Usando o conceito de fator de aumento e fator de redução (ou de desconto) é possível resolver facilmente
problemas que envolvem acréscimos sucessivos ou descontos sucessivos.
Exemplos:
1) Os preços de um
supermercado sofreram dois aumentos sucessivos de 10% e 15%.
a) Se, antes desses dois
aumentos, um artigo custava R$ 50,00, qual o seu novo preço?
Os fatores de aumento são: 1,10 e 1,15.
No primeiro aumento o preço foi para:
50 x 1,10 = 55 reais
No segundo aumento o preço foi para:
55 x 1,15 = 63,25
reais.
De forma mais usual, não é necessário fazer por partes, basta fazer
o cálculo numa linha apenas, da seguinte forma, utilizando o valor inicial:
50 x 1,10 x 1,15 = 65,25.
Logo, após esses dois aumentos o novo valor do
produto é R$ 65,25.
b) Qual foi o percentual único
equivalente aos dois aumentos?
Basta dividir o valor inicial como valor final
e obteremos o fator de aumento único referente ao aumento final:
65,25 / 50 = 1,265.
Esse fator de aumento é referente ao percentual
de 26,5%.
Logo, o aumento único equivalente aos dois
aumentos sucessivos é 26,5%.
De outro modo, basta
multiplicar os fatores de aumento dos aumentos sucessivos e obteremos o
percentual único de aumento:
1,10 x 1,15 = 1,265.
De fato, os dois
aumentos sucessivos correspondem a aumento único de 26,5%.
2) Aumentos sucessivos de 2% e
5% equivalem a um aumento único de quanto?
Como visto no exemplo anterior, basta
multiplicar os fatores de aumento dos percentuais sucessivos:
1,02 x 1,05 = 1,071.
O fator de aumento resultante refere-se ao aumento
percentual de 7,1%.
Logo, o aumento único equivalente aos dois
aumentos sucessivos é 7,1%.
3) Por falta de demanda, o
preço de um produto sofreu dois descontos sucessivos, de 10% e 15%.
a) Se antes desses descontos o
produto estava sendo vendido por R$ 50,00, qual o seu novo valor de venda?
Os fatores de redução são: 1 – 0,10 = 0,90 e 1 –
0,15 = 0,85.
No primeiro aumento o preço foi para:
50 x 0,90 = 45 reais
No segundo aumento o preço foi para:
45 x 0,85 = 38,25
reais.
Do mesmo modo que do aumento, no desconto de forma mais usual, não
é necessário fazer por partes, basta fazer o cálculo numa linha apenas, da
seguinte forma, utilizando o valor inicial:
50 x 0,90 x 0,85 = 38,25.
b) Qual foi o percentual único
equivalente aos dois descontos?
Basta dividir o valor inicial como valor final
e obteremos o fator de redução único referente ao aumento final:
38,25 / 50 = 0,765.
Esse fator de redução é referente ao percentual
de 100% – 76,5% = 23,5%
Logo, o desconto único equivalente aos dois descontos
sucessivos é 23,5%.
De outro modo, basta
multiplicar os fatores de redução dos descontos sucessivos e obteremos o
percentual único de desconto:
0,90 x 0,85 = 0,765.
De fato, os dois descontos
sucessivos correspondem a desconto único de 100% – 76,5% = 23,5%.
4) Descontos sucessivos de 2%
e 5% equivalem a um desconto único de quanto?
Como visto nos exemplos anteriores, basta
multiplicar os fatores de redução dos percentuais sucessivos:
0,98 x 0,95 = 0,931
O fator de redução resultante refere-se ao desconto
percentual de 100% – 93,1% = 6,9%
Logo, o desconto único equivalente aos dois descontos
sucessivos é 6,9%.
5) Seu Joaquim tem uma margem
de lucro nos seus produtos de 30%. Se ele comprou um lote de TV’s por 800 reais
cada uma. Porém, ao receber um grande amigo que queria comprar uma dessas TV’s,
ele deu um desconto sobre o preço de venda de 30%. Já foi visto que o valor
de venda com desconto foi menor que o valor de custo do produto, logo houve
nesse caso prejuízo na venda.
Qual o percentual de prejuízo que seu Joaquim obteve nessa transação mal
sucedida?
Nesse caso, tem-se um aumento de 30% sucedido
por um desconto de 30%, basta multiplicar os fatores de correção
correspondentes:
Fator de aumento: 1 + 0,30 = 1,30
Fator de redução: 1 – 0,30 = 0,70
Multiplicando os dois fatores de correção:
1,30 x 0,70 = 0,91.
O resultado da operação é um valor menor que 1, logo é um fator de
redução, ou seja com essa transação há uma redução do valor inicial, nesse caso
o valor de custo, obviamente seu Joaquim vendeu o produto mais barato que ele
comprou, por isso o prejuízo.
Para saber o percentual do prejuízo basta
fazer:
100% – 91% = 9%
Logo, seu Joaquim teve um prejuízo de 9%.
6) Um aumento de 5% seguido de um desconto de 2% equivale
a um desconto ou aumento único de quanto?
Utilizamos os fatores de correção correspondentes:
Fator de aumento: 1 + 0,05 = 1,05
Fator de redução: 1 – 0,02 = 0,98
Multiplicando os fatores de correção:
1,05 x 098 = 1,029
O resultado da operação é um valor maior que 1, logo é um fator de aumento,
ou seja com essa transação há um aumento do valor inicial.
Nesse caso, aumento único de 2,9%.
Atividades:
1) Aumentos sucessivos de 10% e 20% equivalem a um aumento único de quanto?
2) Descontos sucessivos de 10% e 20% equivalem a um desconto único de quanto?
3) Um aumento de 10% seguido de um desconto de 20% equivale a um desconto único de quanto?
4) Um crescimento mensal de 5% gera um crescimento trimestral de quanto?
5) Um decrescimento mensal de 5% gera um decrescimento trimestral de quanto?
6) Um crescimento mensal de 2% gera um crescimento anual de quanto?
7) Um decrescimento mensal de 2% gera um decrescimento anual de quanto?
8) Ao longo do ano de 2019, um funcionário recebeu dois aumentos de salário: um em maio de 12% e outro em dezembro de 10%. Qual o aumento percentual total de salário que este funcionário teve em 2019?
9) O litro de um combustível custava R$ 4,00 em um certo ano. No início do ano houve um aumento de 9% e depois de 6 meses houve outro aumento de 7%. Não havendo nenhum outro aumento neste ano, qual era o preço do combustível no final do ano?
10) Um comerciante realizou em um mês dois aumentos sucessivos em uma mercadoria. Em um primeiro momento aumentou 7% e após 10 dias aumentou 12%. De quantos por centos foi o aumento? Se o produto antes dos aumentos custava R$ 12,50, quanto passou a custar depois dos dois aumentos?
11) Um veículo novo custa R$ 30.000,00 e sofre depreciações de 20% e 15% nos dois primeiros anos. Qual o valor do veículo após a depreciação nesses dois anos?
12) Seu Martin da padaria resolveu fazer um desconto no quilo do pão, que custava R$ 15,00. Deu um desconto de 15% durante uma semana. Na outra semana resolveu aumentar em 8%.
a) Qual a alteração percentual do preço do quilo do pão em relação ao preço inicial?
b) Qual o novo preço do quilo do pão?
13) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por 10 reais (custo) e passou a revendê-lo com um lucro de 50% sobre esse preço. Num dia de promoções, deu aos clientes um desconto de 20% sobre o preço de venda desse produto. Pode-se afirmar que sobre o tal produto, o supermercado teve lucro ou prejuízo ? De quantos por cento ?
14) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço das camisetas em um dia de promoção. No dia seguinte aumentou o preço das camisetas em 20%.
a) Qual foi a alteração percentual do valor da produto no final desta transação?
b) Se o preço inicial da camiseta era R$ 50,00, qual o novo preço da camiseta depois do desconto e do reajuste?
15) Uma pessoa investiu 100 mil reais na bolsa de valores. No primeiro mês, ela perdeu 30% do que investiu e, no segundo mês, teve um lucro de 40% sobre o saldo que havia ficado após o prejuízo. Após esses dois meses, essa pessoa teve com esse investimento, em relação ao capital inicial aplicado:
(A) 98 mil reais de ganho com juros da
aplicação.
(B) 2 mil reais de perda com os juros da
aplicação.
(C) 2 mil reais de ganho com os juros da
aplicação.
(D) recuperou o dinheiro que investiu,
não perdendo nem ganhando nada com os juros da aplicação.
16) Na primeira semana de um campeonato de futebol, o preço dos ingressos foi aumentado em 20%. Na semana seguinte sofreu um novo aumento, também de 20%. Quanto por cento o preço dos ingressos subiu nessas duas semanas?
17) Um equipamento teve seu preço aumentado, sucessivamente, em 20% e 30%, passando a custar R$ 1.560,00. Qual era o preço desse equipamento antes desses dois aumentos?
18) As vendas, em uma loja de calçados, aumentaram nos últimos dois meses. No primeiro mês, em 20% e, no segundo, em 50%. Hoje, a loja está vendendo mensalmente 36.000 pares de sapatos. Quantos pares vendia antes desses dois aumentos?
19) Por falta de demanda, a produção de um automóvel de uma certa indústria diminuiu em 20% e 50%, durante dois meses consecutivos. Se após esses dois meses a produção mensal dessa indústria passou a ser de 8 mil automóveis, quantas unidades essa indústria produzia mensalmente, antes dessa queda de produção?
20) Nos três últimos anos, o valor de um carro importado vem diminuindo: 30% no primeiro ano, 20% no segundo ano e 10% no terceiro ano. Se um desses carros, há três anos, foi comprado por 100 mil dólares, qual o seu valor atual? Quanto por cento ele se desvalorizou em relação ao preço inicial?
21) A cada ano que passa, o valor de um computador, com uma certa configuração, diminui 10% em relação ao ano anterior. Se hoje esse computador é comprado por 8 mil dólares, qual deve ser o seu valor daqui a três anos? Qual é a porcentagem equivalente a essas três desvalorizações?
22) Um cidadão reserva 30% do seu salário para o pagamento da prestação de sua casa. Do restante, 50% são gastos em alimentação. 20% do que sobra ele coloca na poupança e os R$ 140,00, que ainda restam, são utilizados em outras despesas. Qual é o salário desse cidadão?
23) Atualmente, 60% da produção de uma montadora é de automóveis popular e 40%, de luxo. A produção de automóveis popular está aumentando em 10% ao ano; a dos carros de luxo está diminuindo em 10% ao ano. Nesse ritmo, daqui a dois anos, qual a porcentagem de automóveis popular e de automóveis de luxo produzidos por essa montadora?
24) Uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 20%. A seguir, sofre um acréscimo de 40%. Desse modo, o preço final dessa mercadoria aumentou ou diminuiu em relação ao seu preço inicial? De quantos por cento?
25) Um terreno comprado por
R$100.000,00 valorizou-se 10% no primeiro mês, 8% no segundo, 9% no terceiro e
6% no quarto mês, após a compra.
a) Qual deve ser o preço do
terreno após 4 meses da compra?
b) Qual foi o percentual de valorização nesses 4 meses?
26) Bernadete fez uma aplicação financeira do valor inicial de R$ 10.000,00 durante 3 anos. A taxa de juro no primeiro ano foi de 10%, no segundo, 12%, e no terceiro, 8%. Qual foi o valor acumulado nos 3 anos?
27) Na compra de um imóvel por R$ 50.000,00 tive um prejuízo de 5% no
primeiro mês e outro prejuízo de 3% no segundo mês após a compra.
a) Qual foi o preço do imóvel após os 2 meses da compra?
b) Qual foi o percentual do prejuízo nos dois meses?
28) Flávio comprou uma moto há 3 anos por R$ 22.000,00 e
agora quer vendê-la. Sabendo que a cada ano o valor da moto é depreciado em
4,5% e que Flávio pretende receber 2% sobre o valor depreciado, por qual valor
ele deve vendê-la?
29) O preço de um produto era R$ 600,00. O comerciante deu
um desconto de 12% sobre esse preço, reduzindo para um novo preço. Depois,
ainda deu um desconto de 8% sobre o preço anterior. Qual foi o preço final do
produto?
30) Para acabar com o estoque um comerciante deu 12% de
desconto sobre o preço p de um
produto que passou a custar p1. Por
falta de compradores ele então descontou 5% do preço p1, e o novo preço passou a ser p2.
Depois ainda descontou 3% do preço p2.
a) Qual foi o preço final do produto após esses três
descontos sucessivos?
b) Qual foi o percentual de desconto sobre o preço Inicial p, após os três descontos sucessivos?
Quanto
Mário pagou pela compra desses dois eletrodomésticos?
(A) R$ 1.240,00
(B) R$ 1.260,00
(C) R$ 1.300,00
(D) R$ 1.360,00
32) Elias é
dono de uma loja de eletrodomésticos. Para que não tenha prejuízo, o preço de
venda dos produtos que ele comercializa deve ser no mínimo 26% superior ao
preço de custo. No entanto, como os clientes gostam de obter desconto no ato da
compra, ele coloca os preços de venda de seus produtos acrescentando 80% ao
preço de custo.
Qual é o
maior desconto, em percentual, que Elias pode conceder ao cliente, sobre o
preço de venda, de maneira que ele não tenha prejuízo?
(A) 70%
(B) 54%
(C) 32,5%
(D) 30%
33) (ENEM-2013) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de
departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original.
Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm
direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. Um
cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de
preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja.
Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia
adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de:
(A) R$ 4,00
(B) R$ 14,00
(C) R$ 10,00
(D) R$ 15,00
34) (ENEM-2019) Segundo o Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE), o rendimento médio mensal dos trabalhadores
brasileiros, no ano 2000, era de R$ 1 250,00. Já o Censo 2010 mostrou que, em
2010, esse valor teve um aumento de 7,2% em relação a 2000. Esse mesmo instituto
projeta que, em 2020, o rendimento médio mensal dos trabalhadores brasileiros
poderá ser 10% maior do que foi em 2010.
(IBGE. Censo 2010.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado).
Supondo que
as projeções do IBGE se realizem, o rendimento médio mensal dos brasileiros em
2020 será de:
(A) R$ 1.340,00
(B) R$ 1.349,00
(C) R$ 1.375,00
(D) R$ 1.465,00
(E) R$ 1.474,00
Atividades Gerais - Porcentagem, Juros, Aumento, Desconto
1) Explique
o que significa cada item:
a) 70% dos
principais objetos penhorados são de ouro.
b) 9% dos
veículos produzidos por uma fábrica são vendidos nos primeiros 15 dias após o
lançamento.
c) O
governo baixou o IPI em 3%.
2) Se a
Caixa Econômica Federal recebeu R$ 500 milhões de penhor, calcule quanto cada
tipo de objeto rendeu em reais.
|
Objetos Penhorados |
Porcentagem |
Valor (R$) |
|
Ouro |
70% |
|
|
Diamantes |
20% |
|
|
Relógios |
9% |
|
|
Pérolas
e outros objetos |
1% |
|
3) A
tabela de Imposto de Renda segue o seguinte modelo:
|
Base de Cálculo (R$) |
Alíquota |
|
Até R$
1.999,18 |
Isento |
|
De R$
1.999,19 até R$ 2.967,98 |
7,5% |
|
De R$
2.967,99 até R$ 3.938,60 |
15% |
|
De R$
3.938,61 até R$ 4.897,91 |
22,5% |
|
Acima de
R$ 4.897,91 |
27,5% |
Quanto
pagará de Imposto de Renda um empregado que recebe mensalmente:
a) R$ 1.790,00
b) R$ 2.350,00
c) R$ 3.800,00
d) R$ 5.115,00
4) 1/5 do
salário de dona Lulu é gasto com alimentação, 3/10 ela gasta com vestuário,
1/20, com transporte, 1/8, com aluguel e o restante é guardado em uma poupança.
Represente percentualmente quanto dona Lulu gasta com cada despesa.
5) Se o
salário de dona Lulu é de R$ 1.800,00, quanto ela gasta com cada despesa?
6) Em uma
cidade há 750 mil votantes. Calcule a quantidade de votos no resultado final:
|
|
Porcentagem |
Número de Votos |
|
Candidato
A |
14% |
|
|
Candidato
B |
22% |
|
|
Candidato
C |
38% |
|
|
Candidato
D |
20% |
|
|
Votos em
branco |
4% |
|
|
Votos
nulos |
2% |
|
7) Calcule
quanto representam percentualmente os gastos para manter um carro popular no
valor de R$ 10 mil.
|
Despesa |
Valor |
Porcentagem |
|
IPVA e
licenciamento |
R$
42,00 |
|
|
Seguro |
R$
84,00 |
|
|
Estacionamento |
R$
100,00 |
|
|
Manutenção |
R$
50,00 |
|
|
Total |
R$
276,00 |
|
8) Numa
conta telefônica constava que paguei R$21,25 de ICMS (Imposto sobre Circulação
de Mercadorias e Serviços) sobre R$ 125,00. Quantos por cento foram pagos de
ICMS?
9) Ao
receber uma nota fiscal de um serviço executado em uma concessionária de
carros, observei os seguintes registros:
|
Base
de cálculo do ISS |
Valor
do ISS |
|
R$
134,00 |
R$
6,70 |
ISS –
Imposto sobre Serviços
Qual foi a
alíquota cobrada de ISS?
10)
Segundo informações de jornal, o governo autorizou o aumento da gasolina em 8%.
Mas num posto de combustível a gasolina estava custando R$ 3,909, sendo que, no
dia anterior, custava R$ 3,62. O aumento autorizado pelo governo foi obedecido?
11) Em
quantos por cento aumentou o salário em 2018, se passou de R$ 937,00 para R$
954,00?
12) Ao se
fazer uma compra, uma camisa custava R$48,00; com desconto, passou a custar R$30,20.
De quantos por cento foi o desconto?
13) Outro
imposto que pagamos é o IPI – Imposto sobre Produtos Industrializados – que é
cobrado quando compramos, por exemplo, algum carro. Um veículo custa sem IPI R$
14.000,00 e com IPI R$ 16.240,00. Qual é a alíquota de IPI cobrada pelo
governo?
14) Numa certa
aplicação bancária, Dorneles investiu R$ 1.000.000,00. Sabendo que nos três
primeiros meses houve rendas sucessivas de 10%, 5% e 20%, respectivamente. Qual
o valor corrigido dessa importância depois de sofrer os três aumentos?
15) Apliquei R$ 1.000,00 na caderneta de poupança durante 3
anos. No primeiro ano o rendimento foi 15%; no segundo, 14%; no terceiro, 20%.
Qual foi o montante acumulado do final da aplicação?
16)
Durante dois meses consecutivos as taxas de inflação foram de 11% e 13%,
respectivamente. Qual a taxa de inflação acumulada nesse bimestre?
17)
Durante um ano, a taxa de inflação manteve-se constante em 5% ao mês. Qual a
inflação acumulada nesse ano?
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