Solução gráfica de
uma equação linear
Para alugar um determinado carro por dois dias, a locadora
Saturno cobre R$ 80,00 de taxa fixa e R$ 0,75 por quilômetro rodado.
Nesse caso, o custo do aluguel (em R$) é dado pela
expressão:
80 + 0,75x,
em que x é a
distância percorrida pelo carro (em km).
Na equação acima, o termo do lado esquerdo representa o
valor cobrado pela locadora Saturno. Para visualizar como esse valor varia em
relação à distância percorrida com o carro, definimos a seguinte equação em
duas variáveis:
y = 80 + 0,75x,
em que y
representa o custo do aluguel (em R$).
Em seguida, escolhemos dois valores para x e determinamos os valores correspondentes de y, de forma a definir dois pares ordenados (x, y). Com esses pares, traçamos um gráfico dessa equação no primeiro quadrante (pois a distância percorrida não pode ser negativa), como aquele que é apresentado abaixo:
Se x = 0, temos y = 80 + 0,75 ⋅ 0 = 80.
Se x = 200, temos
y = 80 + 0,75 ⋅ 200 = 230.
Pares ordenados: (0,80) e (200,230)
Voltando à equação original, observamos que dizer que “o
custo do aluguel atingiu R$ 185,00” é o mesmo que escrever y = 185. Assim, para obter a distância para a qual o custo equivale
a R$ 185,00, devemos descobrir para que valor de x temos y igual a 185.
Se quisermos descobrir a distância que pode ser percorrida com exatos R$ 185,00, devemos resolver a equação:
80 + 0,75x = 185,
Onde 80 + 0,75x é o custo do aluguel e 185 é o dinheiro
disponível.
Graficamente, isso corresponde a encontrar a coordenada x do ponto da curva que intercepta a reta horizontal y = 185, como mostra a o gráfico abaixo:
Portanto, a solução da equação é x ≈ 140, de modo que é
possível percorrer cerca de 140 km com R$ 185,00.
Uma solução alternativa é se subtrairmos 185 dos dois lados
da equação:
80 + 0,75x = 185.
Obtemos a equação equivalente:
0,75x − 105 = 0.
Para resolver essa equação, definimos a equação auxiliar y = 0,75x − 105, cujo gráfico é mostrado no gráfico seguinte:
A solução de 0,75x −105 = 0 é a coordenada x do ponto em que y = 0.
Ou seja, é o intercepto-x da equação y = 0,75x −105.
Observando o gráfico, concluímos que o intercepto-x é 140, de modo que é possível
percorrer 140 km com o carro alugado.
Para compreender o significado de y na equação auxiliar, devemos notar que a expressão 0,75x −105 corresponde à diferença entre o que a locadora cobra e o dinheiro disponível: 80 + 0,75x.
Se a expressão 0,75x − 105 for positiva, rodamos mais quilômetros que o dinheiro permitia. Por outro lado, valores negativos indicam que há dinheiro disponível para rodar um pouco mais.
Concluímos então que uma função afim está intimamente ligada à equação
de uma reta, pois uma função afim é representada por uma equação de reta e a
equação da reta representa uma função afim.
Atividades I:
1)
a) Qual é a lei da função (ou
equação da reta) que representa a quantidade de combustível C em função da distância percorrida d?
b) Quanto combustível o
caminhão consumiu a cada 100 quilômetros?
c) João deve ficar atento,
pois em quantos quilômetros rodados o combustível pode chegar ao fim?
2) Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em seu armazém
e precisa transportá-los a um cliente. O transporte pode ser feito por
caminhões ou por trem.
a) Para cada tonelada transportada por trem paga-se R$ 8,00
de custo fixo e R$ 0,015 por quilômetro rodado. Qual a função custo total C em função de x quilômetros rodados na viagem por trem?
b) Já com o transporte rodoviário exige 25 caminhões. Para
cada caminhão utilizado paga-se R$ 125,00 de custo fixo, além de R$ 0,50 por
quilômetro rodado. Qual a função custo total C em função de x
quilômetros rodados na viagem por caminhão?
c) Para 100 km rodados, qual dos dois transportes é mais
vantajoso, ou seja, tem menor custo?
d) Para 200 km rodados, qual dos dois transportes é mais
vantajoso, ou seja, tem menor custo?
e) Em quantos quilômetros rodados o custo dos dois
transportes é igual?
3) Adotando uma dieta milagrosa, Pedro vem perdendo 0,85 kg
por semana, tendo reduzido seu peso para 126,4 kg após 16 semanas do início do
regime.
a) Determine o peso que Pedro tinha ao iniciar o regime.
b) Defina uma equação que forneça o peso de Pedro, y (em kg), em relação ao tempo, x (em semanas), desde o início da dieta.
c) Determine em quantas semanas (desde o início da dieta)
seu peso chegará a 100 kg.
4) Um carro parte de uma cidade A com velocidade constante
de 50 km/h e chega á cidade B em 6 horas. Duas horas depois da partida do
carro, um ônibus parte da cidade B e, viajando com velocidade constante pela
mesma estrada, chega à cidade A em 4 horas. Em que instante e em que posição o
carro e o ônibus se cruzam na estrada?
5) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções :
ü O
plano Alfa cobra R$ 100,00 de
inscrição e R$ 50,00 por consulta num certo período.
ü O
plano Beta cobra R$ 180,00 de
inscrição e R$40,00 por consulta no mesmo período.
O gasto total de cada plano e dado em função do numero x de consultas. Determine:
a) a equação da função
correspondente a cada plano;
b) qual deles tem maior taxa
de variação e como isso pode ser interpretado;
c) em que condições é possível
afirmar que: o plano Alfa é mais econômico; o plano Beta é mais econômico; os
dois planos são equivalentes.
6) O preço do aluguel de um
carro popular é dado pela tabela abaixo:
ü 100km,
taxa fixa de R$50,00
ü 300km,
taxa fixa de R$ 63,00
ü 500km,
taxa fixa de R$ 75,00
Em todos os casos, paga-se R$
0,37 por quilômetro excedente rodado.
a) Escreva a lei da função
para cada caso, chamando de x o
número de quilômetros excedentes rodados.
b) Qual é a taxa de variação
de cada função?
7) Uma
empresa produz trufas de chocolate, cujo custo de fabricação pode ser dividido
em duas partes:
ü
uma independente da
quantidade vendida de R$1500,00 mensais,
ü
outra dependente da
quantidade fabricada de R$0,50 por unidade.
Escreva as
expressões que permitam determinar o número de trufas que devam ser vendidas
num mês para que a empresa não tenha prejuízo nesse mês sabendo-se que o preço
de venda de cada unidade é de R$1,50.
8) Duas
pequenas fábricas de calçados, A e
B , têm fabricado respectivamente 3.000
e 1.100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro a fabrica A aumentar sucessivamente a
produção em 70 pares por mês e a fabrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a
produção da fabrica B superará
a produção de A a partir de:
9) Na
cidade “Rio Limpo” há duas empresas de táxi: “Viagem Segura” e “Chegue Rápido”.
O preço cobrado por cada uma das empresas é composto de uma parte fixa, chamada
bandeirada, e uma parte variável que depende da distância percorrida. O
quadro abaixo mostra o valor da bandeirada e o preço do quilômetro rodado
cobrados por cada uma das empresas.
Em qual distância
percorrida, em quilômetros, as duas empresas cobrarão o mesmo valor?
(A)
3 (B) 5 (C)
6 (D) 7
Solução gráfica de uma inequação linear
Uma determinada lâmpada fluorescente custa R$ 2,40, enquanto uma lâmpada de led de mesma iluminância custa R$ 14,50. Apesar de custar menos, a lâmpada fluorescente consome mais energia, de modo que seu uso encarece a conta de luz. De fato, a cada mês de uso, gasta-se cerca de R$ 4,80 com a lâmpada fluorescente e apenas R$ 1,20 com a lâmpada de led. Determine em que situação a lâmpada de led é mais econômica, considerando o custo de compra e o tempo de uso.
Com base nos dados do enunciado, e definindo t como o número de meses de uso das lâmpadas, podemos dizer que o gasto total (incluindo a aquisição e o uso), em reais, associado à lâmpada fluorescente é dado pela equação:
y1 = 2,50 + 4,8t.
Por sua vez, o custo associado à lâmpada de led é descrito por:
y2 = 14,50 + 1,2t.
O gráfico das duas equações é dado abaixo, na qual a curva verde está associada à lâmpada de led, e a curva vermelha à lâmpada fluorescente.
Para determinar qual lâmpada é mais econômica, devemos comparar os valores de y1 e y2. Como o eixo y do gráfico representa o custo (em reais), se tomarmos um valor fixo de t, a lâmpada mais econômica será aquela cuja gráfico estiver por baixo.
Observamos, portanto, que a lâmpada fluorescente é mais vantajosa nos primeiros meses, em virtude de seu baixo preço.
Para t = 1, em particular, o gráfico mostra que y1 = R$ 7,30, enquanto y2 = R$ 15,70.
O gráfico também mostra que o custo das duas lâmpadas se equipara quando o tempo de uso atinge um valor próximo de 3,33, e que a lâmpada de led é a mais econômica para t > 3,33, em virtude de seu baixo impacto na conta de luz.
Em termos matemáticos, dizemos que, para t fixo, a lâmpada de led é mais vantajosa se
14,5 + 1,2t ≤ 2,5 + 4,8t,
lâmpada fluorescente ou seja, se y2 ≤ y1.
A partir do gráfico, concluímos que a solução dessa inequação é dada aproximadamente por t ≥ 3,33, pois a curva relativa à lâmpada de led está abaixo da curva da lâmpada fluorescente nesse intervalo.
Assim, a lâmpada de led será a melhor opção se durar mais que 3,33 meses (ou seja, se não queimar em menos de três meses e dez dias).
Uma solução alternativa seria resolver esse problema convertendo a desigualdade acima em outra na qual o lado direito seja igual a zero. Nesse caso, a exemplo do que foi feito para a resolução de equações, escrevemos:
14,5 + 1,2t ≤ 2,5 + 4,8t
14,5 + 1,2t − 2,5 − 4,8t ≤ 0
12 − 3,6t ≤ 0
A vantagem dessa estratégia é que, em lugar de trabalhar com duas equações auxiliares, consideramos apenas a equação:
y = 12 − 3,6t
cujo gráfico é mostrado abaixo:
A solução da inequação 12 − 3,6t ≤ 0 é o conjunto de valores de t para os quais y ≤ 0, ou seja, aqueles associados à parte do gráfico que está abaixo do eixo horizontal.
Segundo o gráfico, isso ocorre para t ≥ 3,33 (parte vermelha da reta). Logo a lâmpada de led será vantajosa se for usada por um tempo igual ou superior a 3,33 meses. Observe que a variável auxiliar y corresponde à diferença entre o custo da lâmpada de led e o custo da lâmpada fluorescente. Dessa forma, a lâmpada de led será a mais barata quando essa diferença for negativa, o que equivale a exigir que o gráfico da equação y = 12 − 3,6t esteja abaixo do eixo horizontal.
Exemplo: O diretor de uma empresa deseja oferecer celulares para toda a equipe. Para tanto, ele pede para que um funcionário busque algumas companhias telefônicas recém-ingressantes no mercado de telefonia e avalie qual seria a melhor escolha. A seguir, veja como são divulgadas na propaganda com o preço em moeda americana (dólar):
ü Empresa Fique Ligado oferece serviço de telefonia por uma taxa mensal de $ 20,00 mais $ 0,10 por cada minuto usado.
ü Empresa Bate Papo não cobra taxa básica mensal, mas cobra $ 0,45 por minuto. Foi informado, também, que ambas as companhias têm uma tecnologia que permite cobrar pelo tempo exato utilizado.
Esse funcionário começa a avaliar as possibilidades e, levou ao diretor a tabela e os gráficos apresentados a seguir.
E então o diretor levanta vários questionamentos sobre a situação:
a) Quanto cobraria cada companhia por 25 minutos? E por 100 minutos?
b) Seria legítimo unirmos os pontos do gráfico?
c) Por que apenas uma das representações gráficas inclui a origem (0, 0)?
d) Como encontrar o custo para qualquer quantidade de minutos para cada companhia?
Resolução
b) Supondo que a companhia calcule qualquer quantidade de minutos fracionários para sua cobrança, seria legítimo unirmos os pontos do gráfico considerando-se que cada custo da ligação de uma companhia corresponde a uma única quantidade de minutos.
c) Um gráfico contém a origem (0, 0) e outro não, pois mesmo que o cliente da companhia Fique Ligado não utilize o serviço de ligação, pagará uma taxa básica mensal de $ 20,00. Já na companhia Bate-papo o cliente não paga uma taxa básica mensal.
d) Encontramos o custo para qualquer quantidade de minutos em cada companhia substituindo a quantidade desejada nas seguintes equações:
ü y = 20,00 + 0,10x (Fique Ligado)
ü y = 0,45x (Bate Papo)
Fazendo y representar o custo em $ (dólar) e x representar a quantidade em minutos.
A partir dessa situação, podemos delimitar outras perguntas, tais como:
e) Será que podemos então dizer que em qualquer momento que se fale ao telefone por um minuto se paga $ 0,10 a mais (ou $ 0,45 a mais)?
f) Qual companhia seria mais econômica se não se pretende demorar muito em cada ligação?
g) Caso uma pessoa não queira gastar mais de $ 50,00 por mês, mas almeja falar o máximo possível, qual seria a melhor escolha?
Resolução
e) Sim, podemos dizer que, em qualquer momento que se fale ao telefone por um minuto, se paga $ 0,10 a mais (ou $ 0,45).
f) Se não se pretende fazer uso do telefone com frequência, a companhia Bate Papo é mais econômica.
g) Caso uma pessoa não queira gastar mais de $ 50,00 por mês, a melhor escolha é a companhia Fique Ligado.
Agora, se o funcionário descobre outra companhia, Tempo Rápido – que faz propaganda para o uso mensal de telefone celular por $ 0,50 o minuto para os primeiros 60 minutos e somente $ 0,10 o minuto por cada minuto depois de decorrido esse tempo –, e assim também comece a avaliar sua proposta. Considere que a propaganda informa que a Tempo Rápido também cobra pelo tempo exato utilizado.
Vamos observar algumas maneiras de relacionar as informações da companhia Tempo Rápido por meio de gráficos.
O salto se justifica porque, depois de 60 minutos de ligação, o custo da ligação por minuto falado fica mais barato. Observe algumas possíveis representações das relações entre as grandezas contidas nas informações da companhia Tempo Rápido e os questionamentos que surgem.
Observando o gráfico podemos notar que, a partir de 60 minutos, ocorre uma variação de custo na quantidade de minutos falados. Graficamente podemos visualizar que de 0 a 60 minutos a variação é maior. Perceba que o custo a pagar à companhia telefônica depende do tempo de conversa ao telefone. Em outras palavras, podemos dizer que o custo a pagar está em função do tempo de conversa.
Nos primeiros 60 minutos: y = 0,50x e nos outros minutos: y = 0,10x.
Atividades II
1) Quando o preço x por unidade de um produto vale R$16,00 então 42 unidades são vendidas por mês; quando o preço por unidade vale R$24,00, são vendidas 38 unidades por mês. Admitindo que o gráfico da quantidade vendida y em função de x seja formado por pontos de uma reta:
a) Esboce o gráfico y = f(x).
b) Obtenha a expressão ou equação de y em função do x.
c) se o preço por unidade for R$26,00, qual será a
quantidade vendida?
2) Atualmente, o valor de um
computador novo é R$ 3.000,00. Sabendo que seu valor decresce linearmente como
tempo, de modo que daqui 8 anos seu valor será zero, qual será o valor do
computador daqui a 3 anos, contando a partir de hoje?
3) A massa de uma esfera de naftalina decresce com o tempo,
devido à sublimação. Supondo que a taxa de decrescimento seja proporcional à
área da superfície da esfera, pode-se mostrar que o raio, r, da esfera varia linearmente com o tempo, t.
a) Sabendo que, em um certo instante, o raio tinha 0,8 mm e
que, quatro dias mais tarde, ele era de apenas 0,75 mm, encontre uma equação
que forneça r (em milímetros) em
termos do tempo decorrido (em dias) a partir do momento em que r = 0,8 mm.
b) Determine o tempo gasto para a completa sublimação da
naftalina.
4) Na superfície do oceano, a pressão da água é a mesma do
ar, ou seja, 1 atm. Abaixo da superfíce da água, a pressão aumenta 1 atm a cada
10 m de aumento na profundidade.
a) Escreva uma função P(x)
que forneça a pressão (em atm) com relação à profundidade (em m), Considere que
x = 0 m na superfície da água do mar.
b) Determine a pressão a 75 m de profundidade.
5) Um instalador de aparelhos de ar condicionado cobra R$
50,00 pela visita, além de R$ 75,00 por hora de serviço (sem incluir o custo do
material por ele utilizado).
a) Escreva uma função C(t) que forneça o custo de instalação
de um aparelho de ar condicionado, em relação ao tempo gasto pelo instalador,
em horas.
b) Se a instalação de um aparelho
consumir 3,5 horas, qual será o custo da mão de obra?
8) Uma piscina tinha 216.000 litros de
água quando foram abertos todos os seus drenos. Desde então, a água tem escoado
da piscina a uma taxa de 200 litros por minuto.
a) Escreva a função V (t) que fornece o volume de água da piscina depois de
transcorridos t minutos do início da
drenagem.
b) Determine o tempo necessário para
esvaziar completamente a piscina.
9) Um notebook custa R$ 2.900,00 e perde
12% de seu valor inicial a cada ano de uso.
a) Escreva a função V(t) que fornece o valor do notebook após t anos de uso.
b) Determine após quantos anos de uso o
valor do notebook chega a R$ 800,00, momento em que é conveniente trocá-lo.
10) André saiu de casa de carro em direção ao banco, às 9 horas e 30 minutos. No caminho para o banco, passou por uma padaria e tomou rapidamente um cafezinho e, em seguida, encaminhou-se diretamente para o banco. Resolvidos os problemas no banco, André retornou imediatamente para sua casa. O gráfico, abaixo, representa as distâncias de André em relação a sua casa, em função do tempo, desde o instante em que saiu da casa até o momento em que retornou.
A
que horas André saiu do banco?
(A)
10 horas. (B) 10 horas e 30 minutos. (C)
11 horas.
(D)
11 horas e 20 minutos.
11) Segundo o IBGE, nos próximos anos, a participação das
gerações mais velhas na população do Brasil aumentará. O gráfico ao lado mostra
uma estimativa da população brasileira por faixa etária, entre os anos de 2010
e 2050. Os números apresentados no gráfico indicam a população estimada, em
milhões de habitantes, no início de cada ano. Considere que a população varia
linearmente ao longo de cada década.
a) Calcule as inclinações dos segmentos de reta associados
à população de 18 a 59 anos, e determine em qual década essa faixa da população
crescerá mais rápido e em qual década ela decrescerá mais rápido.
b) Determine, em termos percentuais, a taxa de variação da
população total do país entre 2040 e 2050.
c) Escreva a equação do segmento de reta relativo à
população com 60 anos ou mais, no período entre 2030 e 2040.
d) Escreva a equação do segmento de reta relativo à
população com 17 anos ou menos, no período entre 2030 e 2040.
e) Com base nos itens (c) e (d), determine,
aproximadamente, em que ano o número de habitantes com 60 anos ou mais irá
ultrapassar o número de habitantes com até 17 anos.
12) Duas formigas partem
juntas do ponto O , origem do plano cartesiano xOy. Uma delas caminha horizontalmente no sentido positivo a uma
velocidade de 4km/h . A outra caminha, verticalmente, para cima, à velocidade
de 3km/h. Qual é a distância entre elas, após três horas de caminhada?
13) o gráfico mostra as posições, em função do tempo, de dois ônibus que partiram simultaneamente. O ônibus A partiu de Nova Iguaçu para Niterói e o ônibus B partiu de Niterói para Nova Iguaçu. As distâncias são medidas a partir do Nova Iguaçu. A que distância de Nova Iguaçu, em quilômetros, ocorre o encontro entre os dois ônibus?
14) (ENEM-2017) Uma empresa de entregas presta serviços para outras empresas que fabricam e vendem produtos. Os fabricantes dos produtos podem contratar um entre dois planos oferecidos pela empresa que faz as entregas. No plano A, cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de R$ 500,00, além de uma tarifa de R$ 4,00 por cada quilograma enviado (para qualquer destino dentro da área de cobertura). No plano B, cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de R$ 200,00, porém a tarifa por cada quilograma enviado sobe para R$ 6,00. Certo fabricante havia decidido contratar o plano A por um período de 6 meses. Contudo, ao perceber que ele precisará enviar apenas 650 quilogramas de mercadoria durante todo o período, ele resolveu contratar o plano B.
Qual alternativa avalia corretamente a decisão final do fabricante de contratar o plano B?
(A) A decisão foi boa para
o fabricante, por o plano B custará ao todo R$ 500,00 a menos do que o plano A
custaria.
(B) A decisão foi boa para o fabricante,
pois o plano B custará ao todo R$ 1.500,00 a menos do que o plano A custaria.
(C) A decisão foi ruim para o
fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1.000,00 a mais do que o plano A
custaria.
(D) A decisão foi ruim para o
fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1.300,00 a mais do que o plano A
custaria.
(E) A decisão foi ruim para o
fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 6.000,00 a mais do que o plano A
custaria.
15) (ENEM-2016) Uma empresa farmacêutica fez um estudo da eficácia (em porcentagem) de um medicamento durante 12 h de tratamento em um paciente. O medicamento foi administrado em duas doses, com espaçamento de 6 h entre elas. Assim que foi administrada a primeira dose, a eficácia do remédio cresceu linearmente durante 1 h, até atingir a máxima eficácia (100%), e permaneceu em máxima eficácia durante 2 h. Após essas 2 h em que a eficácia foi máxima, ela passou a diminuir linearmente, atingindo 20% de eficácia ao completar as 6 h iniciais de análise. Nesse momento, foi administrada a segunda dose, que passou a aumentar linearmente, atingindo a máxima eficácia após 0,5 h e permanecendo em 100% por 3,5 h. Nas horas restantes da análise, a eficácia decresceu linearmente, atingindo ao final do tratamento 50% de eficácia.
Considerando as grandezas
tempo (em hora), no eixo das abscissas; e eficácia do medicamento (em
porcentagem), no eixo das ordenadas, qual é o gráfico que representa tal
estudo?
16) (ENEM-2016) Uma cisterna de 6.000 litros foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo.
Qual é a vazão, em litro por
hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora?
(A) 1.000
(B) 1.250
(C) 1.500
(D) 2.000
(E) 2.500
17) (ENEM-2015) No comércio é comumente utilizado o salário mensal comissionado. Além de um valor fixo, o vendedor tem um incentivo, geralmente um percentual sobre as vendas. Considere um vendedor que tenha salário comissionado, sendo sua comissão dada pelo percentual do total de vendas que realizar no período. O gráfico expressa o valor total de seu salário, em reais, em função do total de vendas realizadas, também em reais.
Qual o valor percentual da sua
comissão?
(A) 2,0%
(B) 5,0%
(C) 16,7%
(D) 27,7%
(E) 50,0%
18) (ENEM-2018) A quantidade Q de peças, em milhar, produzidas e o faturamento F, em milhar de real, de uma empresa estão representados nos gráficos, ambos em função do número t de horas trabalhadas por seus funcionários.
O número de peças que devem
ser produzidas para se obter um faturamento de R$ 10.000,00 é:
(A) 2.000
(B) 2.500
(C) 40.000
(D) 50.000
(E) 200.000
19) (ENEM-2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30.
A representação algébrica do
lucro (L) em função do tempo (t) é:
(A)
L(t) = 20t + 3.000
(B)
L(t) = 20t + 4.000
(C) L(t) = 200t
(D)
L(t) = 200t – 1.000
(E)
L(t) = 200t + 3.000
20) (ENEM-2017) Um sistema de depreciação linear, estabelecendo que após 10 anos o valor monetário de um bem será zero, é usado nas declarações de imposto de renda de alguns países. O gráfico ilustra essa situação.
Uma pessoa adquiriu dois bens,
A e B, pagando 1.200 e 900 dólares, respectivamente.
Considerando as informações dadas, após 8 anos, qual será a diferença entre os valores monetários, em dólar, desses bens?
(A) 30
(B) 60
(C) 75
(D)
240
(E) 300
21) (ENEM-2016) Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de racionamento não pode ser descartado. O nível de água de um reservatório foi monitorado por um período, sendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses.
Nas condições dadas, qual o
tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero de
sua capacidade?
(A) 2 meses e meio
(B)
3 meses e meio
(C) 1 mês e meio
(D) 4 meses
(E)
1 mês
Na seleção para as vagas deste
anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos
uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro
mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,4 m, e no segundo mês, se
vendessem o dobro. Foram bem sucedidos os jovens que responderam,
respectivamente:
(A) R$ 2.300,00 e R$ 4.600,00.
(B) R$ 2.550,00 e R$ 3.850,00.
(C) R$ 2.095,00 e R$ 3.145,00.
(D) R$ 2.650,00 e R$ 4.300,00.
(E) R$ 2.950,00 e R$ 3.415,00.
23) Nas contas de água emitidas por uma certa companhia de saneamento, a tarifa é apresentada por faixas de consumo, de acordo com a tabela a seguir.
|
Faixa de consumo (em m3) |
Tarifa (em R$/m3) |
|
00 - 10 |
1,52 |
|
11 - 20 |
2,37 |
|
21 - 50 |
5,92 |
|
acima de 50 |
6,52 |
Com base nesses dados:
a) obtenha a expressão que dá o
valor da tarifa na última faixa de consumo.
b) em uma residência consumiu 46
m3 em determinado mês, qual foi o valor médio, em reais, pago por m3
consumido?
c) qual foi o consumo, em m3,
quando a tarifa foi de R$ 24,68, em determinado mês?
Suponha que o custo total de uma indústria para produzir x unidades de um determinado produto e a receita total obtida com a venda de x unidades desse produto sejam, respectivamente, C(x) e R(x). Sendo:
ü o
gráfico da função C uma reta que
passa pelos pontos (0, 500) e (1, 507);
ü o
gráfico da função R uma reta que
passa pelos pontos (0, 0) e (1, 9); e
ü a
função lucro dada pela diferença entre função receita e função custo.
Qual o número mínimo de unidades
desse produto que indústria deve produzir e comercializar para que não tenha
prejuízo com ele?
25) Um rapaz ao pesquisar na internet o preço de alguns livros, encontrou os produtos que queria em duas lojas virtuais distintas. O valor dos livros era o mesmo, porém em cada loja o calculo do valor do frete era diferente. Na loja A pagava se um fixo de 5 reais mais 3 reais por livro comprado. Na loja B pagava se um fixo de 10 reais mais dois reais por livro.
a) Para comprar 4 livros
qual preço do frete era mais barato na loja A ou na loja B?
b) Qual é a função que relaciona o preço do frete, em reais, com o número de livros
adquiridos em cada uma das lojas?
c) Faça o gráfico das duas funções num mesmo plano cartesiano e interprete o significado
do ponto de intercessão dessas duas retas, conforme o contexto do enunciado?
26) Uma empresa de entregas presta serviços para outras empresas que fabricam e vendem produtos. Os fabricantes dos produtos podem contratar um entre dois planos oferecidos pela empresa que faz as entregas. No plano A, cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de R$ 500,00, além de uma tarifa de R$ 4,00 por cada quilograma enviado (para qualquer destino dentro da área de cobertura). No plano B, cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de R$ 200,00, porém a tarifa por cada quilograma enviado sobe para R$ 6,00. Certo fabricante havia decidido contratar o plano A por um período de 6 meses. Contudo, ao perceber que ele precisará enviar apenas 650 quilogramas de mercadoria durante todo o período, ele resolveu contratar o plano B.
Qual alternativa avalia corretamente a decisão
final do fabricante de contratar o plano B?
(A) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B
custará ao todo R$ 500,00 a menos do que o plano A custaria
(B) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B
custará ao todo R$ 1 500,00 a menos do que o plano A custaria.
(C) A
decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1 000,00
a mais do que o plano A custaria.
(D) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano
B custará ao todo R$ 1 300,00 a mais do que o plano A custaria.
(E) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$
6 000,00 a mais do que o plano A custaria.
27) (ENEM-2017) Um
sistema de depreciação linear, estabelecendo que após 10 anos o valor monetário
de um bem será zero, é usado nas declarações de imposto de renda de alguns
países. O gráfico ilustra essa situação.
Uma pessoa adquiriu dois bens, A e B, pagando 1 200
e 900 dólares, respectivamente.
Considerando as informações dadas, após 8 anos,
qual será a diferença entre os valores monetários, em dólar, desses bens?
(A) 30
(B) 60
(C)75
(D)
240
(E)
300
28) Na loja A, um aparelho custa 3.800 reais mais uma taxa mensal de manutenção de 20 reais. Na loja B, o mesmo aparelho custa 2.500 reais, porém a taxa de manutenção é de 50 reais por mês. Qual das duas opções é a mais vantajosa?
29) Em um site na internet, encontra-se um anúncio para o dispositivo da figura abaixo, que serve para determinar o número do calçado de crianças.
Examinando a figura, é possível determinar o tipo de função que fornece o número do calçado a partir do comprimento do pé, em cm? Qual é essa função?
30) Em uma cidade, uma corrida de táxi de 5 km custa R$ 25,00, enquanto uma corrida de 10 km custa R$ 40,00. Nesta cidade, uma corrida de 15 km custa:
(A) R$ 55,00. (B) R$ 60,00. (C) R$ 65,00. (D) R$ 70,00.
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