Generalizando, temos:
,para n > 0.
Estabelecer relações de ordem entre os números é determinar qual deles é maior
e qual é menor. Já sabemos como estabelecer relações de ordem entre
números naturais, inteiros e racionais. Agora veremos como fazer isso com os
decimais.
Primeiro, consideramos os valores posicionais inteiros, isto é, as unidades, dezenas, centenas, etc. Depois os valores posicionais decimais: os décimos, centésimos, milésimos, etc.
Usaremos os números 10,45 e 3,28 como
exemplo.
Começamos comparando cada valor posicional da
esquerda para a direita. Isto significa que a prioridade
está sendo dada aos mais significativos: aqueles que representam o maior número
de unidades.
Neste caso, há um número um na
posição das dezenas do primeiro número e zero nas dezenas do segundo. Podemos
afirmar imediatamente que o primeiro é maior:
10,45 >
3,28
Outro exemplo:
Comparamos os números 2,3089 e 2,316.
Novamente devemos começar da
esquerda para a direita. Neste caso, os dois números começam nas unidades: cada
um tem dois. Como este valor posicional não determinou qual é o maior,
continuamos com o próximo à esquerda.
Agora os décimos são
comparados: os dois números têm três décimos cada um. Até aqui não é possível
decidir qual é maior, por isto o próximo valor posicional deve ser comparado.
Os centésimos: o primeiro
número tem zero centésimos e o segundo um. Podemos dizer então que o segundo
número é maior que o primeiro:
2,3089 < 2,316.
Observe que embora a parte
decimal do primeiro número, pareça ser maior que a
segunda, isto não significa que seja maior
que Não se deixe confundir pelas aparências.
Comparação de decimais
negativos
Ao comparar dois números
decimais negativos, é bom lembrar que o sinal
de menos é interpretado como uma dívida. Assim, o número que representa menos dívida será maior.
Vamos comparar os números –0,2 e –0,15:
e aplicando o método explicado anteriormente é possível perceber que 0,2 é maior que 0,15.
Então, –0,2 é uma dívida maior que –0,15, ou seja, –0,2 é menor que –0,15.
0,2 > 0,15
–0,2 < –0,15
Observe que ao representar esses números na reta, o menor está à esquerda do maior. Isto está de acordo com as explicações feitas sobre a ordem na reta numérica.
Somar ou subtrair números
decimais é igual a adicionar números inteiros. O mais importante é ter em mente os valores posicionais. Observe o exemplo na soma
56,345 + 687,91.
Como outro exemplo, faremos a subtração:
20,87 – 9,348.
Logo, 20,87 – 9,348 = 11,522.
Se você se lembra de como
multiplicar números naturais, verá que não há nada mais simples que
multiplicar decimais.
A multiplicação de decimais
pode ser decomposta em duas partes:
a) Multiplicar os números da
maneira usual sem considerar as vírgulas.
b) Colocar a vírgula no
resultado final considerando a soma entre a quantidade de decimais que tem
os fatores.
Por este motivo, é importante
saber o caminho para fazer uma multiplicação. Veja o exemplo a seguir com a multiplicação dos
números 2,39 e 40,08:
Até este momento, realizamos a
primeira parte do processo:
multiplicar os números desconsiderando as vírgulas.
Para concluir, basta colocar a vírgula no lugar correspondente, e fazer a seguinte soma: Número de decimais do primeiro fator, mais o número de decimais do segundo fator.
Contamos os decimais que
existem nos números 2,39 e 40,08. Neste caso, cada um tem dois decimais, para um total de quatro. Portanto, a resposta deve ter quatro casas decimais. Para que o resultado da multiplicação,
957912, tenha quatro decimais, a vírgula deve ser colocada entre o 5 e o 7:
(A) Para
contar as cadeiras de uma sala.
(B) Para
expressar a altura de uma pessoa.
(C) Para
expressar o número do documento de identidade (RG).
(D) Para
expressar o preço de um produto.
(E) Para
indicar a localização de um apartamento.
11) Verificando a massa numa balança de precisão, quem é mais pesada: Teresa, que tem 69,129 kg, ou Edite, que tem 69,121 kg?
12) Se Neto tem 1,76 metros de altura e Nina tem 1,78 metros, quem é maior?
13) É muito comum em viadutos possuírem uma placa indicando a altura máxima que é possível um veículo de porte alto ultrapassar, senão ele terá que fazer desvio no trânsito. Num viaduto possui a placa indicando altura máxima 4,5 metros.
Um caminhão possui uma altura verificada de 4,468 metros de cargas. Esse caminhão ultrapassa o viaduto ou terá que fazer o desvio?
14) Expresse
numericamente:
b) O dobro de 0,5.
c) A metade de 5.
d) A metade de –0,8.
e) O triplo de 1,2.
d) A terça parte de 7.
e) O quádruplo de –3,2.
f) O quíntuplo de 1,2.
g) A décima parte de 15.
h) O quíntuplo de 1,2.
i) A décima parte de
0,02.
15) Carlos e Claudia têm cordas de
2,36 e 1,64 metros, respectivamente. Se eles decidirem
juntar suas cordas, quantos metros terão juntos?
16) Um professor de educação
física orienta seus alunos a fazerem as seguintes corridas todos os
dias:
Segunda-feira: 2,32 quilômetros.
Terça-feira: 3,48
quilômetros.
Quarta-feira: 4,01
quilômetros.
Quinta-feira: 5,79
quilômetros.
Sexta-feira: 6
quilômetros.
Quantos quilômetros percorre
cada aluno no final da semana?
17) Patricia tinha uma corda de 25 metros de comprimento e sua amiga Susana pediu que ela lhe desse um pedaço. Patricia mede o pedaço que Susana lhe devolve e percebe que só tem 7,15 metros. Quantos metros de corda ficaram com a Susana?
18) Qual o novo peso de Alberto se ele pesava 72,87 kg e perdeu 1,53 kg?
19) Camilo tem a intenção de
comprar um apartamento e tem duas ofertas com o mesmo preço: o apartamento A mede de 6,5 metros
por 10,2 e o apartamento B mede
7,2 X 9,5 metros. Se Camilo quer comprar o maior apartamento, qual ele
deveria escolher?
20) O que é mais lucrativo: uma dúzia de ovos por 6 reais ou 30 ovos por 15 reais?
21) Nuno estava participando de uma maratona. O percurso total da prova é de 42,20 km. Sabendo-se que ainda faltam 16,10 km para ele completar a prova, qual a distância já percorrida por Nuno?
(A) 25,92 km
(B) 26,10 km
(C) 23,79 km
(D) 40,55 km
22) Uma atleta brasileira alcançou
a marca de 4,60 m no salto com vara, nos Jogos Pan-americanos realizados no Rio de Janeiro em 2007. Sua
melhor marca é de 4,80 m, recorde sul-americano na categoria. A diferença entre
essas duas marcas é:
(A) 20 cm
(B) 0,2 cm
(C) 2 cm
(D) 200 m
Para evitar o trabalho de escrever número com muitos
algarismos, os cientistas introduziram em sua linguagem a notação científica.
Um número está expresso em notação científica se estiver escrito como produto de dois números reais: um deles entre 1 e 10, incluindo 1, e o outro, uma potência de 10.
De outro modo, um número estará expresso em notação
científica quando estiver escrito no seguinte formato:
x ∙ 10y ;
com x
Exemplos:
15 = 1,5 x 101
314 = 3,14 x 102
0,37 = 3,7 x 10–1
0,062 = 6,2 x 10–2
0,000286 = 2,86 x 10–4
Observe que usamos expoentes positivos quando estamos representando números grandes e expoentes negativos quando estamos representando números pequenos.
Os astrônomos medem as distâncias entre as estrelas em uma
unidade chamada ano-luz, que é a
distância percorrida pela luz durante um ano. Essa imensa distância vale,
aproximadamente, 9.500.000.000.000 km, ou seja, nove trilhões e quinhentos bilhões
de quilômetros. Para facilitar, escrevemos esse número assim:
1 ano-luz = 9,5 x 1012 km.
O tamanho de vírus e bactérias são medidas usualmente em micrômetro (μm) ou nanômetro (ηm), considerados também submúltiplos do metro.
1 μm = 10–6 m.
1 ηm = 10–9 m.
2) No século III a.C.,
Eratóstenes, astrônomo egípcio, determinou o valor do raio da Terra com grande
precisão: 6.370 km. Em metros, essa medida corresponde a 6.370.000 m. Como
expressamos essa medida, em metros, na notação científica?
(A) 637 x 104 m.
(B) 63,7 x 105 m.
(C) 6,37 x 106 m.
(D) 6,37 x 107 m.
3) (ENEM-2012) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é
igual a:
(A) 3,25 × 102 km.
(B) 3,25 × 103 km.
(C) 3,25 × 104 km.
(D) 3,25 × 105 km.
(E) 3,25 × 106 km.
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