Permutação

De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Beatriz, Carina e Daniela para a produção de um álbum de fotografias promocionais?

Para resolver esse problema de contagem, inicialmente listemos as possibilidades utilizando a contagem de forma direta.

As possibilidades de posição das modelos numa foto são:

1 - Ana, Beatriz, Carina, Daniela.

2 - Ana, Beatriz, Daniela, Carina.

3 - Ana, Carina, Beatriz, Daniela.

4 - Ana, Carina, Daniela, Beatriz.

5 - Ana, Daniela, Beatriz, Carina.

6 - Ana, Daniela, Carina, Beatriz.

7 - Beatriz, Ana, Carina, Daniela.

8 - Beatriz, Ana, Daniela, Carina.

9 - Beatriz, Carina, Ana, Daniela.

10 - Beatriz, Carina, Daniela, Ana.

11 - Beatriz, Daniela, Ana, Carina.

12 - Beatriz, Daniela, Carina, Ana.

13 - Carina, Ana, Beatriz, Daniela.

14 - Carina, Ana, Daniela, Beatriz.

15 - Carina, Beatriz, Ana, Daniela.

16 - Carina, Beatriz, Daniela, Ana.

17 - Carina, Daniela, Ana, Beatriz.

18 - Carina, Daniela, Beatriz, Ana.

19 - Daniela, Ana, Beatriz, Carina.

20 - Daniela, Ana, Carina, Beatriz.

21 - Daniela, Beatriz, Ana, Carina.

22 - Daniela, Beatriz, Beatriz, Ana.

23 - Daniela, Carina, Ana, Beatriz.

24 - Daniela, Carina, Beatriz, Ana.

Dessa forma, vemos que são possíveis 24 maneiras delas tirarem fotos mudando a posição.

Porém, nem sempre é viável fazer contagem dessa maneira direta, então recorremos ao princípio fundamental de contagem indireta.

Supondo os quadrados abaixo como a posição de cada uma nas fotos:

Inicialmente para a 1ª posição, é possível qualquer uma das 4 modelos.

Para cada uma das escolhas das 4 modelos na 1ª posição, temos 3 possibilidades na 2ª posição.

Para cada uma das 4 na 1ª posição e 3 na 2ª posição, teremos 2 possibilidades na 3ª posição.

E para cada uma das 4 na 1ª posição, 3 na 2ª e 2 na 3ª, teremos apenas 1 possibilidade na 4ª posição.

Disso, pelo princípio multiplicativo, temos:

4 x 3 x 2 x 1 = 24 maneiras delas tirarem fotos mudando de posição.

Confirmando o resultado na contagem direta.

Agora, nesse mesmo pensamento: De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colocadas em fila?

Como temos 6 pessoas para serem ordenadas numa posição na fila, supomos os quadrados abaixo, como uma posição:

Desse modo, para a 1ª posição temos 6, possibilidades. Para cada uma das escolhas da 1ª posição, teremos 5 para a 2ª posição e seguindo essa mesma ideia nas outras posições reduz-se uma das possibilidades e utilizando o princípio multiplicativo temos:

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 maneiras de colocar 6 pessoas em fila.

À essa maneira de ordenar coisas, pessoas ou objetos alterando a sua posição, chamamos de permutação.

De fato, permutar significa trocar a ordem dos elementos que formam um todo com a finalidade de obter uma nova configuração. A permutação é formada pelos mesmos elementos, em ordem diferente.

Se queremos, organizar 9 livros numa prateleira, quantas maneiras diferentes é possível fazer essa organização?

Já sabemos que o cálculo a ser feito é:

9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1.

Observe que à medida que aumenta o número de objetos, mais complicado é fazer os cálculos, desse modo, temos um recurso na calculadora para cálculos imediatos de permutação. A esse recurso matemático é chamado de fatorial, que é a multiplicação de números decrescentes até o 1.

Por exemplo, podemos representar a multiplicação acima como sendo 9!, lemos “nove fatorial”, ou “fatorial de 9”.

Toda vez que colocamos um ponto de exclamação após o número, estamos requerendo o fatorial desse número, isto é, o produto entre esse número e todos os números naturais que o antecedem, até chegar ao número 1.

Na Calculadora temos:

Portanto, são 362.880 maneiras diferentes para fazer a organização dos 9 livros.

De modo geral, podemos escrever o fatorial de um número n qualquer como n!, onde:

n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ 2 ∙ 1.

Observação: 1! = 1 e 0! = 1

Permutação Simples: O número de modos de ordenar n objetos distintos é igual a

n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (n – 1) ∙ n.

Atividades:

1) De quantas maneiras é possível formar um número de 4 dígitos usando 1, 2, 3 e 4 sem repeti-los?

2) Cinco atletas que disputam as 5 primeiras posições de uma corrida. Quantas são as possibilidades de colocação?

3) De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Beatriz, Carina e Daniela para a produção de um álbum de fotografias promocionais, sabendo que Ana ficará sempre na 1ª posição?

4) Considerando 3 rapazes e 4 moças.

a) De quantos modos podem ser colocados numa fila em qualquer ordem?

b) Agora, de quantos modos podem ser colocados numa fila de modo que as moças fiquem sempre juntas?

5) Uma bibliotecária recebeu uma doação de 3 livros diferentes de Matemática, 4 livros diferentes de Química e 3 livros diferentes de Física. De quantas formas ela poderá arrumá-los em uma prateleira de livros novos, em qualquer ordem? E se livros de mesma matéria devem ficar juntos?

Anagramas

Outro tipo de problema de permutação envolve o agrupamento de letras para formar palavras, o que se denomina anagrama.

Anagrama é a troca das letras de uma palavra para formar uma nova palavra, por exemplo:

• AMOR é um anagrama da palavra ROMA.

• RAMO é um anagrama da palavra AMOR.

Porém esta palavra nova, pode não fazer sentido.

Calculemos quantos anagramas são possíveis com a palavra AMOR. E com a palavra ESCOLA?

A palavra AMOR possui 4 letras diferentes, portanto 4! = 24 anagramas.

A palavra ESCOLA possui 6 letras diferentes, portanto 6! = 720 anagramas.

Atividades:

1) Quantos são os anagramas da palavra CORAGEM:

a) que começam por consoante e terminam por vogal?

b) que têm letras C, O, R juntas nessa ordem?

c) que têm as letras C, O, R juntas em qualquer ordem?

d) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?

e) que têm a letra C no primeiro lugar e a letra O no segundo lugar?

2) Quantos anagramas da palavra ESCOLA começam com a letra S? E quantos anagramas da palavra ESCOLA começam por vogal?

3) Quantos anagramas da palavra LIVRO têm a sílaba LI?

4) a) Quantos números de 6 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6?

b) Quantos desses números são pares?

c) Quantos têm os algarismos 1 e 2 juntos?

d) Quantos são múltiplos de 5?

5) Observem como calcular anagramas com palavras que possuem letras repetidas. Faz-se necessário, excluir da contagem as permutações possíveis com essas letras, pois na contagem formam o mesmo anagrama de forma repetida.

Calcule o número de anagramas das palavras:

a) EMPATIA

b) RESPEITO

c) CURIOSIDADE

d) CRIATIVIDADE

e) RESPONSABILIDADE

Gerador de Anagramas: https://www.palavras.net/anagramas.php

Revisão de Contagem

A partir do esquema de árvore conseguimos verificar que para conseguir fazer uma contagem indireta de uma situação, multiplicamos o número de cada possibilidade para obtermos a possibilidade total pedida. Por exemplo:

Teresa vai a uma festa e tem 3 vestidos novos e 5 pares de sapato para combinar com o vestido; quantas maneiras Teresa tem de se vestir?

Para cada um dos 3 vestidos, Teresa tem 5 dos pares de sapato para combinar, obtendo assim:

3 x 5 = 15 maneiras diferentes de se vestir.

Deste modo, teremos as seguintes maneiras de combinar o modo de vestir de Teresa:

(V1, S1); (V1, S2); (V1, S3); (V1, S4); (V1, S5);

(V2, S1); (V2, S2); (V2, S3); (V2, S4); (V2, S5);

(V3, S1); (V3, S2); (V3, S3); (V3, S4); (V3, S5).

Que pela contagem direta podemos também verificar que são 15 maneiras de Teresa vestir-se.

Como já verificado na forma de contagem direta e pelo esquema de árvore, que basta multiplicarmos as possibilidades diferentes e obteremos a possibilidade total, utilizamos esse método do princípio multiplicativo para desenvolvermos diversas técnicas de contagem de forma indireta.

Já estudamos que se Tito tem cinco blusas, quatro calças e três tênis.

Ele tem 5 x 4 x 3 = 60 maneiras diferentes de vestir-se.

Bem como, estudamos uma técnica de contar quantas maneiras temos de colocar pessoas em fila, observando cada posição da fila. Por exemplo:

Para colocar 4 pessoas em fila, temos inicialmente na primeira posição as 4 pessoas, posteriormente na segunda posição 3 das restante, e na terceira posição 2 das que faltam e final mente na quarta posição a única que falta.

Como para cada uma das que coloca na primeira posição a configuração inicial se repete, implicando em novas possibilidades, utilizamos o princípio multiplicativo para estabelecer o total de possibilidades de colocar essas quatro pessoas em fila.

Deste modo temos: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 maneiras de colocar essas pessoas em fila.

Inclusive já percebemos que para cada posição diminui uma pessoa na possibilidade de cada casa posterior, por esta razão, o número a se multiplicar no fator posterior será uma unidade a menos, por exemplo se desejo colocar 8 pessoas em fila, devo fazer: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1.

E utilizamos um recurso matemático, inclusive contido nas calculadoras, que é o fatorial, que é uma forma simplificada de escrever tal situação. No caso do exemplo temos:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8!.

Lemos 8! como “oito fatorial” ou “fatorial de oito”.

A essa técnica de contagem chamamos de permutação, útil para diversas aplicações como segredo de senhas, código de barras, QR code e outros momentos práticos.

Quantas maneiras existem de colocar 10 pessoas em fila?

- Existem 10! maneiras.

Quantos anagramas é possível com a palavra LIVRE?

- Temos 5! anagramas com a palavra LIVRE, pois a palavra tem 5 letras diferentes.

Lembrando de 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120, então 120 anagramas possíveis.

Quantos números de 4 algarismos diferentes é possível com os algarismos 6, 7, 8 e 9?

- Temos 4! números diferentes.

Atividades de Revisão:

1) Quantos anagramas são possíveis com as letras que formam o seu nome?

2) Quantos são os anagramas das palavras ESPORTE, OLIMPÍADA, MATEMÁTICA?

3) João, André, William, Pedro, Roberto, Fabiano e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os possíveis resultados para os três primeiros colocados?

4) Em uma urna de sorteio de prêmios, existem dez bolas, enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

5) Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem dirigir. De quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a viagem?

6) Num encontro entre presidentes de vários países, apenas 7 confirmaram presença. Os organizadores dos eventos que ocorrerão durante a visita gostariam de permutar os presidentes, possibilitando vários contatos diferentes.

a) De quantas maneiras podemos permutar os presidentes em 7 cadeiras lado a lado?

b) Se 2 dos presidentes devem se sentar lado a lado, quantas são as possibilidades de organizá-los?

c) Se tivéssemos 2 presidentes que não devessem ficar juntos, quantas seriam as possibilidades de organizá-los?

7) Uma corrida é disputada por cinco atletas. Todos chegam à reta final.

a) Quantas possibilidades diferentes existem para os três primeiros lugares?

b) Quantas possibilidades diferentes existem para as cinco classificações?

8) De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas?

9) De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas?

10) De quantos modos podemos colocar 10 garotos e 10 garotas em uma fila de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?

11) As embalagens dos produtos vendidos por uma empresa apresentam uma sequência formada por barras verticais: quatro de largura 1,5 mm; três de largura 0,5 mm; e duas de largura 0,25 mm.