segunda-feira, 25 de maio de 2020

Números Naturais e Contagem



Quantos países existem no mundo? 

Quantos países participarão das Olimpíadas de 2020 em Tóquio? 

Quantas serão as modalidades esportivas? 

              


Para chegar a esses números efetuamos uma contagem.

Ligados principalmente à contagem de situações ocorridas na natureza esses números foram chamados de naturais e podem ser reunidos em um conjunto indicado pela letra N
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}



Nem sempre a contagem dos elementos de um conjunto é feito de forma direta, contando cada elemento do conjunto. Vejamos:


1) Uma lanchonete oferece 
três tipos de sanduíches (carne, frango e salsicha) e dois tipos de bebidas (suco de laranja e refrigerante de guaraná). Quantos lanches diferentes podem ser oferecidos, se cada um deve conter um sanduíche e uma bebida?

Para cada um dos 3 sanduíches é possível formar lanches de configurações diferentes com cada um dos 2 tipos de bebidas oferecidos, ou seja, 3 x 2 = 6 possibilidades de lanches diferentes. 


2)  Se Monica tivesse cinco vestidos, quatro tênis e três meias, todos os itens diferentes um do outro. De quantas maneiras diferentes ela poderia se vestir?

É possível fazer um esquema de árvore e verificar como fazer uma contagem indireta de uma situação:

a) para cada um dos 5 vestidos,


b) Monica teria 5 dos pares de tênis para combinar,



obtendo assim 5 x 4 = 20 maneiras diferentes de se vestir;

c) e para cada um a dessas maneiras de combinar ainda poderia escolher uma das 3 meias:
e constatamos que multiplicamos o número de cada possibilidade para obtermos a possibilidade total pedida. 

Logo, Monica teria 5 x 4 x 3 = 60 maneiras diferentes que poderia se vestir.






3) Num smartphone protegido por senha de quatro algarismos, de 0 a 9, quantas são as possibilidades de senhas diferentes?

Vamos considerar que os quadrinhos a seguir são a posição que cada dígito da senha irá ocupar:

Desse modo, podemos contar o número de possibilidades de algarismos que pode ser colocado em cada posição:

a) para o 1º dígito, temos 10 possibilidades {0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9};

b) igualmente para o 2º, 3º e 4º dígitos, o mesmo número de possibilidades.

Para cada um dos 10 dígitos possíveis a ser colocados na 1ª posição, temos 10 possibilidades na 2ª posição, tendo assim 10 x 10 = 100 possibilidade até a 2ª posição; e seguindo essa ideia para cada uma das outras é possível também 10 para cada uma das posições anteriores:

Daí, o número total de possibilidades de senha será:

10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000. 

Portanto, temos 10.000 possibilidades de senhas diferentes.


À essa forma de contagem indireta, damos o nome de Princípio Multiplicativo.



4) O diretor de uma escola convidou alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Quantas são as possibilidades de respostas dados pelos alunos nessa brincadeira?

Como temos 5 objetos, 6 personagens e 9 cômodos, utilizando o princípio multiplicativo, os alunos podem responder de
5 x 6 x 9 = 270 formas diferentes.

Logo, temos 270 possibilidades de respostas diferentes.





Atividades:

1) João recebe uma quantia e terá que optar em ir a um parque de diversões para brincar em um dos 8 brinquedos existentes ou assistir um dos 3 filmes em cartaz. De quantas maneiras diferentes João poderá se divertir?


2) Um quiosque na Central do Brasil possui 2 tipos de sucos e 3 tipos de refrigerantes. De quantas maneiras uma pessoa pode adquirir apenas um tipo de bebida?


3) Observe o cadeado de bicicleta que destrava através de uma senha:

a) Qual o total de senhas possíveis?

b) Imagine agora, se fosse possível um cadeado em que o disco de possibilidades comporta as 26 letras do alfabeto, nesse caso, qual total de senhas possíveis?



4) Rick possui 4 pares de tênis e 10 pares de meias. De quantas maneiras ele poderá se calçar utilizando um par de meias e um de sapatos?



5) O cardápio de um restaurante oferece 10 tipos de massas, cada uma podendo ser servida com 15 molhos diferentes. Quantos pratos diferentes é possível escolher?


6) Numa lanchonete, é possível montar o próprio sanduíche combinando 5 tipos de pão, 6 tipos de recheio e 3 tipos de molho. Quantos sanduíches diferentes podem ser montados?


7) Em uma lanchonete há 3 tipos de sanduíche, 2 tipos de suco e 2 tipos de sobremesa. De quantas maneiras diferentes pode-se fazer um lanche nessa lanchonete escolhendo 1 sanduíche 1 suco e 1 doce?


8) Fichas podem ser pretas, brancas ou vermelhas; circulares, quadradas ou circulares; finas ou grossas. Quantos tipo de fichas existem?


9) Uma montadora de automóveis apresenta um carro em quatro modelos diferentes e em cinco cores diferentes. Um consumidor que quiser adquirir esse veículo terá quantas opções de escolha?


10) Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 6 cores diferentes com 3 tipos de acabamento (standard, sport ou luxo) e com 3 tipos de motores (1.6, 1.8 e 2.0), sendo que os motores podem ser movidos a álcool ou a gasolina. Quantas são as opções de escolha de um comprador desse automóvel?



11) Para montar um computador, temos 4 diferentes tipos de monitores, 5 tipos de teclados, 3 tipos de impressoras e 4 tipos de "CPU". Qual é o número de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças?


12) Cinco jogadores de futebol, concorrem a um dos títulos de 1º, 2º e 3º melhor jogador do Campeonato Brasileiro. De quantas maneiras diferentes esses títulos podem ser distribuídos?

13) Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer. De quantos modos diferentes pode ocorrer a chegada dos 3 primeiros colocados?


14) Um time brasileiro de futebol disputará obrigatoriamente 6 jogos numa excursão pela Europa. De quantos modos diferentes poderá ocorrer a campanha desse time durante essa excursão?


15) Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, há 7 cadeiras desocupadas. De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras?


16) (ENEM-2013-adaptado) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.

a) Quantas são as possibilidades de senhas diferentes?

b) Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de um nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Quantas são as possibilidades de senhas nessa nova configuração?

c) Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. Qual é coeficiente de melhora da alteração recomendada?


17) Quatro cidades estão interligadas por meio de um conjunto de estradas. Para ir da cidade A à cidade D, é preciso passar pelas cidades B e C, que ficam no meio do caminho.

Para ir da cidade A à cidade B, há 4 estradas; da cidade B à cidade C, há 3 estradas; e da cidade C à cidade D, 2 estradas.

Determine o total de caminhos possíveis para se ir:

a) de A até C;

b) de D até B.



18) (ENEM-2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a  brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

(A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

(B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

(C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

(D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

(E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 





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