Sistemas Lineares

1. Equação Linear: 

Dados os números reais a₁, a₂, ..., a_n , b , com n ≥ 1, a equação 

a₁ ∙ x₁+ a₂ ∙ x₂ + ... + a_n ∙ x_x = b,

onde x₁, x_{2, ...,} x_n são variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis x₁, x_{2, ...,} x_n. 

Os números reais a₁, a₂, ..., a_n, são denominados coeficientes das variáveis x₁, x_{2, ...,} x_n, respectivamente, e b é denominado de termo independente da equação.

Exemplo 1: Determinar de cada equação linear: as variáveis ou incógnitas; coeficientes de cada variável e o termo independente.

a) x + y = 2

variáveis: x e y

coeficiente da variável x: 1

coeficiente da variável y: 1

termo independente: 2

b) x + y + z = 6

variáveis: x, y e z

coeficiente da variável x: 1

coeficiente da variável y: 1

coeficiente da variável z: 1

termo independente: 6

c) 2a – b + c = 1

variáveis: a, b e c

coeficiente da variável a: 2

coeficiente da variável b: –1

coeficiente da variável c: 1

termo independente: 1

d) 2a₁ + 2a₂ = 3

variáveis: a₁ e a₂

coeficiente da variável a₁: 2

coeficiente da variável a₂: 2

termo independente: 3

Uma solução da equação linear é uma lista de valores para as variáveis ou de modo equivalente, um vetor u no conjunto dos números reais, por exemplo: 

x₁ = u₁, x₂ = u₂, ..., x_n = u_n,      ou          u = (u₁, u₂, ..., u_n),

tal que a seguinte afirmação (obtida quando substituímos u_i por x_i na equação) é verdadeira: 

a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_x = b.

Exemplo 2: Considere a seguinte equação linear com três incógnitas x, y, z:               

 x + 2y – 3z = 6.

 

a) Verificar se (5, 2, 1) é uma solução da equação.

Temos aí uma terna ordenada, e para ser solução da equação, cada valor apresentado, na ordem que aparece, deve ser substituído no valor das variáveis e verificar se a igualdade com o termo independente é verdadeira, do seguinte modo:

5 + 2 x 2 – 3 x 1 = 5 + 4 –  3 = 6.

Como o valor do cálculo é 6, igual ao termo independente, então a terna ordenada apresentada é solução da equação linear.

b) Verificar se (1, 2, 3) é ou não solução.

Nessa terna ordenada, fazemos o mesmo procedimento anterior, substituindo os valores nas variáveis da equação:

1 + 2 x 2  – 3 x 3 = 1 + 4 – 9 =  –4  

Como o valor do cálculo é –4, diferente do termo independente, então a terna ordenada apresentada não é solução da equação linear.

c) Você consegue exibir uma outra solução?

2. Sistemas de equações lineares 

Um Sistema Linear sobre com m equações, com m >= 1, e n incógnitas, com n >= 1, é um conjunto de equações lineares com variáveis, e é representado por: 

com a_ij, b_i números reais, i = 1, ..., m e j = 1, ..., n.

Chamamos o sistema de m x n   (lê-se "m por n"), conforme a quantidades de equações e incógnitas.

Exemplo: Considere o seguinte sistema de equações lineares:                                           

Ele é um sistema 3 x 4 ("3 por 4") pois possui 3 equações e 4 incógnitas. 

Uma solução (ou solução particular) do sistema é uma lista de valores para as incógnitas ou, de modo equivalente, um vetor u em , que é solução de cada equação do sistema. O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado de conjunto solução ou conjunto geral do sistema.

Iremos estudar, inicialmente, sistemas mais simples, o 2x2, com duas equações e duas incógnitas, considerando as suas soluções:

Portanto, um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações com duas ou mais incógnitas. A solução de um sistema 2x2 é o par ordenado (x, y) que satisfaz, ao mesmo tempo essas equações:

Considere o sistema: 

O par ordenado (6, –2) é a solução do sistema, pois ao substituirmos x = 6 e y = –2 em ambas as equações, as sentenças tornam-se verdadeiras.

Vejamos:

x + y = 4, se x = 6 e y = –2, temos: 6 + (–2) = 4 (Verdadeiro)

x – y = 8, se x = 6 e y =-2, temos 6 – (–2) = 8 (Verdadeiro)

A forma de escrever a solução é: S={(6, –2)}, com chaves e parênteses.

O par ordenado (10, –2) não é a solução do sistema, pois ao substituirmos x = 10 e y = –6 em ambas as equações, as sentenças não se tornam verdadeiras.

Vejamos:

x + y = 4, se x = 10 e y = –6, temos: 10 + (–6) = 4 (Verdadeiro)

x – y = 8, se x = 10 e y = –6, temos 10 – (–6) = 16 (Falso)

Para que tenhamos a solução do sistema se faz necessário que os valores encontrados sirvam simultaneamente a ambas as equações.

Exemplo 3: As idades de José e Pedro somadas é 72 anos. Sabe-se também que a diferença de suas idades é 12 anos. Forme as equações lineares indicadas no problema.

 Atribuindo a cada uma das idades uma variável, temos:

idade de José: x

idade de Pedro: y

Na primeira situação diz sobre a soma das idades, algebricamente expressamos:

x + y = 72

Na segunda situação diz sobre a diferença das idades, algebricamente expressamos:

x – y = 12

Temos aí um problema com duas equações e duas incógnitas, logo um problema com sistemas de equações 2x2.

Exemplo 4: Às equações formadas damos o nome de sistema de equações lineares com duas variáveis. Vejamos como resolver um sistema de equações com duas variáveis. Utilizando método da substituição e método da adição.

Para encontrarmos solução num sistema de equações lineares com duas incógnitas, por exemplo, na equação x + y = 1, os valores de x e de y devem ser relacionados com os mesmos valores da outra equação 2x – y = 5.

Para  encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. Esses dois métodos são: Substituição e Adição.

O método da substituição consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como:

No sistema dado, enumeramos as equações.

(1) x + y = 1

(2) 2x – y = 5

Escolhemos a equação (1) e isolamos o x:

x + y = 1

x = 1 – y

Agora na equação (2) substituímos o valor de x = 1 – y.

2x – y = 5

2∙(1 – y)  – y = 5

2 – 2 y  –  y = 5

2 – 3 y = 5

 

Resolvemos a equação formada com a incógnita y:

–3 y = 5 – 2

–3 y = 3

y = –1

Descobrimos o valor de y, para agora descobrir o valor de x, bastando substituir y = –1 na equação em x = 1  – y:

x = 1 – (–1)

x = 1 + 1

x = 2

Portanto, a solução do sistema é o conjunto S = {(2, –1)}, formado pelo par ordenado (2, –1).

Já o método da adição consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.

Dado o sistema:

x + y = 1

2x – y = 5

Adicionamos as duas equações

x + y = 1

+

2x – y = 5­­

------------------

3x ± 0 = 6

 

e a soma de uma das incógnitas de fato é zero, então é fácil resolver:

3x = 6

x = 2

Tendo o valor de uma das incógnitas, substitua em uma das equações e encontra o valor da outra incógnita.

2 + y = 1

y = 1 – 2

y = –1

 

ou 2x2 – y = 5

4 – y = 5

–y = 5 – 4

–y = 1

y = –1

 Pode-se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos e o valor da solução será sempre o mesmo. Portanto, não é preciso resolver nos dois métodos sempre e sim o mais viável no momento da resolução.

Passo a passo do método da substituição:

 Escolhemos uma equação e isolamos uma das variáveis.

 Substituímos essa variável na segunda equação.

 Achamos o valor da variável que foi isolada

Substituímos o valor da variável em uma das equações e achamos o valor da outra variável. 

 Passo a passo do método da adição:

 Verificar se nas equações do sistema, são os mesmos coeficientes das variáveis com sinais opostos.

 Somar ambas as equações, eliminando uma das variáveis.

 Achar o valor de uma das variáveis.

Substituir o valor de uma das variáveis em qualquer uma das equações e achar o valor da outra variável.

Atividades:

1) Resolva os seguintes sistemas de equações abaixo: 

Sistemas resolvem Problemas

 1) As idades de José e Pedro somadas é 72 anos. Sabe-se também que a diferença de suas idades é 12 anos. Quais as suas idades?

 

2) A soma das idades de Junior e Claudia é 46. Se a idade de Junior é o dobro da idade de Claudia mais um, qual a idade de cada um?

 

3) Duas indústrias, A e B, produzem juntas 7.500 peças em um determinado mês. Sabendo que a produção da indústria A é o triplo da indústria B, qual foi a produção de cada indústria?

 

4) O dobro da idade de meu pai mais o triplo da minha idade é igual a 125 anos. O triplo da idade de meu mais o dobro da minha idade é igual a 150 anos. Descubra as nossas idades.

 

5) Bruno tinha em sua bolsa 27 notas, em um valor total de R$ 200,00 em notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Quantas notas de cada valor ele tinha?

 

6) A idade de um pai é hoje o quádruplo da idade de seu filho e a soma das idades é 50.

a) Qual a idade dos dois hoje?

b) Daqui a quanto tempo a idade do pai será igual ao dobro da idade do filho?

 

7) Julio tem R$ 277,00 em 74 cédulas de R$ 2,00 e R$ 5,00. Quantas cédulas de cada espécie ele tem?

 

8) Em uma carpintaria, 100 tábuas de mesmo comprimento estão empilhadas. Dessas tábuas, algumas têm 1 cm de espessura e outras, 3 cm. A pilha tem 280 cm de altura. Nessas condições, quantas tábuas de cada espessura estão nessa pilha?

 

9) Na lanchonete de uma escola o preço do salgado é R$ 2,00 e o preço do sanduíche é R$ 3,00, que são os lanches vendidos. Em uma manhã foram vendidos 70 lanches. O valor arrecadado em todo o dia foi de R$ 180,00. Qual sistema a seguir representa o problema? 

10) Em uma garagem, há automóveis e motocicletas, que somam 62 veículos e 190 rodas. Qual a quantidade de automóveis?

 

11) Em uma garagem há carros e motos totalizando 30 veículos. O administrador da garagem abaixou-se e contou 82 pneus. Com isso, o administrador concluiu que na garagem há:

          (A) 19 motos e 11 carros.     

          (B) 10 carros e 20 motos.

          (C) 11 carros e 19 motos.    

          (D) 12 carros e 18 motos.

12) Vera pagou R$ 18,00 por 7 salgados. Os salgados assados custam R$ 3,00; e os salgados fritos, R$ 2,00. Quantos salgados assados ela comprou?

        (A) 9. 

        (B) 7. 

        (C) 4. 

        (D) 3.

 

13) Em uma cidade, um vendedor ambulante vende bonés e camisas com a logomarca do time de futebol local. No último domingo, quem comprou um boné e uma camisa pagou 38 reais. Nesse dia, o ambulante vendeu 45 camisas e 15 bonés, arrecadando um total de 1.260 reais.

Quanto custou cada camisa nesse domingo?

        (A) R$ 21,00 

        (B) R$ 23,00 

        (C) R$ 28,00 

        (D) R$ 42,00

 

14) A prova de Matemática de Isabela tem 11 questões, sendo 7 de múltipla escolha e 4 discursivas. Cada questão de múltipla escolha vale 2 pontos, e cada questão discursiva vale 4 pontos. Qual é o valor total dessa prova?

        (A) 22. 

        (B) 30. 

        (C) 36. 

        (D) 44.

 

15) Teresa retirou R$ 140,00 no banco. Ela recebeu apenas notas de R$ 5,00 e R$ 20,00, num total de 10 notas.  Quantas notas de R$ 20,00 Maria recebeu?

        (A) 4.    

        (B) 5.    

        (C) 6.     

        (D) 7.

 

16) Em um jogo de futebol de salão foram vendidos 800 ingressos, com uma arrecadação total de R$ 26.000,00. O preço do ingresso antecipado era de R$ 28,00 e, no dia do jogo, R$ 40,00. Quantos ingressos foram vendidos antecipadamente?

        (A) 300. 

        (B) 500. 

        (C) 650. 

        (D) 800.

  

17) Os ingressos para um espetáculo teatral, de apresentação única, foram vendidos por R$ 15,00, quando comprados antecipadamente, e por R$ 28,00, no dia do espetáculo. Após a contabilização dos valores, verificou-se que o valor arrecadado foi de R$ 9.998,00 e que foram vendidos um total de 540 ingressos. Quantos ingressos foram vendidos no dia desse espetáculo?

        (A) 1460 

        (B) 270 

        (C) 394 

        (D) 540

18) (ENEM-2015) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$ 100,00.

 Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?

        (A) 30

        (B) 36

        (C) 50

        (D) 60

        (E) 64

19) (ENEM-2017) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de Vídeo e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente fotos, com a mesma qualidade das anteriores.

(Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012.)

 O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é?

        (A) 200.

        (B) 209.

        (C) 270.

        (D) 340.

        (E) 475.

20) (ENEM-2018) Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais sem juros. No momento de contratar o financiamento, caso o cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$ 200,00, ou se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas sobe R$ 232,00. Considera ainda que nas três possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto em nenhuma das situações.

 Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja?

        (A) 20

        (B) 24

        (C) 29

        (D) 40

        (E) 58

Aprofundamento: