Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

 

Já repararam como algumas coisas na natureza se reproduzem? Algumas de forma mais lenta, outras, mais rápidas, e algumas de forma sequencial, seguindo uma ordem ou regra de estabelecimento. Quando tratamos do assunto progressões estamos abordando algo que tanto pode crescer quanto diminuir dentro de uma sequência.

 Existem diversas sequências na natureza, a ordem das cores do arco-íris, por exemplo.

Como é definido sequência?

É todo conjunto cujos elementos obedecem a uma determinada regra. Podemos citar diversos exemplos, observe:

a) {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, Maio, ... } – Sequência dos meses do ano.

b) {1, 3, 5, 7, 9,...} – O conjunto ordenado dos números ímpares.

c) {0, 2, 4 , 6, 8, 10,...} – O conjunto ordenado dos números pares. 

Note que um conjunto é representado entre chaves e os elementos são separados por vírgulas. Numa sequência é possível que os termos separados por vírgula sejam se representados entre parênteses, como a sequência de números primos abaixo:

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...).

 

A palavra sequência ou sucessão sugere a ideia de termos sucessivos: um primeiro termo seguido de um segundo termo, de um terceiro, de um quarto, e assim por diante. 

De forma geral, podemos definir os termos de uma sequência da seguinte forma: (a₁ , a₂ , ... , a_n).

a₁  é o primeiro termo da sequência, a₂ é o segundo termo, e assim sucessivamente!

 

 

As sequências podem ter ou não uma lei de formação, podem ser finitas ou infinitas.

 

As sequências dos números pares e dos números ímpares possuem uma lei de formação, porém a sequência dos números primos não possui uma lei que a define ou a forme.

 

O estudo de progressões é exatamente uma maneira de se achar uma lei de formação para diversas sequências numéricas que aparecem em fenômenos do nosso cotidiano. 

Vamos verificar como encontramos uma lei de formação de uma sequência.

Inicialmente, vamos encontrar os cinco primeiros termos da sequência cuja lei de formação é a_n = n², com n natural não nulo.

Resolução:

Vamos utilizar os 5 primeiros números naturais diferentes de zero: 1, 2, 3, 4, 5 e substituir n por esses números.

 

Fique atento aos cálculos!

 

Para identificar o 1º termo, vamos considerar n = 1. Então, teremos:

a_n = n²

a₁ = 1²

a₁ = 1

 

Aplicando o mesmo procedimento para os demais valores, encontraremos o resultado das questões:

a₂ = 2² = 2 x 2 = 4

a₃ = 3² = 3 x 3 = 9

a₄ = 4² = 4 x 4 = 16

a₅ = 5² = 5 x 5 = 25 

Assim a sequência é a_n = (1, 4, 9, 16, 25). 

Agora, vamos achar o quinto e o décimo termos de um sequência, cujo termo geral é a_n  = 2n + 3, com n natural não nulo.

Resolução:

Para obter o quinto termo, isto é, a₅, basta encontrar o valor da expressão dada para n = 5. 

Logo a₅ = 2 x 5 + 3 = 10 + 3 = 13.

Do mesmo modo, encontramos o décimo termo substituindo n por 10. Assim, a₁₀ = 2 x 10 + 3 = 23.

 

Quando o termo geral expressa uma relação entre dois termos da sequência, dizemos que a sequência está sendo apresentada por uma lei de recorrência.

Nesse caso, para obter um termo qualquer da sequência é preciso recorrer a outros termos. 

Por exemplo, considere a sequência onde a₁ = 7 e a_n = a_n–1 + 10, com n > 2. 

Vamos achar dessa sequência o quinto termo.

Resolução:

A sequência está apresentada por uma lei de recorrência. Assim, para obter o quinto termo é preciso conhecer os termos anteriores. Assim, para obter o quinto termo é preciso conhecer os termos anteriores.

a₂ = a₁ + 10 ou a₂  = 7 + 10 = 17

a₃ = a₂ + 10 ou a₃  = 17 + 10 = 27

a₄ = a₃ + 10 ou a₄  = 27 + 10 = 37

Finalmente, a₅ = a₄ + 10 ou a₅ = 37 + 10 = 47.

 

As sequências representam um dos temas mais antigos da investigação matemática. As sequências que você vai estudar a seguir – progressão aritmética e progressão geométrica – aparecem registradas num papiro egípcio de 1600 a. C., em meio a uma coletânea de 85 problemas.

Atividades:

1) Determine os quatro primeiros termos da sequência cuja lei de formação é dada por a_n = n + 2, com n natural não nulo.

 

2) Escreva os cinco primeiros termos da sequência cuja lei de formação é definida por a_n = 3n + 1, com n natural não nulo.

 

3) Determine os quatro primeiros termos da sequência finita cujos termos obedecem à lei de formação a_n = 2ⁿ, sendo n = {1, 2, 3, 4}.

 

4) Escreva os oito primeiros termos da sequência, sendo o termo geral expresso por a_n = 2n – 1, com n natural não nulo.

 

5) Considerando a_n = 3n + n², com n  natural não nulo. Determine o décimo termo da sequência.

 

 

 O que é uma Progressão Aritmética? 

Num programa de condicionamento físico, uma pessoa deve correr 200 m no primeiro dia, 250 m no segundo dia, 300 m no terceiro dia e assim por diante, até atingir seu limite.

Que sequência pode ser estabelecida com as distâncias a serem percorridas nesse programa? 

Observe que há um acréscimo diário de 50 m nas distâncias programadas. Assim, podemos estabelecer a seguinte sequência: 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, ...

Essa sequência é chamada sequência aritmética ou progressão aritmética (PA). 

Numa progressão aritmética (PA), a partir do segundo, cada termo é igual ao anterior, acrescido de uma mesma constante.

Na sequência dos números pares (2, 4, 6, 8, ...) e dos números ímpares (1, 3, 5, 7, ...) é sempre acrescido ou somado ao anterior 2 unidades. Esse número fixo que é acrescido ao termo anterior da sequência é chamado de razão e é designado, de modo geral, pela letra r.

De modo geral, a sequência (a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n) é uma progressão aritmética quando:

 

 

Por consequência é possível notar que: 

 

Daí, a definição que uma progressão aritmética (PA) é um sequência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão da progressão e representada pela letra r.

A sequência da quantidade de palitos é um exemplo de PA

 

As sequências abaixo são exemplos de progressões aritméticas (PA):

a) (2, 5, 8, 11, ... ) → A cada termos é somado 3, logo r = 3.

b) (8, 6, 4, 2, 0, –2, ... ) → A cada termo é somado –2, logo r = –2.

c) (4, 4, 4, 4, ... ) → A cada termo é somado 0, logo r = 0

              

Desse modo, dizemos que:

a) Se a razão de uma PA for positiva a PA é crescente.

b) Se a razão de uma PA for negativa a PA é decrescente.

c) Se a razão de uma PA for nula a PA é constante.

 

Agora, suponha que uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em janeiro e determinou que aumentaria mensalmente a produção em 30 veículos em relação à produção do mês anterior. Se que quisermos saber quantos veículos ela deverá produzir no mês de junho ou no mês de dezembro desse mesmo ano, não precisamos fazer mensalmente o quanto irá produzir, a cada um dos meses. Para isso, utilizamos o que chamamos de termo geral de uma progressão aritmética, vejamos como definimos esse termo geral de uma PA.

 

Já vimos que, numa PA (a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n) de razão r, temos: 

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₂ + r = a₁ + r + r = a₁ + 2r

a₄ = a₃ + r =  a₁ + 2r + r = a₁ + 3r

a₅ = a₁ + 4r

a₆ = a₁ + 5r

                                         (...)

a_n = a₁ + (n – 1)∙r

 

A partir desses casos particulares, podemos induzir que o termo de ordem n é igual ao primeiro termo adicionado (n – 1) vezes a razão r. Esse é o termo geral de uma PA, que é dado por: 

 

No exemplo da fábrica de automóveis, se a produção aumenta a cada mês 30 veículos em relação ao mês anterior, então a razão dessa progressão aritmética é 30. A produção de janeiro é o primeiro termo (a₁), a produção de junho será o sexto termo (a₆) e a produção de dezembro será o décimo segundo termo (a₁₂) da PA. 

A produção de janeiro foi de 400 veículos, a produção de julho será de:

a₆ = 400 + 5 x 30 = 400 + 150 = 550 veículos;

e dezembro a produção será de:

a₁₂ = 400 + 11 x 30 = 400 + 330 = 730 veículos. 

 

Análise gráfica de produção de veículos, com valores próximos a uma PA decrescente.

Agora, tomemos como exemplo a sequência: (1, 3, 5, 7, ...). 

Podemos observar que a diferença entre os termos, a partir do segundo, e o termo anterior é 

3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2, 

logo é uma PA de razão 3.

  

Outros exemplos: 

1) Na sequência (14, 3, –8 , ...), qual o décimo termo? 

Primeiramente, vejamos se trata-se de uma PA, fazendo a diferença entre os termos:

3 – 14 = –11

–8 – 3 = –11.

Logo, é uma PA de razão –11, e é uma PA decrescente.

Utilizando o termo geral de uma PA, o décimo termo (a₁₀) será:

a₁₀ = 14 + 9 x (–11) = 14 – 99 = –85.

 

2) Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 60. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?

Utilizando o termo geral de uma PA, temos:

a₅ = a₁ + 4r

a₂₀ = a₁ + 19r

Na primeira equação, fazemos a₁ = a₅ – 4r e substituímos a₁ na segunda equação e obteremos:

a₂₀ = a₅ – 4r + 19r

a₂₀ =  a₅ + 15r.

Note que, ao passar do quinto termo para o vigésimo, avançamos 15 termos, por isso que basta utilizar a diferença entre dois termos quaisquer para gerar um termo de interpolação numa PA.

Como já temos o valor dos termos, substituirmos no termo de interpolação e acharemos o valor da razão r:

a₂₀ =  a₅ + 15r

60 = 30 + 15r

15r = 30

r = 2

O oitavo termo será:

a₈ = a₅ + 3r

a₈ = 30 + 3 x 2

a₈ = 36.

 

3) Numa PA, o vigésimo termo é 46 e o quadragésimo termo é 106, qual o quarto termo dessa PA?

Utilizamos o termo de geral de interpolação de uma PA, do quadragésimo para o vigésimo avançamos 20 termos, logo:

a₄₀ = a₂₀ + 20r

Substituindo os valores dados, obteremos a razão:

106 = 46 + 20r

20r = 60

r = 3

O quarto termo poderá ser encontrado na equação:

a₂₀ = a₄ + 16r

46 = a₄ + 16 x 3

46 = a₄ + 48

a₄ = 46 – 48

a₄ = –2.

 

4) Qual é a razão da PA que se obtém inserindo 10 termos entre os números 3 e 25?

Temos a₁ = 3 e a₁₂ = 25.

Como a₁₂ = a₁ + 11r, temos:

25 = 3 + 11r

11r = 22

r = 2

  

5) Esther leva todos os dias da semana leva dinheiro para a merenda na escola. Na segunda-feira ela leva sempre R$ 2,50. Sabendo que a cada dia ela leva R$ 1,50 que o dia anterior, quanto ela levará na sexta-feira?

Temos uma PA, onde a₁ = 2,50 e r = 1,50, sexta-feira corresponderá a a₅ da PA, então:

a₅ = 2,50 + 4 x 1,50 = 2,50 + 6 = 8,50.

 

Logo, na sexta-feira ela leva R$ 8,50 para a escola. 

 

 

Atividades:

1) Em uma PA, cujo 1º termo é 5 e razão 2, qual será seu décimo termo?

 

2) Uma PA de 7 termos tem o primeiro termo igual a 2 e a razão igual a 3, qual é o 7º termo dessa PA ?

 

3) Qual o quarto termo de uma PA, onde o primeiro termo é 10 e o sétimo termo é 10.

 

4) Calcule a razão de uma PA sabendo que o quarto termo e o nono são, respectivamente, 8 e 113.

 

5) Numa PA, a₁₁ = 37 e a₂₁ = 77. Qual o primeiro termo dessa PA?

 

6) Qual o quinto termo de uma PA, sabendo que o décimo termo é 45 e o trigésimo é 165?

 

7) Qual a razão da PA que se obtém inserindo seis termos entre 10 e 52.

 

8) Determine o número de termos da PA (1, 4, 7, ..., 298).

 

9) Escrevendo a sequência dos múltiplo de 3, verificamos que é uma PA ou não? Se for PA, qual a razão?

 

10) Quantos múltiplos de 3 existem entre 100 e 400 ?

 

11) Qual o centésimo número natural par não negativo?

 

12) Quantos múltiplos de 8 existem entre 100 e 500?

 

13) Quantos múltiplos de 7 existem entre 10 e 100?

 

14) Teresa está fazendo programa de condicionamento físico para participar da Meia Maratona do Rio de Janeiro 2013, cujo percurso é de 21 km. Na semana que antecede a competição ela resolveu intensificar o treinamento, correndo 3 km no domingo; 6 km na segunda; 9 km na terça e assim por diante. Quantos quilômetros ele percorrerá no sábado, dentro desta proposta de treinamento?

  

15) Em 2014, uma indústria de refrigerantes produziu cinco mil refrigerantes do sabor favorito do público. A partir daí, ela vem aumentando sua produção, ano a ano, em quatrocentas unidades. Mantido esse ritmo de crescimento, qual deverá ser a produção dessa indústria em 2020?

 

16) Durante os treinos para uma maratona um atleta decidiu a cada dia aumentar em 1.400 m o circuito a ser percorrido. Sabendo que no segundo dia ele completou um circuito de 2 km, quantos quilômetros ele terá percorrido no oitavo dia?

 

17) Num rali, os pilotos devem a cada etapa percorrer 20 km a mais que a etapa anterior. Sabendo que no segundo dia percorreram 120 km, quantos quilômetros percorreram na décima etapa?

 

18) Marcelo criou uma conta em uma rede social. Nesse mesmo dia, três pessoas começaram a segui-lo. Apos 1 dia, ele já tinha 20 seguidores e após 2 dias, já eram 37 seguidores. Marcelo percebeu que, a cada novo dia, ele ganhava 17 seguidores. Considerando que o crescimento dos seguidores permaneça constante, após quantos dias ele ultrapassará 1.000 seguidores?

 

19) A ANATEL determina que as emissoras de rádio FM utilizem as frequências de 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com frequências vizinhas.

 a) Escreva o termo que fornece a frequência da enésima rádio.

b) A 86ª frequência é reservada a uma rádio comunitária. Determine a frequência dessa rádio.

c) Determine quantas emissoras FM podem funcionar em uma mesma região.

20) Uma montagem será feita com palitos, seguindo o padrão da figura, que mostra 7 triângulos.

 

Para que a montagem tenha 35 triângulos, de acordo com o padrão apresentado, o número mínimo de palitos necessários será:

(A)    71.

(B)    72.

(C)    73.

(D)   74.

              (E) 75.

 

 

O que é uma Progressão Geométrica?

 

A moeda de um país é o bitolino. Nesse país, ocorre um fato estranho: todo ano a inflação é de exatamente 100%, o que o ocorre é que um produto que num ano tem um preço, no próximo ano será o dobro do ano anterior. Se hoje uma bala custa 1 bitolino, qual deverá ser o preço dessa bala daqui a 10 anos?

 

Vamos analisar o que acontece com o preço da bala no país dos bitolinos:

 

1º ano: a bala custa 1 bitolino

2º ano: a bala custa 2 bitolinos

3º ano: a bala custa 4 bitolinos

4º ano: a bala custa 8 bitolinos

5º ano: a bala custa 16 bitolinos

6º ano: a bala custa 32 bitolinos

7º ano: a bala custa 64 bitolinos

8º ano: a bala custa 128 bitolinos

9º ano: a bala custa 256 bitolinos

10º ano: a bala custa 1.024 bitolinos

 

A sequência (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.204, ... ) é chamada de sequência geométrica ou progressão geométrica (PG).

 

Numa progressão geométrica (PG), a partir do segundo, cada termo é igual ao anterior, multiplicado por uma mesma constante.

 

Cada número posterior foi multiplicado o anterior por 3.

Na sequência (5, 25, 125, 625, ...) é sempre multiplicado ao termo anterior 5. Esse número fixo que é multiplicado ao termo anterior da sequência é chamado de razão e é designado, de modo geral, pela letra q.

 

PG de razão 4.

 

De modo geral, a sequência (a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n) é uma progressão geométrica quando:

Por consequência é possível notar que:

  

Daí, a definição que uma progressão geométrica (PG) é um sequência na qual é constante o quociente da divisão de cada termo pelo termo anterior. Esse quociente constante é chamado de razão da progressão e representado pela letra q.

 

PG de razão 2.

As sequências abaixo são exemplos de progressões geométricas (PG):

a) (3, 6, 12, 24, ... ) → A cada termos é multiplicado 2, logo q = 2.

b) (1.000, 500, 250, 125, ... ) → A cada termo é multiplicado 0,5, logo q = 0,5.

c) (5, –10, 20, –40, 80, ...)   → A cada termo é multiplicado –2, logo q = –2.

d) (4, 4, 4, 4, ... ) → A cada termo é multiplicado 1, logo q = 1

              

Desse modo, dizemos que:

a) se a razão q for maior que 1 a PG é crescente.

b) se a razão q for menor que 1 e maior que zero (0 < q <1) a PG é decrescente.

c) Se a razão for negativa a PG é alternante.

d) Se a razão for igual a 1 a PG é constante.

 

PG de razão 4/5.

   

Agora, suponha que uma empresa que está contratando funcionários oferece um salário inicial de quarenta mil reais por ano (incluindo os pagamentos mensais, o décimo terceiro salário e o adicional de férias). Além disso, a empresa informa que, a cada ano de trabalho, seus funcionários têm um aumento de salário no fator de 1,03 do valor recebido no ano anterior (desprezando-se a correção da inflação, que também é considerada no reajuste salarial).

Se que quisermos saber quanto uma pessoa contratada hoje estará recebendo no 6º ano ou no 10º ano de trabalho, não precisamos fazer anualmente o quanto irá receber, a cada ano. Para isso, utilizamos o que chamamos de termo geral de uma progressão geométrica, vejamos como definimos esse termo geral de uma PG.

 

Já vimos que, numa PG (a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n) de razão q, temos: 

a₂ = a₁ ∙ q

a₃ = a₂ ∙ q = a₁ ∙ q ∙ q = a₁ ∙ q²

a₄ = a₃ ∙ q =  a₁ ∙ q² ∙ q = a₁ ∙ q³

a₅ = a₁ ∙ q⁴

a₆ = a₁ ∙ q⁵

                                             (...) 

a_n = a₁ ∙ q^{n – 1}

 

A partir desses casos particulares, podemos induzir que o termo de ordem n é igual ao produto do primeiro termo com pela razão q elevada por (n – 1). Esse é o termo geral de uma PG, que é dado por:

 

No exemplo da contratação do funcionário da empresa, se o salário anual aumenta a cada ano o fato de 1,03 em relação ao ano anterior, então a razão dessa progressão geométrica é 1,03. O salário no primeiro ano de contratação é o primeiro termo (a₁), o salário no 6º ano o sexto termo (a₆) e o salário no 10º anos será o décimo termo (a₁₀) da PG. 

O salário anual do 1º ano foi de 40 mil reais, o salário anual no 6º ano será de:

a₆ = 40 x 1,03⁵ = 40 x  1,1592740743 ≈ 46,370 mil reais;

e o salário anual no 10º ano será de:

a₁₀ = 40 x 1,03¹⁰ = 40 x 1,34391637934412192049 ≈ 53,756 mil reais.

 

 

Utilize a calculadora científica com a função da tecla assinalada na figura, para cálculo das potências.

Agora, tomemos como exemplo a sequência: (2, 6, 18, 54, ...). 

Podemos observar que o quociente entre os termos, a partir do segundo, e o termo anterior é:

6/2 = 18/6 = 54/18 = 3, 

logo é uma PG de razão 3.

 

Outros exemplos:

1) Na sequência (512, 256, 128, 64, ...), qual o décimo termo?

 Primeiramente, vejamos se trata-se de uma PG, fazendo o quociente entre os termos:

256/512 = 1/2

128/256 = 1/2

64/128 = 1/2

Logo, é uma PG de razão 1/2, e é uma PG decrescente.

Utilizando o termo geral de uma PG, o décimo termo (a₁₀) será:

a₁₀ = 512 x (1/2)¹⁰ = 512 x 1/1.024 = 1/2.

 

2) Em uma progressão aritmética, o quarto termo vale 1 e o oitavo termo vale 81. Quanto vale o décimo termo dessa progressão? 

Utilizando o termo geral de uma PG, temos:

a₄ = a₁ ∙ q³

a₈ = a₁ ∙ q⁷

Na primeira equação, fazemos a₁ = a₄ / q³ e substituímos a₁ na segunda equação e obteremos:

a₈ = a₄ / q³ ∙ q⁷

a₈ =  a₄  ∙ q⁴.

Note que, ao passar do terceiro termo para o oitavo, avançamos 4 termos, por isso que basta utilizar a diferença entre dois termos quaisquer para gerar um termo de interpolação numa PG.

Como já temos o valor dos termos, substituirmos no termo de interpolação e acharemos o valor da razão r:

a₈ =  a₄ ∙ q⁴

81 = 1 ∙ q⁴

q⁴ = 81 = 3⁴

q = 3

O décimo termo será:

a₁₀ = a₈ ∙ q²

a₁₀ =  81 x 3²

a₁₀ = 729.

 

3) Numa PG, o terceiro termo é 20 e o nono termo é 1.280, qual o sexto termo dessa PG?

Utilizamos o termo de geral de interpolação de uma PG, do terceiro para o nono avançamos 6 termos, logo:

a₉ = a₃ ∙ q⁶

Substituindo os valores dados, obteremos a razão:

1.280 = 20 ∙ q⁶

q⁶ = 1.280 / 20

q⁶ = 64

q⁶ = 2⁶

q = 2

O sexto termo poderá ser encontrado na equação:

a₆ = a₃ ∙ q³

a₆ = 20 x 2³

a₆ = 20 x 8

a₆ = 160.

 

4) Qual é a razão da PG que se obtém inserindo 8 termos entre os números 5 e 2.560?

Temos a₁ = 5 e a₁₀ = 2.560.

Como a₁₀ = a₁ ∙ q⁹, temos:

2.560 = 5 ∙ q⁹

q⁹ = 2.560 / 5

q⁹ = 512

q⁹ = 2⁹

q = 2.

 

 

5) Esther fez depósito no valor de R$ 10,00 no mês de março. No mês de abril, depositou R$ 20,00 e a cada mês ela vai dobrando o valor do depósito. Qual é o valor do depósito do mês de dezembro do mesmo ano?

Como ela vai dobrando o valor a ser depositado a cada mês, temos uma PG, onde a₁ = 10 e q = 2, e como março é o primeiro depósito, dezembro será o décimo depósito corresponderá a a₁₀ da PG, então:

a₁₀ = 10 x 2⁹ = 10 x 512 = 5.120.

 

Logo, em dezembro ela depositará R$ 5.120,00.

 

Atividades:

1) Em uma PG, cujo 1º termo é 3 e razão 3, qual será seu décimo termo?

 

2) Determine o 5º termo de uma PG sabendo que a₁ = 3 e q = 4.

 

3) Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Qual o primeiro termo dessa PG?

 

4) Qual o quarto termo de uma PG, onde o primeiro termo é 1 e o sétimo termo é 6⁶.

 

5) Calcule a razão e o primeiro termo de uma PG sabendo que o quarto termo e o nono são, respectivamente, 4 e 4⁶.

 

6) Numa PG, a₆ = 5⁸ e a₁₀ = 5¹². Qual o primeiro termo dessa PG?

 

7) Qual o primeiro termo de uma PG, sabendo que o décimo termo é 128 e o quinto termo é 4?

 

8) Qual a razão da PG que se obtém inserindo seis termos entre 1/81 e 27.

 

9) Determine o primeiro termo de uma PG cujo 3º termo é 48 e que tem 6º termo igual a 3.072.  

 

10) Determine o número de termos da PG (1, 4, 16, ..., 4.096).

 

11) Determine o termo geral da progressão geométrica (5, −10, 20, . . .) e calcule a₁₀.

 

9) Escrevendo a sequência das potências de base 3, com expoentes inteiro, verificamos que é uma PG ou não? Se for PG, qual a razão?

 

10) Quantas potências de 3, com expoentes inteiros, existem entre 10 e 400 ?

 

11) Quantas potências de 2, com expoentes inteiros, há entre 10 e 3.000?

 

12) Uma grande metrópole da América Latina tem hoje  dez milhões de habitantes. A expectativa é que a população dobre a cada 10 anos. Nessas condições, qual será o número de habitantes daqui a 20 anos?

 

13) Em um país pobre, há cinquenta milhões de habitantes. Se a população dobra a cada seis anos, qual deve ser o número de habitantes daqui a 24 anos?

 

14) Uma bactéria de determinada espécie reproduz-se em duas a cada duas horas. Depois de 24 horas, quantas dessas bactérias podem ser obtidas a partir de uma única bactéria?

 

15) O protozoário chamado Plasmodium Vivax é um dos causadores da malária. Ele reproduz muito rápido. No espaço de um dia, cada um deles transforma em 4 iguais. Se um deles penetra no organismo de uma pessoa, quantos eles serão (aproximadamente ) 4 dias após?

 

16) Existem bactérias que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é a bactéria que causa a sífilis (chamada Treponema pallidum): cada uma delas se transforma em 10 iguais no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir, quantas elas serão 12 horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido? 

 

17) Um atleta corre, a cada dia, o dobro da distância corrida no dia anterior. Sabendo que esse atleta correu 3 km no segundo dia de treinamento, qual a distância que ele irá correr no sexto dia?

 

18) A produção de uma empresa no mês de janeiro foi de 3.000 unidades, no mês de fevereiro foi de 9.000 unidades. Seguindo uma progressão geométrica de aumento dos meses anteriores, qual será a produção do mês de março?

 

19) Uma indústria produziu 30.000 unidades de certo produto no primeiro trimestre de 2017. Supondo que a produção tenha dobrado a cada trimestre quantas unidades desse produto foram produzidas no último trimestre de 2017?

 

20) Um carro novo custa R$ 18.000,00 e, com 4 anos de uso, vale R$ 12.000,00. Suponha que o valor decresça a uma taxa anual constante, determine o valor do carro  com um ano de uso.

 

21) Considere a sequência dos anos em que se realizaram as Copas do Mundo de futebol masculino:

(1930, 1934, 1938, 1950, 1954, 1958, 1962, 1966, 1970, ..., 2014, ...) 

a) Qual é o valor numérico do 9º termo da sequência?

b) Qual é o termo cujo valor numérico é 2002?

c) Qual é o termo correspondente ao ano em que o Brasil organizou a última Copa do Mundo?

 

22) (2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

         Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre

   (A) 4,0 m e 5,0 m.     (B) 5,0 m e 6,0 m.     (C) 6,0 m e 7,0 m.

       (D) 7,0 m e 8,0 m.         (E) 8,0 m e 9,0 m.

  

23) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8 000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é

(A) R$ 512.000,00.

(B) R$ 520.000,00.

(C) R$ 528.000,00.

(D) R$ 552.000,00.

(D) R$ 584.000,00.

  

24) Uma bola elástica cai da altura de 10 metros sobre um chão duro. A bola repica no chão várias vezes, conforme a figura adiante. Em cada colisão, a bola alcança 4/5 da sua altura anterior. 

Nessas condições, qual a altura que a bola atingiu na posição P?

 

 

Somas de termos de uma PA

 

Quanto tempo você leva para achar a soma de

1 + 2 + 3 + 4 ... + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 ?

 

Por volta de 1800, um professor de uma aldeia alemã, tentando livrar-se do barulho provocado pelos seus irrequietos alunos, resolveu mantê-los bem ocupados. 

Assim, apresentou-lhes um problema fácil, porém trabalhoso. O problema consistia e, somar os cem primeiros números inteiros positivos: 1, 2, 3, ... , 99, 100. 

Em menos de três minutos, Karl Friedrich Gauss, de apenas oito anos, encontrou a solução. Em bora achasse improvável que o menino tivesse acertado, o professor resolveu conferir a resposta, que para a sua surpresa estava correta.

 

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Esse menino viria a se tornar um dos maiores matemáticos de todos os tempos. 

O fato surpreendente é que Gauss descobriu o resultado sem efetuar qualquer adição. 

Ele observou que as somas dos termos que tinham a mesma distância dos extremos eram sempre o mesmo valor, da seguinte forma:

 

Na sequência proposta, a soma total é obtida de cinquenta somas:

 (1 + 100), (2 + 99), (3 + 98), (4 + 97), ... , (50 + 51). 

Logo, a soma procurada é S = 50 x 101 = 5.050.

 

A sequência 1, 2, 3, ... , 99, 100 representa uma PA de razão 1.

 

De modo geral, a soma (S_n) dos n primeiros termos de uma PA é dada pela metade do produto entre a soma dos números extremos (a₁ + a_n) com a quantidade (n) dos primeiros termos da PA. 

Em linguagem matemática expressamos:

 

Exemplos:

1) Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 6, 10, ...) ? 

Como a₁ = 2 e r = 4, então a₂₀ = a₁ + 19r = 2 + 19 x 4 = 2 + 76 = 78.

 Logo, 

2) Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000?

Observe que o primeiro número ímpar, após o numeral 10, é o 11; e, o último número ímpar, antes de 1000, é 999. Portanto, são 990 números pares e ímpares de 11 a 1000 e, portanto, 495 números ímpares.

 Logo, 

 

3) Um viajante parte a pé para realizar o percurso entre as cidades A e B. No primeiro dia ele anda 20 km. No segundo dia em diante, ele anda 15 km a mais que o dia anterior. Quantos quilômetros ele terá caminhado ao final do décimo dia?

Trata-se de uma PA de razão r = 15 e a₁ = 20, onde no décimo dia ele percorre:

a₁₀ = 20 + 9 x 15 = 20 + 135 = 155 km.

 O total que ele terá percorrido no final do décimo dia será:

 

Atividades:

1) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (4, 6, 8, ...).

 

2) Quanto vale a soma dos 100 primeiros termos da PA (–3, 2, 7, ...) ?

 

3) Determine a soma dos doze primeiros termos de uma PA em que o primeiro termo é –10  e a razão é 5.

4)   Num certo ano, uma indústria produziu cinco mil peças de um certo equipamento. A partir daí, ela vem aumentando sua produção, ano a ano, em quatrocentas unidades. Mantido esse ritmo de crescimento, qual a produção:

a) no 10º ano de produção;

b) total nesses 10 anos.

 

5) Um terreno será vendido nas seguintes condições: uma entrada de R$ 50.000,00, mais cinquenta prestações mensais de valores decrescentes. Se a primeira prestação é R$ 5.000,00; a segunda é R$ 4.900,00; a terceira é R$ 4.800,00, e assim por diante:

a) Qual o valor da última prestação?

b) Qual o valor total pago pelo terreno?

 

6) Na compra de um carro a prazo, Rui pagou R$3.500,00 de entrada e 12 prestações que decaíam da seguinte forma: sendo a 1ª de R$660,00, a 2ª de R$ 630,00, a 3ª de R$ 600,00, e assim por diante.

a) Qual foi o valor da última prestação? E da penúltima?

b) Qual foi o valor final do carro a prazo?

 

7) Devido ao formato, uma sala de espetáculo tem 20 poltronas na primeira fileira, 24 na segunda, 28 na terceira. Se há oitocentos lugares, quantas são as fileiras de poltronas dessa sala?

 

8) Um artesão confecciona carteiras e as vende em uma feira na cidade por R$ 14,20 cada uma. Para incentivar as vendas no atacado, ele decidiu fazer uma promoção, na qual o cliente pagará de acordo com a quantidade que comprar, limitada 10 carteiras, segundo a tabela:

Número de carteiras	1	2	3	4
Valor Unitário (R$)	14,20	13,40	12,60	11,80

Observe que o valor unitário decresce em PA à medida que aumenta o número de carteiras compradas.

a) Qual o valor que decresce a medida que aumenta o número de carteiras compradas?

b) Se alguém comprar 10 carteiras, quanto será o valor total da compra?

c) Comprando com o valor não promocional, quanto uma pessoa economizaria se comprasse 8 carteiras na promoção?

 

9) (ENEM-2015) Caio é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.

A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

(A) 9

(B) 45

(C) 64

(D) 81

(E) 285

 

10) (ENEM 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea que se inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é:

(A) R$ 512.000,00.

(B) R$ 520.000,00.

(C) R$ 528.000,00.

(D) R$ 552.000,00.

(E) R$ 584.000,00.

 

11) (ENEM-2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?

(A) 40
(B) 60
(C) 100
(D) 115
(E) 120

 

12) (ENEM-2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de:

(A) 497,25.

(B) 500,85.

(C) 502,87.

(D) 558,75.

(E) 563,25.

 

 

 

Soma de termos de uma PG

 

O jogo de xadrez, um dos mais antigos do mundo, foi inventado na Índia. 

Conta a lenda que... 

Quando o rei hindu Sheram conheceu o jogo de xadrez, ficou maravilhado com a variedade de jogadas que ele permitia.

 

Ao saber que o inventor desse maravilhoso jogo era um dos seus súditos, Sessa, o rei mandou chama-lo para oferecer-lhe uma recompensa. 

O pedido de Sessa foi tão simples que irritou Sheram: um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois para a segunda casa, quatro para a terceira, oito para a quarta, e assim por diante, até completar as 64 casas.

Imediatamente Sheram mandou seus súditos calcularem o total de grãos de trigo, que ele imaginava ser suficiente para completar um saco. Quando soube o resultado ficou perplexo:

18.446.744.073.709.551.615 grãos.

Mesmo que todas plantações do planeta fossem de trigo, levaria alguns séculos para que a produção atingisse essa fabulosa cifra.

 Podemos obter essa soma, fazendo:

 S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶² + 2⁶³.

 Multiplicando os dois lados da igualdade pela razão da PG, q = 2, obteremos:

 2∙S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴.

 Como 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶² + 2⁶³ = S – 1, fazemos:

 2∙S = S – 1 + 2⁶⁴. 

Daí, teremos: 

S = 2⁶⁴ – 1. 

 

De modo geral, a soma dos n termos de uma PG (a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n) é dada por: 

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n.

 Multiplicando os dois lados da igualdade pela razão q, obteremos: 

q∙S_n = q∙a₁ + q∙a₂ + q∙a₃ + q∙a₄ + ... + q∙a_n.

 Como a₂ = q∙a₁; a₃ = q∙a₂ e assim por diante, fazemos:

 q∙S_n = a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n + q∙a_n.

E como, a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n = S_n – a₁, fazemos:

q∙S_n = S_n – a₁ + q∙a_n. 

Isolando S_n e fazendo a_n = a₁∙q^{n – 1}, obteremos: 

q∙S_n – S_n = – a₁ + q ∙ a₁ ∙ q^{n – 1}

S_n ∙ (q – 1) = a₁ ∙ (qⁿ – 1)

 

Logo, em linguagem matemática a soma dos primeiros n termos de uma PG será:

 

Exemplos: 

1) Calcule a soma dos 10 primeiros termos de uma PG da sequência (3, 9, 27, ...).

 Como a₁ = 3 e q = 3, logo:

 

 

2) Qual é a soma das potências de base 2 entre 100 e 1.000?

Observe que a primeira potência de base 2, após o numeral 100, é o 2⁷ = 128; e, a último potência de base 2, antes de 1.000, é 2⁹ = 512. Portanto, são 3 números que são potências de base 10.

 Logo, 

 

3) Esther fez depósito no valor de R$ 10,00 no mês de março. No mês de abril, depositou R$ 20,00 e a cada mês ela vai dobrando o valor do depósito. Qual é o valor total depositado até o mês de dezembro do mesmo ano?

Como ela vai dobrando o valor a ser depositado a cada mês, temos uma PG, onde a₁ = 10 e q = 2, e como março é o primeiro depósito, dezembro será o décimo depósito corresponderá a a₁₀ da PG, então:

 

Logo, de março até dezembro ela terá depositado um total de R$ 12.030,00.

 

 

 

Atividades: 

1) Obtenha a soma dos dez primeiros termos da PG (10, 20, 40, ... ).

 

2) Calcule a soma dos oito primeiros termos da PG (–1, 3, –9, 27, ... ).

 

3) Calcule a soma dos 10 primeiros termos de uma PG que possui primeiro termo a₁ = 1/3 e razão q = 3.

 

4) Em uma PG, a₈ = 256 e q = 2. Determine a soma dos nove primeiros termos.

 

5) Numa PG de razão q = 2, a soma dos 6 primeiros termos é 21. Calcule o primeiro termo dessa PG.

 

6) Qual é a soma das potências de base 3 entre 10 e 1.000?

 

7) Uma pessoa aposta na loteria durante cinco semanas, de tal modo que, em cada semana, o valor da aposta é dobro do valor da aposta da semana anterior. Se valor da aposta é R$ 60,00, qual o total apostado após as cinco semanas?

 

8) Bentinho criou um canal de Youtube™ sobre futebol. Ele fez o seu primeiro vídeo e, na 1ª semana, houve 4 visualizações, na 2ª semana, 20 visualizações e na 3ª semana, 100 visualizações. Supondo que o número de visualizações de seu primeiro vídeo continue crescendo, semana a semana, nesse mesmo ritmo, qual será o total de visualizações, após 3 meses da criação do seu canal, sabendo que cada mês possui 4 semanas.

 

9) Certo dia, 100 pessoas estavam infectadas por um certo vírus. Sabendo que a cada dia uma pessoa transmite esse vírus a três outras pessoas, ou seja, o grau de transmissibilidade desse vírus é 3. 

a) Quantas pessoas se infectarão no 5º dia após o começo dessa contagem?

b) Qual o total de pessoas infectadas no 10º dia após o começo da contagem?

 

10) (ENEM-2018) Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera.

 O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a:

(A) 300.                (B) 420.                (C) 540.                (D) 660.               (E) 1.020.

 

Soma de PG infinita (Série Geométrica)

(em construção)

Gráficos de PA e PG

(em construção)