Semelhança de Figuras Geométricas Planas

Um exemplo prático de aplicação de proporções em nosso dia-a-dia estão nas figuras semelhantes. Observe que qualquer foto de uma pessoa é simplesmente uma representação proporcional da fisionomia real, porém em menor escala.

Dessa forma, se Pedro tem 10 cm de cabelo e 3 cm de barba e em uma de suas fotos sua barba tem 1 cm, é possível calcular a medida de seu cabelo nesta foto resolvendo a equação obtida pela proporção entre as medidas reais e as respectivas medidas na foto.

Mais precisamente, se x é o tamanho do cabelo de Pedro na foto, temos que:

3/10 = 1/x 

Multiplicando os extremos e meios, obtemos:

3x = 10

x = 10 / 3

x = 3,34.

Assim como este exemplo, podemos utilizar essa ideia para entender diversos fatos do dia a dia e resolver vários problemas importantes na engenharia, economia e outras tecnologias que utilizem imagem. Uma ideia importante é que chamamos de Teorema de Tales.

 

 Ilustração de Tales de Mileto - Ernst Wallis - 1875 - Illustrerad verldshistoria utgifven av E. Wallis. volume I 

Teorema de Tales 

O teorema de Tales é um resultado básico da geometria plana e vai permitir a exploração e dedução de outros resultados, também centrais, dessa matéria. O teorema de Tales (das retas paralelas) é conhecido desde a antiguidade. Por volta de 600 a.C., Tales, um grego da cidade de Mileto, determinou matematicamente a altura da pirâmide de Quéops, uma das mais famosas pirâmides do Egito. Ele utilizou uma estaca paralela à altura da pirâmide e medindo a sombra da pirâmide sobre a estaca.

Tales de Mileto viveu no século 6 a.C., mas nenhum dos seus escritos sobreviveu. Tudo o que sabemos dele veio através de escritos de outros. 

Pirâmide de Quéops, também conhecida com a Grande Pirâmide, foi construída por volta de 2.500a.C., demorou cerca de  vinte anos para ser completamente construída, consumindo 2.300.000 blocos de pedras, cada um com 2 toneladas.

A figura a seguir mostra uma parte da cidade de Nova York. Nessa região, as ruas são designadas por números. Observe as ruas numeradas de 67 a 71, as Avenidas Columbus e Broadway.

A distância A entre duas esquinas consecutivas da Avenida Columbus é igual a 70m e a distância B entre as respectivas esquinas correspondentes na Broadway é 80m. A distância C entre as esquinas da Columbus com as ruas 69 e 71 é 161m, e a distância entre as esquinas correspondentes na Broadway é D.

a) Você lembra quais são as possíveis posições relativas entre duas retas no plano? Que relação você vê entre as ruas de 67 a 71?

b) Visualmente, estime um valor para a distância D.

c) Você consegue calcular a distância D?

 

Agora, na figura a seguir estão representados dois pares de retas paralelas: o par de retas AD e BC e o par de retas AB e CD.

a) Você conhece o nome que se dá ao par de ângulos a e b?

b) Que relação há entre os ângulos a e b?

c) Você conhece o nome que se dá ao par de ângulos b e c?

d) Que relação há entre os ângulos b e c?

e) Pode-se afirmar que os triângulos ABC e CDA são congruentes. Por quê?

f) Que relação existe entre os segmentos AB e CD? E com os segmentos AD e BC?

.

Agora, observe a figura abaixo:

Nesta figura temos as paralelas r₁, r₂ e r₃ estão intersectadas pelas transversais t₁ e t₂.

Para o entendimento do Teorema de Tales, é preciso verificar um fato importante:

“Se as paralelas determinam sobre uma transversal segmentos iguais então determinarão, na outra transversal, segmentos também iguais”.

Demonstremos esse fato:

Um segmento desenhado no papel precisa ser dividido em três partes iguais. Um aluno fez assim:

Com uma régua mediu seu comprimento encontrando 7,1 cm.

Com a calculadora dividiu essa medida por 3.

Ele pretende usar a régua para aplicar sobre o segmento a medida que aparece na calculadora.

a) Que número o visor da calculadora mostrou quando o segmento dado foi dividido por 3?

b) Você consegue, com a régua escolar, marcar sobre o segmento a medida que a calculadora.

 

Você percebe aí uma dificuldade, não é mesmo? Nossos sentidos são limitados e a régua não marca com precisão medidas menores que 1 milímetro. Como fazer então?

 

Buscamos inspiração no exemplo anterior. Considere a seguinte construção:

Nosso segmento chama-se AB.

A partir de A trace uma semirreta AX (que não contenha o segmento AB).

Com o compasso em uma abertura qualquer fixada, assinale, a partir de A, três segmentos iguais. Chamaremos esses pontos sobre a semirreta AX de M, N e P. Como a figura acima.

 

Em seguida, trace a reta PB e trace paralelas a ela pelos pontos M e N. Essas paralelas intersectarão o segmento AB nos pontos C e D, como mostra a figura abaixo: 

a) Com esse procedimento, explique por que os pontos C e D dividem o segmento AB em três partes iguais.

b) Para dividir um segmento em partes iguais há necessidade de fazer medidas?

 

Outro fato importante, para o entendimento do Teorema de Tales, é como é visto a razão entre as medidas de um segmento. A razão entre dois segmentos é a razão entre suas medidas.

Por exemplo, se um segmento x mede 15 cm e um segmento y mede 20 cm, a razão entre eles é escrita como 

e é igual a:

 

Quando um ponto P está no interior do segmento AB, para definir sua posição em relação aos extremos do segmento é costume definir um número chamado de razão em que P divide o segmento AB.

Essa razão é o número real 

Assim, se um segmento AB mede 10 cm e um ponto P sobre ele está a 4 cm de A então a razão em que P divide esse segmento é

  

Isso pode ser visualizado na figura a seguir onde o segmento PA contém 2 partes e o segmento PB, 3 partes: 

Finalmente, enunciado do teorema de Tales, temos:

“Se um feixe de paralelas está cortado por duas transversais então os segmentos determinados sobre uma transversal são respectivamente proporcionais aos segmentos determinados na outra”.

Vejamos uma figura: 

A figura a seguir mostra três retas paralelas cortadas por duas transversais. Na reta da esquerda, os segmentos AB = a e BC = b, são comensuráveis e, na reta da direita, os segmentos correspondentes são A´B´ = a´ e B´C´ = b´. Nosso objetivo é demonstrar que:

Como a e b são comensuráveis, a figura mostra uma unidade u comum a esses segmentos.

Por cada extremidade da unidade u assinalada na reta da esquerda traçamos retas paralelas às retas dadas determinando segmentos correspondentes na reta da direita. 

Digamos que a unidade u cabe m vezes em a. Então a = m∙u.

Digamos que a unidade u cabe n vezes em b. Então b = n∙u.

Sabemos que, em retas paralelas cortadas por transversais, segmentos iguais de um lado correspondem a segmentos iguais do outro. A cada segmento u do lado esquerdo existe um correspondente v do lado direito.

Verifique:

a) Quantas vezes o segmento v cabe em a´?

b) Quantas vezes o segmento v cabe em b’?

c) Escreva as medidas de a´ e b´ na unidade v, reúna essas medidas com as anteriores e conclua o resultado do teorema.

O teorema de Tales foi verificado no caso dos dois segmentos de uma das retas serem comensuráveis. Entretanto, o teorema vale quando as medidas desses dois segmentos são números reais quaisquer.

Exemplo 1: Encontre o valor de x no feixe de paralelas dado, sabendo que r//s//t e as transversais u e v:

Exemplo 2: A figura abaixo indica três lotes de terreno com frentes para a rua A e para a rua B. As divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para A medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m.

A frente do lote 2 para a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?

 Aplicando Teorema de Tales, temos:

Portanto as medidas da frente para rua B dos lotes 1 e 3 medem respectivamente 21 m e 35 m.

 

Atividades: 

1) Na figura abaixo, o ponto P divide o segmento AB na razão

a) Qual a razão  ?

 b) Se M é o ponto médio do segmento AB, qual é a razão ?

2) Calcule os valores de x e y nos segmentos das figuras abaixo:

 a) a//b//c//d 

b) r//s//t//u 

 

c) r//s//t//u 

d) BC // MN

3) Na figura a seguir, PQ é paralela a BC. Se AP = 5, PB = 4 e QC = 6, determine a medida do segmento AQ. 

4) Observando a figura abaixo e as medidas dos segmentos correspondentes, podemos dizer que as retas r e s são paralelas? Justifique. 

5) Uma ponte deve ser construída, no local assinalado na figura. Levando em consideração as informações do desenho, qual deve ser o comprimento da ponte? 

6) Observe a planta de um loteamento na Vila Planalto. 

Quais as medidas das frentes dos lotes, representados por x e y respectivamente, em relação à Rua Rio de Janeiro?

 

7) Três terrenos tem frente para a Rua Bromélia e fundo para a Rua Girassol, como na figura abaixo: 

As divisas laterais são perpendiculares à Rua Girassol. Sabendo que a frente dos 3 terrenos na Rua Bromélia mede 195 m, qual a medida da frente de cada um dos terrenos dessa rua?

7) Na figura abaixo, os segmentos AC e BD são paralelos entre si, OA = 9 cm, OB = 18 cm e OD = 24 cm.

Qual é a medida do segmento CD?

(A) 7 cm.  

(B) 9 cm.  

(C) 12 cm.  

(D) 18 cm.

Triângulos Semelhantes

Em primeiro lugar, o conceito de semelhança está presente em diversos contextos e sua compreensão permite compreender melhor o mundo que vivemos. Por outro lado, a semelhança de triângulos é um instrumento importante para obter propriedades métricas e relações entre elementos de polígonos. Por fim, a semelhança de triângulos é uma ferramenta muito útil na resolução de problemas de geometria, tanto plana quanto no espaço. 

A figura a seguir mostra a planta de uma casa e as medidas indicadas no desenho mostram as dimensões reais em metros. Entretanto, Caio, uma pessoa que gostaria de ter mais informações sobre essa casa, mediu com sua régua a largura da parede do fundo da casa e, desprezando a espessura das paredes, encontrou 8 cm, colocando essa informação no desenho. 

As perguntas a seguir são importantes para o curioso Caio. Questiona-se:

a) O desenho fornece informações suficientes para que se calcule a área do Quarto 2?

b) Com a régua Caio mediu a distância entre a porta de entrada e a porta da cozinha e encontrou 9cm. Na realidade qual é essa distância?

c) Caio mediu também o comprimento da mesa da sala de jantar e encontrou 2,3 cm. Na realidade qual é essa medida?

 

Para respondermos estes questionamentos, devemos conhecer a ideia matemática denominada semelhança.

 

O que é semelhança para a Matemática?

No exemplo anterior percebemos que a planta de uma casa é um modelo reduzido da situação real e isso significa que as proporções entre as medidas são mantidas. Dizemos então que a planta da casa e o piso da casa são semelhantes. Para tornar o conceito preciso precisamos de uma definição. 

Figuras semelhantes: Duas figuras F e F´ são semelhantes quando existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma e os pontos de outra, de forma que, para quaisquer pontos X e Y da figura F e seus correspondentes X´ e Y´ da figura F’ tem-se que a razão:

é constante.

Uma correspondência biunívoca (ou uma bijeção) entre F e F´ é uma função onde cada ponto de F tem um correspondente em F´ e, reciprocamente, cada elemento de F´ tem seu correspondente em F.

 

Vamos entender melhor essas definições. 

Volte para a figura apresentada inicialmente da Foto de Pedro e veja novamente as duas representações da foto.

Escolha um ponto da primeira figura, uma ponta do cabelo, por exemplo. Certamente você saberá encontrar esse mesmo ponto na segunda figura. Por outro lado, se você qualquer outro ponto da figura segunda figura, você também saberá localizar onde está o ponto correspondente na primeira. Uma vez que você assinalou dois pontos de uma das figuras e seus correspondentes na segunda figura, você pode determinar as distâncias entre esses pares de pontos. A função que relaciona os pontos das duas figuras chama-se uma semelhança se a razão entre essas distâncias for sempre a mesma, quaisquer que sejam os pontos escolhidos.

 

Razão de semelhança e fator de ampliação:

Em uma semelhança entre F e F´, se temos:

,

Dizemos que a razão de semelhança de F para F´ é k.

A semelhança de triângulos é uma ferramenta poderosa para resolver inúmeros problemas de geometria. Isso ocorre porque o triângulo tem uma situação especial no que estamos estudando: ao contrário dos outros polígonos, é muito fácil reconhecer quando dois triângulos são semelhantes.

De fato, para triângulos, podemos definir conjuntos de condições mínimas para que possamos afirmar que dois triângulos são semelhantes. Esses conjuntos de condições mínimas são chamados casos de semelhança de triângulos.

A própria definição de semelhança entre duas figuras, no caso dessas figuras serem triângulos, resume-se a verificar a proporcionalidade entre seus lados correspondentes e isso consiste no caso Lado-Lado-lado de semelhança de triângulos, que normalmente é denotado por LLL.

 

Teorema central da semelhança de triângulos

O teorema tem um enunciado simples e vai permitir que identifiquemos triângulos semelhantes com facilidade. Trata-se de mais um caso de semelhança de triângulos, isto é, atendidas as suas condições, não precisamos fazer as verificações de todas as condições da definição de semelhança de figuras.

Entretanto, antes de podermos usá-lo, devemos mostrar que sempre que as condições do caso forem atendidas, necessariamente estamos garantindo todas as condições da definição de semelhança entre figuras.

Eis o enunciado:

Dois triângulos que possuem os mesmos ângulos internos são semelhantes.

 

Esse enunciado quer dizer que, se dois triângulos possuem dois ângulos internos respectivamente iguais, então seus lados são proporcionais. Demonstrando esse fato, poderemos reconhecer facilmente triângulos semelhantes, e essa é a importância desse teorema.

A figura a seguir mostra, de forma simples, a hipótese e a tese do teorema.

Hipótese: Ângulos com marcas iguais são iguais.

 .

Exemplo 1:

Segundo a projeção abaixo, se Milu tem 1,5 m de altura, qual a altura da árvore?

h/1,5 = (12+6) / 6

 

 

 Exemplo 2:

Na figura abaixo estão representados um morro, uma árvore e um observador. A árvore com 25 metros de altura dista 150 metros do observador. O observador situa-se a 450 metros do ponto A. Considerando que o olho do observador, o topo do morro estão alinhados, determine a altura do morro.

 

Atividades:

1) Calcule os valores de x e y nos segmentos das figuras abaixo:

a) 

b)

 

c)

 

2) A figura representa os triângulos retângulos PQR e STR, sendo ST = 4 cm, RT = 3 cm e QT = 6 cm. Qual a medida do cateto PQ? 

 

3) A figura 1 mostra parte do projeto de um telhado. Ao fazer o desenho, o engenheiro se esqueceu de escrever a altura do telhado, que está indicada na figura pela letra h. Para descobrir essa altura, João, que é o responsável pela obra, desenhou um triângulo semelhante ao triângulo que representa a vista frontal do telhado, figura 2, e calculou a altura h.

Qual é a medida da altura desse telhado?

   

4) A figura abaixo é formada pelas retas r, s e t, paralelas entre si, e cortadas por duas transversais.

Com base nas informações da figura, qual é o valor do comprimento x?

 

5) A professora desenhou um triângulo no quadro.

Em seguida, fez a seguinte pergunta: –– "Se eu ampliar esse triângulo 3 vezes, como ficarão as medidas de seus lados e de seus ângulos?" 

Alguns alunos responderam:

Fernando: –– “Os lados terão 3 cm a mais cada um. Já os ângulos serão os mesmos.”

Gisele: –– “Os lados e ângulos terão suas medidas multiplicadas por 3.”

Marina: –– “A medida dos lados eu multiplico por 3 e a medida dos ângulos eu mantenho as mesmas.”

Roberto: –– “A medida da base será a mesma (5 cm), os outros lados eu multiplico por 3 e mantenho a medida dos ângulos.” 

Qual dos alunos acertou a pergunta da professora?

(A) Fernando

(B) Gisele

(C) Marina

(D) Roberto

  

6) Marcos desenhou dois triângulos semelhantes, que estão representados abaixo:

Quais são as medidas dos outros dois lados do triângulo II?

(A) 3 cm e 5 cm.

(B) 6 cm e 7 cm.

(C) 10 cm e 13 cm.

(D) 14 cm e 17 cm.

 

7) Na figura, abaixo, os segmentos PQ e TS são paralelos.

Qual é a soma das medidas dos lados QR e RS?

        (A) 4,5 cm.    

        (B) 9,5 cm.    

        (C) 10 cm.    

        (D) 20 cm.

 

8) Um terreno, em forma de triângulo, foi dividido em dois lotes, por meio de um muro paralelo a um dos lados do terreno, conforme indicado na figura abaixo:

O comprimento desse muro é:

    (A)    80 m.  

    (B) 45 m.   

    (C) 20 m.  

    (D) 15 m.

 

9) No desenho abaixo, NP é paralelo a QR.

Qual é a medida do comprimento do segmento NQ desse desenho?

    (A)    10 cm. 

    (B) 11 cm.

    (C) 12 cm. 

    (D) 13 cm.

10) Em muitos casos, a razão de semelhança é chamada de escala. Quando desenhamos a planta de uma casa, observamos a maquete de um prédio ou estudamos um mapa, é comum encontrarmos a palavra escala, tal como a planta do Caio apresentada: 

 

Vamos utilizar nesta planta a escala 1:200 = 1/200, e isso significa que cada 1 cm da planta equivale, na realidade, a 200 cm ou 2 m na casa de verdade.

Como Caio mediu a distância entre a porta de entrada e a porta da cozinha e encontrou 9 cm. Na realidade, essa distância é 9 multiplicado por 200, 9 x 200 = 1.800 cm = 18 m.

a) Se Caio mediu com a régua o comprimento da mesa da sala de jantar e encontrou 2,3cm. Qual a medida da mesa na realidade?

b) Qual a medida real da área do Quarto 2?

 

11) Um mapa é a representação reduzida e simplificada de uma localidade. Essa redução, que é feita com o uso de uma escala, mantém a proporção do espaço representado em relação ao espaço real.

Certo mapa tem escala 1 : 60 000 000. Isto é, a cada 1 cm do desenho corresponde a 60 000 000 cm do real, que é 600 km.

Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do tesouro meça 7,6 cm.

A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é:

        (A) 4 560.     

        (B) 7 632.       

        (C) 45 600.     

        (D) 76 316.

 

12) Na esquina das ruas do Sol e da Lua, que se cruzam perpendicularmente, há um terreno triangular. Uma das frentes, com 36 m, está voltada para a rua do Sol; e a outra, com 54 m, para a rua da Lua. Nesse terreno formou-se uma horta. Ao cercá-la, ocupou-se uma região quadrada PQRS, como mostra a figura.

a) Quantos metros de cerca foram gastos?

b) Determine que porcentagem do terreno é ocupada pela horta.

 

13) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m por 100 m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08 g. 

Com esses dados, foi possível dizer que a área da cidade, em metros quadrados, é de, aproximadamente:

        (A) 800             

        (B) 400.000          

        (C) 10.000     

        (D) 5.000.000          

        (E) 320.000

 

14) Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C  da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.

 

A largura e o comprimento reais da pegada, em centímetros, são, respectivamente, iguais a:

(A) 4,9 e 7,6.

(B) 8,6 e 9,8.

(C) 14,2 e 15,4.

(D) 26,4 e 40,8.

(E) 27,5 e 42,5.

  

15) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28m de comprimento por 12m de largura. A maquete deverá ser construída na escala 1:250. Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete? 

16) Na imagem vê-se um pescador fazendo pose para uma foto. Os óculos do pescador têm 16 cm de largura. Na tela da máquina fotográfica, os óculos do pescador e o peixe medem, respectivamente, 2 cm e 9 cm. Considerando que o peixe e os óculos do pescador pertencem a um plano paralelo ao plano da lente da máquina, determine o comprimento do peixe.

  

17) Um jogador de basquete mede 2,04 m. Para fazer propaganda de seu time, fabricaram miniaturas do jogador. A escala é 1:12. Quanto mede a miniatura?

 

18) Num museu de ciências naturais, existe uma miniatura de um dinossauro que mede 50 cm de altura. Qual a altura do dinossauro, sabendo-se que a miniatura foi construída na escala 1:50 ?

 

19) A altura de uma pessoa em uma fotografia de 12,6cm x 9cm é 7,5cm. Desta fotografia, fez-se um pôster de 70cm x 50cm de dimensões.

a) Qual passará a ser a altura da pessoa?

b) Que taxa percentual representa essa ampliação?

 

20) O Cristo Redentor, no Rio de Janeiro, considerado uma das sete maravilhas do mundo, localizado no morro do Corcovado, tem 38 metros de altura. Os braços abertos dão à escultura uma largura de 30 metros. Para ser fiel à realidade, qualquer miniatura que reproduza a estátua deve manter as proporções do original. Suponha que a miniatura tenha 19 centímetros de altura, qual deve ser a largura desta miniatura para se manter a mesma proporção?

 

21) Para a realização de uma experiência, uma rampa reta e plana de 2m de comprimento, feita de plástico transparente, foi colocada sobre um terreno plano e horizontal. Quando os raios de sol eram perpendiculares ao terreno, fez-se rolar uma bola desde o ponto mais alto da rampa até o solo, observando-se que a sombra da bola sobre o terreno percorreu uma distância de 1,6 m. Que distância percorreu essa sombra, quando a bola se deslocou 50 cm sobre a rampa?

 

22) Para medir a altura de uma árvore, foi usada uma vassoura de 1,5 m, verificando-se que, no momento em que ambas estavam em posição vertical em relação ao terreno, a vassoura, quando apoiada no chão, projetava uma sombra de 2 m e a árvore, de 16 m. Qual a altura da árvore?

 

23) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 2 cm e AC = 6 cm.

 

Quanto mede o lado do quadrado? 

 

24) Dois polígonos são semelhantes quando têm os ângulos internos correspondentes  de mesma medida e os lados correspondentes proporcionais. Sabendo-se disso veja o retângulo ABCD abaixo, em que AD = BC = 1. Uma reta r intercepta os lados AB e DC desse retângulo determinando o quadrado PBCQ de lado 1. 

Sabendo que os retângulos ABCD e APQD são semelhantes, quanto mede o lado AB?

25) Responda as perguntas, justificando: 

a) Dois retângulos são sempre semelhantes?

b) Todos os triângulos retângulos são polígonos semelhantes?

c) Dois triângulos equiláteros são sempre polígonos semelhantes?

d) Dois círculos serão sempre semelhantes?

 

26) Observe a figura abaixo:

 

a) Podemos dizer que os pentágonos ABCDE e FGHIJ são semelhantes? Por quê?

b) Meça os segmentos AI e EJ e calcule com auxílio da calculadora a razão entre as medidas destes segmentos.

 

27) Os triângulos desenhados abaixo são semelhantes.

A medida do perímetro do primeiro triângulo (azul) é:

        (A) 56. 

        (B) 90. 

        (C) 146. 

        (D) 292.

 

28) Na figura abaixo, x mede: 

        (A) 3           

        (B) 2              

        (C) 3 + 2    

        (D) Faltam dados para calcular x.  

 

28) A professora de Geometria desenhou o triângulo abaixo utilizando régua e compasso.

Em seguida, ela pediu a seus alunos para desenharem um triângulo que fosse semelhante a esse com razão de semelhança igual a 2/5.

Qual dos triângulos abaixo possui essa razão de semelhança em relação ao triângulo desenhado pela professora?

 

29) Os triângulos I e II abaixo são semelhantes.

Qual é, aproximadamente, a medida da área do triângulo II?

        (A) 17,50 cm². 

        (B) 30,63 cm². 

        (C) 33,91 cm². 

        (D) 61,25 cm².

 

30) Os desenhos abaixo representam dois canteiros triangulares localizados em uma praça. Luís irá calcular a medida da área do canteiro maior para plantar algumas rosas. Ele sabe que os canteiros são semelhantes, e a medida da área do canteiro menor é 10 m². 

Qual é a medida da área do canteiro maior?

        (A) 14,25 m² 

        (B) 15,00 m² 

        (C) 22,50 m² 

        (D) 30,00 m²

 

31) Os triângulos (I) e (II), abaixo, são semelhantes.

Considere as medidas indicadas na figura, a área do triângulo (I) igual a A, e a área do triângulo (II) igual a B. Que relação existe entre A e B?

(A) B = 3A.   

(B) B = 9A.    

(C) B = A/3.    

(D) B = A/9.

32) A figura abaixo mostra um fragmento de mapa, em que se vê o trecho reto da estrada que liga as cidades de Paraguaçu e Piripiri. Os números apresentados no mapa representam as distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto de início da estrada (que não aparece na figura). Os traços perpendiculares à estrada estão uniformemente espaçados de 1 cm. 

a) Para representar a escala de um mapa, usamos a notação 1 : X, onde X é a distância real correspondente à distância de 1 unidade do mapa. Usando essa notação, indique a escala do mapa dado acima.

 

b) Repare que há um posto exatamente sobre um traço perpendicular à estrada. Em que quilômetro (medido a partir do ponto de início da estrada) encontra-se tal posto?

 

c) Imagine que você tenha que reproduzir o mapa dado usando a escala 1 : 500000. Se você fizer a figura em uma folha de papel, qual será a distância, em centímetros, entre as cidades de Paraguaçu e Piripiri?

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