quinta-feira, 21 de maio de 2020

Potência de base 10 e Números Decimais



Observando que:

101 = 10
102 = 10 x 10 = 100
103 = 10 x 10 x 10 = 1.000
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000

Generalizando, temos:



,para n > 0.


Para 100 = 1 e para n < 0, temos:



















Exemplos:

1) Quantos zeros devemos colocar após 1 ao escrever a potência 1020 ?
Deveremos ter 20 zeros a após o algarismo 1.

2) Como escrever número 1.000.000 em potência de 10?
Como após o 1 temos 6 zeros, então como potência esse número será 106.

3) Quantos algarismos devemos colocar depois da vírgula ao escrever a potência de 10–7 ?
Teremos 7 casas decimais após a vírgula.

4) Como escrever o número 0,00000001 em potência de 10?
Como temos 8 casas depois da vírgula, então potência esse número será 10–8.



5) Escrevamos, agora, em notação decimal, as seguintes potências:









6) Esses números podem ser representados também em potência de 10, da seguinte forma:

5–2 0,04 = 4 x 10–2

2–4 0,0625 = 625 x 10–4


7) É possível um número representado em potência de 10, ser representado em notação decimal, como:

3 x 10–5  0,00003

31 x 10–4 0,0031


8) Ou uma potência de ordem positiva, como:

3 x 105 = 300.000

31 x 104 = 310.000


9) Quanto vale 3,14 x 105 ?

3,14 x 105 = 314.000


10) Quanto vale 3,14 x 10–5 ?
  
3,14 x 10–5 = 0,0000314



Ordem e operações com números decimais

Estabelecer relações de ordem entre os números é determinar qual deles é maior e qual é menor. Já sabemos como estabelecer relações de ordem entre números naturaisinteiros e racionais. Agora veremos como fazer isso com os decimais. 

Primeiro, consideramos os valores posicionais inteiros, isto é, as unidades, dezenas, centenas, etc. Depois os valores posicionais decimais: os décimos, centésimos, milésimos, etc. 

Usaremos os números 10,45 e 3,28  como exemplo.

Começamos comparando cada valor posicional da esquerda para a direita. Isto significa que a prioridade está sendo dada aos mais significativos: aqueles que representam o maior número de unidades. 

Neste caso, há um número um na posição das dezenas do primeiro número e zero nas dezenas do segundo. Podemos afirmar imediatamente que o primeiro é maior: 

10,45 > 3,28

Outro exemplo: 

Comparamos os números 2,3089 e  2,316.

Novamente devemos começar da esquerda para a direita. Neste caso, os dois números começam nas unidades: cada um tem dois. Como este valor posicional não determinou qual é o maior, continuamos com o próximo à esquerda.

Agora os décimos são comparados: os dois números têm três décimos cada um. Até aqui não é possível decidir qual é maior, por isto o próximo valor posicional deve ser comparado.

Os centésimos: o primeiro número tem zero centésimos e o segundo um. Podemos dizer então que o segundo número é maior que o primeiro: 

2,3089 <  2,316.

Observe que embora a parte decimal do primeiro número, pareça ser maior que a segunda,  isto não significa que  seja maior que  Não se deixe confundir pelas aparências.

 

Comparação de decimais negativos 

Ao comparar dois números decimais negativos, é bom lembrar que o sinal de menos é interpretado como uma dívida. Assim, o número que representa menos dívida será maior.
    

Vamos comparar os números  –0,2 e –0,15: 

e aplicando o método explicado anteriormente é possível perceber que  0,2 é maior que 0,15. 

Então, –0,2  é uma dívida maior que –0,15, ou seja, –0,2 é menor que –0,15.

0,2 > 0,15

–0,2 < –0,15

 

Observe que ao representar esses números na reta, o menor está à esquerda do maior.  Isto está de acordo com as explicações feitas sobre a ordem na reta numérica. 



Somar ou subtrair números decimais é igual a adicionar números inteiros. O mais importante é ter em mente os valores posicionais. Observe o exemplo na soma

56,345 + 687,91.


Logo, 56,345 + 687,91 = 744,255.

Como outro exemplo, faremos a subtração: 

20,87 – 9,348

Logo, 20,87 – 9,348 11,522


Se você se lembra de como multiplicar números naturais, verá que não há nada mais simples que multiplicar decimais.

A multiplicação de decimais pode ser decomposta em duas partes: 

a) Multiplicar os números da maneira usual sem considerar as vírgulas.

b) Colocar a vírgula no resultado final considerando a soma entre a quantidade de decimais que tem os fatores.

Por este motivo, é importante saber o caminho para fazer uma multiplicação. Veja o exemplo a seguir com a multiplicação dos números 2,39 e 40,08:

Até este momento, realizamos a primeira parte do processo: multiplicar os números desconsiderando as vírgulas

Para concluir, basta colocar a vírgula no lugar correspondente, e fazer a seguinte soma: Número de decimais do primeiro fator, mais o número de decimais do segundo fator. 

Contamos os decimais que existem nos números 2,39 e 40,08. Neste caso, cada um tem dois decimais, para um total de quatro. Portanto, a resposta deve ter quatro casas decimais. Para que o resultado da multiplicação, 957912, tenha quatro decimais, a vírgula deve ser colocada entre o 5 e o 7:


Atividades:

1) Assinale as situações em que são utilizados “números com vírgula”.

(A) Para contar as cadeiras de uma sala.

(B) Para expressar a altura de uma pessoa.

(C) Para expressar o número do documento de identidade (RG).

(D) Para expressar o preço de um produto.

(E) Para indicar a localização de um apartamento.



2) Coloque as seguintes sequências de números decimais em ordem crescente:
    a) 0,235 – 0,25 – 0,205 – 0,2235 – 0,025

    b) 2,5 – 2,05 – 2,55 – 0,25 – 2,055

3) Coloque os seguintes números decimais na forma de fração decimal:
a) 0,5  
b) 0,05 
c) 0,25 
d) 0,235 
e) 0,2235 
f) 0,025 
g) 3,4
h) 2,25  
i) 2,05  
j) 2,055

4) Calcule as seguintes operações com números decimais:
a) 0,4 + 0,2 =      
b) 1,6 + 1,2    
c) 0,3 + 0,48     
d) 1,28 – 1,21
e) 1,2 x 4    
f) 1,2 x 0,4    
g) 0,6 x 0,2   
h) 0,09 / 3
i) 0,84 + 0,7        
j) 3 x 0,7       
k) 2 x 0,48

5) Calcule o valor das expressões:
a) 10 – 23
b) 10 – (–2)3


6) Escreva em notação decimal as potências:
a) 102    
b) 10  
c) 10–1    
d) 10–3     
e) 6,25 x 10–6    
f) 2–2

7) Escrever os números decimais em forma de potência:
a) 0,000001    
b) 0,002   
c) 0,0014

8) Calcule o valor de x nas equações:
   a) 10x  = 1.000.000
   b) 10x – 4  = 1000
   c) 10x – 1 = 0,001
   d) 105x – 6 = 0,0001  

9) Quantos valores reais o x pode assumir na sentença: 1,23 < x < 1,24 ?

10) Encontre um valor possível para x na sentença: 1,23 < x < 1,24.


11) Verificando a massa numa balança de precisão, quem é mais pesada: Teresa, que tem 69,129 kg, ou Edite, que tem 69,121 kg?


12) Se Neto tem 1,76 metros de altura e Nina tem 1,78 metros, quem é maior?



13) É muito comum em viadutos possuírem uma placa indicando a altura máxima que é possível um veículo de porte alto ultrapassar, senão ele terá que fazer desvio no trânsito. Num viaduto possui a placa indicando altura máxima 4,5 metros. 

Um caminhão possui uma altura verificada de 4,468 metros de cargas. Esse caminhão ultrapassa o viaduto ou terá que fazer o desvio?



14) Expresse numericamente:

 a) O dobro de 1,5. 

b) O dobro de 0,5. 

c) A metade de 5. 

d) A metade de –0,8. 

e) O triplo de 1,2.

d) A terça parte de 7.

e) O quádruplo de –3,2. 

f) O quíntuplo de 1,2. 

g) A décima parte de 15. 

h) O quíntuplo de 1,2. 

i) A décima parte de 0,02.


15) Carlos e Claudia têm cordas de 2,36  e 1,64 metros, respectivamente. Se eles decidirem juntar suas cordas, quantos metros terão juntos?

 

16) Um professor de educação física orienta seus alunos a fazerem as seguintes corridas todos os dias:  

        Segunda-feira: 2,32 quilômetros. 

        Terça-feira:  3,48 quilômetros. 

        Quarta-feira:  4,01 quilômetros.

        Quinta-feira:  5,79 quilômetros. 

        Sexta-feira:  6 quilômetros. 

Quantos quilômetros percorre cada aluno no final da semana?  

 

17) Patricia tinha uma corda de  25 metros de comprimento e sua amiga Susana pediu que ela lhe desse um pedaço. Patricia mede o pedaço que Susana lhe devolve e percebe que só tem  7,15 metros. Quantos metros de corda ficaram com a Susana? 


18) Qual o novo peso de Alberto se ele pesava 72,87 kg e perdeu 1,53 kg? 


19) Camilo tem a intenção de comprar um apartamento e tem duas ofertas com o mesmo preço: o apartamento A  mede de 6,5 metros por 10,2 e o apartamento B  mede 7,2 X 9,5 metros. Se Camilo quer comprar o maior apartamento, qual ele deveria escolher? 


20) O que é mais lucrativo: uma dúzia de ovos por 6 reais ou 30 ovos por 15 reais?


21) Nuno estava participando de uma maratona. O percurso total da prova é de 42,20 km. Sabendo-se que ainda faltam 16,10 km para ele completar a prova, qual a distância já percorrida por Nuno?

        (A) 25,92 km      

        (B) 26,10 km      

        (C) 23,79 km

         (D) 40,55 km


22) Uma atleta brasileira alcançou a marca de 4,60 m no salto com vara, nos Jogos Pan-americanos  realizados no Rio de Janeiro em 2007. Sua melhor marca é de 4,80 m, recorde sul-americano na categoria. A diferença entre essas duas marcas é:

        (A) 20 cm

        (B) 0,2 cm

        (C) 2 cm

        (D) 200 m



Propriedades de potência em potências de 10:


Exemplos:

a)      102 x 103 = 105

b)      102 x 104 = 102+ (4) = 10(2  4) = 102

c)      2 x 102 x 4 x 103 = 8 x 105














Para evitar o trabalho de escrever número com muitos algarismos, os cientistas introduziram em sua linguagem a notação científica.

Um número está expresso em notação científica se estiver escrito como produto de dois números reais: um deles entre 1 e 10, incluindo 1, e o outro, uma potência de 10. 

De outro modo, um número estará expresso em notação científica quando estiver escrito no seguinte formato:

x 10y ;

com x  pertencente ao intervalo [1, 10[ e y número inteiro.

 

Exemplos: 

15 = 1,5 x 101

314 = 3,14 x 102

0,37 = 3,7 x 10–1

0,062 = 6,2 x 10–2

0,000286 = 2,86 x 10–4


Observe que usamos expoentes positivos quando estamos representando números grandes e expoentes negativos quando estamos representando números pequenos.

 

Os astrônomos medem as distâncias entre as estrelas em uma unidade chamada ano-luz, que é a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa imensa distância vale, aproximadamente, 9.500.000.000.000 km, ou seja, nove trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros. Para facilitar, escrevemos esse número assim:

1 ano-luz = 9,5 x 1012 km.


O tamanho de vírus e bactérias são medidas usualmente em micrômetro (μm) ou nanômetro (ηm), considerados também submúltiplos do metro. 

1 μm = 10–6 m.

1 ηm = 10–9 m. 




Atividades:

1) Escreva em notação científica as seguintes grandezas:

a) A distância entre a Terra e o Sol é de 149.000.000 km.

b) A distância entre a Terra e a estrela mais próxima depois do Sol: 37.000.000.000.000.000 km.

c) O diâmetro de um fio de cabelo: 0,0001 m.

d) A massa de um elétron é de cerca de 0,00000000000000000000000000000091093822 kg.

e) A massa da Terra é de cerca de 5.973.600.000.000.000.000.000.000 kg.

f) A circunferência da Terra é de aproximadamente 40 000 000 m. 

g) A menor bactéria cujo nome é Chlamydia tem 0,0000002 m.  

h) A Organização Mundial de Saúde estabeleceu que a quantidade máxima de dióxido de carbono no ar que respiramos deve ser de 0,00004 gramas em cada metro cúbico de ar.

i) No universo, existem cerca de 10.000.000.000.000.000.000.000 de estrelas.

j) A massa do planeta Júpiter é de 19.000.000.000.000.000.000.000.000 kg, e a massa do Sol é de 19.891.000.000.000.000.000.000.000.000kg.

k) Em 12 gramas de Carbono-12 há, aproximadamente, 60.000.000.000.000.000.000.000 átomos de carbono.

l) A espessura de uma fibra nervosa de nosso corpo, responsável por transmitir sensações como a do tato, é de 0,000008 m.

m) O diâmetro de um átomo de hidrogênio, da ordem de 0,0000000001 m

n) A nave espacial mais rápida – e que até hoje foi mais longe – é a Voyager 1. Ela partiu em 1977 com destino a Júpiter e Saturno. Hoje ela está a mais de 16 milhões de quilômetros da Terra.

o) A massa atômica do hidrogênio é igual a 0,00000000000000000000000166 g.

p) A memória de um computador é de 4 GB que corresponde a 4.294.967.296 bytes.

q) Os processadores dos computadores da Embratel atingem a 90 TB, que correspondem a 98.956.046.499.840 bytes.


2) No século III a.C., Eratóstenes, astrônomo egípcio, determinou o valor do raio da Terra com grande precisão: 6.370 km. Em metros, essa medida corresponde a 6.370.000 m. Como expressamos essa medida, em metros, na notação científica? 

      (A) 637 x 104 m.

      (B) 63,7 x 105 m.

      (C) 6,37 x 106 m.

      (D) 6,37 x 107 m.


3) (ENEM-2012) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre. 

 

Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a:

(A) 3,25 × 102 km.

(B) 3,25 × 103 km.

(C) 3,25 × 104 km.

(D) 3,25 × 105 km.

(E) 3,25 × 106 km.



Aprofunde-se: 



Nenhum comentário:

Postar um comentário