A existência de juro e de inflação gerou o estudo das operações financeiras. Esse estudo, basicamente, acompanha os fluxos de dinheiro e analisa a variação do valor do dinheiro, em função do tempo.

As operações financeiras - investimentos, empréstimos ou financiamentos - são objetos de estudo da Matemática Financeira. Essas operações forma o chamado mercado financeiro ou mercado de capitais.

Já as operações comerciais são casos particulares das operações financeiras.

Para tanto, é necessário atentar sobre alguns conceitos importantes utilizados no empenho do entendimento desse mercado. Vejamos alguns desses conceitos importantes:

Capital (C)

Qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo. Também chamado Valor Presente ou Atual.

Juro (J)

Remuneração oriunda do empréstimo de capital, uma vez que o emprestador deixa de usar o valor emprestado (Capital) durante certo tempo e, também em função da perda do poder aquisitivo do dinheiro pela inflação. (Também chamado o custo do empréstimo para o tomador ou a remuneração para o emprestador).

Montante (M)

É o resultado da aplicação do capital. Representa a soma do capital (C) com os juros (J) capitalizados durante um certo período de tempo. Também denominado Valor Futuro.

Taxa de Juros (i)

Os Juros são fixados por meio de uma taxa porcentual sobre o capital. Esta taxa porcentual é a taxa de crescimento do capital, ou seja, i = J/C, e será sempre referida ao período da operação.

Regimes de Capitalização

Quando um capital é aplicado por vários períodos (meses, anos, trimestres etc) a uma certa taxa por período, o montante pode crescer de acordo com dois regimes de capitalização:

• capitalização simples ou juros simples;

• capitalização composta ou juros compostos.

No regime de juros simples apenas o capital inicial (também chamado de principal) rende juros. O juro gerado em cada período é constante e igual ao capital vezes a taxa. Nesse regime não se somam os juros

do período ao capital inicial para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Forma-se uma P.A. cujo o primeiro termo é C e a razão é C∙i.

No regime de juros compostos somam-se os juros do período ao capital para cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Forma-se uma P.G. cujo primeiro termo é C e a razão é 1+i.

É usual considerar as seguintes notações para designar uma taxa de juros durante certo período de tempo:

i% a.m. significa uma taxa de i% ao mês

i% a.a. significa uma taxa de i% ao ano

i% a.t. significa uma taxa de i% ao trimestre

i% a.s. significa uma taxa de i% ao semestre

De uma maneira geral i% a.p. significa uma taxa de i% ao período.

Nos nossos estudos, iremos, a princípio, nos ater ao regime de juros composto, por ser o mais utilizado no dia a dia. Como é a aplicação desse regime então? Vejamos:

Definição de Juros Compostos:

Consideremos um capital (C) aplicado a juros compostos, à taxa de i% ao período, durante t períodos.

O montante (M₁) no primeiro período será dado por:

M₁ = C ∙ (1 + i),

no segundo período o montante (M₂) será dado por:

M₂= M₁∙ (1 + i)

e portanto

M₂= C ∙ (1 + i)∙ (1 + i)

Podemos observar, que neste caso formamos uma sequência progressiva de forma geométrica de razão (1 + i), então podemos deduzir que o montante no fim de t períodos de tempo será:

M = C ∙ (1 + i)^t

Onde o termo (1 + i)^t é denominado fator de acumulação de capital para pagamento único.

Obs.: Na fórmula acima é necessário que t e i sejam expressos numa mesma unidade. Por exemplo, se a taxa i% é ao mês, então o período t deverá ser expresso em meses.

Exemplo 1: Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 10% ao mês. Qual é o montante após dois meses? Qual o total dos juros?

Se M = C · (1 + i)^t então:

M = 100.000 x (1,10)²= 121.000

Logo, o montante após dois meses é R$ 121.000,00.

O total de juros, em relação ao capital inicial, é:

J = 121.000 – 100.000 = 21.000 reais.

Em alguns celulares com Sistema Android essa tecla vem configurada com o sinal de ^, porém tem a mesma função e adotamos o mesmo procedimento explicado acima.

Atividades I

1) Tito aplicou R$ 2.500,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses. Quanto receberá de juros se o regime de aplicação for de juros compostos?

2) Dr. Hugo de Vito investe R$ 20.000,00 em um banco que está pagando juro composto de 5% ao mês. Qual o montante após dois meses de investimento?

3) Celina deseja aplicar R$ 18.000,00 a juros compostos de 0,5% ao mês. Qual montante ela terá após 1 ano de aplicação?

4) Você investe R$ 5.000,00 num banco que paga juro composto de 10% ao mês, durante três meses. Quanto você receberá ao final dos três meses de aplicação?

5) Calcule o juro composto gerado por um capital inicial de R$ 4.000,00 aplicado durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 8% ao mês.

6) Maristela investe R$ 150.000,00 em um banco que está pagando juro composto de 9% ao mês. Qual o montante que Maristela terá após 6 meses de aplicação?

7) Martino pede R$ 5.000,00 emprestado à uma financeira. Essa dívida deverá ser saldada após 10 meses. Sabendo que a financeira cobra juros compostos de 3% ao mês, quanto Martino pagará por esse empréstimo? Qual a taxa total, depois dos dez meses?

Exemplo 2: Qual o capital que investido a juro composto de 5% ao mês gera um montante de R$ 5.533,00, transcorridos dois meses de aplicação?

Se M = C · (1 + i)^t então:

5.533 = C · (1,05)²

Devemos resolver a equação para obter o capital C:

C · 1,1025= 5.533

C = 5.533 / 1,1025

C = 5.000

Logo, o capital investido foi R$ 5.000,00.

Atividades II

1) Um capital foi investido a juro composto de 12% ao mês. Após quatro meses, o montante era de 314.600,00. Qual foi o capital investido?

2) Que capital deve ser investido a juro composto de 8% ao mês para que após quatro meses o montante seja de R$ 272.000,00?

3) Calcule o capital inicial que, aplicado, a juro composto com taxa de 9% ao ano, acumula no fim de 7 anos o montante de R$ 36.560,00?

4) Deseja-se obter um montante de R$ 80.000,00 numa aplicação a juro composto de 5% ao mês. Qual deverá ser o capital a ser investido para alcançar o objetivo nesta aplicação em dois anos de investimento?

5) Nuno investiu seu capital em um banco que paga juto composto de 7% ao mês. Após seis meses, o meu montante era de R$ 15.000,00. De quanto foi o investimento de Nuno?

6) Um banco está pagando juro composto a uma taxa constante de 5% ao mês. Nessas condições, que capital deve ser investido para gerar, em cinco meses, um montante de R$ 127.628,00?

7) Qual é o capital que aplicado a juro composto de 8% ao mês produz juro de R$ 850,90 no prazo de 8 meses? (Lembre-se que M = J + C)

8) Que capital, aplicado a juro composto de 10% ao mês, produz, em quatro meses, um juro de R$ 4.461,00?

Exemplo 3: Seu Joaquim investiu R$ 10.000,00 a juros compostos de 10% ao mês. Por quanto tempo esse capital ficou investido se o montante gerado foi de R$ 13.310,00?

Se M = C · (1 + i)^t então:

13.310 = 10.000 · (1,10)^t

Devemos resolver a equação para obter o capital C:

10.000 · (1,10)^t = 13.310

(1,10)^t = 13.310 / 10.000

(1,10)^t = 1,331

Como temos, nesse caso, uma equação exponencial de bases diferentes, vamos utilizar logaritmo decimal nos dois lados da igualdade e as propriedades de logaritmo para resolver a equação:

log (1,10)^t = log (1,331)

t · log (1,10) = log (1,331)

t = log (1,331) / log (1,10)

t ≈ 0,1242 / 0,0414

t ≈ 3

Logo, o capital deve ser investido por 3 meses adquirir o capital desejado.

Atividade III

1) O capital de R$ 40.000,00 foi investido a juro composto de 6% ao mês. Depois de algum tempo o montante era R$ 80.000,00. Descubra o prazo em que esse capital ficou investido?

2) O capital de R$ 100.000,00 foi aplicado a juro composto de 15% ao mês. Depois de quanto tempo o montante será de R$ 400.000,00?

3) Um investidor aplicou R$ 6.000,00 a juros composto de 2,5% ao mês. Daqui a quantos meses poderá ter um montante de R$ 36.00,00?

4) Qual o tempo necessário para um capital C, aplicado a juro composto de 5% ao mês, produzir um montante igual a 3C?

5) Um capital foi aplicado a juros compostos, a uma taxa de 9% ao mês. Depois de quanto tempo renderá um montante igual ao triplo do capital aplicado?

6) Veridiano investiu R$ 80.000,00 a juro composto de 13% ao mês. Por quanto tempo esse capital ficou investido, se gerou um montante de R$ 130.480,00?

(Use log 1,631 ≈ 0,212 e log 1,13 ≈ 0,053)

7) Benito investiu R$ 400.000,00 a juro composto de 30% ao mês. Por quanto tempo esse capital deve ficar aplicado se Benito deseja obter um montante de R$ 676.000,00?

(Use log 1,69 ≈ 0,212 e log 1,03 ≈ 0,114)

8) Teresa investe R$ 100.000,00 em um banco que está pagando juro composto de 7% ao mês. Depois de quanto tempo esse capital rendeu R$ 60.580 de juros?

(Use log 1,6058 ≈ 0,203 e log 1,07 ≈ 0,029)

9) Em quanto tempo se pode duplicar um capital aplicado a juros compostos à taxa de 0,23% ao dia?

(Use log 2 ≈ 0,30 e log 1,0023 ≈ 0,001)

Exemplo 4: A que taxa mensal de juro composto foi aplicado um capital de R$ 4.000,00 se o montante obtido, após 3 meses de aplicação foi de R$ 8.788,00.

Se M = C · (1+i)^t então:

8.788 = 4.000 · (1 + i)³

Devemos resolver a equação para obter o capital C:

4.000 · (1 + i)³ = 8.788

(1 + i)³ = 8.788 / 4.000

(1 + i)³ = 2,197

1 + i =

1 + i = 1,30

i = 1,30 – 1

i = 0,30 = 30%

Logo, a taxa de juro composto é 30% a.m.

Atividades IV:

1) Ana quer aplicar R$ 6.000,00 com o objetivo de, após 1 ano e 3 meses, ter guardado R$ 9.348,00. Que taxa mensal sua aplicação deverá ter para que ela consiga o valor desejado?

2) Dona Carlota aplicou R$ 200.000,00 a juro composto segundo uma taxa mensal constante. Se após três meses o montante era de R$ 218.545,40, a que taxa mensal o capital foi aplicado?

3) O capital de R$ 40.000,00 foi aplicado a juro composto segundo uma taxa mensal constante. Se depois de cinco meses o montante alcançou R$ 44.163,20. Qual o valor da taxa mensal?

4) João para decidir fazer uma aplicação de RS 24.000,00 precisava saber qual a melhor taxa para quer ele recebesse RS 36.087,00 depois de 8 meses. Ele pensou um pouco, fez uns cálculos e concluiu que 6,5% a.m. era uma boa taxa. Você concorda? Por quê?

5) Um capital de R$ 10.000,00 investido a juro composto, gerou, em seis meses, um montante de R$ 17.715,61. Qual é a taxa mensal desse investimento, sabendo que ele é constante?

6) A que taxa mensal constante de juro composto um capital, aplicado por dez meses, rende juros igual ao capital inicial?

7) No prazo de um ano, um capital rende juros equivalentes ao dobro do capital inicial. Qual a taxa mensal constante se o investimento foi a juro composto?

Atividades Gerais:

1) Um capital é investido a uma taxa mensal constante de juro composto de 10%. Qual a taxa anual desse investimento?

2) Um investimento pagou uma taxa de juro composto de 10% no primeiro mês. Qual deve ser a taxa do segundo mês, para que o investimento dê um rendimento total de 43% no bimestre?

3) Um investimento a juro composto pagou uma taxa de 20% no primeiro mês. Qual deve ser a taxa do segundo mês, para que o investimento dê um rendimento total de 44% nesse bimestre?

4) Verônica investiu seu capital em um banco que pagava juro composto de 10% no primeiro mês e 20% no segundo. Depois desses dois meses, o montante de Verônica era de R$ 5.280,00. De quanto foi o capital investido?

5) Edite investiu seu capital em um banco que está pagando 20% de juro composto no primeiro mês e 30% no segundo. Dois meses depois o montante era de R$ 31.200,00. Qual o capital que Edite investiu?

6) Kátia comprou uma TV cujo preço à vista é R$ 1.000,00. Ela pagou R$ 400,00 no ato da compra e o restante financiou na própria loja, para pagar em uma única parcela, um mês após a compra. Essa loja cobra em seus financiamentos juros de 10% ao mês sobre o saldo devedor. O valor da parcela paga por Kátia um mês após a compra foi:

(A) R$ 440,00.

(B) R$ 560,00.

(D) R$ 660,00.

7) Para calcular o valor final V de uma aplicação de um capital de R$ 1.000,00 a uma taxa mensal de 10% ao mês, por 2 meses, utiliza-se a fórmula matemática V = C(1+ i)^t, onde C é o capital aplicado, i é a taxa mensal e t o tempo em meses, que resultará em um valor final de R$ 1.210,00.

Nessas mesmas condições, esse mesmo capital de R$ 1.000,00, aplicado pelo mesmo tempo, a uma taxa mensal de 20% resultaria em um valor final de:

(A) R$ 1.040,40.

(B) R$ 1.230,00.

(D) R$ 2.400,00.

8) Uma pessoa investiu R$ 10.000,00, a juros compostos, à taxa de 1% ao mês. Em três meses, quanto essa pessoa recebeu de juros sobre esse valor investido?

(A) R$ 100,00.

(B) R$ 101,01.

(D) R$ 303,01.

9) Sandro fez um empréstimo de R$ 1.000,00 em uma financeira, para ser pago, em uma única prestação, daqui a 2 meses. Essa financeira cobrou juros compostos de 9% ao mês.

O valor a ser pago por Sandro, daqui a 2 meses, para quitar esse empréstimo, é

(A) R$ 1.018,00.

(B) R$ 1.180,00.

(D) R$ 2.180,00.

10) Felipe financiou R$ 10.000,00 a serem pagos em duas prestações mensais iguais, a juros compostos de 2% ao mês, sendo a 1ª prestação paga um mês após ter contraído o empréstimo. O valor aproximado de cada prestação é:

(A) R$ 5.000,00.

(B) R$ 5.100,00.

(D) R$ 5.200,00.

11) Jonas fez uma aplicação de R$ 3.000,00 a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, durante 4 meses. Qual será o montante de Jonas ao final desse período?

(A) R$ 3.048,00.

(B) R$ 3.048,28.

(D) R$ 3.509,58.

12) (ENEM-2011) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao mês

Investimento B: 36% ao ano

Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá:

(A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.

(B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.

(C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.

(D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.

(E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

13) (ENEM-2000) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os descontos possíveis, é de R$ 21.000,00, e esse valor não será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro.

Para ter o carro, João Carlos deverá esperar:

(A) 2 meses, e terá a quantia exata.

(B) 3 meses, e terá a quantia exata.

(D) 4 meses, e terá a quantia exata.

(E) 4 meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$430,00.