Atividade:
Calcule o valor de x em cada uma das equações exponenciais
abaixo:
b) 2x + 1 = 128
c) 2x – 3 =
1.024
d) 23x – 1 = 32
e) 3x – 1 = 81
f) 5x = 125
g) 5x = 625
h) 7x = 343
i) 74x + 3 = 49
j) 112x + 4 = 121
k) 175x – 15 = 1
Vamos calcular o valor de x nas seguintes equações exponenciais, vejamos:
a) 5 ∙ 2x = 10
Como o 5 está multiplicando um fator com uma incógnita exponencial, ele vai para o segundo membro dividindo o 10. E prosseguimos com a resolução da equação da forma:
b) 5 ∙ 3x = 45
Do mesmo modo que a equação anterior, como o 5 está multiplicando um fator com uma incógnita exponencial, ele vai para o segundo membro dividindo o 45. E prosseguimos com a resolução da equação da forma:
c) 5 + 4x = 21
Como o 5 está somando uma parcela com uma incógnita exponencial, ele vai para o segundo membro subtraindo o 21. E prosseguimos com a resolução da equação da forma:
d) 10 + 2x = 42
Como o 10 está somando uma parcela com uma incógnita exponencial, ele vai para o segundo membro subtraindo o 42. E prosseguimos com a resolução da equação da forma:
a) 3 ∙ 2x = 96
b) 5 ∙ 2x + 1 = 20
c) 7 ∙ 3x = 189
d) 23 + 3x = 50
e) 40 + 23x = 104
f) 230 + 10 ∙ 3x + 1 = 500
Vejamos um problema de aplicação das equações exponenciais que gerará uma função, não qual abrirá precedente para apresentarmos função exponencial.
Em um restaurante, devido às más condições de higienização, uma salada foi infectada por uma colônia de bactérias. Supondo que nessa colônia há 10 bactérias e que 1 bactéria divide-se em 3 a cada minuto, em quanto tempo, em minutos, haverá 65.610 bactérias?
Nas condições apresentadas no problema, se cada uma bactéria divide-se em três a cada minuto tem-se que:
inicio: 10 bactérias.
1 minuto depois: cada uma das 10 dividiu-se em três outros, logo tem-se 10 x 3 = 30 bactérias.
2 minutos depois: cada uma das 30 anteriores dividiu-se em três outras, logo term-se 30 x 3 = 90 bactérias.
3 minutos depois: cada uma das 90 anteriores dividiu-se em três outras, logo tem-se 90 x 3 = 270 bactérias.
E dessa forma, observa-se que o número de bactérias N depois de um determinado tempo t minutos, varia da seguinte forma:
No t = 0 min tem-se N = 10 bactérias.
No t = 1 min tem-se N = 10 x 3 bactérias.
No t = 2 min tem-se N = 10 x 3 x 3 bactérias.
No t = 3 min tem-se N = 10 x 3 x 3 x 3 bactérias.
E isso ocorre sucessivamente, pois pode-se verificar que no t = 4 min tem-se N = 10 x 34 = 10 x 81 = 810 bactérias, notando assim que ocorre o que chama-se um crescimento exponencial.
Sendo possível então modelar uma função nesses termos:
N(t) = 10 ∙ 3t
O número de bactérias N varia em função do tempo t minutos, na lei de função acima apresentada.
A partir dessa lei de função: N(t) = 10 ∙ 3t, pode-se calcular depois de 10 minutos quantas bactérias haverá nessa salada.
Bem como, é possível saber, depois de quanto tempo haverá 65.610 bactérias.
Fazendo-se, como N(t) = 65.610 então 10 x 3t = 65.610, surgindo aqui uma equação exponencial que deve-se resolver para obter o valor de t:
Exemplos de função Exponencial:
Uma dica importante para calcular potências em uma calculadora, utilizando as teclas próprias:
Treine, agora, calculando o que se pede de cada função:
1) Uma empresa produz, atualmente, por dia 60 unidades de um certo produto. Projetando um aumento da sua produção diária, há ocorrer a cada ano no dia do seu aniversário de inauguração, conforme uma lei de produção diária P = 60 · 2t, onde t é o número de anos a partir do qual ele começou a fazer essa projeção. Daqui a quantos anos a sua produção diária será de 480 peças?
2) A população de uma cidade cresce conforme a lei
P = 100 · 1,5t, onde t é o tempo estimado para o crescimento da população a partir de 100 mil habitantes. Qual será a população estimada desse país daqui a dois anos?
3) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produzia mil unidades do seu produto principal. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei P = 1.000 · 2–t , com t o tempo em anos a partir do qual começa-se a observar esta queda. Quantas unidades foram produzidas no terceiro ano desse período recessivo?
4) Num certo ano, uma passagem aérea entre Rio de Janeiro e Lisboa custava 100 reais. Daí para frente vem sofrendo reajuste segundo a lei P = 10 · 3t + 230, em função do tempo t.
a) Qual foi o valor da passagem depois de dois anos desse reajuste?
b) Depois de quantos anos o valor da passagem passou a ser 500 reais?
5) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função n(t) = 100 · 2t/3. Nessas condições:
a) Qual o numero de bactérias depois de 6 horas do contágio?
b) Depois de quantas horas teremos o número de 3.200 bactérias?
6) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função N(t) = 200 · 3t/12; N representa o número de bactérias no instante t em horas.
a) Qual o número de bactérias, 36 horas depois que iniciou a produção?
b) Depois de quanto tempo já havia 600 bactérias?
7) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
p(t) = 40 · 23t,
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 minutos, a população será:
(A) reduzida a um terço.
(B) reduzida à metade.
(C) reduzida a dois terços.
(D) duplicada.
8) Uma população de uma determinada bactéria contamina um copo de leite à temperatura ambiente. Suponha que o leite seja considerado impróprio para o consumo se a população do copo for maior ou igual a 16.200 indivíduos. A população de bactérias tem, inicialmente, 200 indivíduos e sua população triplica a cada hora até atingir 40.000 indivíduos. Em quanto tempo a população atingirá 16.200 indivíduos?
9) Um grupo de biólogos está estudando uma espécie animal cuja população vem diminuindo ao longo dos anos. Depois de reunirem os dados percebem que a cada ano à quantidade de indivíduos reduz para aproximadamente 1/3 da quantidade do ano anterior.
a) Escreva uma expressão matemática que relaciona o número de indivíduos dessa população ao longo dos anos, sabendo que no início das medições os cientistas tenham encontrado 300 mil indivíduos.
b) Admitindo que esse padrão se repita ao longo dos anos, em quanto tempo a população entrará em extinção?
c) Como consequência, a população da espécie que é a principal presa da espécie estudada apresentou um crescimento que duplicava a cada 6 meses. Escreva uma expressão matemática que represente a variação anual do número de indivíduos dessa população de presas, que no início das medições contava com 5 × 105 indivíduos.
10) Uma pequena confecção produz exclusivamente camisas. Admita que quantidade N de camisas produzidas mensalmente no primeiro semestre de 2021 seja dada pela função
N(t) = 125 + 6 ∙ 2t – 1,
sendo t, como mostra a tabela abaixo, o número que representa o mês do semestre.
Com os dados acima, pode-se concluir que essa confecção produziu exatamente 173 camisas no mês de:
(A) janeiro.
(B) fevereiro.
(C) março.
(D) abril.
V(t) = 50 × (0,25)(t/6) miligramas.
Assim, o tempo t, em dias, necessário para que
a quantidade total desse agrotóxico se reduza à 25 mg no corpo do trabalhador é
igual a:
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 5.
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