Corpos Redondos: Cone

 Volume da pirâmide e do cone

Sabendo como calcular o volume de um prisma ou de um cilindro, pode-se calcular também o volume de uma pirâmide ou de um cone. Isso porque os matemáticos demonstraram uma relação entre os volumes desses sólidos: 

Saber calcular o volume de um cilindro ou de um cone é importante para determinar, por exemplo, a capacidade de um silo utilizado para armazenar cereais.

 

Área no cone 

Planificando o cone, observamos que sua superfície é constituída por um setor circular e por um círculo. Logo, para acharmos a área total da superfície temos que calcular a área das duas figuras e somá-las: 

Como a base de um cone é um círculo, a área da base de um cone é:

Ab = πr²

 Já a área lateral é a área do setor circular:

Para esse cálculo, partimos da seguinte constatação: o comprimento do arco da circunferência que forma o setor circular é igual ao comprimento da circunferência da base.

 

Inicialmente, devemos calcular o raio g desse setor circular, que une o vértice V do cone reto a um ponto da circunferência da base. Esse raio é chamado de geratriz do cone.

 

Para encontrar a área do setor circular, de raio g de comprimento 2πr, deve-se considerar:

 

para C = 2 g, a área é πg², então para 2πr a área será:

r /g ∙ πg² = π∙r∙g.

 Logo,

 Al = πrg

 

Calcular a área total da superfície de um cone circular reto, sabendo que raio da base é de 6 cm e a altura é de 8 cm. (Use π ≈ 3,14)

 Ab = 3,14 x 6² = 3,14 x 36

Ab = 113,04 cm². 

Para a área lateral deve-se ter a geratriz g, notemos que r² + h² = g², pelo Teorema de Pitágoras:

Assim:

g² = 6² + 8²

g² = 36 + 64

g² = 100

g = 10

 

Daí,

Al = 3,14 x 6 x 10

Al = 188,4 cm².

 

Desse modo, temos a área total da superfície do cone é:

At = Ab + Al

At = 113,04 + 188,4

At = 301,44 cm².

Atividades:

1) Determine o volume de um cone de raio 6 cm e altura 10 cm.

 

2) A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto: 

O raio da base mede 3 cm e a altura é de 12 cm. Qual é o volume da casquinha?

3) Um copo de caldo de cana tem forma de um cone reto, com 5 cm de raio da base e 12 cm de altura. Quantos mililitros de caldo de cana cabem nele? (Use π ≈ 3).

4) Quantos litros de chocolate derretidos são necessários para a fabricação de mil pirulitos em forma de guarda-chuva, com 2 cm de diâmetro e 6 cm de altura? (Use π ≈ 3,14)

 

5) A figura a seguir representa um cone reto:

Observe suas medidas, dadas em metros, e descubra o que se pede:

a) o valor exato da área da base.

b) um valor aproximado da área da base, use π ≈ 3,14.

c) o volume do cone.

d) a área as da superfície lateral.

e) a área total da superfície.

 

6) Veja abaixo a planificação de um cone com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Qual é a área total da superfície? (Use π ≈ 3)

7) O cone circular reto representado abaixo tem raio da base com 5 cm e altura de 12 cm. Calcule:

a) o raio g do setor circular;

b) a área total da superfície;

c) o volume do cone.

8) Um cone circular reto será chamado de cone equilátero se o triângulo VAB for equilátero:

Calcule o volume e a área superficial de um cone equilátero que tem 10 cm de raio da base.

9) Num cone reto, de altura H=  8 cm, a área da seção meridiana é 48 cm². Calcule:

a) a área lateral;

 b) a área total; 

c) o volume.

10) Considere a figura a seguir e determine:

a) o volume do cilindro cuja base é um círculo de raio 5 cm e cuja altura é 12 cm.

b) o volume do cone cuja base é um círculo de diâmetro 10 cm e cuja altura é 12 cm.

11) A ampulheta da figura consiste em dois cones idênticos, dentro de um cilindro. A altura do cilindro é de 6 cm e sua base tem 4 cm de diâmetro.

a) Determine o volume de areia necessário para encher o cone.

 

b) Determine a quantidade de espaço vazio entre os cones e o cilindro.

12) A figura abaixo é composta de um cone reto e um cilindro reto. Observe suas dimensões e ache o volume total da figura:

13)  Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões conforme a figura abaixo.

Utilizando 3 para aproximação de π, o volume total de cada um desses silos é:

           (A) 350 m³                  (B) 351 m³             (C) 512 m³         (D) 648 m³

14) A formação de um cone pode ser imaginada a partir de um triângulo retângulo, em movimento de rotação em volta de um de seus catetos (eixo de rotação). Por isso, o cone é chamado de cone de revolução.

Na figura acima, os catetos do triângulo que gerou o cone medem 10 dm e 15 dm. Qual é o volume do cone?

15) A figura abaixo mostra a peça de uma máquina. Calcule seu volume a partir das medidas em centímetros que aparecem no perfil dessa peça.

(Use  π ≈ 3)

        (A) 36

        (B) 48

        (C) 72

        (D) 84

16) Um cone reto tem 40 cm de altura e 30 cm de raio da base. Sabendo que a superfície lateral do cone é setor circular, ache o que se pede:

a) O raio do setor circular (superfície lateral);

b) A medida do ângulo central do setor circular.

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