SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES a E b DA FUNÇÃO f(x) = ax + b
A imagem do zero é b, isto é, o gráfico contém o ponto (0, b), que é o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas.
f(0) = a (0) + b, ou seja, f (0) = b
Logo, o coeficiente b é chamado coeficiente linear, e representa a ordenada do ponto em que o gráfico intercepta o eixo das ordenadas.
Exemplo: f(x) = 2x + 5
Agora vamos compreender o significado do coeficiente a na função y = ax + b.
Para tanto, tomemos dois pontos (2, 9) e (1, 7) pertencentes ao gráfico da função f(x) = 2x + 5, isto é, as coordenadas dos pontos satisfazem a lei da função.
E fizermos:
E do mesmo modo, se tomarmos (2, 9) e (0, 5) e fizermos:
Assim também tomando (0,5) e (–2 , 1) e fizermos o mesmo:
Tomando quaisquer dois pontos do gráfico da função e dividindo a diferença das ordenadas pela diferença das abscissas, obteremos o mesmo valor numérico, que é o valor do coeficiente a da função apresenta, a = 2.
A esse valor chama-se inclinação da reta, taxa de variação da função ou coeficiente angular, dependendo do contexto.
De modo geral, temos:
A inclinação a da reta que passa por (x1, y1) e (x2, y2), com x1 ≠ x2, é dada por:
.
Exemplo: Inclinação de uma reta a partir de dois pontos
Determinar as inclinações das retas que passam por:
a) (1, 2) e (3, 5)
b) (−2, −1) e (2, 5)
c) (−4, 2) e (2, −1)
É importante destacarmos que, muitas vezes, as funções assumem comportamentos diferentes em intervalos do domínio. Assim, dependendo do comportamento em um intervalo do domínio I, poderemos classificar a função em crescente ou decrescente.
A função f é crescente em um intervalo I se, para quaisquer que sejam x1 e x2 de I com x1 < x2, obtiver em correspondência f(x1) < f(x2). Logo, podemos dizer que a função é crescente em um determinado intervalo do domínio quando, ao tomarmos valores maiores de x, tivermos em correspondência valores maiores em y.
Por exemplo, suponha uma função y = 2x – 4, ou seja,
f(x) = 2x – 4. Note que para x1 = 1 temos f(x1) = –2; para x2 = 2 temos f(x2) = 0. Para entender melhor, observe a representação gráfica a seguir:
A função f é decrescente em um intervalo I se, para quaisquer que sejam x1 e x2 de I com x1 < x2, obtiver em correspondência f(x1) > f(x2). Em outras palavras, dizemos que a função é decrescente em um determinado intervalo do domínio quando, ao tomarmos valores maiores de x, tivermos em correspondência valores menores em y.
Então, suponha a função y = –2x – 4, ou seja, f(x) = –2x – 4,
sendo que para x1 = –1, temos f(x1) = –2; para x2 = –3, temos f(x2) = 2.
Agora, uma função f(x) = ax + b, o comportamento será crescente em todo intervalo quando a>0 e terá comportamento decrescente em todo intervalo quando a <0.
Exemplo de Projeto de uma estrada:
Um engenheiro precisa projetar uma estrada que desça de um ponto que está a 50 m de altura até um ponto que está na altura 0, com um declive de 5%. Defina uma equação que forneça a altura (y) da estrada em relação ao deslocamento horizontal (x). Determine, também, o comprimento horizontal da rampa.
O termo “declive” é equivalente a “inclinação negativa”. Ou seja, se a estrada tem um declive de 5%, então sua inclinação é a = −5/100 . Observe que o declive não tem unidade, de modo que a estrada desce 5 m a cada 100 metros de distância horizontal, o que é o mesmo que dizer que ela desce 5 cm a cada 100 cm – ou 1 m – percorrido na horizontal. Nesse caso, dizemos que a inclinação é a razão entre a variação da altura e a variação da posição horizontal. Supondo, então, que a estrada comece no ponto x = 0, no qual a altura é igual a 50 m, podemos dizer que o ponto (x1, y1) = (0, 50) satisfaz a equação que desejamos encontrar.
Sendo assim, temos:
y − y1 = a(x − x1) ⇒ y − 50 = −0,05 (x − 0).
Isolando y nessa equação, obtemos y = −0,05x + 50, que é a equação da reta na forma y = ax + b. Finalmente, para determinar o comprimento horizontal da rampa, observamos que ela irá acabar quando y = 0, o que ocorre para
0 = −0,05x + 50 ⇒ 0,05x = 50 ⇒ x = 50 / 0,05 = 1.000 m.
Logo, a rampa terá 1.000 metros = 1 km de extensão horizontal.
Atividades:
1) A população do município de Grumixama era de 1.360 habitantes em 2010 e de 1.600 habitantes em 2020. Com base nesses dados, e supondo que o crescimento populacional da cidade seja linear:
a) escreva uma equação que forneça a população de Grumixama, P, com relação a t, o tempo decorrido (em anos) desde o ano 2010;
b) determine a população que Grumixama possuía em 2014;
c) estime a população em 2030;
d) esboce o gráfico da equação para 0 ≤ t ≤ 40;
e) determine aproximadamente em que ano a população atingirá 2.600 habitantes.
2) Encontre as inclinações das retas mostradas na figura abaixo.
3) Determine as inclinações das retas que passam pelos pares de ponto abaixo.
a) (2, 1) e (4, 3)
b) (1, 2) e (−2, −4)
c) (−1, 2) e (3, −2)
d) (−4, 5) e (1, −10)
e) (6, 4) e (−3, 1)
f) (−3, 4) e (7, 2)
g) (−2, −6) e (−1, 1)
h) (5, −2) e (−9, 5)
4) Uma determinada árvore cresce a uma taxa constante, tendo alcançado 3 m passados 5 anos de seu plantio, e atingido 7 m decorridos 13 anos do plantio.
a) Defina uma equação que forneça a altura H da árvore em relação ao tempo t transcorrido desde seu plantio.
b) Determine aproximadamente a altura da árvore quando foi plantada.
c) Determine em que ano (após o plantio) a árvore atingirá 15 m.
5) A cidade de Cascatinha tinha 15.000 habitantes em 2006, tendo passado a 18.500 habitantes em 2011.
a) Supondo que a população da cidade tenha crescido de forma constante nesse período, exiba a população de Cascatinha em um gráfico no qual o eixo horizontal fornece o número de anos transcorridos desde o ano 2000.
b) Determine a equação da reta que passa pelos pontos dados.
c) Indique o que significam a inclinação da reta e o seu ponto de interseção com o eixo-y.
d) Com base em sua equação, estime a população de Cascatinha em 2020.
6) Um instalador de aparelhos de ar condicionado cobra R$ 50,00 pela visita, além de R$ 75,00 por hora de serviço (sem incluir o custo do material por ele utilizado).
a) Escreva uma função C(t) que forneça o custo de instalação de um aparelho de ar condicionado, em relação ao tempo gasto pelo instalador, em horas.
b) Se a instalação de um aparelho consumir 3,5 horas, qual será o custo da mão de obra?
7) Uma piscina tinha 216.000 litros de água quando foram abertos todos os seus drenos. Desde então, a água tem escoado da piscina a uma taxa de 200 litros por minuto.
a) Escreva a função V (t) que fornece o volume de água da piscina depois de transcorridos t minutos do início da drenagem.
b) Determine o tempo necessário para esvaziar completamente a piscina.
8) (ENEM-2018) Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal).
a) Qual a expressão algébrica que
relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida pelo
automóvel?
b) Quanto de combustível ele gasta para percorrer a distância do Rio de Janeiro a São Paulo, aproximadamente 450 km?
9) Na superfície do oceano, a pressão da água é a mesma do ar, ou seja, 1 atm. Abaixo da superfície da água, a pressão aumenta 1 atm a cada 10 m de aumento na profundidade.
a) Escreva uma função P(x) que forneça a pressão (em atm) com relação à profundidade (em m), Considere que x = 0 m na superfície da água do mar.
b) Determine a pressão a 75 m de profundidade.
10) Após o lançamento de um produto, uma pesquisa de mercado indicou que o número de consumidores desse produto cresce linearmente ao longo dos primeiros meses. A pesquisa detectou também que, 4 semanas após o lançamento, o número de consumidores era 7.600 e, 7 semanas após o lançamento, esse número aumentou em 4.200. A função que relaciona o número y de consumidores ao número x de semanas decorridas desde o lançamento do produto é:
(A) y = 1.400x + 2.000
(B) y = 1.400x + 4.200
(C) y = 3.400x + 2.000
(D) y = 7.600x + 4.200
11) Uma confeiteira tem um gasto mensal fixo de R$ 600,00 mais R$ 10,00 por bolo fabricado. No mês de janeiro, essa confeiteira teve um gasto total de R$ 930,00. Quantos bolos essa confeiteira fez no mês de janeiro?
(A) 10
(B) 33
(C) 60
(D) 93
12) Vânia trabalha em uma fábrica de bolsas e recebe R$ 500,00 fixos mais R$ 2,50 por cada bolsa que ela confecciona. No mês de outubro, Vânia recebeu R$ 1.140,00. Quantas bolsas Vânia confeccionou no mês de outubro?
(A) 200
(B) 256
(C) 456
(D) 640
13) Na aula de laboratório, um professor colocou vários pesos em uma mola e, com a ajuda dos alunos, mediu os respectivos alongamentos dessa mola. O gráfico abaixo mostra a relação entre o alongamento L, em centímetros, e a massa x do objeto, em gramas.
Qual é a expressão que permite calcular o alongamento L, em centímetros, em função da massa x, em gramas, dessa mola?
(A) L = 4,0x
(B) L = 2,5x
(C) L = 0,4x
(D) L = 0,25x
14) A conta de energia elétrica é composta de duas partes: uma fixa, que corresponde à iluminação pública, e outra variável, que depende da quantidade de kWh consumida no mês. A taxa de iluminação pública é de R$ 13,50, e cada kWh custa R$ 0,35.
Qual é o gráfico que melhor representa a situação descrita nesse texto?
15) O carro de Fernando faz 12 km com 1 litro de combustível. Fernando programou uma viagem e sua previsão é iniciar com 50 litros de combustível no tanque. Ele representou esses dados num sistema de coordenadas cartesianas, utilizando V, para representar o volume de combustível existente no tanque, e d, a distância percorrida pelo carro. Qual é o gráfico que melhor representa essa situação?
16) Em uma academia há 35 rapazes e 25 moças. Após fazer uma promoção, a cada semana 3 novos rapazes e 5 novas moças são matriculados nessa academia. Em quantas semanas, a partir da promoção, o número de moças e de rapazes nessa academia serão iguais?
(A) 2
(B) 5
(C) 10
(D) 50
17) (ENEM-2011) No Brasil, costumamos medir temperaturas utilizando a escala Celsius. Os países de língua inglesa utilizam a escala Farenheit. A relação entre essas duas escalas é dada pela expressão F = C ∙ 1,8 + 32, em que F representa a medida da temperatura na escala Farenheit e C a medida da temperatura na escala Celsius.
O gráfico que representa a
relação entre essas duas grandezas é:
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