Progressão Aritmética - PA

  

Já repararam como algumas coisas na natureza se reproduzem? Algumas de forma mais lenta, outras, mais rápidas, e algumas de forma sequencial, seguindo uma ordem ou regra de estabelecimento. Quando tratamos do assunto progressões estamos abordando algo que tanto pode crescer quanto diminuir dentro de uma sequência.

 Existem diversas sequências na natureza, a ordem das cores do arco-íris, por exemplo.

Como é definido sequência?

É todo conjunto cujos elementos obedecem a uma determinada regra. Podemos citar diversos exemplos, observe:

a) {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, Maio, ... } – Sequência dos meses do ano.

b) {1, 3, 5, 7, 9,...} – O conjunto ordenado dos números ímpares.

c) {0, 2, 4 , 6, 8, 10,...} – O conjunto ordenado dos números pares. 

Note que um conjunto é representado entre chaves e os elementos são separados por vírgulas. Numa sequência é possível que os termos separados por vírgula sejam se representados entre parênteses, como a sequência de números primos abaixo:

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...).

 

A palavra sequência ou sucessão sugere a ideia de termos sucessivos: um primeiro termo seguido de um segundo termo, de um terceiro, de um quarto, e assim por diante. 

De forma geral, podemos definir os termos de uma sequência da seguinte forma: (a₁ , a₂ , ... , a_n).

a₁  é o primeiro termo da sequência, a₂ é o segundo termo, e assim sucessivamente!

 

 

As sequências podem ter ou não uma lei de formação, podem ser finitas ou infinitas.

 

As sequências dos números pares e dos números ímpares possuem uma lei de formação, porém a sequência dos números primos não possui uma lei que a define ou a forme.

 

O estudo de progressões é exatamente uma maneira de se achar uma lei de formação para diversas sequências numéricas que aparecem em fenômenos do nosso cotidiano. 

Vamos verificar como encontramos uma lei de formação de uma sequência.

Inicialmente, vamos encontrar os cinco primeiros termos da sequência cuja lei de formação é a_n = n², com n natural não nulo.

Resolução:

Vamos utilizar os 5 primeiros números naturais diferentes de zero: 1, 2, 3, 4, 5 e substituir n por esses números.

 

Fique atento aos cálculos!

 

Para identificar o 1º termo, vamos considerar n = 1. Então, teremos:

a_n = n²

a₁ = 1²

a₁ = 1

 

Aplicando o mesmo procedimento para os demais valores, encontraremos o resultado das questões:

a₂ = 2² = 2 x 2 = 4

a₃ = 3² = 3 x 3 = 9

a₄ = 4² = 4 x 4 = 16

a₅ = 5² = 5 x 5 = 25 

Assim a sequência é a_n = (1, 4, 9, 16, 25). 

Agora, vamos achar o quinto e o décimo termos de um sequência, cujo termo geral é a_n  = 2n + 3, com n natural não nulo.

Resolução:

Para obter o quinto termo, isto é, a₅, basta encontrar o valor da expressão dada para n = 5. 

Logo a₅ = 2 x 5 + 3 = 10 + 3 = 13.

Do mesmo modo, encontramos o décimo termo substituindo n por 10. Assim, a₁₀ = 2 x 10 + 3 = 23.

 

Quando o termo geral expressa uma relação entre dois termos da sequência, dizemos que a sequência está sendo apresentada por uma lei de recorrência.

Nesse caso, para obter um termo qualquer da sequência é preciso recorrer a outros termos. 

Por exemplo, considere a sequência onde a₁ = 7 e a_n = a_n–1 + 10, com n > 2. 

Vamos achar dessa sequência o quinto termo.

Resolução:

A sequência está apresentada por uma lei de recorrência. Assim, para obter o quinto termo é preciso conhecer os termos anteriores. Assim, para obter o quinto termo é preciso conhecer os termos anteriores.

a₂ = a₁ + 10 ou a₂  = 7 + 10 = 17

a₃ = a₂ + 10 ou a₃  = 17 + 10 = 27

a₄ = a₃ + 10 ou a₄  = 27 + 10 = 37

Finalmente, a₅ = a₄ + 10 ou a₅ = 37 + 10 = 47.

 

As sequências representam um dos temas mais antigos da investigação matemática. As sequências que você vai estudar a seguir – progressão aritmética e progressão geométrica – aparecem registradas num papiro egípcio de 1600 a. C., em meio a uma coletânea de 85 problemas.

Atividades:

1) Determine os quatro primeiros termos da sequência cuja lei de formação é dada por a_n = n + 2, com n natural não nulo.

 

2) Escreva os cinco primeiros termos da sequência cuja lei de formação é definida por a_n = 3n + 1, com n natural não nulo.

 

3) Determine os quatro primeiros termos da sequência finita cujos termos obedecem à lei de formação a_n = 2ⁿ, sendo n = {1, 2, 3, 4}.

 

4) Escreva os oito primeiros termos da sequência, sendo o termo geral expresso por a_n = 2n – 1, com n natural não nulo.

 

5) Considerando a_n = 3n + n², com n  natural não nulo. Determine o décimo termo da sequência.

 

 

 O que é uma Progressão Aritmética? 

Num programa de condicionamento físico, uma pessoa deve correr 200 m no primeiro dia, 250 m no segundo dia, 300 m no terceiro dia e assim por diante, até atingir seu limite.

Que sequência pode ser estabelecida com as distâncias a serem percorridas nesse programa? 

Observe que há um acréscimo diário de 50 m nas distâncias programadas. Assim, podemos estabelecer a seguinte sequência: 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, ...

Essa sequência é chamada sequência aritmética ou progressão aritmética (PA). 

Numa progressão aritmética (PA), a partir do segundo, cada termo é igual ao anterior, acrescido de uma mesma constante.

Na sequência dos números pares (2, 4, 6, 8, ...) e dos números ímpares (1, 3, 5, 7, ...) é sempre acrescido ou somado ao anterior 2 unidades. Esse número fixo que é acrescido ao termo anterior da sequência é chamado de razão e é designado, de modo geral, pela letra r.

De modo geral, a sequência (a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n) é uma progressão aritmética quando:

 

 

Por consequência é possível notar que: 

 

Daí, a definição que uma progressão aritmética (PA) é um sequência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão da progressão e representada pela letra r.

A sequência da quantidade de palitos é um exemplo de PA

 

As sequências abaixo são exemplos de progressões aritméticas (PA):

a) (2, 5, 8, 11, ... ) → A cada termos é somado 3, logo r = 3.

b) (8, 6, 4, 2, 0, –2, ... ) → A cada termo é somado –2, logo r = –2.

c) (4, 4, 4, 4, ... ) → A cada termo é somado 0, logo r = 0

              

Desse modo, dizemos que:

a) Se a razão de uma PA for positiva a PA é crescente.

b) Se a razão de uma PA for negativa a PA é decrescente.

c) Se a razão de uma PA for nula a PA é constante.

 

Agora, suponha que uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em janeiro e determinou que aumentaria mensalmente a produção em 30 veículos em relação à produção do mês anterior. Se que quisermos saber quantos veículos ela deverá produzir no mês de junho ou no mês de dezembro desse mesmo ano, não precisamos fazer mensalmente o quanto irá produzir, a cada um dos meses. Para isso, utilizamos o que chamamos de termo geral de uma progressão aritmética, vejamos como definimos esse termo geral de uma PA.

 

Já vimos que, numa PA (a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n) de razão r, temos: 

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₂ + r = a₁ + r + r = a₁ + 2r

a₄ = a₃ + r =  a₁ + 2r + r = a₁ + 3r

a₅ = a₁ + 4r

a₆ = a₁ + 5r

                                         (...)

a_n = a₁ + (n – 1)∙r

 

A partir desses casos particulares, podemos induzir que o termo de ordem n é igual ao primeiro termo adicionado (n – 1) vezes a razão r. Esse é o termo geral de uma PA, que é dado por: 

 

No exemplo da fábrica de automóveis, se a produção aumenta a cada mês 30 veículos em relação ao mês anterior, então a razão dessa progressão aritmética é 30. A produção de janeiro é o primeiro termo (a₁), a produção de junho será o sexto termo (a₆) e a produção de dezembro será o décimo segundo termo (a₁₂) da PA. 

A produção de janeiro foi de 400 veículos, a produção de julho será de:

a₆ = 400 + 5 x 30 = 400 + 150 = 550 veículos;

e dezembro a produção será de:

a₁₂ = 400 + 11 x 30 = 400 + 330 = 730 veículos. 

 

Análise gráfica de produção de veículos, com valores próximos a uma PA decrescente.

Agora, tomemos como exemplo a sequência: (1, 3, 5, 7, ...). 

Podemos observar que a diferença entre os termos, a partir do segundo, e o termo anterior é 

3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2, 

logo é uma PA de razão 3.

  

Outros exemplos: 

1) Na sequência (14, 3, –8 , ...), qual o décimo termo? 

Primeiramente, vejamos se trata-se de uma PA, fazendo a diferença entre os termos:

3 – 14 = –11

–8 – 3 = –11.

Logo, é uma PA de razão –11, e é uma PA decrescente.

Utilizando o termo geral de uma PA, o décimo termo (a₁₀) será:

a₁₀ = 14 + 9 x (–11) = 14 – 99 = –85.

 

2) Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 60. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?

Utilizando o termo geral de uma PA, temos:

a₅ = a₁ + 4r

a₂₀ = a₁ + 19r

Na primeira equação, fazemos a₁ = a₅ – 4r e substituímos a₁ na segunda equação e obteremos:

a₂₀ = a₅ – 4r + 19r

a₂₀ =  a₅ + 15r.

Note que, ao passar do quinto termo para o vigésimo, avançamos 15 termos, por isso que basta utilizar a diferença entre dois termos quaisquer para gerar um termo de interpolação numa PA.

Como já temos o valor dos termos, substituirmos no termo de interpolação e acharemos o valor da razão r:

a₂₀ =  a₅ + 15r

60 = 30 + 15r

15r = 30

r = 2

O oitavo termo será:

a₈ = a₅ + 3r

a₈ = 30 + 3 x 2

a₈ = 36.

 

3) Numa PA, o vigésimo termo é 46 e o quadragésimo termo é 106, qual o quarto termo dessa PA?

Utilizamos o termo de geral de interpolação de uma PA, do quadragésimo para o vigésimo avançamos 20 termos, logo:

a₄₀ = a₂₀ + 20r

Substituindo os valores dados, obteremos a razão:

106 = 46 + 20r

20r = 60

r = 3

O quarto termo poderá ser encontrado na equação:

a₂₀ = a₄ + 16r

46 = a₄ + 16 x 3

46 = a₄ + 48

a₄ = 46 – 48

a₄ = –2.

 

4) Qual é a razão da PA que se obtém inserindo 10 termos entre os números 3 e 25?

Temos a₁ = 3 e a₁₂ = 25.

Como a₁₂ = a₁ + 11r, temos:

25 = 3 + 11r

11r = 22

r = 2

  

5) Esther leva todos os dias da semana leva dinheiro para a merenda na escola. Na segunda-feira ela leva sempre R$ 2,50. Sabendo que a cada dia ela leva R$ 1,50 que o dia anterior, quanto ela levará na sexta-feira?

Temos uma PA, onde a₁ = 2,50 e r = 1,50, sexta-feira corresponderá a a₅ da PA, então:

a₅ = 2,50 + 4 x 1,50 = 2,50 + 6 = 8,50. 

Logo, na sexta-feira ela leva R$ 8,50 para a escola. 

 

 

Atividades:

1) Em uma PA, cujo 1º termo é 5 e razão 2, qual será seu décimo termo?

 

2) Uma PA de 7 termos tem o primeiro termo igual a 2 e a razão igual a 3, qual é o 7º termo dessa PA ?

 

3) Qual o quarto termo de uma PA, onde o primeiro termo é 10 e o sétimo termo é 10.

 

4) Calcule a razão de uma PA sabendo que o quarto termo e o nono são, respectivamente, 8 e 113.

 

5) Numa PA, a₁₁ = 37 e a₂₁ = 77. Qual o primeiro termo dessa PA?

 

6) Qual o quinto termo de uma PA, sabendo que o décimo termo é 45 e o trigésimo é 165?

 

7) Qual a razão da PA que se obtém inserindo seis termos entre 10 e 52.

 

8) Determine o número de termos da PA (1, 4, 7, ..., 298).

 

9) Escrevendo a sequência dos múltiplo de 3, verificamos que é uma PA ou não? Se for PA, qual a razão?

 

10) Quantos múltiplos de 3 existem entre 100 e 400 ?

 

11) Qual o centésimo número natural par não negativo?

 

12) Quantos múltiplos de 8 existem entre 100 e 500?

 

13) Quantos múltiplos de 7 existem entre 10 e 100?

 

14) Teresa está fazendo programa de condicionamento físico para participar da Meia Maratona do Rio de Janeiro 2013, cujo percurso é de 21 km. Na semana que antecede a competição ela resolveu intensificar o treinamento, correndo 3 km no domingo; 6 km na segunda; 9 km na terça e assim por diante. Quantos quilômetros ele percorrerá no sábado, dentro desta proposta de treinamento?

  

15) Em 2014, uma indústria de refrigerantes produziu cinco mil refrigerantes do sabor favorito do público. A partir daí, ela vem aumentando sua produção, ano a ano, em quatrocentas unidades. Mantido esse ritmo de crescimento, qual deverá ser a produção dessa indústria em 2020?

 

16) Durante os treinos para uma maratona um atleta decidiu a cada dia aumentar em 1.400 m o circuito a ser percorrido. Sabendo que no segundo dia ele completou um circuito de 2 km, quantos quilômetros ele terá percorrido no oitavo dia?

17) Num rali, os pilotos devem a cada etapa percorrer 20 km a mais que a etapa anterior. Sabendo que no segundo dia percorreram 120 km, quantos quilômetros percorreram na décima etapa?

18) Marcelo criou uma conta em uma rede social. Nesse mesmo dia, três pessoas começaram a segui-lo. Apos 1 dia, ele já tinha 20 seguidores e após 2 dias, já eram 37 seguidores. Marcelo percebeu que, a cada novo dia, ele ganhava 17 seguidores. Considerando que o crescimento dos seguidores permaneça constante, após quantos dias ele ultrapassará 1.000 seguidores?

 

19) A ANATEL determina que as emissoras de rádio FM utilizem as frequências de 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com frequências vizinhas.

 a) Escreva o termo que fornece a frequência da enésima rádio.

b) A 86ª frequência é reservada a uma rádio comunitária. Determine a frequência dessa rádio.

c) Determine quantas emissoras FM podem funcionar em uma mesma região.

20) Uma montagem será feita com palitos, seguindo o padrão da figura, que mostra 7 triângulos.

 

Para que a montagem tenha 35 triângulos, de acordo com o padrão apresentado, o número mínimo de palitos necessários será:

(A)    71.

(B)    72.

(C)    73.

(D)   74.

             (E) 75.

21) (ENEM-2013) O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013. 

No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número:

(A) 32.

(B) 34.

(C) 33.

(D) 35.

(E) 31.

22) Os 5 primeiros termos de uma sequência estão representados a seguir:

a) Sem fazer o desenho, determine quantos pontos haverá nos dois próximos elementos dessa sequência.

b) Explique como são marcados os pontos em cada elemento da sequência a partir do 3º.

23) Observe a sequência construída com cubos:

 

a) qual a quantidade de cubos necessária para construir o 16º elemento dessa sequência?

b) com 96 cubos qual elemento da sequência podemos construir ?

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