Potência e Equação Exponencial

 

Agostinho tem um antigo smartphone que possui as seguintes especificações: 

Observe que algumas informações, como capacidade de armazenamento interno e memória RAM são dadas por uma unidade padrão de medida, denominada baite (B). Uma medida é dada em megabaite (MB) e outras gigabaite em (GB). Porém ainda é possível existe o quilobaite (kB). O que isso corresponde?

Temos aí os múltiplos do baite, que correspondem:

1 kB = 1.024 B = 2¹⁰ B.

Usualmente, essas medidas são dadas na forma de potência de base 2.

 

E

1 MB = 1.024 kB = 1.024 x 1.024 B = 1.048.576 B,

que em linguagem de potência corresponde a:

1MB = 2¹⁰ kB = 2¹⁰ ∙ 2¹⁰ B =  2²⁰ B.

A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 

4 x 4 x 4 

pode ser indicado na forma 

4³.

Com 4 na base da potência e 3 como expoente da potência. 

Veja mais exemplos:

2³ = 2 x 2 x 2 = 8.

(–3)² = (–3) x (–3) = 9.

(–5)³ = (–5) x (–5) x (–5) = –125.

Potências são extremamente convenientes para representar números muito grandes ou muito pequenos, como por exemplo 2¹⁰ ou 2²⁰.

Agora, vejamos os tipos de potenciação e suas propriedades. Lembramos novamente que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

TIPOS DE POTENCIAÇÃO

A seguir explicaremos vários tipos de potenciação:

1) Potência com expoente inteiro positivo:

4¹ = 4. Com expoente 1 e base igual a um número real qualquer, o resultado é esse próprio número.

3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81.

(–2)³ = (–2) x (–2) x (–2) = –8.

2) Potência de uma fração

Seja o seguinte exemplo 

Pela definição de potência temos:

 

Seja b ≠ 0, e n número real então:

.

 

3) Potência com expoente nulo

Observe as sequências abaixo: 

64, 32, 16, 8, 4, 2, 1;

onde o número posterior é a metade do anterior. 

E

2⁶, 2⁵, 2⁴, 2³, 2², 2¹, 2⁰;

são as potências dos números da primeira sequência, que seguindo a ideia de subtraindo 1 no expoente, o número 1 corresponde a 2⁰. E isso ocorre em potências de qualquer base.

Logo, com expoente 0 e base igual a um número real diferente de zero, o resultado é 1.

De modo geral,

a⁰ = 1 para qualquer a ≠ 0.

Exemplos:

9⁰ = 1.

4) Potência com expoente negativo

Continuemos observando o comportamento das sequências do item anteriores: 

Essas sequências sugerem que as potências sejam escritas como expoentes negativos. Vejamos:

2⁶, 2⁵, 2⁴, 2³, 2², 2¹, 2⁰, 2^–1, 2^–2, 2^–3, 2^–4 , 2^–5, 2^–6

Logo, com expoente igual a um número inteiro negativo e base diferentes de zero, o resultado é o inverso elevado ao oposto desse expoente, ou seja:

.

De modo geral, temos:

Exemplos:

Treine, agora, com essas potências:

5) Potência com expoente fracionário

Podemos também aplicar as regras de potenciação, quando a potência é fracionária. Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita em forma de radical e todo radical pode ser escrito na forma de potenciação com expoente fracionário. Por exemplo:

Atividades:

1) Calcule o valor das expressões abaixo:

a) 4^–2 + 2^–4 = 

b) 5^–2 x 10² = 

c) 6^–2 x 2³ x 3² =

d) (–2)² – 2 =

2) Sabemos que 1 gigabaite (GB) corresponde a 2¹⁰ MB. Fotos de alta definição ocupa espaço de 16 MB cada uma. Admitindo-se que um HD SSD é capaz de armazenar 240 gigabaites. Qual o número de fotos, expresso em potência, é possível armazenar nesse HD?

(A) 15 x 2¹⁰ fotos.

(B) 15¹⁰ fotos.

(C) 15 mil fotos.

(D) 2 x 15¹⁰ fotos.

Equação Exponencial

O uso da potência é muito importante em medidas muito grandes como também muito pequenas e é possível através dela observar fenômenos macroscópicos e fenômenos microscópicos, como crescimento de população de uma região e até mesmo população de uma cultura de bactérias, o expoente se tornará nesse momento o que é buscado é o quão grande ou quão pequeno é a variação do crescimento, e isso quem nos diz é o expoente de uma potência. Daí, dentro de um problema, o expoente torna-se a nossa incógnita. Por isso é possível falar em equação exponencial e função exponencial. Vejamos: 

Em um laboratório, foi realizado um estudo envolvendo as populações de dois microrganismos, A e B. Constatou-se que, após t horas do início do estudo, a quantidade de indivíduos da população do organismo A podia ser estimada pela função 

a(t) = 8^2t 

e a do microrganismo B, por 

b(t) = 4^{2t + 2}.

É possível estimar após quanto tempo do início desse estudo as populações desses dois microrganismos a mesma quantidade de indivíduos determinado valor de t para qual a(t) = b(t), ou seja, obteremos uma equação:

8^2t = 4^{2t + 2}.

Equações desse tipo, que apresentam incógnitas no expoente, são denominadas equações exponenciais. E devemos aprender a resolver esse tipo de equação.

O princípio de resolução de uma equação exponencial é o seguinte:

Numa igualdade de potências, se as bases são iguais, os expoentes também serão iguais.

De modo geral: 

Se a^m = aⁿ então m = n.

Exemplo:  Se 2^x = 2⁴ então x = 4.

Agora, façamos os seguintes exemplos, calculando o valor de x indicado:

a) 3^x = 3⁵

Como nesta igualdade, temos a mesma base, seguindo o princípio de resolução:

   x = 5

b) 2^x = 2

Também nesta igualdade, temos a mesma base, seguindo o princípio de resolução:

   x = 1

c) 5^2x = 1

Numa potência quando o resultado é 1 é porque o expoente é 0, segundo as propriedades estudadas na aula anterior.

   Então o expoente 2x = 0 e daí x = 0.

d) 4^{3x – 5} = 4^{x – 1}

Como nesta igualdade, temos a mesma base, seguindo o princípio de resolução, temos que 

3x – 5 = x – 1.

 

  Então, resolvendo a equação:

3x – 5 = x – 1

3x – x = – 1 + 5

2x = 4

x = 4/2

x = 2

    Logo nessa equação x = 2.

e) 3^x = 27

Para utilizar o princípio de resolução, temos que verificar qual deve ser o expoente com a base 3 que gera resultado da potência 27. 

Para isso, multiplica a base 3 por ela mesma tantas vezes até chegar ao resultado 27. 

Fazendo isso, vemos que 3 x 3 x 3 = 27, logo multiplicamos a base 3 por ela mesma 3 vezes, então o expoente da potência é 3, pois de fato 3³ = 27.

   Logo, nessa equação  x = 3.

f) 2^{x – 1} = 32

Para utilizar o princípio de resolução, temos que verificar qual deve ser o expoente com a base 2 que gera resultado da potência 32. 

Para isso, multiplica a base 2 por ela mesma tantas vezes até chegar ao resultado 32. 

Fazendo isso, vemos que 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32, logo multiplicamos a base 2 por ela mesma 5 vezes, então o expoente da potência é 5, pois de fato 2⁵ = 32.

Substituindo, na equação inicial temos:

2^{x – 1} = 2⁵

Igualando os expoentes e resolvendo a equação, temos:

x – 1 = 5

x = 5 + 1

x = 6

  

Logo, nessa equação  x = 6.

g) 3^3x = 1/9

Numa potência quando o resultado é uma fração, é porque o expoente é negativo, segundo as propriedades estudadas na aula anterior: multiplica-se a base 3 por ela mesma tantas vezes até chegar ao resultado contido no denominador da fração. 

Fazendo isso, vemos que 3 x 3 = 9, logo multiplicamos a base por ela mesma 2 vezes, então o expoente será 2, porém negativo, por 3^—2 = 1/9.

   Logo, nessa equação x = –2.

Calcule o valor de x em cada equação!

Exemplo de Função Exponencial

Certa espécie de eucalipto utilizado na produção de papel atinge o ponto de corte ideal com 32 metros de altura. Admite-se que essa espécie de eucalipto, do plantio ao corte, tem crescimento exponencial modelado pela função:

 h(t) = 2^{t – 3},

onde h(t) corresponde à altura da planta (em metros), t ao tempo após o plantio (em anos). Qual o tempo necessário para que essa planta atinja seu ponto de corte ideal?