segunda-feira, 25 de maio de 2020

Princípio Multiplicativo




1) Quantos números naturais de dois algarismos é possível formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

Números naturais com dois algarismos possuem a 1ª ordem da unidade e a 2ª ordem da dezena:

Para a 1ª ordem existem 6 possibilidades de algarismos: {0, 1, 2, 3, 4, 5}; mas na 2ª ordem existem 5 possibilidades, pois o 0 não pode está nessa ordem, senão torna-se um número de um algarismo.

Para cada um dos 5 algarismos possíveis na 2ª ordem, há possibilidade de 6 algarismos na 1ª ordem.

 

Desse, modo utilizando o princípio multiplicativo,  é possível formar:

5 x 6 = 30 números com dois algarismos, utilizando os algarismos dados.


2) Quantos números naturais de três algarismos podemos formar usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

Números naturais com três algarismos possuem a 1ª ordem da unidade, a 2ª ordem da dezena e a 3ª ordem da centena:

Para a 1ª ordem existem 6 possibilidades de algarismos: {0, 1, 2, 3, 4, 5}; na 2ª ordem também existem 6 possibilidades, mas na 3ª ordem existem 5 possibilidade, pois o 0 não pode está nessa ordem, senão torna-se um número de dois algarismos.

Para cada um dos 5 algarismos possíveis na 3ª ordem, há possibilidade de 6 algarismos na 2ª ordem, e para cada uma das configurações das ordens anteriores existem 6 possibilidades para a 1ª ordem. 

Desse, modo utilizando o princípio multiplicativo,  é possível formar:

5 x 6 x 6 = 180 números com três algarismos, utilizando os algarismos dados.


3) Quantos números naturais pares de três algarismos podemos formar usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

Nesse caso, como o número deve ser par, devemos ter cuidado com a ordem da unidade que só pode ter 0, 2 e 4, e assim 3 possibilidades para a 1ª ordem.

Como já sabemos que na 2ª  ordem existem 6 possibilidades, e na 3ª ordem existem 5 possibilidade, pois o 0 não pode está nessa ordem, senão torna-se um número de dois algarismos, teremos para cada um dos 5 algarismos possíveis na 3ª ordem, há possibilidade de 6 algarismos na 2ª ordem, e para cada uma das configurações das ordens anteriores existem 3 possibilidades para a 1ª ordem. 

Desse, modo utilizando o princípio multiplicativo,  é possível formar:

5 x 6 x 3 = 90 números com três algarismos, utilizando os algarismos dados.


4) Quantos números naturais de três algarismos diferentes podemos formar usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Nesse caso, devemos estar atentos que os algarismos das ordens não podem ter o mesmo algarismo, como 112, que repete 1 em duas ordens. 

Para isso devemos verificar as possibilidades para cada uma das casas decimais, separadamente:

a) na casa da centena, inicialmente, podemos colocar: {1, 2, 3, 4, 5}, ou seja, existem aí 5 possibilidades de algarismos;

b) na casa da dezena, agora, deverá se excluir a possibilidade do suposto algarismo que foi escolhido para a casa da centena, portanto para essa casa existem 4 possibilidade de algarismos;

c) já na casa da unidade, deverá se excluir as possibilidades das duas casas anteriores e assim, existem 3 possibilidades.

Desse, modo utilizando o princípio multiplicativo,  é possível formar:

5 x 4 x 3 = 60 números com três algarismos diferentes, utilizando os algarismos dados.




Princípio Multiplicativo: Se uma decisão pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja esta escolha, uma segunda pode ser tomada de q modos, então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as duas decisões é igual a
 q.


Atividades:  

1) Quantos números naturais de três algarismos diferentes podemos formar usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?


2) Com os algarismos  6, 7, 8 e 9:
a) Quantos números naturais pares de quatro algarismos podem ser representados? 
b) Quantos números naturais pares de quatro algarismos diferentes podem ser representados?


3) Utilizando os algarismos 1, 2, 5, 7 e 8, quantos números naturais podemos escrever:

a) de 4 algarismos distintos?

b) de 4 algarismos?

c) ímpares de 4 algarismos?

d) ímpares de 4 algarismos distintos?

e) múltiplos de 5 de 4 algarismos distintos?

 

4) Agora utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 5 e 6, quantos números naturais podemos formar:

a) de 3 algarismos?

b) de 3 algarismos diferentes?

c) de 3 algarismos que sejam pares?

d) de 3 algarismos distintos que sejam pares?

e) de 3 algarismos que sejam múltiplos de 5?



5) Uma pessoa utiliza um dado cúbico (de 6 faces) para escolher números de 2 dígitos que serão usados como códigos. Para isso, ela joga o dado duas vezes: a primeira para escolher o algarismo das dezenas, e a segunda para escolher o algarismo das unidades.

a) Quantos números de dois dígitos podem ser formados?

b) Quantos números pares podem ser formados?

c) Quantos números ímpares podem ser formados?

d) Quantos números múltiplos de 5 podem ser formados?

 

6) Usando o mesmo dado, determine quantos números pares de 3 dígitos é possível formar.



7) Sabendo que número de telefone não começa com 0 nem com 1, calcule quantos números diferentes de telefone podem ser formados com 9 algarismos.


8) Uma empresa vai fabricar cofres com senhas de 4 letras, usando 18 consoantes e as 5 vogais. Se cada senha deve começar com uma consoante e terminar com uma vogal, sem repetir letras, o número senhas possíveis é:

(A) 3.060.

(B) 24.480.

(C) 37.800.

(D) 51.210.

(E) 73.440.


9) Deise vai a uma festa e possui 3 calças (bege, azul e floral); 3 blusas (rosa, branca e azul) e 5 pares de sapatos com modelos diferentes.
a) Com essa quantidade de roupa, de quantas maneiras diferentes Deise poderia se vestir?
b) Deise gostaria muito de usar a camisa de cor rosa. Após essa decisão, de quantas maneiras diferentes Deise poderia se vestir?


10) Numa lanchonete, é possível montar o próprio sanduíche combinando 5 tipos de pão, 6 tipos de recheio e 3 tipos de molho. Manu não gosta de dois dos tipos de molho nem de três dos tipos de recheio e não tem restrição quanto aos tipos de pão. Quantos sanduíches diferentes Manu não pode montar ?


11) Oito equipes de voleibol disputam um campeonato. De quantas maneiras diferentes pode ocorrer a classificação das três primeiras colocadas, se não pode haver empate em nenhuma das colocações?




12) Nas Copas do Mundo de futebol masculino, 32 equipes são distribuídas em 8 grupos com 4 equipes em cada um. Nos grupos, as seleções jogam entre si. Você sabe quantos jogos são realizados em cada grupo?

 

13) Quantos são os jogos de um campeonato de futebol que tem turno (jogos de ida) e retorno (jogos de volta), do qual participam 20 equipes?


14) Num campeonato com 8 equipes, todos jogam contra todos apenas uma vez. Quantos jogos são realizados nesse campeonato?


15) As bandeiras de determinados países, como a da Itália e a da Alemanha, são formadas por listras verticais ou horizontais. 

Um time de futebol resolveu criar uma bandeira com 4 listras horizontais de mesma espessura nas cores vermelha, amarela e verde. Quantas bandeiras diferentes podem ser criadas com essa regra?



16) Uma cidade foi formada, e seus habitantes decidiram que a bandeira será um retângulo com 4 listras verticais em que as cores poderão ser escolhidas entre vermelho, azul, verde e amarelo. Com essas regras, quantas bandeiras diferentes podem ser feitas?


17) Uma bandeira tem sete listras. Cada uma deverá ser pintada de azul ou vermelho. Quantas bandeiras diferentes poderão se obtidas? 

18) Para pintar cada uma das sete listras da bandeira abaixo, pode-se usar o preto, o vermelho ou o branco. Mas duas listras vizinhas não podem ter a mesma cor. De quantas maneiras diferentes a bandeira pode ser pintada?



19) Duas cidades A e B são ligadas por 4 rodovias e a cidade B é ligada a uma cidade C por 5 rodovias. De quantas maneiras uma pessoa pode viajar de automóvel de A para C e voltar de C para A, passando por B na ida e na volta, utilizando rodovias diferentes na ida e na volta?


20) (ENEM-2013) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um modelo no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra um joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C, D, correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

(A) 6.
(B) 12.
(C) 18.
(D) 24.
(E) 36.


21) Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código.

O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser formadas com esse código é:

(A) 120.

(B) 62.

(C) 60.

(D) 20.

(E) 10.


22) (ENEM-2011) O setor de gestão de pessoas de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.

Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é:

(A) 24.

(B) 31.

(C) 32.

(D) 88.

(E) 89.

 Resolução:

De acordo com o número 75.913, os únicos algarismos que aparecem são: 1, 3, 5, 7, 9. 

               Iniciados em 3, 5 ou 1, temos:

_ _ _ _ _

3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72. 

               Iniciados em 71 ou 73, temos:

_ _ _ _ _

1 x 2 x 3 x 2 x 1 = 12. 

Iniciados em 751 ou 753, temos:

_ _ _ _ _

1 x 1 x 2 x 2 x 1 = 4. 

Somando 72 + 12 + 4 + 1 = 89ª posição.


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