Combinação

Exemplo 1: Cinco alunas: Ana, Barbara, Carina, Daniela e Estela desejam formar uma comissão de três delas para irem à direção pedirem um passeio a um museu histórico-científico para a turma. De quantas maneiras diferentes pode ser formada essa comissão entre elas?

A princípio, como as possibilidades são pequenas, podemos enumerá-las e fazer uma contagem direta, da seguinte forma:

1. Ana, Barbara, Carina

2. Ana, Barbara, Daniela

3. Ana, Barbara, Estela

4. Ana, Carina, Daniela

5. Ana, Carina, Estela

6. Ana, Daniela, Estela

7. Barbara, Carina, Daniela

8. Barbara, Carina, Estela

9. Barbara, Daniela, Estela
10. Carina, Daniela, Estela

Notando, assim, que a há 10 maneiras diferentes de escolher 3 representantes para essa comissão entre as 5.

Disso, define-se o conceito de Combinação, no estudo de Contagem: são os modos que pode-se selecionar um número p objetos (coisas ou pessoas) distintos entre n objetos distintos dados. No exemplo 1, escolher 3 alunas entre as 5 alunas disponíveis.

Como, no estudo de Contagem (Análise Combinatória) o objetivo é fazer as contagens de forma indireta através de técnicas desenvolvidas, vejamos como resolver um problema de Combinação utilizando essas técnicas de forma indireta:

1º - Utilizando o esquema de posição, como no princípio multiplicativo, podemos dispor cada uma em três posições (ou casas) onde cada uma das 5 alunas disponíveis irão ocupar na contagem e assim temos:

__ __ __

5 x 4 x 3 = 60

Porém daqui, vê-se que não chegou ao resultado esperado, como na contagem direta. Isso se dá porque, como foi feito, considerou todas as ordens possíveis que elas podem ocupar da seguinte forma, mas na combinação não importa a ordem que elas ocupem a posição, pois em qualquer ordem será a mesma posição, na contagem abaixo revela as 60 possibilidades calculadas, mas que NÃO revelam o número de combinações como desejado:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	A, B, C	A, B, D	A, B, E	A, C, D	A, C, D	A, D, E	B, C, D	B, C, E	B, D, E	C, D, E
2	A, C, B	A, D, B	A, E, B	A, D, C	A, D, C	A, E, D	B, D, C	B, E, C	B, E, D	C, E, D
3	B, A, C	B, A, D	B, A, E	C, A, D	C, A, D	D, A, E	C, B, D	C, B, E	D, B, E	D, C, E
4	B, C, A	B, D, A	B, E, A	C, D, A	C, D, A	D, E, A	C, D, B	C, E, B	D, E, B	D, E, C
5	C, A, B	D, A, B	E, A, B	D, A, C	D, A, C	E, A, D	D, B, C	E, B, C	E, B, D	E, C, D
6	C, B, A	D, B, A	E, B, A	D, C, A	D, C, A	E, D, A	D, C, B	E, C, B	E, D, B	E, D, E

Para chegarmos definitivamente, ao número de combinações possível, devemos excluir as permutações que refletem a ordem que cada escolha pode ser disposta.

2º - Como estamos trabalhando no Princípio Multiplicativo, para excluir as permutações em cada uma das escolhas feitas, dividimos o que foi encontrado na disposição das posições pelo número de permutações possíveis No nosso exemplo 1, como são 3 escolhidas elas podem formar 3! permutações, lemos: o fatorial de 3. Então, de 60 divide-se 3! para encontrar as combinações possíveis, daí temos:

Logo, chegamos ao resultado esperado que são 10 maneiras de se escolher 3 alunas para reunião dentre as 5 disponíveis.

Exemplo 2: Considere uma turma de 20 alunos.

a) Quantas são as maneiras de escolher um representante, um secretário e um tesoureiro?

Como neste caso, temos que considerar uma ordem dos cargos, então o número de maneiras deverá ser de fato:

__ __ __
20 x 19 x 18 = 6.840

Logo, tem-se 6.840 maneiras de organizar em cada cargo.

b) Considere agora que desejamos escolher três dos alunos para formar uma comissão. A resposta é a mesma da anterior?

Como neste caso, a ordem não importa, pois quaisquer três dos alunos que forem escolhidos será a mesma comissão, devemos proceder como combinação, excluindo as possíveis ordenações, no qual a permutação reflete:

Logo, tem-se 1.140 maneiras de escolher 3 alunos dentre os 20 da turma.

Formalizando Combinação:

Agora, vamos formalizar o conceito de Combinação, e utilizar para fazermos cálculos com possibilidades muito grandes, que é algo mais coerente com a realidade, como no uso destas técnicas de contagem na Criptografia e códigos digitais de identificação e segurança.

Como foi visto anteriormente, sabemos que Combinação é uma técnica de contagem que trata de contar as possibilidades de se escolher, dentre um dado número de objetos (coisas ou pessoas), um número menor de objetos entre eles.

Utilizamos o exemplo de escolher dentre 5 alunas, 3 delas para representarem em uma reunião.

Este fato chamamos de combinação de 5 para 3 e representamos da seguinte maneira:

C_{5, 3}.

E vimos que para calcular as possibilidades de se escolher 3 entre 5 alunas é feito da seguinte forma:

Utilizando o mecanismo das casas ou posições com o princípio multiplicativo e excluindo as possíveis permutações, haja visto que as permutações formadas, formam a mesma comissão, representatividade ou combinação.

Nota-se daí que, de forma sistemática, é possível, daquele resultado, formular uma combinação como:

De fato, se fizermos:

.Como queríamos demonstrar.

O que nos leva a formalizar:

Combinação Simples: O número de modos de escolher p dentre n objetos distintos é:

Em muitas questões de combinação, não é necessário fazer todos os cálculos dos fatoriais, pois demanda muito tempo e é passível de erros de cálculos, bastam, para sua viabilidade, deixar indicada a ideia de que é uma combinação, sabendo que a combinação tem essa ideia da exclusão das permutações possíveis e do que não é utilizado na contagem do fatorial do numerador. Bem como nos problemas de permutação onde temos possibilidades muito grandes, basta deixar indicado como fatorial.

No exemplo, quantas possibilidades há dentre 20 alunos, escolher 5 para representarem em um evento cultural, a resposta será: C_{20, 5}, ou seja uma combinação de 20 para 5.

Caso haja necessidade de cálculo, será da seguinte forma:

Sendo assim, 15.504 maneiras diferentes de escolher 5 entre 20 alunos.

Vemos uma possibilidade enorme de maneiras de se escolher, daí a inviabilidade de se fazer todo esse cálculo, podendo apenas deixar indicada a ideia de uma combinação, como já dito.

Seguem alguns links úteis de calculadoras de combinação:

http://ecalc.blogspot.com/p/variaveis-var-contvar-repetvar-ordemvar.html

http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraArranjoCombinacaoSimples.aspx

https://pt.numberempire.com/combinatorialcalculator.php?n=20&m=5&ordered=false&repeated=false

Observem os exemplos abaixo:

1) Em uma turma há 12 rapazes e 10 moças. Quantos são os modos de escolher uma comissão de 4 pessoas:

a) sem restrições de sexo?

Como temos num total de 12+10 = 22 alunos, para escolher 4 dentro destes 22, temos uma combinação de 22 para 4, verificada da seguinte forma: C_{22, 4.}
Caso queiramos calcular, temos:

Logo, temos 7.315 modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos.

b) que incluam Caio (que é um dos alunos)?

Como José já faz parte da contagem da comissão, basta agora escolher apenas 3 dos 21 alunos restantes, tendo agora uma combinação de 21 para 3, verificado da seguinte forma: C_{21, 3.}
Podendo ser calculado: C_{21, 3 = 1.330}

Logo, temos 1.330 modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos, com Caio já fazendo parte do da comissão.

c) que não incluam Antonela (que é uma das alunas)?

Como Antonela não poderá ser incluída na contagem da comissão, temos que agora escolher 4 para a comissão dentro de um número de 21 alunos excluindo a Antonela, tendo agora uma combinação de 21 para 4, verificado da seguinte forma: C_{21, 4.}
Podendo ser calculado: C_{21, 4 = 5.985}
Logo, temos 5.985 modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos, excluindo a Antonela.

d) com 2 rapazes e 2 moças?

Dentre 12 rapazes escolhem dois, temos: C_{12, 2} e dentre 10 moças escolhem-se duas, temos: C_{10, 2}.

Como para cada possibilidade de escolha de dois rapazes, temos todas as possibilidades de escolha de duas moças, utilizamos o princípio multiplicativo e temos:

C_{12, 2}∙ C_{10, 2}modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos, sendo 2 rapazes e 2 moças.

Podendo na resposta das possibilidade ser indicado da forma anterior, como linguagem de combinação ou calculando-se o produto das duas combinações:

Se C_{12, 2}= 66 e C_{10, 2}= 45 então C_{12, 2}∙ C_{10, 2}= 66 x 45 = 2.970.

Logo, temos 2.970 modos diferentes de escolher uma comissão de 4 pessoas dentre os 22 alunos, sendo 2 rapazes e 2 moças.

2) Uma pequena empresa quer formas um time de futebol e 15 funcionários de inscreveram, dizendo que aceitam jogar em qualquer posição. De quantas formas é possível escolher os 11 jogadores do time?

Obviamente, uma combinação de 15 para 11 e temos C_{15, 11}formas possíveis de escolher 11 jogadores dentre 15 funcionários.

Caso, queiramos calcular temos C_{15, 11}= 1.365 formas possíveis de escolher 11 jogadores dentre 15 funcionários.

Revendo Combinação

Vejamos alguns exemplos, revisando as técnicas de Contagem:

Exemplo 1: Num campeonato de xadrez há 10 competidores.

a) De quantas maneiras diferentes há de ocuparem as três primeiras colocações?

Se tem-se 3 posições ordenadas então teremos:
__ __ __
10 x 9 x 8 = 720

Logo, há 720 maneiras diferentes de ocuparem as três primeiras colocadas.

b) De quantos modos diferentes há de se escolher 5 deles, num sorteio, para fiscalizarem as ações da equipe organizadora?

Se tem-se que escolher 5 deles, sem preocupação com a ordem a que colocar, temos uma combinação de 10 para 5: C(10, 5).

Logo, há 252 maneiras diferentes de escolher 5 dentre 10 competidores.

c) Se cada jogador deve, na primeira fase, jogar um contra o outro, quantas partidas serão necessárias para essa fase?

Como deve-se ter dentre os dez uma combinação a cada 2 deles, teremos uma combinação C(10, 2):

Logo, nessa primeira fase, serão necessárias 45 partidas para ser possível os 10 jogarem um contra o outro.

Exemplo 2: Antonielson possui 9 camisetas, 4 bermudas e 3 tênis novos.

a) De quantas maneiras diferentes ele pode vestir-se com essas novas roupas?

Como são coisas distintas entre elas e podem combinar mas em ordens diferentes entre os itens, então teremos:
__ __ __
9 x 4 x 3 = 108

Logo, ele tem 108 maneiras diferentes de vestir-se.

b) Se ele vai viajar e precisa levar somente 4 camisetas, 2 bermudas e 1 tênis entre esses novos que ele possui, de quantas maneiras diferentes pode ser a sua escolha?

Dessa forma, ele precisa escolher 4 dentre 9 camisetas; 2 dentre 4 bermudas, e 1 dentre 3 tênis, então combinação em cada um dos itens, formando um total de

C(9, 4) ∙ C(4, 2) ∙ C(3, 1) = 126 x 6 x 3 = 2.268

Logo, ele tem 2.268 maneiras diferentes de fazer a escolha proposta.

Exemplo 3: Um time brasileiro de futebol disputará obrigatoriamente 6 jogos numa excursão pela Europa. De quantos modos diferentes poderá ocorrer a campanha desse time durante essa excursão?Para cada jogo há três possibilidades: vitória, derrota ou empate.

Se são seis jogos, e três possibilidades distintas cada, que podem se repetir, então:

Logo, poderá haver 726 possibilidades de resultados diferentes na campanha desse time nos 6 jogos.

Observação, aproveitem e utilizem a calculadora de Combinação no link:

http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraArranjoCombinacaoSimples.aspx

Atividades:

1) Caio vai realizar uma viagem neste fim de semana e quer escolher 4 entre 9 camisetas de malha que possui. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?

2) Em uma sala com 20 alunos, quantas comissões de 2 alunos podemos formar?

3) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. Determine o número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras.

4) Uma comissão de 2 diretores e 3 secretários deve ser membros deve ser escolhida dentre sete pessoas. De quantos modos diferentes pode-se escolher a comissão?

5) Numa fábrica, 8 engenheiros e 5 administradores pretendem formar uma comissão de 4 elementos. Com essas pessoas, quantas comissões é possível formar, de modo que entre os integrantes, 3 sejam engenheiros e um seja administrador?

6) Um grupo de exploradores será composto de três arqueólogos e dois geógrafos escolhidos entre seis arqueólogos e seis geógrafos. Quantas formações diferentes pode ter o grupo?

7) De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas?

8) De quantos modos é possível dividir 20 objetos em 4 grupos de 3 ou 2 grupos de 4?

9) Uma senha de banco é formada por 4 dígitos de 0 a 9:

a) Quantas são as senhas em que aparecem exatamente três dígitos diferentes?

b) Quantas são as senhas em que não há dígitos consecutivos iguais?

10) Em um porta moeda há exatamente uma moeda de R$ 0,05; uma de R$ 0,10; uma de R$ 0,25; uma de R$ 0,50 e um de R$ 1,00.

a) Quantos valores monetários podem ser formados com apenas duas dessas moedas?

b) Quantos valores monetários diferentes podem ser formados com duas ou mais dessas moedas?

11) A Mega Sena é uma modalidade de jogo de apostas em que são sorteados 6 números entre os números inteiros de 01 a 60. O cartão de apostas que tiver assinalado os números sorteados é premiado. Quantos resultados diferentes pode ter o sorteio da Mega Sena?

12) Uma comitiva esportiva de 8 pessoas hospedaram em um hotel. De quantas maneiras eles podem se arrumar, sendo 3 no quarto A1, 3 no quarto B2 e 2 no quarto 3C?

13) Num clube esportivo, há 10 rapazes e 8 moças que jogam tênis de quadra, e o técnico precisa escolher um rapaz e uma moça para a competição.

a) Quantas são as duplas possíveis?

14) De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 3 atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas?

15) Um campeonato é disputados por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos da primeira rodada?

16) Uma equipe esportiva composta por 6 jogadoras está disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas até 3 substituições e, para isto, o técnico dispõe de 4 jogadoras no banco. Quantas formações distintas podem iniciar o segundo tempo?

17) (ENEM-2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de:

(A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.

(B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.

(D) duas combinações.

(E) dois arranjos.

18) (UEL-PR - 2006) Na formação de uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um certo número de membros, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. Faltam apenas dois partidos para indicar seus membros. O partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1 membro. Assinale a alternativa que apresenta o número de possibilidades diferentes para a composição dos membros desses dois partidos nessa CPI.

(A) 55

(B) (40 – 3) ∙ (15 – 1)

(D) 40 x 39 x 38 x 15

(E) 40! ∙ 37! ∙ 15!

19) (ENEM-2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.