Soma de termos de uma PG

  

 

Soma de termos de uma PG

 

O jogo de xadrez, um dos mais antigos do mundo, foi inventado na Índia. 

Conta a lenda que... 

Quando o rei hindu Sheram conheceu o jogo de xadrez, ficou maravilhado com a variedade de jogadas que ele permitia.

 

Ao saber que o inventor desse maravilhoso jogo era um dos seus súditos, Sessa, o rei mandou chama-lo para oferecer-lhe uma recompensa. 

O pedido de Sessa foi tão simples que irritou Sheram: um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois para a segunda casa, quatro para a terceira, oito para a quarta, e assim por diante, até completar as 64 casas.

Imediatamente Sheram mandou seus súditos calcularem o total de grãos de trigo, que ele imaginava ser suficiente para completar um saco. Quando soube o resultado ficou perplexo:

18.446.744.073.709.551.615 grãos.

Mesmo que todas plantações do planeta fossem de trigo, levaria alguns séculos para que a produção atingisse essa fabulosa cifra.

 Podemos obter essa soma, fazendo:

 S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶² + 2⁶³.

 Multiplicando os dois lados da igualdade pela razão da PG, q = 2, obteremos:

 2∙S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴.

 Como 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶² + 2⁶³ = S – 1, fazemos:

 2∙S = S – 1 + 2⁶⁴. 

Daí, teremos: 

S = 2⁶⁴ – 1. 

 

De modo geral, a soma dos n termos de uma PG (a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n) é dada por: 

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n.

 Multiplicando os dois lados da igualdade pela razão q, obteremos: 

q∙S_n = q∙a₁ + q∙a₂ + q∙a₃ + q∙a₄ + ... + q∙a_n.

 Como a₂ = q∙a₁; a₃ = q∙a₂ e assim por diante, fazemos:

 q∙S_n = a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n + q∙a_n.

E como, a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n = S_n – a₁, fazemos:

q∙S_n = S_n – a₁ + q∙a_n. 

Isolando S_n e fazendo a_n = a₁∙q^{n – 1}, obteremos: 

q∙S_n – S_n = – a₁ + q ∙ a₁ ∙ q^{n – 1}

S_n ∙ (q – 1) = a₁ ∙ (qⁿ – 1)

 

Logo, em linguagem matemática a soma dos primeiros n termos de uma PG será:

 

Exemplos: 

1) Calcule a soma dos 10 primeiros termos de uma PG da sequência (3, 9, 27, ...).

 Como a₁ = 3 e q = 3, logo:

 

 

2) Qual é a soma das potências de base 2 entre 100 e 1.000?

Observe que a primeira potência de base 2, após o numeral 100, é o 2⁷ = 128; e, a último potência de base 2, antes de 1.000, é 2⁹ = 512. Portanto, são 3 números que são potências de base 10.

 Logo, 

 

3) Esther fez depósito no valor de R$ 10,00 no mês de março. No mês de abril, depositou R$ 20,00 e a cada mês ela vai dobrando o valor do depósito. Qual é o valor total depositado até o mês de dezembro do mesmo ano?

Como ela vai dobrando o valor a ser depositado a cada mês, temos uma PG, onde a₁ = 10 e q = 2, e como março é o primeiro depósito, dezembro será o décimo depósito corresponderá a a₁₀ da PG, então:

 

Logo, de março até dezembro ela terá depositado um total de R$ 12.030,00.

 

 

 

Atividades: 

1) Obtenha a soma dos dez primeiros termos da PG (10, 20, 40, ... ).

 

2) Calcule a soma dos oito primeiros termos da PG (–1, 3, –9, 27, ... ).

 

3) Calcule a soma dos 10 primeiros termos de uma PG que possui primeiro termo a₁ = 1/3 e razão q = 3.

 

4) Em uma PG, a₈ = 256 e q = 2. Determine a soma dos nove primeiros termos.

 

5) Numa PG de razão q = 2, a soma dos 6 primeiros termos é 21. Calcule o primeiro termo dessa PG.

 

6) Qual é a soma das potências de base 3 entre 10 e 1.000?

 

7) Uma pessoa aposta na loteria durante cinco semanas, de tal modo que, em cada semana, o valor da aposta é dobro do valor da aposta da semana anterior. Se valor da aposta é R$ 60,00, qual o total apostado após as cinco semanas?

 

8) Bentinho criou um canal de Youtube™ sobre futebol. Ele fez o seu primeiro vídeo e, na 1ª semana, houve 4 visualizações, na 2ª semana, 20 visualizações e na 3ª semana, 100 visualizações. Supondo que o número de visualizações de seu primeiro vídeo continue crescendo, semana a semana, nesse mesmo ritmo, qual será o total de visualizações, após 3 meses da criação do seu canal, sabendo que cada mês possui 4 semanas.

 

9) Certo dia, 100 pessoas estavam infectadas por um certo vírus. Sabendo que a cada dia uma pessoa transmite esse vírus a três outras pessoas, ou seja, o grau de transmissibilidade desse vírus é 3. 

a) Quantas pessoas se infectarão no 5º dia após o começo dessa contagem?

b) Qual o total de pessoas infectadas no 10º dia após o começo da contagem?

 

10) (ENEM-2018) Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera.

 O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a:

(A) 300.                (B) 420.                (C) 540.                (D) 660.               (E) 1.020.