Uma importante aplicação da Matemática está presente na
Economia através das Funções Custo, Receita e Lucro.
Os estudos das funções estão
relacionados às questões que envolvem relações entre grandezas e sua
aplicabilidade abrange inúmeras ciências. Enfatizaremos essas três: a função
custo, a função receita e a função lucro, pois estão relacionadas aos
fundamentos administrativos de qualquer empresa e sua aplicabilidade é bem exigida
e utilizada. Vejamos:
Função Custo
Pense em x como a quantidade produzida de um produto.
Verificamos que em geral existem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, por exemplo: aluguel, seguro etc.
Quando os custos não dependem da quantidade produzida, costumam ser denominados de custo fixo (Cf). A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável (Cv).
O Custo total (Ct) pode ser expresso por:
Ct (x) = Cf + Cv
Exemplo: Suponhamos que o custo fixo de fabricação de um produto seja de 500.000 u.m. (unidade monetária) e o custo variável por unidade, 10.000 u.m.
Ct(x) = 500.000 + 10.000x (função afim)
Graficamente podemos representar por:
Note que, para um produto indivisível (rádios, carros, etc.), os valores de x poderiam ser: 0, 1, 2,... n. E, caso o produto fosse divisível (exemplo: toneladas de aço), os valores de x variariam nos reais não negativos.
As representações gráficas, em ambas as situações, serão pontos alinhados, porém, no caso de o produto ser indivisível, não seria possível unir os pontos obtendo linha contínua.
Em geral, quando nada é dito, admitimos o produto em questão divisível e o gráfico, uma curva contínua.
Função Receita
Supondo que x unidades do produto sejam vendidas.
A receita de vendas depende de x. A função que relaciona receita com quantidade é nomeada função receita (R).
Logo, temos um produto vendido a 15.000 u.m. a unidade (preço constante). A função receita será dada por:
R(x) = 15.000x (função linear)
Função Lucro
Chamamos função lucro (L) a diferença entre a função receita (R) e a função custo total (Ct), isto é:
L(x) = R(x) – Ct(x)
L(x) = 5.000x – 500.000 (função a fim)
Sendo que para:
R (x) > Ct(x), temos lucro positivo;
R (x) < Ct(x), obtemos lucro negativo (prejuízo); e
R (x) = Ct(x), o lucro será nulo.
Diante do exposto, podemos observar que, na função receita R(x), admitimos o preço constante e trabalhamos com a função receita de 1º grau. Vale lembrar que o preço pode sofrer variações conforme a demanda e que o valor de x para o qual o lucro é nulo é chamado ponto crítico, ou ponto de nivelamento R(x) = C(x).
Margem de contribuição por unidade é dada pela diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade.
Dado que Ct(x) = 500.000 + 10.000x (custo total) e
R(x) = 15.000x (receita total), encontre o ponto crítico.
Resolução
O ponto crítico será o valor de x, tal que:
R(x) = Ct(x)
15.000x = 500.000 + 10.000x
x = 100
Logo, se x >100, haverá lucro positivo e se x< 100, lucro negativo.
Podemos encontrar, ainda, a margem de contribuição (taxa de variação) por unidade:
15.000 – 10.000 = 5.000.
É importante destacarmos, também, o custo médio de produção, ou custo unitário (Cm), que faz referência ao valor obtido pelo custo total dividido pela quantidade.
Verifique a expressão matemática a seguir:
No exemplo apresentado o custo médio será dado por:
Atividades:
1) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:
a) escreva a lei da função a fim que fornece o custo total de x peças;
b) indiquem a taxa de variação dessa função e o seu valor inicial;
c) calcule o custo de 100 peças;
d) esboce o gráfico que representa essa função.
2) O proprietário de uma fabrica de chinelos verificou que, quando se produzia 600 pares de chinelos por mês, o custo total da empresa era de R$ 14.000,00, e quando se produzia 900 pares o custo mensal era de R$ 15.800,00. A relação entre o custo mensal (Ct) e o número de chinelos produzidos por mês (x) é uma função afim.
a) Obtenha C em função de x.
b) Se a capacidade máxima de produção da empresa é 1.200 chinelos/mês, qual o valor do custo máximo mensal?
c) Esboce o gráfico da função.
3) O dono de uma indústria de móveis descobriu que há uma relação linear entre o custo diário de produção de cadeiras em sua fábrica e o número de cadeiras produzidas em um dia. Assim, se a indústria produz 100 cadeiras em um dia, o custo total de produção é de R$ 2.200,00. Por outro lado, se o número de cadeiras produzidas em um dia sobe para 300, o custo total de produção atinge R$ 4.800,00.
a) Exiba os dados fornecidos no enunciado em um gráfico no qual o eixo horizontal forneça o número de cadeiras produzidas em um dia e o eixo vertical forneça o custo total de produção. Trace no gráfico a reta que passa pelos pontos dados.
b) Determine a equação da reta.
c) Indique o que significam a inclinação da reta e o seu ponto de interseção com o eixo-y.
d) Determine o custo total de produção de um dia no qual foram fabricadas 400 cadeiras.
e) Se o preço de venda de cada cadeira é 22 reais, indique as funções Receita R(x) e a Lucro L(x)?
f) Qual o menor número de cadeiras devem ser vendidas para não se ter prejuízo?
g) Qual o lucro obtido na venda de 400 cadeiras?
4) O valor (V) de uma mercadoria decresce com o tempo (t), em razão do desgaste. Por isso, a desvalorização que o preço dessa mercadoria sofre em razão do tempo de uso é chamada depreciação. A função depreciação pode ser uma função afim, como neste caso: o valor de uma máquina é hoje R$ 1.000,00, e estima-se que daqui a 5 anos será R$ 250,00.
a) Qual será o valor dessa máquina daqui a t anos?
b) Qual será o valor dessa máquina em 6 anos?
c) Qual será sua depreciação total após esse período de 6 anos?
d) Esboce o gráfico da função.
5) Depreciação é a perda de valor de um produto com o tempo de uso. Uma máquina custa R$ 50.000,00 e tem uma depreciação constante de R$ 2.400,00 por ano (ou seja, seu valor diminui em R$ 2.400,00 a cada ano).
a) Escreva uma equação que relacione o valor da máquina ao número de anos de uso.
b) Determine após quantos anos de uso o valor da máquina será inferior a R$ 2.000,00.
c) Exiba sua equação em um gráfico no qual o eixo horizontal forneça o tempo de uso da máquina, em anos. 16.
6) Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 Na compra de certa mercadoria. Como vai vendar cada unidade por R$ 5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas.
a) Qual a lei dessa função L(x)?
b) Para que valores de x têm-se L(x)<0? Como podemos interpretar esse caso?
c) Para que valores de x haverá um lucro de R$ 315,00?
d) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00?
e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00?
7) Um artesão que vende pulseiras descobriu que, cobrando R$ 8,00 por pulseira, é possível vender 12 unidades em uma manhã. Por outro lado, se as pulseiras custassem R$ 5,00, o número de compradores subiria para 18 por manhã. Responda as perguntas abaixo, supondo que o número de pulseiras vendidas varie linearmente com o preço.
a) Escreva uma equação que forneça o número de pulseiras vendidas em relação ao preço da peça.
b) Determine qual deve ser o preço da pulseira para que o artesão consiga vender 15 unidades em uma manhã.
c) Determine quantas pulseiras o artesão consegue vender cobrando R$ 12,00 por unidade.
8) Supondo que o custo total para fabricar sapatos seja dado por C(x) = 30x + 100, em reais, determine:
a) O custo fixo;
b) O preço variável;
c) O custo de fabricação de 10 sapatos;
d) O custo médio da produção dos 10 primeiros sapatos.
9) A produção de um determinado item tem um custo C(x) = 5x + 50. Sabendo que cada um dos itens custa R$ 30,00, quantos deles devem ser produzidos para que o lucro seja de R$ 600,00?
10) Para realizar um show, a dupla sertaneja Tico e Teco precisa alugar um clube e contratar uma equipe de apoio. O orçamento com esses gastos está relacionado no quadro abaixo.
Além dos gastos informados nesse quadro, o clube ainda cobra R$ 30,00 por pessoa. O preço do ingresso para o show é R$ 50,00. O número mínimo de ingressos que devem ser vendidos para que o show não dê prejuízo para a dupla Tico e Teco é
(A) 150 (B) 180 (C) 250 (D) 375
11) Uma fábrica produz e vende peças para as grandes montadoras de veículos. O custo da produção mensal dessas peças é dado através da função C(x) = 6000 + 14x, onde x é o número de peças produzidas por mês. Cada peça é vendida por R$ 54,00. Hoje, o lucro mensal dessa fábrica é de R$ 6.000,00.
Para triplicar esse lucro, a fábrica deverá produzir e vender mensalmente:
(A) o triplo do que produz e vende.
(B) 200 unidades a mais do que produz e vende.
(C) 50% a mais do que produz e vende.
(D) o dobro do que produz e vende.
Exercícios Resolvidos: Um tanque, cuja forma é a de um cubo de aresta 2 m, é abastecido por uma torneira que tem vazão de 20 litros d’água por minuto. No instante em que esse tanque está com 30% de sua capacidade ocupada, é aberta a torneira. Quanto tempo levará para essa torneira encher totalmente o tanque?
(A) 2 horas e 20 minutos.
(B) 3 horas e 20 minutos.
(C) 4 horas e 40 minutos.
(D) 6 horas e 40 minutos.
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