O conceito de conjunto é um
dos mais primitivos da Matemática assim como ponto, reta e plano.
A primeira vez utilizado foi
pelo matemático Georg Cantor (1845-1918). Matemático nascido em São Petersburgo
(Rússia), estudou em Zurich, Göttingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, Física e Matemática.
Segundo Cantor, a noção de
conjunto designa uma coleção de objetos bem definidos e discerníveis.
1) O que é
conjunto?
Tudo aquilo que dá
ideia de reunião, coleção, agrupamento, família de objetos, pessoas e coisas
que possuem características em comum. Por exemplo, o conjunto dos países da
América do Sul.
2) O que é
elemento?
Parte integrante de um
conjunto, que possui em si características comuns ao que define o tipo de conjunto
a que pertence. Por exemplo, o Brasil é um elemento do conjunto dos países da
América do Sul.
3) Como
representamos os conjuntos?
Uma forma bem usual de
representar os conjuntos é com letras maiúsculas do alfabeto latino, indicando
os elementos entre chaves e separados por vírgulas. Por exemplo, o conjunto P
dos países da América do Sul:
P = {Argentina,
Bolívia, Brasil, Chile, Colômbia, Equador, Guiana, Guiana Francesa, Paraguai,
Peru, Suriname, Uruguai, Venezuela}.
Esse tipo de
representação é denominado de representação
por extensão.
4) Que relações
existem entre os conjuntos?
Existem dois tipos de
relações fundamentais entre os conjuntos:
a) Relação de Pertinência: entre os
elementos e um determinado conjunto, quando um elemento pertence ou não ao
conjunto. O Brasil pertence ao
conjunto dos países da América do Sul, pois o Brasil é um elemento desse
conjunto. O Canadá não pertence ao
conjunto dos países da América do Sul, pois ele não é elemento desse conjunto.
b) Relação de Inclusão: entre um
determinado conjunto e outro, quando um está contido ou não em outro. Por
exemplo, o conjunto dos países da América do Sul está contido no conjunto dos países do continente americano. O
conjunto dos países da América do Sul não
está contido no conjunto dos países da Europa.
5) Como
representamos as relações nos conjuntos?
Através dos símbolos
matemáticos:
a) na relação de
pertinência: ∈ (pertence) e ∉ (não pertence).
Por exemplo:
Brasil ∈ P.
Canadá
∉ P.
b) na relação
de inclusão: ⊂ (está contido) ou ⊄ (não está contido).
Por exemplo:
Temos o conjunto
A dos países do continente americano:
A = {Antígua e
Barbuda, Argentina, Bahamas,
Barbados, Belize, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Costa
Rica, Cuba, Dominica, El Salvador, Equador,
Estados Unidos, Granada, Guatemala, Guiana,
Guiana Francesa, Haiti, Honduras,
Jamaica, México, Nicarágua, Panamá, Paraguai,
Peru, República Dominicana, Santa
Lúcia, São Cristóvão e Névis, São Vicente e Granadinas, Suriname, Trinidad e Tobago, Uruguai,
Venezuela}.
Todos os elementos do
conjunto P dos países da América do Sul também pertencem ao conjunto A dos
países do continente americano, por isso dizemos que P está contido em A e
representamos:
P ⊂ A.
6) Atividade:
Nos conjuntos abaixo, complete com ∈, ∉, ⊂ ou ⊄:
A = {1, 5, 6, 7, 8}
B = {1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8}
5 __
A A __ B
5 __
B B __ A
7 __
A
7 __ B
4 __ A
4 __ B
2 __ A
2 __ B
7) Que operações podemos fazer
entre elementos dos conjuntos?
Entre os conjuntos são
possíveis várias operações, entre elas destacam-se: União, Interseção,
Diferença e Complementar.
a) A união de dois conjuntos é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a um ou
ao outro conjunto, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de um conjunto
A mais os elementos de um conjunto B, e possui a seguinte descrição: A U B.
Por exemplo:
A = {1, 3, 5, 8}
B = {2, 4, 6, 8}
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
b) A interseção de dois conjuntos é o
conjunto dos elementos que pertencem a um e
a outro conjunto, ou seja, é o conjunto dos elementos que são ao mesmo tempo
elementos de um conjunto A e de um conjunto B, e possui a seguinte descrição: A ∩ B.
Por exemplo:
A = {1, 3, 5, 8}
B = {2, 4, 6, 8}
A ∩
B = {8}
c) A diferença entre dois conjuntos é o
conjunto formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto e não pertence
ao segundo, ou seja, é conjunto que contém elementos de um conjunto A, mas não
pertencem no conjunto B, e possui a seguinte descrição: A – B.
Por exemplo:
A = {1, 3, 5, 8}
B = {2, 4, 6, 8}
A – B = {1, 3, 5}
B – A = {2, 4, 6}
Observação importante:
Note que A U B = B U A e A ∩
B = B ∩ A, porém A – B ≠ B – A.
8) Atividade:
Dados os conjuntos:
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {3, 6, 9, 12}
Determine:
A U B
A ∩ B
A – B
B – A.
9) Atividade:
Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 4}, C= {1, 4} calcule:
A U B =
B ∩ C =
A – B =
B – C =
(A U B) ∩ C =
10) Diagrama de
Venn:
Um diagrama de Venn é
uma forma de representação de conjuntos, onde os elementos são descritos por
áreas limitadas por curvas no plano. Se o elemento estiver no interior da
curva, ele pertence ao conjunto, e se não pertencer está no exterior da área
limitada.
Elementos do conjunto
A e elementos do conjunto B.
É possível representar as operações dos conjuntos no diagrama de Venn da seguinte maneira:
De modo geral:
1) O que é Conjunto Unitário?
2) O que é Conjunto Vazio?
3) O que é Conjunto Universo?
4) O que é Subconjunto?
5) O que é Complementar de um Conjunto?
 |
| "... anjos e homens eram como uma família. Eles eram criaturas de um mesmo Senhor." (Rev. John Venn - Universidade de Cambridge - Reino Unido) |
Atividades:
1) Dados os
conjuntos:
A = {3, 4, 5, 7, 8, 9}
B = {4, 6, 8, 10}
a) Determine:
A U B = ___________________________
A ∩ B = ___________________________
A – B = _________________________
B – A = _________________________
b) Represente o diagrama de Venn correspondente aos conjuntos A e B:
2) Num colégio de 100 alunos,
80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam
dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores?
3) Dados os conjuntos:
A = {0, 2, 4, 6, 8}
B = {0, 1, 3, 5, 7, 9}
C = {0, 2, 3, 5, 7}
a) Determine:
A U B = ___________________________
A U C = ___________________________
B U C = ___________________________
A U B U C
= _____________________________
A ∩ B =
___________________________
A ∩ C =
___________________________
B ∩ C =
___________________________
A ∩ B ∩ C =
___________________________
A – B =
_________________________
A – C = _________________________
B – C
= _________________________
C – A
= _________________________
C – B
= _________________________
4) Observe o diagrama de Venn abaixo com os conjuntos A, B e C:
Determine:
a) A ∪ B
b) A ∪ C
c) B ∪ C
d) A − B
e) B − A
f) A − C
g) C − A
h) B − C
i) C – B
5) Foi feito um levantamento
nas turmas de ano inicial do Novo Ensino Médio, quais das três áreas oferecidas
pelo colégio eles poderiam optar para a conclusão do seu curso, podendo, nesse
momento, optar por mais de uma área, ou não optar por nenhuma delas. O
resultado do levantamento foi:
33 alunos optaram pela área de
Ciências Humanas;
29 alunos optaram pela área de
Matemática e Tecnologias;
13 alunos optaram por Ciências Humanas e Matemática e Tecnologias;
6 alunos optaram por Matemática e Tecnologias e Ciências da Natureza;
14 alunos optaram por Ciências Humanas e Ciências da Natureza;
e 6 alunos optaram pelas três
áreas oferecidas.
Pergunta-se:
a) Quantos alunos não optaram
por nenhuma dessas áreas oferecidas?
b) Quantos alunos optaram por Ciências Humanas e Matemática e Tecnologias e não optaram por Ciências da Natureza?
c) Quantos alunos optaram por
pelo menos uma das áreas oferecidas?
d) Quantos alunos responderam
ao levantamento?
6) (ENEM) Numa prova de
matemática de duas questões, 35 alunos acertaram somente uma questão, 31
acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40 erraram a segunda questão.
Então, o número de alunos que fizeram essa prova foi:
(A) 43.
(B) 48.
(C) 52.
(D) 56.
(E) 60.
7) (ENEM) Uma pessoa ia gastar
R$ 396,00 para comprar x caixas de um
determinado produto. Ao receber o pedido de compra, a empresa fornecedora fez
um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa. Devido a isto, a pessoa
conseguiu comprar duas caixas a mais, pagando os mesmos R$ 396,00. Quantas
caixas do produto tal pessoa comprou?
(A) 8.
(B) 9.
(C) 10.
(D) 11.
(E) 12.
8) John Venn foi um lógico e matemático inglês. Além de professor, Venn escreveu livros e desenvolveu alguns trabalhos, entre eles, a lógica matemática de George Boole, tornando-se conhecido por representar uniões e interseções entre conjuntos por meio de diagramas esquemáticos, os chamados diagramas de Venn. A partir do diagrama a seguir, elabore e escreva o enunciado de um problema relacionado a teoria de conjuntos.
9) Uma população consome três
marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os seguintes
resultados tabelados:
Determine:
a) O número de pessoas
consultadas;
b) O número de pessoas que só
consomem a marca A;
c) O número de pessoas que não
consomem as marcas A ou C;
d) O número de pessoas que
consomem ao menos duas marcas.
10) Uma das funções do sangue é transportar oxigênio e substâncias nutritivas para as células do corpo. Além disso, ele é responsável pela regulação da temperatura corporal, proteção contra infecção, recolhimento do gás carbônico e dos resíduos produzidos pelas células.
Os tipos ou grupos sanguíneos podem ser classificados em A, B, AB ou O, e a diferença entre eles é a presença da proteína antígeno: uma pessoa que possui apenas antígeno A tem tipo sanguíneo A; se for apenas o antígeno B, tipo sanguíneo B; se possuir os dois antígenos, tipo sanguíneo AB; no caso de não possui nenhum dos dois, tipo sanguíneo O.
Veja no
esquema a representação do sistema sanguíneo ABO.
a) De acordo com o esquema, em
qual tipo sanguíneo há presença de antígenos A e B?
b) E em qual não há presença de
nenhum dos dois antígenos?
c) Uma pessoa que possui o
antígeno B pode ter o tipo sanguíneo
AB ? Justifique sua resposta.
11) Num grupo de motoristas, há 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há n no grupo?
(A) 16 motoristas
(B) 32 motoristas
(C) 48 motoristas
(D) 36 motoristas
Conjuntos na Geometria
Você conhece algum objeto facilmente identificável com:
· um ponto?
· uma reta?
· um plano?
· uma semirreta?
· um segmento?
· um ângulo?
Que relações existem entre o ponto, a reta e o plano ?
Quando iniciamos o estudo de Geometria
é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o
aprendizado de Geometria Plana ou Geometria Espacial.
►Ponto
Na Matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras
maiúsculas: A, B, C, D, ... , Z). Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é
representada por letras minúsculas (a,
b, .... , r, s, t, ....., z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para
os dois sentidos.
A reta é considerada um conjunto de infinitos pontos.
• Para fazermos a relação de
ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A ∈ t (“A
pertence a t”).
F ∈ t (“F pertence a t”).
sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma
reta com duas setas, pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito, conjunto de infinitos pontos e de infinitas retas.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo
plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A ∈ r ;
C ∈ s ;
C ∈ t ;
D ∈ t ;
E ∈ s ;
B ∉ r ;
H ∉ s .
• Para fazermos uma relação entre ponto
e plano utilizaremos a relação de pertinência:
C ∈ β
;
D ∈ β
;
E ∈ β
;
F ∈ β
;
H ∈ β ;
A ∉ β ;
B ∉ β .
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
s ⊂ β ;
t ⊂ β
;
r ⊄ β .
Questionário de Reflexão – Ponto, Reta e Plano
1) É possível definir ponto? O que se
entende por ponto?
2) Onde na natureza ou no nosso
dia-a-dia encontramos noção de ponto?
3) Geometricamente como se define e se
representa um ponto?
4) Onde se verifica no estudo de
Geometria a presença do ponto?
5) O que se entende por reta?
6) Onde encontramos na natureza ou no
nosso dia-a-dia a noção de reta?
7) Geometricamente como se define e
representa uma reta?
8) A reta é infinita? Como se chamam partes
de uma reta?
9) Onde se verifica no estudo da Geometria
a presença da reta?
10) Quantas retas passam por um ponto?
11) Quantas retas passam por dois pontos?
12) O que se entende por plano?
13) Onde na natureza ou no nosso
dia-a-dia encontramos noção de plano?
14) Geometricamente como se define e se
representa um plano?
15) Onde se verifica no estudo de
Geometria a presença do plano?
Atividades:
1) Construa o que se pede:
a) Semirreta de origem A e que passa por B.
b) Segmento de reta cujos
extremos são X e Y.
c) Plano α, que contém as retas r e s e se cruzam no ponto A.
A ___ r A ___ s A ___ α
B ___ r B ___ s B ___ α
D ___ r D ___ s D ___ α
E ___ r E ___ s E ___ α
r ___ α s ___ α
3) Efetue as operações abaixo, utilizando a figura do exercício anterior:
a) r ∪
s =
b) r ∩ s =
c) r ∩ α =
d) s ∩ α =
e) α – r =
f) α – s =
g) r – s =
h) s – r =
Aprofunde-se:
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