Somas de termos de uma PA
Quanto tempo você leva para achar a soma de
1 + 2 + 3 + 4 ... + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 ?
Por volta de 1800, um professor de uma aldeia alemã, tentando livrar-se do barulho provocado pelos seus irrequietos alunos, resolveu mantê-los bem ocupados.
Assim, apresentou-lhes um problema fácil, porém trabalhoso. O problema consistia e, somar os cem primeiros números inteiros positivos: 1, 2, 3, ... , 99, 100.
Em menos de três minutos, Karl Friedrich Gauss, de apenas oito anos, encontrou a solução. Em bora achasse improvável que o menino tivesse acertado, o professor resolveu conferir a resposta, que para a sua surpresa estava correta.
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| Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) |
Esse menino viria a se tornar um dos maiores matemáticos de todos os tempos.
O fato surpreendente é que Gauss descobriu o resultado sem efetuar qualquer adição.
Ele observou que as somas dos termos que tinham a mesma distância dos extremos eram sempre o mesmo valor, da seguinte forma:
Na sequência proposta, a soma total é obtida de cinquenta somas:
(1 + 100), (2 + 99), (3 + 98), (4 + 97), ... , (50 + 51).
Logo, a soma procurada é S = 50 x 101 = 5.050.
A sequência 1, 2, 3, ... , 99, 100 representa uma PA de razão 1.
De modo geral, a soma (Sn) dos n primeiros termos de uma PA é dada pela metade do produto entre a soma dos números extremos (a1 + an) com a quantidade (n) dos primeiros termos da PA.
Em linguagem matemática expressamos:
Exemplos:
1) Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 6, 10, ...) ?
Como a1 = 2 e r = 4, então a20 = a1 + 19r = 2 + 19 x 4 = 2 + 76 = 78.
Logo,
2) Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000?
Observe que o primeiro número ímpar, após o numeral 10, é o 11; e, o último número ímpar, antes de 1000, é 999. Portanto, são 990 números pares e ímpares de 11 a 1000 e, portanto, 495 números ímpares.
Logo,
3) Um viajante parte a pé para realizar o percurso entre as cidades A e B. No primeiro dia ele anda 20 km. No segundo dia em diante, ele anda 15 km a mais que o dia anterior. Quantos quilômetros ele terá caminhado ao final do décimo dia?
Trata-se de uma PA de razão r = 15 e a1 = 20, onde no décimo dia ele percorre:
a10 = 20 + 9 x 15 = 20 + 135 = 155 km.
O total que ele terá percorrido no final do décimo dia será:
Atividades:
1) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (4, 6, 8, ...).
2) Quanto vale a soma dos 100 primeiros termos da PA (–3, 2, 7, ...) ?
3) Determine a soma dos doze primeiros termos de uma PA em que o primeiro termo é –10 e a razão é 5.
4) Num certo ano, uma indústria produziu cinco mil peças de um certo equipamento. A partir daí, ela vem aumentando sua produção, ano a ano, em quatrocentas unidades. Mantido esse ritmo de crescimento, qual a produção:
a) no 10º ano de produção;
b) total nesses 10 anos.
5) Um terreno será vendido nas seguintes condições: uma entrada de R$ 50.000,00, mais cinquenta prestações mensais de valores decrescentes. Se a primeira prestação é R$ 5.000,00; a segunda é R$ 4.900,00; a terceira é R$ 4.800,00, e assim por diante:
a) Qual o valor da última prestação?
b) Qual o valor total pago pelo terreno?
6) Na compra de um carro a prazo, Rui pagou R$3.500,00 de entrada e 12 prestações que decaíam da seguinte forma: sendo a 1ª de R$660,00, a 2ª de R$ 630,00, a 3ª de R$ 600,00, e assim por diante.
a) Qual foi o valor da última prestação? E da penúltima?
b) Qual foi o valor final do carro a prazo?
7) Devido ao formato, uma sala de espetáculo tem 20 poltronas na primeira fileira, 24 na segunda, 28 na terceira. Se há oitocentos lugares, quantas são as fileiras de poltronas dessa sala?
8) Um artesão confecciona carteiras e as vende em uma feira na cidade por R$ 14,20 cada uma. Para incentivar as vendas no atacado, ele decidiu fazer uma promoção, na qual o cliente pagará de acordo com a quantidade que comprar, limitada 10 carteiras, segundo a tabela:
Número de carteiras | 1 | 2 | 3 | 4 |
Valor Unitário (R$) | 14,20 | 13,40 | 12,60 | 11,80 |
a) Qual o valor que decresce a medida que aumenta o número de carteiras compradas?
b) Se alguém comprar 10 carteiras, quanto será o valor total da compra?
c) Comprando com o valor não promocional, quanto uma pessoa economizaria se comprasse 8 carteiras na promoção?
9) (ENEM-2015) Caio é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
(A) 9
(B) 45
(C) 64
(D) 81
(E) 285
10) (ENEM 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea que se inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça.
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é:
(A) R$ 512.000,00.
(B) R$ 520.000,00.
(C) R$ 528.000,00.
(D) R$ 552.000,00.
(E) R$ 584.000,00.
11) (ENEM-2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?
(A) 40
(B) 60
(C) 100
(D) 115
(E) 120
12) (ENEM-2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de:
(A) 497,25.
(B) 500,85.
(C) 502,87.
(D) 558,75.
(E) 563,25.
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