Fração
Quando dizemos que 3 em cada 5 alunos de uma sala de aula gostam de futebol, estamos expressando a ideia da relação entre o todo da turma e uma parte dela que gosta de futebol, essa ideia é chamada de fração.
Fração é a representação matemática das partes de determinada quantidade
que foi dividida em pedaços ou fragmentos iguais.
As frações são úteis em várias situações, principalmente para representar algo que não conseguimos apresentar através de números inteiros.
No
exemplo da turma, se essa turma possui 30 alunos, dividimos a turma em 5
partes, e contamos 3 dessas partes
para saber a quantidade de que alunos gostam de futebol, multiplicar por 3 o
resultado da divisão anterior:
30 / 5 = 6
6 x 3 = 18
Para
representar uma fração utilizamos a seguinte forma:
se 3 em cada 5 alunos gostam de futebol então temos 3/5 da turma que gostam de futebol.
Os termos de uma fração são:
Numerador: vem do latim numeratus e
significa “contar”.
Denominador: sua origem é do latim denominatus e significa “dar
nome”.
No nosso exemplo, o número 3 representa o numerador da fração e indica quantas partes foram tomadas. Já o número 5, representa o denominador da fração e indica em quantas partes o todo foi dividida.
O nome que a fração recebe no exemplo é quinto, pois é toda dividida por 5 e o numerador desse quinto é 3.
A
nomeação de uma fração depende fortemente do denominador da fração.
Para
ler a fração deve-se ler o número do numerador seguido do nome que identifica a
equiparação da unidade, e que está indicado no denominador, nessa ordem.
Veja:
1/3 → um terço;
2/3 → dois terços;
5/3 → cinco terços;
1/8 → um oitavo;
3/8 → três oitavos;
7/8 → sete oitavos.
Anote
agora os nomes de algumas outras frações:
1/2 → um meio;
1/3 → um terço;
1/4 → um quarto;
1/5 → um quinto;
1/6 → um sexto;
1/7 → um sétimo;
1/8 → um oitavo;
1/9 → um nono;
1/10 → um décimo.
Para
a fração 1/11 , fala-se “um onze avos”. Da mesma forma, são nomeadas frações
cujo denominador é maior do que 11.
Por
exemplo:
1/12 → um doze avos;
1/13 → um treze avos;
5/13 → cinco treze avos.
Curioso
para saber sobre o significado da palavra avos? Pergunte ao seu professor. O
importante é lembrar que, para denominadores maiores 11, acrescenta-se a
expressão “avos” ao final da leitura da fração.
Contudo,
para frações cujo denominador é uma potência de 10, usa-se outra formar de ler:
1/100 → um centésimo;
13/100 → treze centésimos;
33/1000 → trinta e três
milésimos.
Atividade:
1) Observe a figura abaixo da quantidade de água em cada um dos três copos:
a)
Em cada um dos três copos idênticos a seguir, indique a fração da capacidade do
copo que está com água.
b)
Qual é a fração da capacidade do copo correspondente à toda a água que está nos
três copos?
c) É
possível armazenar a água dos três copos em um único copo sem que transborde?
Explique
Fração
equivalente
Você recebeu um encarte com 10 retângulos coloridos de mesmo tamanho, cada um deles dividido em um determinado número de partes iguais. Seguindo o modelo feito para o primeiro retângulo, preencha a tabela a seguir.
Observe a indicação que corresponde à metade do retângulo em cada uma das divisões:
Ao
resolver esta percebe-se que:
pois todas as frações representam a mesma quantidade: a medida da área da metade do retângulo em relação à área do retângulo do encarte, isto é, quando a unidade considerada é a área do retângulo do encarte.
Observe ainda que as igualdades acima podem ser reescritas do seguinte modo:
Na
verdade, para qualquer subdivisão da fração 1/2 em p partes iguais, deve-se considerar p dessas novas partes para obter uma fração igual à anterior.
Algebricamente, isto significa que:
qualquer
que seja p um número natural maior
que zero.
De modo geral, para qualquer fração de numerador n e denominador d, temos que:
qualquer
que seja o número natural p > 0.
Com isso, você aprendeu uma técnica para obter frações que representam a mesma quantidade que uma fração dada: basta multiplicar o numerador e o denominador da fração dada por um mesmo número natural p > 0. As frações são chamadas de frações equivalentes.
Atividade:
1)
Determine uma fração que seja equivalente a 7/3 e que tenha denominador:
a) 6
b)
21
c)
123
d)
210
2) Preencha
os □ com números de forma a tornar as igualdades verdadeiras:
3) Você tem um copo cilíndrico graduado com cinco
marcas horizontais igualmente espaçadas. O copo tem suco de laranja até 3/4 de
sua capacidade, como ilustra a imagem:
Seu colega tem um copo cilíndrico idêntico, mas
graduado com 17 níveis horizontais igualmente espaçados:
Verifique se é possível completar um número inteiro
de níveis do copo de seu colega de modo a ficar com a mesma quantidade de suco.
Em caso afirmativo, explique sua resposta.
4) Dizemos que uma fração é irredutível se o máximo divisor comum entre o seu numerador e o seu
denominador é igual a 1. Para cada fração indicada a seguir, determine uma
fração igual, mas que seja irredutível.
a) 2/4
b) 6/9
c) 4/2
d) 5/35
e) 50/100
5) Uma fração é dita unitária se o seu numerador é igual a 1.
a) Quais das frações a
seguir são iguais a alguma fração unitária? Justifique sua resposta.
4/20 21/7 4/30 6/18.
b) Uma fração com numerador maior do que o denominador pode ser igual a uma fração unitária? Justifique sua resposta!
c) Existe uma fração de denominador ímpar que seja igual à fração
unitária 1/2 ? Justifique sua resposta!
6) Que fração irredutível representa a figura abaixo?
Razão
Quando dizemos que a razão do número de vitórias pelo número de derrotas de um determinado time de basquete é de 2 : 3 (leia 2 para 3), estamos dizendo (por definição) que, se montarmos uma fração cujo numerador é igual ao número de vitórias e o denominador igual ao número de derrotas, então esta fração será equivalente à fração 2/3.
Como uma possibilidade, suponha que o número de vitórias
seja igual a 18 e o de derrotas igual a 27. Então, se construirmos a fração
cujo numerador é igual ao número de vitórias e o denominador é igual ao número
de derrotas, teremos:
Por outro lado, observe que se um segundo time tiver a mesma razão entre os números de vitórias e derrotas, isso não necessariamente significa que os dois times possuam a mesma quantidade de vitórias. De fato, se este segundo time possua 36 vitórias e 54 derrotas, teremos:
Os exemplos acima chamam atenção para o que talvez
seja o fato principal sobre razões: uma
razão é uma medida relativa, e não absoluta.
Em nosso cotidiano, é fácil depararmo-nos com medidas que refletem o conceito de razão. Um dos exemplos mais comuns á a velocidade. Quando dizemos que um carro está andando a uma velocidade constante de 40 km/h, isso significa que ele percorrerá 40 km em uma hora, 80 km em duas horas ou 20 km em meia hora, se mantiver essa velocidade sem parar.
Por outro lado, você deve ter percebido que, mesmo
que em um certo momento um carro esteja a uma velocidade de 40 km/h, ele poderá
demorar até mais de uma hora para percorrer trajetos mais curtos do que 40 km
quando estiver trafegando na cidade. Isso ocorre nesse caso porque a velocidade
de 40 km/h não será constante.
De outra forma, o carro poderá passar algum tempo parado nos semáforos, ou mesmo ficar ”preso” em um engarrafamento. Todas essas situações diminuem a velocidade média do automóvel, que é definida como a distância total percorrida dividida pelo tempo total gasto para percorrê-la. Portanto, a velocidade média nada mais do que uma razão, ou seja, uma medida relativa, e não absoluta.
Exemplo:
A distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é aproximadamente 450 km. Um
motorista leva 5 horas da partida até o destino. Com a velocidade média é
possível calcular, quantos quilômetros ele andou depois de 3 horas de viagem.
A velocidade média é o quanto ele
andou em 1 hora, logo é a razão entre a distância e o tempo total do percurso:
450 / 5 = 90 km/h.
Utilizando essa velocidade média
depois de 3 horas de viagem ele andou:
3 x 90 = 270 km.
Atividades:
1) Um grupo de 20 pessoas ganhou um prêmio de R$
1.000.000,00 de uma loteria. Quanto dinheiro coube a cada pessoa?
Se fossem 40 pessoas, quanto ganharia cada pessoa,
com esse mesmo valor de prêmio?
2) A cada 10 alunos num colégio, 1 deles não gostam
de lasanha. Se tivermos 500 alunos no total, qual número de alunos que não
gostam de lasanha?
3) A cada 10.000 parafusos produzidos em uma
indústria metalúrgica, 1 contém algum defeito. Em um lote de 1.000.000
parafusos, quantos devem ser defeituosos?
4) Uma turma de alunos foram a uma pizzaria, cada
prato pequeno de pizza custa R$ 5,00. Se eles no total juntaram R$ 50,00.
Quantos pratos pequenos de pizza será possível comprar?
5) Quando Davi decidiu viajar, um dólar americano
estava cotado a R$ 4,00 para compra, no câmbio livre. Nessa data, quantos
dólares Davi conseguiria comprar com R$ 2.000,00?
6) Um avião consumiu 2.700 litros de combustível em
um voo de 9 horas. Qual foi o consumo médio de combustível nesse voo, em L/h?
7) Dirigindo em uma estrada, um motorista percorreu
130 km em 2 horas. Será que ele violou o limite de velocidade da estrada, que
era de 80 km/h?
8) Usando um telefone celular com tecnologia 3G,
José enviou um arquivo de 20 Mb em 10 segundos. Já quando usou um telefone 4G,
José conseguiu mandar o mesmo arquivo em apenas 2 segundos.
a) Qual foi a taxa de upload de cada modelo de
telefone?
b) Qual é a razão entre as taxas de upload dos
modelos 4G e 3G?
9) Um supermercado vende a embalagem de 5 kg de um
sabão em pó por R$ 25,00. Já a embalagem de 3 kg custa R$ 18,00. Qual é a
embalagem mais econômica?
10) Uma lâmpada fluorescente compacta de 12 W é
capaz de produzir um fluxo luminoso de 720 lúmens, ou 720 lm. Já uma lâmpada
LED de 8 W produz um fluxo luminoso de 640 lm.
a) Determine a eficiência luminosa, em lm/W, de
cada lâmpada.
b) Indique qual lâmpada é mais econômica, ou seja,
qual tem a maior eficiência luminosa.
11)
Com uma pilha da marca Ultracell, que custa R$ 6,00, um brinquedo funciona por
72 horas. Já uma pilha da marca Supercell mantém o mesmo brinquedo em
funcionamento por 80 horas e custa R$ 8,00. Qual pilha devo comprar?
12) Um caminhão pode levar 300 sacos de cimento ou 7290 tijolos. Se o veículo já foi carregado com 100 sacos de cimento, quantos tijolos ainda poderemos colocar?
13) Uma máquina A é capaz de fabricar 1.200 peças de computador em três horas. Uma máquina B faz o mesmo trabalho em quatro horas. Se as duas trabalharem juntas, em quanto tempo as peças estarão prontas?
Proporção
Já vimos que uma razão é uma
medida relativa entre duas grandezas. Por exemplo, se em uma sala de aula há 11
meninos e 12 meninas, a razão entre meninos e meninas é 11/12; por outro lado,
se em uma outra sala existirem 22 meninos e 24 meninas, a razão entre meninos e
meninas nesta segunda sala será 11/12, pois simplificando a fração 22/24
obtemos 11/12.
Com este exemplo, é possível
perceber que duas ou mais frações podem representar um mesmo número. Neste caso
específico, temos:
Por exemplo, 2/3 e 4/6 formam
uma proporção, pois:
Dessa forma, dizemos que 2
está para 3 assim como 4 está para 6.
De modo geral, dizemos que a
quádrupla (a, b, c, d) é diretamente
proporcional quando a/b = c/d.
Um caso particular ocorre
quando dois elementos centrais de uma quádrupla proporcional são iguais. Neste
caso, dizemos tratar-se de uma proporção
contínua.
Por exemplo, (4, 6, 6, 9) é
uma proporção contínua, uma vez que:
Um método prático para decidir se duas razões são proporcionais é utilizar a multiplicação de extremos e meios.
Essa regra decorre do fato que
a igualdade:
equivale a:
sendo essa última igualdade
obtida multiplicando os extremos a, d e os meios b, c.
Por exemplo, temos 2/3 = 4/6, uma vez que 2 x 6 = 4 x 3.
Em palavras, diz-se usualmente
que, “em uma proporção, o produto dos
meios deve ser igual os produtos dos extremos”.
Exemplo
1: Destaque, nos itens a seguir, as razões que são
proporcionais a 3/4:
a) 6/8.
b) 8/10.
c) 15/20.
d) 9/16.
Para verificarmos
quais razões são proporcionais, faremos a multiplicação dos extremos e meios:
a) 3 x 8 = 24
4 x 6 = 24
Logo, a 3/4 e 6/8 são
proporcionais e 6/8 = 3/4.
b) 8 x 4 = 32
10 x 3 = 30
Logo, ¾ e 8/10 não são proporcionais, e 8/10 ≠ 3/4.
c) 15 x 4 = 60
20 x 3 = 60
Logo, ¾ e 15/20 são
proporcionais, e 15/20 = 3/4.
d) 9 x 4 = 36
16 x
3 = 48
Logo, ¾ e 9/16 não são proporcionais e 9/16 ≠ 3/4.
Exemplo 2: Verifique se as quádruplas a seguir são proporcionais:
a) (5, 6, 7, 8).
b) (2, 5, 10, 25).
a) Uma vez que 5 x 8 =
40 e 6 x 7 = 42, temos uma quádrupla não
proporcional.
b) Como 2 x 25 = 50 e
5 x 10 = 50, então a quádrupla é proporcional.
Exemplo 3: Em uma empresa, 500 funcionários são capazes de produzir 18.000 peças por semana. Se o gerente desta empresa decidir abrir uma filial com 75 funcionários, mantendo o mesmo nível de produtividade, quantas peças a mais serão produzidas?
Solução:
Denotemos por x a
quantidade de peças extras que serão produzidas pela filial. Como a
produtividade será mantida, concluímos que as razões entre os números de
funcionários e os totais produzidos pela matriz e pela filial são
proporcionais.
Dessa forma, (500;
18000; 75; x) serão uma quádrupla proporcional, a partir da qual encontramos a
seguinte equação:
500/18.000 = 75/x
Multiplicando extremos
e meio, obtemos:
500x = 75 x 18.000
5x = 75 x 180
x = 2.700
Atividades:
1) Calcule o valor de x
nas proporções:
2) Qual é a razão entre o número 6 e o número 2, nessa ordem?
3) Qual a
razão do número 1 para o número 4?
4) As razões
81/27 e 9/3 são iguais?
5) Podemos
dizer que são proporcionais as razões 1/13 e 3/39?
6) O preço de 2 peças de uma blusa é R$ 68,00. Qual o preço de 5 dessa
mesma peça?
7) Trabalhei 6 dias numa obra, e recebi R$ 108,00. Quanto vou
receber se trabalhar 30 dias?
8) Pedro tem 6 carrinhos e
Miguel tem 12 carrinhos. Qual a proporção entre a quantidade de carrinhos de
Miguel e a quantidade de carrinhos de Pedro? Se Pedro ganhar mais três
carrinhos, qual passará a ser a proporção entre tais quantidades?
Problemas:
1) Em uma padaria, 10 litros
de uma mistura de café com leite, em quantidades iguais, é vendida no café da
manhã. Para obter um teor de 4/5 de café e 1/5 de leite, quantos litros de cada
um desses dois líquidos deve-se acrescentar aos 10 litros da mistura?
2) Duas velas homogêneas e de
comprimentos iguais são acesas simultaneamente. A primeira tem um tempo de queima
de 4 horas e a segunda de 6 horas. Após certo tempo, ambas foram apagadas ao
mesmo tempo. Observou-se que o resto de uma tinha o dobro do resto da outra. Por
quanto tempo ficaram acesas?
3) Uma empresa de impressões
digitais tem uma copiadora A que imprime 500 páginas em oito minutos. O dono da
empresa decide comprar outra maquina copiadora B mais moderna e observa que as
duas máquinas trabalhando juntas imprimem 500 páginas em dois minutos. Em
quanto tempo a máquina B imprime 500 páginas?
4) Se um pacote de biscoito
contem 10 biscoitos e pesa 95 gramas, e se 15 gramas de biscoito correspondem a
90 calorias, quantas calorias tem cada biscoito?
5) A distância entre as
cidades mineiras de Belo Horizonte e Montes Claros, em um mapa representado em
escala 1 : 7000000, e de 6,5 cm. Qual a distância real entre essas duas
cidades?
6) Uma composição ferroviária
usada para o transporte de mercadorias faz o percurso entre duas cidades,
distantes 72 km uma da outra, em um intervalo de tempo de 2 h. A locomotiva,
que mede 20 m de comprimento, puxa um comboio formado por N vagões de 15 m de comprimento cada um. Sabe-se que no meio do
caminho entre as duas cidades existe uma ponte de 490 m de comprimento e que a
composição leva 1 min para atravessá-la completamente. Nesse sentido, qual o número
N de vagões que formam a composição?
7) Um automóvel pode andar,
sem abastecimento e mantendo consumo constante, durante 360 minutos. Tendo saído
com um furo no tanque de combustível, que escoa combustível numa vazão constante,
ele andou apenas 144 minutos. Qual a fração da quantidade de combustível que
escoaria caso ficasse 15 minutos parado?
8) Uma pessoa com 80 kg de
massa corporal iniciou um tratamento medico para redução dessa massa e, no 15º
dia do tratamento, já havia reduzido 3 kg. Supondo que a redução diária de
massa seja sempre a mesma, qual o número de dias necessários, a partir do início
do tratamento, para que essa pessoa atinja 65 kg?
9) Gabriela e Jonas moram na
mesma casa e estudam na mesma escola. Jonas vai de casa a escola em 30 minutos
e Gabriela em 40 minutos. Se Gabriela saiu de casa 5 minutos mais cedo, quantos
minutos Jonas levara para alcança-la, considerando que as velocidades de ambos
são constantes?
10)
A tabela abaixo mostra a relação entre o tempo de funcionamento de um
equipamento e a sua produção:
a) A razão da primeira grandeza é igual a da segunda
grandeza?
b) Podemos dizer que são grandezas proporcionais?
c) Qual será a quantidade de cadernos produzidos, se
o funcionamento for de 15 horas?
11) A tabela abaixo mostra a
relação entre o tempo de uma viagem e a velocidade de um carro de passeio usado
na viagem.
a) A razão da primeira grandeza é igual a da segunda
grandeza?
b) Podemos dizer que são grandezas proporcionais?
c) Qual será o tempo de viagem se a velocidade média
for de 120 km/h?
12) Quando dizemos que um carro percorreu 240 km em 3 horas, podemos também dizer que sua velocidade média foi de 80 km/h.
a) Quantos quilômetros percorre um carro com velocidade média de 90 km/h em 3h30min?
b) Quanto tempo gasta um carro para percorrer 340 km com velocidade média de 85 km/h?
c) O trem japonês MLV (veículo levitado
magneticamente) chega a desenvolver 582 km/h. Em quanto tempo, aproximadamente,
o trem japonês MLV faria o trecho de 97 km entre São Paulo e Campinas?
13)
Observe a tabela:
|
x |
110 |
120 |
130 |
140 |
|
y |
55 |
60 |
65 |
70 |
Ela representa duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais. Isso ocorre porque os valores de x aumentam juntamente com os valores correspondentes de y, de tal forma que, quando calculamos y / x, temos um valor constante que é 1/2. Qual das tabelas abaixo relaciona grandezas diretamente proporcionais?
(A)
|
a |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
b |
3 |
4,5 |
6 |
7,5 |
|
x |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
|
y |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
Duas grandezas x e y
são diretamente proporcionais se
existir uma constante k ≠ 0, tal que
14) Sabendo que 
verifique se as razões 
formam uma proporção.
15) Determine os
valores de x e y sabendo que os números x,
6 e 27 são diretamente proporcionais aos números 2, y e 18, nessa ordem.
16) Para dividir o
número 33 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 4, teremos que calcular:
x + y + z = 33
Daí, temos x = 2k,
y = 5k e z = 4k, substituindo na primeira equação,
obtemos 2k + 5k + 4k = 33 e k = 3.
Portanto, x = 6, y = 15 e z = 12.
Dois pintores
executaram um serviço e cobraram um total de R$ 1.600,00. O serviço deveria ter
sido dividido igualmente, porém um deles trabalhou 6 horas e outro trabalhou 10
horas. Após o término do trabalho, cada um recebeu um valor proporcional ao
número de horas trabalhadas. Quanto recebeu cada pintor?
17) As tabelas a seguir representam grandezas diretamente proporcionais:
|
x |
10 |
25 |
60 |
|
|
y |
6 |
27 |
36 |
|
x |
6 |
7 |
8 |
|
|
y |
0,6 |
0,9 |
b) Complete as
tabelas.
18) Em um livro de receitas, a cozinheira verificou que, no preparo de uma lasanha com molho branco, havia a seguinte indicação: para cada 250 g de massa, utilizar 150 g de creme de leite. Calcular quantos gramas de creme de leite deverão ser usados no preparo de 400 g de massa. E se ela dispuser de uma embalagem de creme de leite de 330 g, quantos gramas de massa deverá usar?
Utilizando a regra de três, pois as grandezas são
diretamente proporcionais, temos que a quantidade x de creme de leite empregado no preparo de 400 g de massa é dada
por:
E a quantidade y de massa usada para 330 g de creme de
leite é:
Logo, para 400 g de
massa, deverão ser empregados 240 g de creme de leite, e para 330 g de creme de
leite, 550 g de massa.
19) Numa bula de
remédio em gotas, lê-se que “a dosagem recomenda é de 3 gotas por 2 kg de massa
da criança”. Se uma criança tem 14 kg, qual é a dosagem recomendada?
20) Em uma classe
com 42 alunos, de cada 7, 4 são do sexo feminino. Qual é o número de alunos do
sexo masculino?
21) A quantia de
R$ 1.280,00 deverá ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receberá cada uma, se:
a) a divisão for
feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7?
b) a divisão for
feita em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 10?
22)
Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido
entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e responda:
|
Número de acertadores |
Prêmio |
|
3 |
R$ 200.000,00 |
|
4 |
R$ 150.000,00 |
b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores?
c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?
23) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos
números 40, 72, 128. Determine os números x e y.
24) Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos
números 180, 120, 200 e 480, determine os números a, b e c.
25) José, Carlos e Paulo devem
transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram
dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da
primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um
carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto, José,
Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente.
Na segunda parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na
proporção 4 : 4 : 2, respectivamente.
Sabendo-se que um deles levou
50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos
e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
(A) 600, 550,
350
(B) 300,
300, 150
(C) 300,
250, 200
(D) 200,
200, 100
(E) 100,
100, 50
26) Responda as perguntas:
a) Um carro percorre 20 m/s.
Quantos metros ele percorre em uma hora? E depois de andar 1 km?
b) Qual é mais rápido: 100m em
10 s ou 50 km em 1 h? Por quê?
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