Pirâmides

Pirâmides são formas tridimensionais muito conhecidas pelos arquitetos. Elas podem ser encontradas em construções antigas no Egito e na América Central (México e Guatemala).

 

Essa forma continua atraindo o gosto de arquitetos e engenheiros no mundo contemporâneo.

 

As características geométricas de uma pirâmide são:

• a base é um polígono;

• as faces laterais são triangulares.

 

É fácil determinar o número de faces, vértices e arestas de uma pirâmide. Veja um exemplo em que a base da pirâmide é um quadrado: 

• faces: a base e as 4 faces laterais triangulares, em um total de 5 faces;

• vértices: os 4 do quadrado da base mais o vértice do topo, em um total de 5 vértices;

• arestas: 4 da base quadrada mais 4 que saem de cada vértice da base, ligando-se ao vértice superior, em um total de 8 arestas.

 

Diante disso podemos responder as questões:

1) Uma pirâmide cuja base é um hexágono tem:

a) Quantas faces?

b) Quantos vértices?

c) Quantas arestas?

 

2) Imagine uma pirâmide cuja base é um polígono de 12 lados, também conhecido por dodecágono. Quantos vértices tem essa pirâmide? 

3) Se uma pirâmide tem 9 vértices, quantos lados tem a base dessa pirâmide?

 

Da mesma forma que os prismas, as pirâmides também podem ser classificadas em triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais, de acordo com a base.

 

Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e a altura é igual à distância do vértice ao centro da base.

Numa pirâmide regular temos:

• as arestas laterais são congruentes;

• as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si.

Observe a pirâmide pentagonal regular: 

VR = H (é a altura da pirâmide)

VM (é o apótema da pirâmide)

RM (é o apótema da base)

Note que o apótema (VM) da pirâmide é a altura do triângulo isósceles AVB.

 

Exemplo:

Uma pirâmide quadrangular regular de altura H = 4 cm tem uma aresta da base medindo 6 cm. Calcule o apótema dessa pirâmide.

 

 Como, os apótemas com a altura da pirâmide, formam um triângulo retângulo, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, e a medida do apótema da pirâmide será a hipotenusa do triângulo retângulo, daí temos:

h² = 3² + 4²

h² = 9 + 16

h² = 25

h = 5

Logo, o apótema da pirâmide mede 5 cm.

Área de uma pirâmide

Chamamos de área lateral (A_l) de uma pirâmide à soma das áreas das suas faces laterais.

Chamamos de área total (A_t) de uma pirâmide à soma da área lateral (A_l) com a área da base (A_b).

 

Exemplo:

Uma pirâmide quadrangular regular de altura H = 4 cm tem uma aresta da base medindo 6 cm. Calcule a área total dessa pirâmide.

Primeiramente, calculemos a área do triângulo da face lateral, tomando a medida do apótema da pirâmide como altura do triângulo da face lateral, daí h = 5 cm.

Fazendo a atura de um triângulo: b∙h/2, temos:

6 x 5 / 2 = 30 /2 = 15 cm².

 

Se a base da pirâmide é regular a área dos triângulos da face são iguais, logo a área lateral será:

A_l = 4 x 15 =60 cm².

 

Como a base é um quadrado a área da base será:

A_b = 6² = 6 x 6 = 36 cm².

 

Logo, a área total dessa pirâmide será:

A_t = 60 + 36 = 96 cm².

 

 

Volume de uma pirâmide

O volume da pirâmide corresponde a um terço do volume de um prisma de mesma altura e mesma base. Portanto, a expressão matemática utilizada no cálculo do volume da pirâmide é:

 

onde:

H: altura da pirâmide;

A_b: área da base.

 

Exemplo:

Uma pirâmide quadrangular regular de altura H = 4 cm tem uma aresta da base medindo 6 cm. Calcule o volume dessa pirâmide.

 Como temos sua altura e conhecemos a área base, calculamos o volume dessa pirâmide como: 

.

 

Atividades: 

1) Celina trabalha como decoradora de lojas. Ela vai construir uma pirâmide de base quadrada usando palitos de 8 cm e bolinhas de isopor para fazer as junções das arestas.

a) Quantos palitos ela vai usar?

b) E de quantas bolinhas de isopor ela precisará?

 

2) Tito trabalha como montador de estandes. Ele precisa construir um espaço na forma de prisma de base hexagonal com 3 m de altura. Para isso, ele vai cortar placas de compensado na forma de hexágonos regulares e retângulos, e usar fitas adesivas grossas para produzir o estande na forma de prisma.

a) Que tipo de prisma ele vai construir: reto ou oblíquo?

b) Quantos hexágonos ele terá que construir?

c) Quantos retângulos são necessários para construir as faces laterais?

d) Se o lado do hexágono tiver 80 cm, quais são as medidas dos retângulos das faces laterais?

e) Quantas faces no total tem esse prisma?

f) Quantos vértices?

g) Quantas arestas?

 

3) Uma pirâmide quadrangular regular de altura H = 2 cm tem uma aresta da base medindo 3 cm. Calcule:

a) o seu apótema;

b) a sua área total;

c) o seu volume.

 

4) Calcular a área lateral de uma pirâmide hexagonal que possui as seguintes dimensões: apótema da pirâmide igual a 8 cm e aresta da base 3 cm .

 

5) Uma pirâmide regular, cuja base é quadrada possui aresta da base igual a 4 cm e apótema da pirâmide medido 9 cm. Determine a área lateral e a área total da pirâmide.

 

6) Uma pirâmide hexagonal regular possui apótema da pirâmide 12 cm e aresta da base 4 cm. Qual é a área lateral dessa pirâmide?

 

7) Qual é a capacidade, em litros, de uma pirâmide quadrangular que possui altura de 20 dm e aresta da base de 12 dm?

 

8) Uma embalagem de suco tem a forma de uma pirâmide quadrangular. Calcule o volume dessa embalagem sabendo que a aresta da base mede 16 cm e a altura da embalagem mede 15 cm.

 

9) Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular cuja aresta da base mede 24 cm e altura da pirâmide mede 15 cm.

10) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide será:

      (A) 36

      (B) 27

      (C) 18

      (D) 12

      (E) 4

Outras Atividades:

1) Numa pirâmide quadrangular regular todas as arestas (da base e laterais) são congruentes entre si e medem 2 m cada um. Calcule:

a) o apótema da base; 

b) o apótema da pirâmide; 

c) a altura; 

d) a área lateral; 

e) a área total.

 

2) Um enfeite em formato de pirâmide regular e de base quadrada tem o lado da base medindo 10 cm e a altura de 30 cm. Qual é o volume em cm³ dessa pirâmide?

 

2) Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular cujas arestas da base e cujas arestas laterais medem 4 cm e 5 cm, respectivamente.

 

3) Numa pirâmide quadrangular regular a área lateral é igual a 260 cm² e a aresta da base mede 10 cm. Qual é o volume dessa pirâmide?

 

4) Numa pirâmide hexagonal regular, a aresta da base mede 2  cm e a área lateral é 30  cm². Calcule a altura e a aresta lateral dessa pirâmide.

5) Uma pirâmide quadrangular tem 4 cm de altura e 12 cm de aresta da base. Determine:

a) a medida do apótema da base;

b) a medida do apótema da pirâmide;

c) a medida da área lateral;

d) a área total da pirâmide.

Atividades Diversas:

1) É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os polígonos obtidos numa pirâmide regular de base quadrada.  Os polígonos possíveis obtidos pelo artista plástico são:

 

     (A) Quadrados, apenas.

     (B) Triângulos e quadrados, apenas.

     (C) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas.

      (D) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas.

2) Usando quatro triângulos isósceles iguais ao da figura abaixo, forma-se uma pirâmide de base quadrada. Qual é o volume dessa pirâmide?

3) Um faraó projetou uma pirâmide de 72 m de altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m, dentro da qual estaria seu túmulo. Para edificar 1.000 m³ a mão de obra escrava gastava, em média, 2 anos. Nessas condições, o tempo necessário, em anos, para a construção dessa pirâmide foi, aproximadamente:

        (A) 48

        (B) 52

        (C) 56

        (D) 60

4) Pedro está estudando os poliedros e construiu um tetraedro regular de papelão, como o que está desenhado abaixo.

Qual das figuras, abaixo, Pedro desenhou para montar esse tetraedro?

5) Observe os desenhos abaixo.

Quais desses desenhos representam planificações de uma pirâmide reta de base quadrada?

      (A) I e III, apenas.

      (B) II e IV, apenas.

      (C) I, II e IV, apenas.

      (D) I, II, III e IV.

 

6) Observe a pirâmide representada abaixo.

Se F é o número de faces e A é o número de arestas dessa pirâmide, F + A é igual a:

      (A) 10

      (B) 12

      (C) 16

      (D) 22

 

7) A figura, abaixo, representa a planificação de um sólido geométrico.

O número total de faces desse sólido é:

       (A) 2. 

       (B) 6.   

       (C) 7.   

       (D) 8.

 

8) Uma torre de telefonia com 24 metros de altura foi construída no centro de um terreno retangular de dimensões 16 m x 12 m. Quatro cabos foram esticados do topo da torre até os vértices do terreno para fixá-la, conforme mostra a figura abaixo.

Qual foi a quantidade mínima de cabos utilizada nessa construção?

        (A)   40 m. 

        (B) 56 m. 

        (C) 96 m.  

        (D) 104 m.

  

9) A base de uma pirâmide de altura h é um quadrado de 9 cm de lado. Calcule h, sabendo que essa pirâmide tem o mesmo volume de um prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 6 cm e cuja altura é igual a 4 cm:

      (A) 0,75

      (B) 1,5

      (C) 2

      (D) 1

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