Aplicações de Logaritmo

Seja b uma constante real tal que b > 0 e b ≠ 1. Se x > 0, então dizemos que y = log_b x se e somente se b^y = x. 

A função definida por f(x) = log_b x é denominada função logarítmica na base b.

A função logarítmica f(x) = log_b x é a inversa de g(y) = b^y, a função exponencial na mesma base b. Da mesma forma, g(y) = b^y  é a inversa de f(x) = log_b x.

Logo, as equações y = log_b x e x = b^y são equivalentes, embora a primeira equação esteja na forma logarítmica, enquanto a segunda está na forma exponencial.

Note que é importante manter a base. Assim, por exemplo, y = log₃ x é a inversa de x = 3^y, mas não de x = 5^y. 

Exemplo:

Sabendo que P = 80 ∙ (1,05)^t e utilizando log 2= 0,30 e log 1,05= 0,02.

a)      Calcule P se t = 0;

Fazendo, a substituição na função exponencial P do valor dado de x = 0, temos:

P = 80 x (1,05)⁰ = 80 x 1 = 80

Logo, quando x = 0, temos P = 80.

b)      Calcule t se P = 160.000.000. 

Agora, fazendo a substituição do valor P = 160 dado na função, temos:

160 = 80 x (1,05)^t

Resolvendo a equação exponencial, temos:

160 / 80 = (1,05)^t

2 = (1,05)^t

(1,05)^t = 2

Aplicando log aos dois lados e a propriedade de logaritmo de potência, temos:

log (1,05)^t = log 2

t ∙ log (1,05) = log 2

Substituindo os logs dados, temos:

t ∙ 0,02 = 0,30

t = 0,30 / 0,02

t = 15

Logo, quando P = 160, temos t = 15.

Aplicação de Logaritmo I

1) A partir de um certo ano, a população de uma cidade passou a crescer de acordo com a função 

P = 50.000 · (1,024)ⁿ, 

onde n representa os anos e P, o número de habitantes. Sabendo que log 1,024= 0,01, faça uma previsão de quando essa cidade atingirá 500.000 habitantes.

 

2) O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição, o número de pessoas y que ficam conhecendo o produto é dado por 

y = 3 – 3 · (0,6)^t, 

onde y é dado em milhões de pessoas. Para que valor de t teremos pelo menos 1,2 milhão de pessoas conhecendo o produto?

 

3) Numa experiência realizada em laboratório, Alice constatou que, dentro de t horas, a população P de determinada bactéria crescia segundo a função P(t)= 25 · 2^t. Nessa experiência, a população atingiu 625 bactérias em, aproximadamente: 

          (A) 4 horas e 43 minutos. 

          (B) 5 horas e 23 minutos. 

          (C) 4 horas e 38 minutos.

          (D) 5 horas e 4 minutos. 

4) Uma cultura de microrganismo que cresce 20% por hora apresentava 100.000 indivíduos no início de estudo. Daí tem-se que esse crescimento tem como modelo matemático a função 

P(t)=100.000 · (1,2)^t, 

como P o número de indivíduos em determinado período de tempo t. 

Adotando log 1,2 = 0,8 e log 3 = 0,48, calcule o tempo necessário a partir do inicio desse estudo para que a cultura atinja 300.000 indivíduos.

 

5) Ao nível do mar, a pressão atmosférica P é de 750 mmHg. Essa pressão varia com a altura h, de acordo com a fórmula   (h em metros e P em milímetros de mercúrio). Utilizando, como valor aproximado, log 3 = 0,5, a que altura acima do nível do mar a pressão é de 250 mmHg?

 

6) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por: . Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,5 atm. Considerando a aproximação log 2 = 0,3, a altitude do avião nesse instante, em quilômetros, era de:

        (A) 6.     

        (B) 8.        

        (C) 9.      

        (D) 11.       

        (E) 12.

  

Aplicação de Logaritmo II

 

Para relacionar os conceitos de acidez e alcalinidade com sua vivência, você já deve ter percebido que ao beber, separadamente, um pouco de água, de vinagre e de suco de caju sem açúcar têm-se sensações diferentes. A água não causa nenhum desconforto na degustação, o vinagre provoca azedume, enquanto o suco de caju causa uma sensação adstringente (“amargura a boca”). Isso se deve à concentração de íons H⁺ na solução. A acidez, a neutralidade ou a alcalinidade de uma solução são expressas pelo pH (potencial hidrogeniônico) da solução, definido por: pH = – log [H⁺]; em que [H⁺] é concentração de íons hidrogênio H⁺, em mol/L. Assim, o valor do pH aumenta à medida que a concentração de íons hidrogênio decresce. Quanto menor o pH, mais ácida é a solução. O valor 7 do pH indica que a solução é neutra (nem ácida, nem alcalina); um pH abaixo de 7 indica acidez; e acima de 7, alcalinidade. Por exemplo, o pH da água é 7, do vinagre é menor que 7 e do suco de caju é maior que 7.

 

1) Considere as seguintes soluções ácidas: o suco de limão, cujo pH é 2, e o suco de tomate, cujo pH é 4.

a) Qual é a concentração de íons H⁺, em mol/L, no suco de limão?

b) A concentração de íons H⁺, em mol/L, no suco de limão equivale a quantas vezes essa concentração no suco de tomate?

 

2) Podemos dizer também que o pH de uma solução é o logaritmo decimal do inverso da concentração de H₃O⁺(hidrônio). Qual é o pH de uma solução cuja concentração de H₃O⁺ é 4 x 10^–5 mol/L?

 

3) Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio era [H⁺] = 6 x 10^–8 mol/L. Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30 para log 2, e de 0,48 para log 3. Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução foi:                          

        (A) 7,22.       

        (B) 7,32.     

        (C) 7,48.          

        (D) 7,74.

4) Se a molaridade do sangue humano for dada por 4 x 10^–8 e, adotando-se log 2 = 0,30; o pH do sangue humano  será:

        (A) 4,6.    

        (B) 4,8.   

        (C) 6,8.    

        (D) 7,4.    

 

5) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: , em que E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E₀ = 7 x 10^–3 kWh.  

Qual é a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? 

 

6) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Podemos dizer que um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3?

Aplicação de Logaritmo III

3) O nível sonoro S, em decibéis (dB), de uma fonte emissora de som é dado pela função , onde I é a intensidade da onda sonora, em Watt  por metro quadrado (W/m²), e I_o = 10^-12 W/m² é a intensidade de referência padrão correspondente à menor intensidade percebida pelo ouvido humano. A máxima intensidade suportável pelo ouvido humano é de 1 W/m². Acima desse valor, a sensação auditiva é dolorosa.

Assim, o nível sonoro S de uma fonte que emite um som com a maior intensidade que o ouvido pode suportar, sem dor, é:

          (A) 80 dB        (B) 10^–11 dB         (C) 10^–12 dB        (D) 120 dB

 

4) Porém um som de 90 dB já é suficiente para causar danos ao ouvido médio, qual é a intensidade da onde sonora, em W/m², nesse nível sonoro de referência?

5) Um amplificador de som de uma apresentação musical, ligado a 5 × 10^–1   W/m² , será capaz de prejudicar a audição de um incauto fã?

6) A que intensidade I, em W/m² , corresponde o som usual de uma conversa, que costuma atingir 40 dB?

 

7) Suponha que o nível sonoro S e a intensidade I de um som estejam relacionados pela equação logarítmica 

S = 120 + 10 log₁₀ I, em que S é medido em decibéis e I, em watts por metro quadrado. Sejam I₁ a intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas e I₂ a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A razão I₁/I₂ é igual a:

          (A) 1/10           (B) 1          (C)  10          (D) 100

8) A escala de um aparelho para medir ruídos é definida da seguinte forma: R = 12 + log I, em que R é a medida do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m². No Brasil, a unidade utilizada é o decibel (1/10 do bel). Por exemplo, o ruído dos motores de um avião a jato é de 160 decibéis, enquanto o ruído do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade é de 80 decibéis, sendo este o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

    (1) A intensidade sonora de um ruído de zero decibel é de 10^–12 W/m.

    (2) A intensidade sonora dos motores de um avião a jato é o dobro da intensidade sonora do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade.

    (3) Uma intensidade sonora maior que 10^–4 W/m² produz um ruído que é nocivo ao ouvido humano.

 

Aplicação de Logaritmo IV

 

Os átomos de uma substância radioativa (como rádio e o urânio, por exemplo) tendem a se desintegrar, emitindo partículas e transformando-se noutra substância. As partículas emitidas não alteram significativamente a massa total do corpo mas, com o passar do tempo, a quantidade da substância original diminui (aumentando, consequentemente, a massa da nova substância transformada). Isto ocorre de tal modo que, em cada instante, a quantidade de matéria que se está desintegrando naquele momento é proporcional à massa da substância original que ainda resta.

Assim sendo, se chamarmos (como fazem os cientistas) de meia-vida de uma substância radioativa o tempo necessário para que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por aquela substância, constatamos que a meia vida é um número intrinsecamente associado a cada substância radioativa: o tempo necessário para reduzir à metade a radioatividade de uma tonelada de urânio é igual ao tempo que leva um grama da mesma substância para ter sua metade desintegrada.

A propósito: os vários isótopos do urânio têm meia vida da ordem de 10⁹ anos. Enquanto isso, a meia vida do rádio-224 é de 3 dias e 15 horas.

Toda substância radioativa se desintegra a uma taxa constante, isto é, seu decaimento é exponencial. Para isso utiliza-se a seguinte expressão 

Q = Q₀ · e^-rt, 

em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos e e=2,7.

 

1) Em quantos anos 200g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 5% ao ano, se reduzirão a 50g. (Utilize log 2,7 = 0,4 e log 2 = 0, 3)

 

2) Uma substância radioativa se desintegra a uma taxa de 8% ao ano. Em quantos anos 50g dessa substância se reduzirão a 5g?

 

3) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é 

S = S₀ · e^-0,25t, 

em que S₀ representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegra-se?

4) Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegra. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano.

5) Luiz ingeriu 500mg de amoxicilina às 8h. Suponha que a meia-vida dessa substância é de aproximadamente 1h.

a) Qual é a taxa r de desintegração da substância?

b) Depois de que horas, a quantidade da substância no corpo de Luiz será de 5mg?

 

6) (ENEM 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão 

M(t) = A · (2,7)^kt, 

onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para log₁₀ 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

        (A) 27.

        (B) 36.

        (C) 50.

        (D) 54.

        (E) 100.

 

7) Um fabricante de equipamentos de informática um disco rígido de 30 gigabytes. Na linguagem usual de computação, essa medida corresponde a p × 230 bytes.

 Considere a tabela de logaritmos na abaixo:

x	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
log x	0,301	0,342	0,380	0,415	0,447	0,477

Calcule o valor de p, considerando que 1 gigabyte equivale a 109 bytes.

 

8) As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas funções:

A(t) = log₄ (2 + t)⁵ e B(t) = log₂ (2t + 4)², 

nas quais a variável t representa o tempo em anos. Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:
        (A) 6      (B) 8      (C) 10     (D) 12      (E) 14

9) A lei de resfriamento de Newton afirma que a diferença de temperatura entre um corpo e o meio que o contém decresce a um taxa de variação proporcional à diferença de temperatura. Considere função 

T(t)= T_m + (T₀ – T_m) · e^-kt, 

onde T_m é a temperatura ambiente do meio, T₀  é a temperatura do objeto no instante t = 0 e k é uma constante positiva que depende do material do corpo.

Num certo dia, a temperatura ambiente era de 30 graus. A água que fervia a 100 graus em uma panela, cinco minutos depois de apagado o fogo, tinha a temperatura de 65 graus. Assim, o tempo necessário, em minutos, depois de apagado o fogo, para a água atingir a temperatura de 37 graus, foi de:

          (A) 5      (B) 10       (C) 15        (D) 20

 

10) Suponha que, em determinado local, cuja temperatura ambiente é de 30 °C, existe uma panela de água fervente no fogo. Em t=0, o fogo é desligado e 5 min depois a temperatura da água é de 65 °C. Depois de quanto tempo, a partir do desligamento do fogo, a agua atingira a temperatura de 37 °C? Considere log 2= 0,3.

        (A) 20 minutos e 40 segundos.

        (B) 16 minutos e 40 segundos.

        (C) 12 minutos e 40 segundos.

        (D) 8 minutos e 40 segundos.

 

11) Em um trecho de mata próxima à cidade, a polícia encontrou, por volta das 17 horas, um cadáver. O médico legista chegou às 17h20min e imediatamente mediu a temperatura do corpo, que era de 32,5°C. Uma hora mais tarde, ele mediu novamente a temperatura e verificou que era de 31,5°C. A temperatura ambiente (na mata) se manteve constante, a 16,5°C. O legista considera que a temperatura normal de uma pessoa vive é 36,5°C. De acordo com as temperaturas coletadas, e usando a lei do resfriamento de Newton, o horário da morte pode ser estimada por volta de:  (Dados: log 2 = 0,3; log 3 = 0,47)

        (A) 13h40min. 

        (B) 14h.   

        (C) 14h30min. 

        (D) 15h. 

        (E) 14h50min.

 

12) Um forno elétrico estava em pleno funcionamento quando ocorreu uma falha de energia elétrica, que durou algumas horas. A partir do instante em que ocorreu a falha, a temperatura no interior do forno pôde ser expressa pela função: 

T(t) = 2^t + 400 · 2^-t, 

com t em horas, t ≥ 0, e a temperatura em graus Celsius.

a) Determine as temperaturas do forno no instante em que ocorreu a falha de energia elétrica e uma hora depois.

b) Quando a energia elétrica voltou, a temperatura no interior do forno era de 40 graus. Determine por quanto tempo houve falta de energia elétrica. (Use a aproximação log₂ 5 = 2,3)

13) O ibuprofeno é uma medicação prescrita para dor e febre, com meia-vida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2 horas da ingestão de 200 mg de ibuprofeno, permanecerão na corrente sanguínea do paciente apenas 100 mg da medicação. Após mais 2 horas (4 horas no total), apenas 50 mg permanecerão na corrente sanguínea e, assim, sucessivamente. Se um paciente recebe 800 mg de ibuprofeno a cada 6 horas, a quantidade dessa medicação que permanecerá na corrente sanguínea na 14ª hora após a ingestão da primeira dose será:

(A) 12,50 mg.

(B) 456,25 mg.

(C) 114,28 mg.

(D) 6,25 mg.

(E) 537,50 mg.

Aprofunde-se:

Histograma, Quartis e Desvio Padrão

Após serem medidas as alturas dos alunos de uma turma, elaborou-se o seguinte histograma:

Calcule a mediana das alturas dos alunos com base no histograma apresentado.

https://tvescola.org.br/videos/matematica-em-toda-parte-2-matematica-no-meio-ambiente

Probabilidade e Estatística

É possível ouvirmos notícias como essas abaixo:

a) Foi publicada a previsão do tempo, indicando que a probabilidade de chover amanhã na região onde você mora e estuda é de 30%.

Que decisão você tomaria com base nessa previsão: levar ou não um guarda-chuva para a escola? Por quê? Como você interpreta essa previsão?

b) Um estudo na área de Saúde indicou que a probabilidade de uma pessoa vir a ter o Diabetes é 10%. Isso significa que ao acompanhar um grupo de 500 pessoas, 50 delas terão Diabetes? Por quê?

 

Explorar a noção de probabilidade serve para, apresentar uma teoria matemática útil para calcular probabilidades de eventos associados a experimentos aleatórios ou fenômenos aleatórios, isto é, experimentos cujos resultados finais são conhecidos somente após a realização dos mesmos.

Por Por exemplo,

a) o número de likes que você irá receber no período de 24h após a sua postagem em uma rede social;

b) a quantidade de metros cúbicos de gás consumida na sua residência no primeiro semestre do próximo ano;

c) o tempo, contado a partir de hoje, que a lâmpada do seu quarto levará para queimar;

d) o número de quilowatts consumidos na sua residência no próximo mês.

Para explicar fenômenos aleatórios como exemplificados nos itens acima, usamos modelos matemáticos não determinísticos chamados modelos probabilísticos. Neste caso, mesmo conhecendo algumas condições, não é possível determinar qual será o resultado antes da realização do experimento.

Nesse estudo analisaremos as características extraídas dos dados aleatórios amostrais a fim de revelar como a Estatística nos auxilia a descrever as regularidades de ocorrências de determinados eventos aleatórios.

Vejamos exemplos eventos aleatórios probabilísticos:

1) Probabilidade clássica

a) De um grupo de 10 estudantes, um será sorteado para ser o representante de turma. Como são 4 meninas e seis meninos, decidiu-se, para fazer o sorteio, representar as meninas por cartões ilustrados com triângulos e os meninos por cartões ilustrados com círculos. Os cartões foram colocados numa caixa e um será sorteado. Qual é a probabilidade (e chance) de ser escolhida uma menina como representante de turma? Por quê?

Nesses tipos de itens pode-se pensar que cada resultado possível tenha a mesma chance de ocorrer. Assim temos,

 
 A probabilidade é 4 / 10 (“4 para 10”), pois são 10 cartões e quatro deles apresentam “triângulos” que representam meninas e assim 40% de chance de ser escolhida uma menina.

 

b) Numa rua há 10 casas. O número de moradores por casa está representado na figura abaixo. Suponha que você irá escolher ao acaso uma casa desta rua.  Qual é a probabilidade de que a casa escolhida tenha exatamente 4 moradores? Por quê?

 

Daí, temos:

 

 A probabilidade é 2 / 10 (“2 para 10”), pois são 10 casas e duas delas têm exatamente 4 moradores e assim 20% de ser escolhida uma casa com exatamente 4 moradores.

c) Qual é a probabilidade de que a casa escolhida tenha mais de 4 moradores? Por quê?

 Daí, temos:

 A probabilidade é 4 / 10 (“4 para 10”), pois são 10 casas e quatro delas têm mais de 4 moradores, e assim 40% de ser escolhida uma casa com mais de 4 moradores.

2) Probabilidade frequentista

a) Suponha que você tenha lançado uma moeda 20 vezes e que tenha observado a face “cara” 19 vezes e a face “coroa” uma vez. Se você lançar esta moeda mais uma vez, qual é a probabilidade (chance) de a face voltada para cima resultar em “cara”? Por quê?

Nesses itens o objetivo é determinar probabilidades, usando o enfoque frequentista de probabilidade, atribuindo como resposta a frequência relativa de ocorrência do evento.

Daí, temos:

Com uma probabilidade de 19 / 20 e 95% de chance de ocorrer “cara”; que corresponde à frequência relativa de caras obtidas nos 20 lançamentos.

 

Outras respostas podem ser consideradas neste item, dependendo dos parâmetros escolhidos, por exemplo, ½ = 50%, supondo-se, apesar das evidências em contrário, que a moeda é honesta; ou calculando-se uma média entre a frequência de caras observadas e a frequência esperada, supondo que a moeda é honesta 

e assim tendo 0,725 = 72,5% de chance de ocorrer “cara”.

b) Suponha que um bebê tenha nascido na maternidade mais próxima de sua casa na manhã de hoje. Qual é a probabilidade de que este bebê seja um menino? Por quê?

Uma resposta possível é ½ = 0,5 = 50%, pois da experiência é possível verificar que meninas e meninos nascem na mesma proporção.

c) A pesquisa TIC Educação 2016, do Centro de Estudos sobre as Tecnologias da Informação e da Comunicação (CETIC), coletou dados de cerca de 11 mil estudantes do segundo segmento do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Entre várias informações, verificou-se que cerca de 8.500 estudantes usam smartphones como seu principal meio de acesso à internet. A pesquisa aconteceu entre agosto e dezembro de 2016.”

(Leia reportagem publicada no G1.com.br).

Qual é a probabilidade de que um estudante de Ensino Fundamental II ou Médio, escolhido ao acaso, use como seu principal meio de acesso à internet um smartphone, usando os dados dessa pesquisa? Por quê?

 Daí, temos:

 

Assim temos 77,2% de probabilidade desse estudante escolhido utilizar o smartphone, pois 8.500 estudantes de 11 mil responderam que esse é o seu principal meio de acesso à internet na pesquisa realizada e supondo que a pesquisa represente bem o comportamento na população de todos os estudantes de Ensino Fundamental II e Médio.

3) Probabilidade subjetiva

a) Qual é a probabilidade de que o Brasil se classifique na fase de grupos na próxima Copa do Mundo que irá competir?

Nesses itens o objetivo é determinar probabilidades, usando o enfoque subjetivo da probabilidade. Certos eventos são únicos e não podem ser reproduzidos, mas por serem aleatórios, faz sentido atribuir a eles probabilidades. As respostas aqui dependerão da experiência e objetivos de cada um. As perguntas neste bloco têm o objetivo de estimular a discussão sobre o conceito de probabilidade.

Uma resposta possível é maior do que 0,5 (50%), pois o Brasil, além de ser o único país a ter participado de todas as Copas do Mundo até a Copa de 2018, classificou-se na fase de grupos nas últimas 9 edições desse campeonato.

b) Qual é a probabilidade de que daqui a 8 anos você tenha concluído um curso de nível superior?

A resposta dependerá de cada aluno. Por exemplo, se for um um bom aluno do Ensino Médio que pretende cursar Engenharia, curso que dura cinco anos, uma resposta possível seria uma probabilidade maior do que 0,5 (50%). Por outro lado, se for um aluno que tem outros planos e não pretende cursar o nível superior, uma resposta possível seria uma probabilidade menor do que 0,5 (50%).

c) Qual é a probabilidade de que você esteja casado(a) aos 25 anos?

A resposta dependerá de cada um. Uma possibilidade nesse caso, quando não se sabe nada, é atribuir uma probabilidade 0,5 (50%).

 

Observação: A razão pela qual usamos 0,5 (50%) como valor de comparação para avaliar probabilidades se dá pelo fato de ser exatamente o centro da escala da probabilidade que varia de 0 a 1 (0 a 100%). Assim, se temos a percepção de que é mais provável que certo evento ocorra do que ele não ocorra, atribuímos a ele uma probabilidade maior do que 0,5 (50%). Por outro lado, se temos a percepção de que é menos provável que certo evento ocorra do que ele não ocorra, atribuímos a ele uma probabilidade inferior a 0,5 (50%). Se temos a percepção de que não existe favorecimento entre a ocorrência ou não de certo evento, ou mesmo se não sabemos nada sobre ele, atribuímos a ele uma probabilidade 0,5 (50%).

Revendo e Resumindo o Conceito de Probabilidade

No início do século XX, o matemático russo Kolmogorov, estabeleceu regras básicas para a probabilidade que independem da interpretação adotada, possibilitando assim, a construção de uma teoria matemática de probabilidade.

De maneira simplificada, essas regras básicas serão apresentadas a seguir.

Seja S um espaço amostral. Uma probabilidade é uma função P que associa a cada subconjunto de S (evento) um número real, tal que:

a) ela é sempre um número não negativo,

b) a probabilidade do evento certo é igual a 1 e,

c) dados dois eventos disjuntos, a probabilidade da união dos dois é dada pela soma das probabilidades individuais.

Em símbolos, essas regras podem ser apresentadas da seguinte forma:

a) P(A) ≥ 0 qualquer que seja A ⊂ S, ou seja, a probabilidade de qualquer evento A é um número não-negativo.

b) P(S) = 1, ou seja, a probabilidade do evento certo é igual a 1.

c) Se A, B ⊂ S com A e B eventos disjuntos (A ∩ B=∅), então P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 

Atividades:

1) Em uma escola de Ensino Médio há dois turnos: manhã e tarde. No turno da manhã há 450 alunos e, no turno da tarde, 350 alunos. Os professores de Educação Física realizaram um censo para saber se os alunos da escola praticavam algum tipo de atividade física regular fora do período escolar. A pergunta principal do questionário da pesquisa foi:

Qual é a sua atividade física principal fora do período escolar? Marque apenas uma opção.

( ) Não pratica ( ) Futebol ( ) Natação ( ) Outra

Na tabela a seguir estão os resultados obtidos:

Um aluno desta escola será escolhido ao acaso.

Considere os eventos:

A: “o aluno escolhido não pratica atividade física”;

B: “o aluno escolhido pratica Futebol como atividade física principal”;

C: “o aluno escolhido pratica natação” e 

D: “o aluno pratica outro tipo de atividade física principal”. 

Determine a probabilidade de cada um desses eventos.

Calculando P(A), como o total dos que não praticam esporte é 270 e o número total de alunos é 800, então:

E assim, a probabilidade é 27/80 e tem-se 33,77% de chance do aluno escolhido não praticar atividade física.

(...)

2) (ENEM-2005) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo.

Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

           (A) 1/3      (B) 1/4       (C) 7/25       (D) 7/23

 Lendo o gráfico conclui-se que o número de filhos dessas 23 mulheres é : (0×8 + 1×7 + 2×6 + 3×2) = 25. Destes 25 filhos, 7 são filhos únicos. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é portanto:

 

RESPOSTA: Alternativa C

3) Imagine que tenha sido apresentado um documentário sobre terremotos, no qual é dito com que frequência ocorrem e como podem ser previstos. Nesse documentário, um geólogo afirmou: “nos próximos 20 anos, a probabilidade de um terremoto acontecer na cidade de Zed é de duas em três”.

Qual das sentenças a seguir reflete o significado da afirmação feita pelo geólogo?

      (A) Como (2/3) x 20 ≈ 13,323; então entre 13 e 14 anos a partir de agora, ocorrerá um terremoto na cidade de Zed.

      (B) Como 2/3 é maior do que 1/2, temos certeza de que ocorrerá um terremoto na cidade de Zed em algum momento nos próximos 20 anos.

      (C) A probabilidade de ocorrer algum terremoto na cidade de Zed em algum momento nos próximos 20 anos é maior do que a probabilidade de ele não ocorrer.

      (D) Não se pode dizer sobre o que irá acontecer, pois ninguém sabe quando um terremoto ocorrerá.

4) Para dado dia, a previsão do tempo afirma que, das 12h às 18h, a chance de ocorrência de chuva é de 30%.

Assinale a alternativa que corresponde à melhor interpretação dessa previsão do tempo.

      (A) Em 30% da área à qual a previsão se refere haverá chuva.

      (B) Em 30% de 6 horas, ou seja, durante o total de 108 minutos, haverá chuva.

      (C) Em relação às pessoas da área à qual a previsão se refere, pode-se afirmar que 30 a cada 100 pessoas pegarão chuva.

      (D) Se a mesma previsão fosse dada para 100 dias, em cerca de 30 desses 100 dias haveria chuva.

5) Três modelos de aparelhos de ar condicionado I, II e III, de diferentes potências são produzidos por determinado fabricante. Uma consulta sobre intenção

de troca de modelo foi realizada com 1.000 usuários desses produtos. A seguir estão indicados os tipos de modelos que os usuários possuem e se eles pretendem mudar para outro modelo ou não.

Dos 400 que possuem o modelo I, 50 não pretendem mudar de modelo, 150 pretendem mudar para o II e 250 para o III.

Dos 400 que possuem o modelo II, 100 não pretendem mudar e 300 pretendem mudar para o III.

E, dos 200 que possuem o modelo III, nenhum deles tem intenção de mudar.

Escolhendo-se aleatoriamente um dos usuários consultados, a probabilidade de que ele não pretenda trocar seu modelo de ar condicionado é:

             (A) 20%        (B) 35%       (C) 40%      (D) 65%

6) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36, qual a probabilidade de ela calçar 38?

7) Numa pequena ilha, há cem pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte distribuição de frequências:

Dessa situação é correto, dizer:

      (A) A média aritmética dos salários é de $ 100,00.

      (B) Conhecendo-se uma dessas pessoas, a probabilidade dela receber $ 150,00 é 1/10.

      (C) Conhecendo-se uma dessas pessoas a probabilidade de ela não receber $ 50,00 é 3/10.

      (D) A mediana e a moda dos salários são números distintos entre si.

8) Durante o recreio, a professora colocou sobre a mesa dois saquinhos: um marrom e outro vermelho. Dentro desses saquinhos havia “bolas-surpresa”, indistinguíveis entre si, umas contendo chocolate e outras, brinquedo. A tabela a seguir apresenta a quantidade de bolas de cada tipo nos dois saquinhos:

 Dessa situação é correto afirmar:

        (A) Um aluno retira, ao acaso, uma bola do saquinho vermelho, então a probabilidade de essa bola conter chocolate é de 3/4.

      (B) Um aluno retira, ao acaso, uma bola do saquinho vermelho, então a probabilidade de essa bola conter brinquedo é de 3/4.

     (C) Um aluno retira, ao acaso, uma bola do saquinho marrom, então a probabilidade de essa bola conter chocolate é de 1/3.

      (D) Um aluno retira, ao acaso, uma bola do saquinho marrom, então a probabilidade de essa bola conter brinquedo é de 2/3.

 9) Em um jogo há uma urna com 12 bolas de mesmo tamanho, porém com cores diferentes. A tabela a seguir indica a quantidade de bolas de cada cor contidas na urna.

Sorteando uma bola, podemos, afirmar que:

      (A) A probabilidade da bola não ser branca é 5/6 e a probabilidade dela ser verde é 1/12.

      (B) A probabilidade da bola não ser azul é 1/6 e a probabilidade dela ser vermelha é 1/3.

      (C) A probabilidade da bola ser amarela é a menor probabilidade em relação a ser as outras bolas.

      (D) A probabilidade da bola ser verde é a maior probabilidade em relação a ser as outras bolas.

10) O quadro, abaixo, mostra o número de alunos em três cursos da Faculdade de Engenharia.

Um desses alunos foi sorteado para fazer estágio numa empresa. Sabendo-se que a pessoa sorteada faz Engenharia de Produção, qual é a probabilidade de ser uma mulher?

            (A) 5/8         (B) 5/11         (C) 25/112         (D) 55/112

11) As áreas construídas, medidas em metros quadrados, de vinte residências de certa região estão distribuídas no gráfico abaixo, com os dados das áreas e o número de casas com cada área.

 

 Baseado no gráfico acima, caso um sorteio ocorra, e Teresa participe, qual a probabilidade de Teresa conseguir uma residência com 400 m² de área.

12) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária.

Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, para cada valor da diária.

 

a) Qual o número de hotéis que têm diária de R$ 600,00?

 

b) O casal Romeu e Julieta, passando o final de semana nessa cidade, se hospedou num deles, qual a probabilidade deles terem se hospedado no que tem valor de R$ 300,00?

 

c) No gráfico de setor, qual o percentual aplicado para cada um dos setores?

13) Para arrecadar dinheiro para a formatura, os alunos do terceiro ano decidiram sortear uma viagem ao nordeste brasileiro através de uma rifa com 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Todos os números foram vendidos. Ana, Beatriz e Camila compraram, respectivamente, 5, 10 e 15 bilhetes. Considerando-se equiprovável o sorteio de qualquer um dos 100 bilhetes, é correto afirmar que:

       (A) a probabilidade de Ana ganhar o prêmio é o dobro da probabilidade de Beatriz ganhar o prêmio.

       (B) a probabilidade de Camila ganhar é o dobro da probabilidade de Beatriz ganhar o prêmio.

       (C) a probabilidade de Ana ganhar o prêmio é um terço da probabilidade de Camila ganhar o prêmio.

       (D) a probabilidade de alguma das três amigas ganharem o prêmio é inferior a 1/5.

Aprofunde-se: