O que é uma Progressão Geométrica?
A moeda de um país é o bitolino. Nesse país, ocorre um fato estranho: todo ano a inflação é de exatamente 100%, o que o ocorre é que um produto que num ano tem um preço, no próximo ano será o dobro do ano anterior. Se hoje uma bala custa 1 bitolino, qual deverá ser o preço dessa bala daqui a 10 anos?
Vamos analisar o que acontece com o preço da bala no país dos bitolinos:
1º ano: a bala custa 1 bitolino
2º ano: a bala custa 2 bitolinos
3º ano: a bala custa 4 bitolinos
4º ano: a bala custa 8 bitolinos
5º ano: a bala custa 16 bitolinos
6º ano: a bala custa 32 bitolinos
7º ano: a bala custa 64 bitolinos
8º ano: a bala custa 128 bitolinos
9º ano: a bala custa 256 bitolinos
10º ano: a bala custa 1.024 bitolinos
A sequência (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.204, ... ) é chamada de sequência geométrica ou progressão geométrica (PG).
Numa progressão geométrica (PG), a partir do segundo, cada termo é igual ao anterior, multiplicado por uma mesma constante.
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Cada número posterior foi multiplicado o anterior por 3. |
Na sequência (5, 25, 125, 625, ...) é sempre multiplicado ao termo anterior 5. Esse número fixo que é multiplicado ao termo anterior da sequência é chamado de razão e é designado, de modo geral, pela letra q.
PG de razão 4.
De modo geral, a sequência (a1 , a2 , a3 , a4 , ... , an) é uma progressão geométrica quando:
Por consequência é possível notar que:
Daí, a definição que uma progressão geométrica (PG) é um sequência na qual é constante o quociente da divisão de cada termo pelo termo anterior. Esse quociente constante é chamado de razão da progressão e representado pela letra q.
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| PG de razão 2. |
As sequências abaixo são exemplos de progressões geométricas (PG):
a) (3, 6, 12, 24, ... ) → A cada termos é multiplicado 2, logo q = 2.
b) (1.000, 500, 250, 125, ... ) → A cada termo é multiplicado 0,5, logo q = 0,5.
c) (5, –10, 20, –40, 80, ...) → A cada termo é multiplicado –2, logo q = –2.
d) (4, 4, 4, 4, ... ) → A cada termo é multiplicado 1, logo q = 1
Desse modo, dizemos que:
a) se a razão q for maior que 1 a PG é crescente.
b) se a razão q for menor que 1 e maior que zero (0 < q <1) a PG é decrescente.
c) Se a razão for negativa a PG é alternante.
d) Se a razão for igual a 1 a PG é constante.
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| PG de razão 4/5. |
Agora, suponha que uma empresa que está contratando funcionários oferece um salário inicial de quarenta mil reais por ano (incluindo os pagamentos mensais, o décimo terceiro salário e o adicional de férias). Além disso, a empresa informa que, a cada ano de trabalho, seus funcionários têm um aumento de salário no fator de 1,03 do valor recebido no ano anterior (desprezando-se a correção da inflação, que também é considerada no reajuste salarial).
Se que quisermos saber quanto uma pessoa contratada hoje estará recebendo no 6º ano ou no 10º ano de trabalho, não precisamos fazer anualmente o quanto irá receber, a cada ano. Para isso, utilizamos o que chamamos de termo geral de uma progressão geométrica, vejamos como definimos esse termo geral de uma PG.
Já vimos que, numa PG (a1 , a2 , a3 , a4 , ... , an) de razão q, temos:
a2 = a1 ∙ q
a3 = a2 ∙ q = a1 ∙ q ∙ q = a1 ∙ q2
a4 = a3 ∙ q = a1 ∙ q2 ∙ q = a1 ∙ q3
a5 = a1 ∙ q4
a6 = a1 ∙ q5
an = a1 ∙ qn – 1
A partir desses casos particulares, podemos induzir que o termo de ordem n é igual ao produto do primeiro termo com pela razão q elevada por (n – 1). Esse é o termo geral de uma PG, que é dado por:
No exemplo da contratação do funcionário da empresa, se o salário anual aumenta a cada ano o fato de 1,03 em relação ao ano anterior, então a razão dessa progressão geométrica é 1,03. O salário no primeiro ano de contratação é o primeiro termo (a1), o salário no 6º ano o sexto termo (a6) e o salário no 10º anos será o décimo termo (a10) da PG.
O salário anual do 1º ano foi de 40 mil reais, o salário anual no 6º ano será de:
a6 = 40 x 1,035 = 40 x 1,1592740743 ≈ 46,370 mil reais;
e o salário anual no 10º ano será de:
a10 = 40 x 1,0310 = 40 x 1,34391637934412192049 ≈ 53,756 mil reais.
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| Utilize a calculadora científica com a função da tecla assinalada na figura, para cálculo das potências. |
Agora, tomemos como exemplo a sequência: (2, 6, 18, 54, ...).
Podemos observar que o quociente entre os termos, a partir do segundo, e o termo anterior é:
6/2 = 18/6 = 54/18 = 3,
logo é uma PG de razão 3.
Outros exemplos:
1) Na sequência (512, 256, 128, 64, ...), qual o décimo termo?
256/512 = 1/2
128/256 = 1/2
64/128 = 1/2
Logo, é uma PG de razão 1/2, e é uma PG decrescente.
Utilizando o termo geral de uma PG, o décimo termo (a10) será:
a10 = 512 x (1/2)10 = 512 x 1/1.024 = 1/2.
2) Em uma progressão aritmética, o quarto termo vale 1 e o oitavo termo vale 81. Quanto vale o décimo termo dessa progressão?
Utilizando o termo geral de uma PG, temos:
a4 = a1 ∙ q3
a8 = a1 ∙ q7
Na primeira equação, fazemos a1 = a4 / q3 e substituímos a1 na segunda equação e obteremos:
a8 = a4 / q3 ∙ q7
a8 = a4 ∙ q4.
Note que, ao passar do terceiro termo para o oitavo, avançamos 4 termos, por isso que basta utilizar a diferença entre dois termos quaisquer para gerar um termo de interpolação numa PG.
Como já temos o valor dos termos, substituirmos no termo de interpolação e acharemos o valor da razão r:
a8 = a4 ∙ q4
81 = 1 ∙ q4
q4 = 81 = 34
q = 3
O décimo termo será:
a10 = a8 ∙ q2
a10 = 81 x 32
a10 = 729.
3) Numa PG, o terceiro termo é 20 e o nono termo é 1.280, qual o sexto termo dessa PG?
Utilizamos o termo de geral de interpolação de uma PG, do terceiro para o nono avançamos 6 termos, logo:
a9 = a3 ∙ q6
Substituindo os valores dados, obteremos a razão:
1.280 = 20 ∙ q6
q6 = 1.280 / 20
q6 = 64
q6 = 26
q = 2
O sexto termo poderá ser encontrado na equação:
a6 = a3 ∙ q3
a6 = 20 x 23
a6 = 20 x 8
a6 = 160.
4) Qual é a razão da PG que se obtém inserindo 8 termos entre os números 5 e 2.560?
Temos a1 = 5 e a10 = 2.560.
Como a10 = a1 ∙ q9, temos:
2.560 = 5 ∙ q9
q9 = 2.560 / 5
q9 = 512
q9 = 29
q = 2.
5) Esther fez depósito no valor de R$ 10,00 no mês de março. No mês de abril, depositou R$ 20,00 e a cada mês ela vai dobrando o valor do depósito. Qual é o valor do depósito do mês de dezembro do mesmo ano?
Como ela vai dobrando o valor a ser depositado a cada mês, temos uma PG, onde a1 = 10 e q = 2, e como março é o primeiro depósito, dezembro será o décimo depósito corresponderá a a10 da PG, então:
a10 = 10 x 29 = 10 x 512 = 5.120.
Logo, em dezembro ela depositará R$ 5.120,00.
Atividades:
1) Em uma PG, cujo 1º termo é 3 e razão 3, qual será seu décimo termo?
2) Determine o 5º termo de uma PG sabendo que a1 = 3 e q = 4.
3) Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Qual o primeiro termo dessa PG?
4) Qual o quarto termo de uma PG, onde o primeiro termo é 1 e o sétimo termo é 66.
5) Calcule a razão e o primeiro termo de uma PG sabendo que o quarto termo e o nono são, respectivamente, 4 e 46.
6) Numa PG, a6 = 58 e a10 = 512. Qual o primeiro termo dessa PG?
7) Qual o primeiro termo de uma PG, sabendo que o décimo termo é 128 e o quinto termo é 4?
8) Qual a razão da PG que se obtém inserindo seis termos entre 1/81 e 27.
9) Determine o primeiro termo de uma PG cujo 3º termo é 48 e que tem 6º termo igual a 3.072.
10) Determine o número de termos da PG (1, 4, 16, ..., 4.096).
11) Determine o termo geral da progressão geométrica (5, −10, 20, . . .) e calcule a10.
9) Escrevendo a sequência das potências de base 3, com expoentes inteiro, verificamos que é uma PG ou não? Se for PG, qual a razão?
10) Quantas potências de 3, com expoentes inteiros, existem entre 10 e 400 ?
11) Quantas potências de 2, com expoentes inteiros, há entre 10 e 3.000?
12) Uma grande metrópole da América Latina tem hoje dez milhões de habitantes. A expectativa é que a população dobre a cada 10 anos. Nessas condições, qual será o número de habitantes daqui a 20 anos?
13) Em um país pobre, há cinquenta milhões de habitantes. Se a população dobra a cada seis anos, qual deve ser o número de habitantes daqui a 24 anos?
14) Uma bactéria de determinada espécie reproduz-se em duas a cada duas horas. Depois de 24 horas, quantas dessas bactérias podem ser obtidas a partir de uma única bactéria?
15) O protozoário chamado Plasmodium Vivax é um dos causadores da malária. Ele reproduz muito rápido. No espaço de um dia, cada um deles transforma em 4 iguais. Se um deles penetra no organismo de uma pessoa, quantos eles serão (aproximadamente ) 4 dias após?
16) Existem bactérias que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é a bactéria que causa a sífilis (chamada Treponema pallidum): cada uma delas se transforma em 10 iguais no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir, quantas elas serão 12 horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido?
17) Um atleta corre, a cada dia, o dobro da distância corrida no dia anterior. Sabendo que esse atleta correu 3 km no segundo dia de treinamento, qual a distância que ele irá correr no sexto dia?
18) A produção de uma empresa no mês de janeiro foi de 3.000 unidades, no mês de fevereiro foi de 9.000 unidades. Seguindo uma progressão geométrica de aumento dos meses anteriores, qual será a produção do mês de março?
19) Uma indústria produziu 30.000 unidades de certo produto no primeiro trimestre de 2017. Supondo que a produção tenha dobrado a cada trimestre quantas unidades desse produto foram produzidas no último trimestre de 2017?
20) Um carro novo custa R$ 18.000,00 e, com 4 anos de uso, vale R$ 12.000,00. Suponha que o valor decresça a uma taxa anual constante, determine o valor do carro com um ano de uso.
21) Considere a sequência dos anos em que se realizaram as Copas do Mundo de futebol masculino:
(1930, 1934, 1938, 1950, 1954, 1958, 1962, 1966, 1970, ..., 2014, ...)
a) Qual é o valor numérico do 9º termo da sequência?
b) Qual é o termo cujo valor numérico é 2002?
c) Qual é o termo correspondente ao ano em que o Brasil organizou a última Copa do Mundo?
22) (2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre
(A) 4,0 m e 5,0 m. (B) 5,0 m e 6,0 m. (C) 6,0 m e 7,0 m.
(D) 7,0 m e 8,0 m. (E) 8,0 m e 9,0 m.
23) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça.
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8 000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é
(A) R$ 512.000,00.
(B) R$ 520.000,00.
(C) R$ 528.000,00.
(D) R$ 552.000,00.
(D) R$ 584.000,00.
24) Uma bola elástica cai da altura de 10 metros sobre um chão duro. A bola repica no chão várias vezes, conforme a figura adiante. Em cada colisão, a bola alcança 4/5 da sua altura anterior.
Nessas condições, qual a altura que a bola atingiu na posição P?
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