Gráficos de Sistemas Lineares

É possível, graficamente, achar a solução de um sistema linear 2x2, representando num plano cartesiano as equações que a ele compõem.

Nesse referencial cartesiano, as equações do tipo ax + by = c, com a e b não simultaneamente nulos, representam uma reta. Assim, em termos gráficos, resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas significa encontrar os pontos comuns às retas que representam essas equações.

O conjunto de pares ordenados de números reais é designado por (x, y) .

Geometricamente, sabemos que podemos representar um par ordenado no que chamamos de plano cartesiano.

 Vejamos?

Seja o sistema com 2 equações e 2 variáveis:                 

                                           

Fazendo os gráficos, representados por cada equação, temos:

  

Observe que o ponto de interseção das duas retas é o ponto (3, 2), ou seja, x = 3 e y = 2, exatamente os valores que se obtém como solução do sistema.

Vimos que o sistema apresentado anteriormente, teve solução e no gráfico a solução é exatamente onde as retas de cada equação se interceptam. Porém nem sempre é assim. Façamos agora o gráfico do sistema:

   

Temos o gráfico:

 

Construindo os gráficos das duas equações, obtemos duas retas paralelas. Se não há ponto de interseção, o sistema não tem solução e ele é classificado como impossível.

 

Diferentemente, o primeiro sistema os gráficos se interceptaram e tiveram uma solução, assim ele é classificado como sistema possível e determinado.

Já o segundo sistema apresentado, não se interceptou em nenhum ponto, formando retas paralelas e portanto não gerando solução e se tornando impossível.

 

Além dessas duas possibilidades de classificação de sistemas, podemos ter uma terceira classe de sistemas que são os possíveis e indeterminados.

Agora façamos os gráficos do sistema:                    

 

As retas são coincidentes e indicam que existem infinitas soluções. Este é um sistema possível e indeterminado.

Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações, tem-se o seguinte quadro:

 

Retas	Classificação do Sistema	Soluções
Concorrentes	Possível e Determinado	o sistema admite uma única solução
Coincidentes	Possível e Indeterminado	o sistema admite infinitas soluções
Paralela	Impossível	o sistema não admite solução

 

 Atividades:

1) A partir dos gráficos, indique o número de soluções dos sistemas lineares abaixo:

 

2) Observe o gráfico a seguir:

Esse gráfico é a solução (representação geométrica) do sistema:

      

 

 

3) O gráfico abaixo, representa qual sistema?

Indique a solução do sistema: __________.

  

4) Indique o gráfico que melhor representa o sistema a seguir:

       

      

5) Observe este gráfico, em que estão representadas duas retas:

Para que esse gráfico seja a representação geométrica do sistema , os valores dos termos independentes devem ser: 

        (A) a = –1 e b = 8.

        (B) a = 2 e b = 3.

        (C) a = 3 e b = 2.

        (D) a = 8 e b = –1.

 

6) Identifique o gráfico que representa cada sistema e indique a solução:

(    ) Solução: _____                    (     ) Solução: _____ 

7) Verifique se (3, –1) é solução do sistema  

 

8) Na figura, abaixo, estão representados um sistema de equações e os gráficos de duas retas.

Os valores de P e Q para que o gráfico corresponda à solução do sistema são:

        (A) 12 e 2.     

        (B) – 9 e 6.     

        (C) – 36 e 6.     

        (D) – 6 e 4.

 

9) Considere a representação geométrica abaixo. 

Qual sistema de equações lineares com duas incógnitas está relacionado a essa representação geométrica?

 

10) (ENEM-2016) Na figura estão representadas três retas no plano cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, e A, B e C os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x. 

Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três equações e duas incógnitas que:

        (A) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se intersectam.

        (B) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos A, B e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das abscissas.

        (C) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em mais de um ponto.

        (D) não possui solução real, pois não há ponto que pertença simultaneamente às três retas.

        (E) possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em que se intersectam.

Aprofunde-se: