pela tabela:

	Lacta	Garoto	Nestlè
30 g	5	0	12
70 g	1	13	8
100 g	5	2	3
240 g	6	5	2

 A matriz que representa a quantidade de ovos para venda será: 

 

A matriz , que chamamos de A, apresentada no exemplo anterior é do tipo 4x3, pois é disposta em 4 linhas e 3 colunas.

 

E podemos descrever a disposição de seus elementos da seguinte forma, por exemplo: a₁₁ = 5, sendo 5 o elemento da linha 1 e coluna 1, que se refere ao chocolate Lacta de 30g; outro exemplo seria a₂₂ = 13, que seria o elemento da linha 2 e coluna 2, se referindo ao chocolate Garoto de 70g, notadamente o que tem maior quantidade disponível.

 

Notadamente, também, percebemos que existe um tipo de chocolate que já não está mais disponível, apresentada na tabela ou na matriz com a quantidade 0, que está disposto na linha 1 e coluna 2, e podemos descrever como o elemento a₁₂ da matriz, que representa na tabela o chocolate Garoto de 30g.

 

Os tipos de chocolates que apresentam quantidade 2, são ao que estão em a₃₂ (linha 3, coluna 2) e a₄₃ (linha 4, coluna 3); e representam, respectivamente, Garoto de 100g e Nestlè de 240g.

O que nos interessa, no momento, é uma matriz associada a um sistema linear sobre com m equações, com m ≥ 1, e n incógnitas, com n ≥ 1 representado, de forma geral por:

 denominado sistema mxn.

 

              

E este sistema, da mesma forma geral, pode ser representado na forma matricial seguinte:

        

Denominadas: matriz C dos Coeficientes, matriz X das Variáveis e matriz B dos Termos Independentes.

 Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial 

C ∙ X = B.

De forma específica, o sistema linear 2x2:

pode ser escrito na seguinte forma matricial:

Sendo a matriz dos coeficientes,

a matriz das variáveis 

e  a matriz dos termos independentes.

 

Como o sistema é de duas equações e duas variáveis, a matriz dos coeficientes associada ao sistema será 2 x 2.

 

Bem como num sistema de m equações e n variáveis, a matriz dos coeficientes associada ao sistema será m x n.

 

Vejamos, como exemplo, o sistema 3x3: 
que poderá ser escrito na seguinte forma matricial:  

 Sendoa matriz dos coeficientes,

a matriz das variáveis

 e a matriz dos termos independentes.

 

Título 3: Sistemas Lineares e Determinante

 

Slide 1: De modo geral, a solução de sistema de equações lineares 2x2:

 ,

 utilizando o pelo método da adição, será da seguinte forma: 

Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz dos coeficientes do sistema: 

Chamamos a expressãode determinante da matriz associada aos coeficientes do sistema linear.

              

Definimos o determinante de uma matriz A 2x2 como a diferença do produto da diagonal principal da matriz com o produto da sua diagonal secundária, e representamos como det A ou |A| ou det (a_ij ). 

Vamos expandir o conhecimento, calculando o determinante da matriz 

Temos que, segundo a definição apresentada, façamos a diferença do produto da diagonal principal da matriz com o produto da sua diagonal secundária.

produto da diagonal principal da matriz: 3 x 5 = 15

produto da diagonal secundária: 1 x 2 = 2

a diferença dos dois produtos: 15 – 2 = 13

 

 De forma prática, fazemos: det A = = 3 x 5 – 1 x 2 = 15 – 2 = 13.

 

Agora, continuando a observar os valores genéricos de x₁ e x₂ no sistema de equações lineares, temos também as expressões b₁ ∙ a₂₂ – b₂ ∙ a₁₂ e b₂ ∙ a₁₁ – b₁ ∙ a₂₁, encontradas nos respectivos numeradores. 

Estas são os determinantes das matrizes; 

onde, na matriz dos coeficientes, trocam-se os coeficientes da coluna correspondente a cada variável pelos termos independentes. De tal forma que podemos descrever:

 

 

Observe que do sistema:, 

a matriz dos coeficientes do sistema é 

 

Devemos, na matriz dos coeficientes, trocar na coluna dos coeficientes da variável x, os seus valores pelos valores dos termos independentes, gerando assim, a matriz 
 

Bem como, troca-se na coluna dos coeficientes da variável y, os seus valores pelos valores dos termos independentes, gerando a matriz 

 

Seguindo o que foi apresentado de forma geral, façamos então o cálculo dos determinantes das matrizes da troca dos termos independentes nas colunas de cada variável do sistema, e teremos:

 

A partir destes determinantes, obteremos a solução do sistema, utilizando o que chamaremos de Regra de Cramer.

 

Já vimos que, de forma geral, um sistema 2x2 : 

tem solução, conforme as expressões:

 

Expressando esta solução em forma de determinantes, podemos escrever que:

 

A esses quocientes, chamamos de Regra de Cramer para resolução de equações lineares.

 

 

Agora de forma específica, façamos no sistema

as soluções conforme a forma apresentada anteriormente.

 

Repare que , já calculado anteriormente, é o determinante da matriz dos coeficientes. Então podemos fazer, como da forma geral, que:

Então x = –2  e y = 2, é a solução do sistema linear.

 

Vamos expressar esses resultados do seguinte modo. Para isso, utilizaremos as denominações:

A: matriz dos coeficientes

: matriz que se obtém substituindo em A os coeficientes de x₁ pelos termos independentes.

: matriz que se obtém substituindo em A os coeficientes de x₂ pelos termos independentes.

 

Então a solução do sistema pela Regra de Cramer é dada por: 

De modo prático, vamos calcular a solução pela Regra de Cramer do sistema:

a) Representemos a matriz associada ao sistema:  

b) Da matriz associada aos coeficientes do sistema, calculemos o seu determinante (det A):

det A =  2 x (–3)  – 1 x 1 =  –6 – 1 = –7

 

c) Calculemos também o determinante de uma matriz, que se obtém pela substituição, na matriz dos coeficientes, da coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes (det A_x):

 = 5 x (–3)  – 1 x 6 =  –15 – 6 = –21

 

d) Do mesmo modo, calculemos o determinante da matriz obtida substituindo-se, da matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de y pela coluna dos termos independentes (det A_y):

det A_y =  2 x 6  – 1 x 5 =  12 – 5 = 7

 

e) Os valores de x e de y, buscados, serão a razão entre os determinantes encontrados anteriormente, sendo:

Então, a solução do sistema será o par ordenado (3, –1).

Regra de Cramer e Classificação dos Sistemas Lineares

Vamos utilizar a Regra de Cramer para resolver o sistema linear 2x2: 

              de variáveis x e y.

Da matriz associada aos coeficientes do sistema:, calculemos:

Repare que os valores dos quocientes não existem, então x e y também não existem e devemos classificar o sistema como sistema impossível. 

 

A partir dos exemplos anteriores, devemos notar que:

Se det A ≠ 0 (determinante da matriz dos coeficientes não nulo), o sistema é Sistema Possível e Determinado: há uma única solução;

se det A = 0 e existem det A_x  ≠ 0 e det A_y  ≠ 0, o sistema é Sistema Impossível: não há solução.

Ocorre também o seguinte caso: se det A = det A_x = det A_y = 0, o sistema é Sistema Possível e Indeterminado: há infinitas soluções.

 Como pode se verificar no sistema, onde temos:

 

Atividades:

1) Utilizando a regra de Cramer, resolver os sistemas:

2) Calcule o valor de x e y para 

 3) Considere o sistema 

Determine os valores de x e y.

 

4) Calcule o valor de x:

= x – 2

 

5) Resolver o sistema: 

6) Calcule o valor de x: 

 

7) Verifique se o sistema tem solução:  
 

8) Descreva o sistema associado à matriz seguinte:

9) Utilizando Regra de Cramer, calcular os valores de x e y em 

10) Calcule o valor de x + y, onde x e y satisfazem o sistema:  

11) Dadas as matrizes A =  e B =  , calcule:

 

           a) det A + det B                        b) det (A + B)

 

12) Calcule o valor de x no determinante abaixo:

 

13) Determine o valor de x em:

14) Considere A =, calcule det 2A.

 

15) A solução do sistema pode ser escrita na forma da matriz:

16) Determine os valores  x e y no sistema 

 

17) Se quisermos determinar dois números tais que a diferença entres seus dobros seja igual a 4 e a soma de seus triplos seja igual a 9, obteremos com esse problema o sistema de equações 

Ao querermos resolvê-lo obteremos alguma solução?

18) No  seguinte sistema 3x3: o valor de x é:          

                (A) 3                (B) 1                   (C) 0                   (D) – 2

 

19) (UERJ/2017) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, por apenas 2 pessoas, num total de 38 fregueses. Qual o número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas?

 

20) Um caixa eletrônico trabalha apenas com notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. Aurora retirou 12 notas, num valor total de R$ 800,00. Quantas notas de cada espécie ele retirou? 

 

21) No início de uma festa, tinham 200 jovens. Depois o número de rapazes dobrou e o de moças aumentou 40. Com isso o número de rapazes ficou o mesmo que o de moças. Quantos rapazes e quantas moças havia no início da festa?

 

22) Para uma festa, foram encomendados 200 salgados e 239 doces. Assim, calculou-se que cada adulto comeria 5 salgados e 3 doces, enquanto cada criança comeria 1 salgado e 4 doces. Quantas pessoas foram à festa, supondo que os cálculos com a comida tenham sido exatos?

1) As moedas de um determinado país são de três tipos:

                  De 3g que vale $ 10;

                  De 5g que vale $ 20;

                  De 9g que vale $ 50.

Uma pessoa tem cem moedas, num total de 600g, somando $ 2800. Determine o sistema gerado por esse problema.

 

23) Numa loja um par de tênis, duas bermudas e três camisetas custam juntos R$ 500,00. Dois pares de tênis, uma bermuda e duas camisetas custam juntos R$450,00. Um par de tênis e uma bermuda custam juntas R$210,00. Quanto custa cada item nessa loja?

 

24) Um negociante trabalha com as mercadorias A;B e C. Se vender cada unidade de A por R$2,00; cada unidade de B por R$3,00 e cada uma de C por R$4,00, obtém uma receita de R$50,00. Mas, se vender cada unidade respectivamente por R$2,00, R$6,00 e R$3,00 a receita será de R$60,00. Determine o sistema gerado por esse problema.

 

25) Um comerciante mandou seu empregado pesar três sacos de farinha. O rapaz voltou exausto, e disse:

- O primeiro e o segundo sacos, juntos, têm 110 quilogramas. O primeiro e o terceiro, juntos, têm 120 quilogramas. E o segundo e o terceiro, juntos, têm 112 quilogramas. Quantos quilogramas tinha cada saco?

 

26) Numa loja, os artigos X e Y, juntos custam juntos R$55,00. Os artigos X e Z, juntos custam R$50,00. E, juntos, os artigos Y e Z custam R$45,00. A soma dos preços dos artigos X, Y e Z é

           (A) R$ 85,00        (B) R$ 80,00       (C) R$ 75,00      (D) R$ 70,00

 

28) Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$70,00. Dois artigos A mais um C custam R$105,00 e a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C?

 

29) Uma loja ofereceu aos seus clientes a possibilidade de comprarem lençóis, fronha e colchas, agrupados nos seguintes jogos: 

I. 2 lençóis e 2 fronhas; 
II. 2 lençóis e 2 colchas; 
III. 1 lençol, 1 fronha e 1 colcha. 

Considerando que o preço de cada peça é o mesmo em qualquer um dos jogos vendidos por R$ 130,00, R$256,00 e R$143,00, respectivamente, calcule, em reais, o preço unitário da colcha.

30) Verifique se o sistema tem solução: 

 31) Calcular os valores de s e t no sistema:

Aprofunde-se: 

A Regra de Cramer é válida também para sistemas lineares 3x3, 4x4, ..., cujo determinante da matriz dos coeficientes não seja nulo.

Em particular, um sistema linear 3x3 com matriz de coeficientes A e variáveis x, y, z, terá solução única (x, y, z)  se, e somente se, det A ≠ 0.

Nesse caso,   onde e A_x, A_y, A_z é a matriz obtida de A trocando-se a coluna de x, y e z, respectivamente, pela coluna dos termos independentes do sistema.

 

De forma geral, temos: Um sistema linear nxn com matriz  de coeficientes é possível e terá solução única ( x₁, x₂, ...,  x_n)   se, e somente se, det A ≠ 0. Nesse caso, 1 ≤ i ≤ n, onde D = det A e D_i é o determinante da matriz obtida de A trocando-se a coluna i pela coluna dos termos independentes do sistema.

 

 Discussão de um sistema linear

Observe o sistema: 

Nesse sistema de incógnitas x e y, o coeficiente a e o termo independente b são chamados parâmetros; seus valores não estão estabelecidos.

Discutir um sistema significa descobrir para que valores dos parâmetros este sistema é possível e determinado (SPD), possível e indeterminado(SPI) ou impossível (SI).

Representamos, na discussão de um sistema, a forma matricial do sistema. Neste caso, teremos: 

Para discutir, inicialmente, um sistema, devemos saber que, se o determinante da matriz dos coeficientes, que chamamos de det A, for det A ≠ 0, o sistema é SPD.  

Então, devemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes do sistema:

No sistema dado acima, temos det A = = 6 – a

Como det A ≠ 0, o sistema é SPD, independente do valor do parâmetro b dado.

Então para o sistema dado ser SPD, devemos ter: 6 – a ≠ 0, e o parâmetro a ≠ 6.

 

Outro fato que devemos saber, para discutir um sistema, é que se det A = 0 e existem  det A_x ≠ 0 e det A_y  ≠ 0, o sistema é SI e que, se det A = det A_x = det A_y = 0, o sistema é SPI. Sendo det A_x e det A_y o determinante da matriz da troca da coluna do termo independente pela coluna de cada variável do sistema.

Observe agora que quando a = 6, teremos det A = 0, disso o sistema poderá ser SPI ou SI.

Dependendo, agora, do determinante da troca da coluna do termo independente pela coluna da variável, ser igual (SPI) ou diferente de 0 (SI).

Vamos substituir a coluna do termo independente na coluna da variável x e chamaremos o determinante desta matriz de det A_x:

 det A_x = = 2b – 4

 

Observemos que:

 Se 2b – 4 = 0, teremos b = 2 e o sistema será possível e indeterminado.

Se 2b – 4 ≠ 0, teremos b ≠ 2 e o sistema será impossível.

 

Então, a discussão do sistema será: 

Para a ≠ 6, temos um sistema possível e determinado (para qualquer b ϵ R), admitindo uma única solução.

Para a = 6 e b = 2, temos um sistema possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções.

Para a = 6 e b ≠ 2, temos um sistema impossível, não admitindo solução.

 

Praticando Discussão de Sistema

De forma prática, vamos discutir o sistema   de variáveis x e y, e utilizemos a como parâmetro da discussão.

 a) Representamos a matriz associada ao sistema:  

 b) Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:= 4a – 16.

c) Com este determinante, já podemos verificar quando o sistema é SPD, fazendo: 2a – 2 ≠ 0.

E verificamos, resolvendo a inequação, que é SPD quando a ≠ 4.

 d) A partir, do anterior, já sabemos que se a = 4 o sistema pode ser SPI ou SI, dependendo do determinante das matrizes da troca da coluna de cada variável pelos termos independentes.

 e) Calculamos, agora, o determinante da troca da coluna da variável x pelos termos independentes:

 = 5a – 4

f) Calculamos, agora, o determinante da troca da coluna da variável y pelos termos independentes: 

 = 8 – 40 = –32  

g) Verificamos, a partir dos determinantes acima, quando o sistema poderá ser SPI, ou seja, quando eles poderão ser iguais a 0. Neste caso, já vemos que um dos determinantes é igual a -32, impossibilitando assim do sistema ser SPI.

h) Verificamos, também a partir dos determinantes acima, quando o sistema poderá ser SI, ou seja, quando eles poderão ser diferentes de 0. Como, já notado, um dos determinantes já é um número diferente de zero, sendo que neste caso, é que o sistema é SI.                                  

 i) Concluímos a discussão da seguinte forma:

 Para a ≠ 4, temos um SPD, admitindo uma única solução.

 Para a = 4, temos um SI, não admitindo solução.

 Neste sistema, para nenhum valor de a, o sistema será SPI.

 

 Atividade:

Utilizando a Regra de Cramer, resolver os sistemas 3x3:

Objetivo do estudo: Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, incluindo ou não tecnologias digitais. (EM13MAT301)